STATISTICA DESCRITTIVA

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1 STATISTICA DESCRITTIVA La statistica è sorta i tempi atichissimi co i cesimeti: storico quello di Augusto che, secodo la tradizioe cristiaa coivolse Maria e Giuseppe, giusto alla ascita di Gesù. Solo el secolo XVII, i seguito alle gradi scoperte matematiche, acque la statistica come disciplia a sé state il cui campo di applicazioe si è ampliato trovado applicazioe oltre che i demografia, i moltissime disciplie: ecoomia, sociologia, fisica, biologia, geetica, psicologia ecc. E cosuetudie suddividere la statistica i: Statistica descrittiva, che ha lo scopo di raccogliere ed elaborare i dati per descrivere feomei collettivi o di massa Statistica iduttiva (o ifereza statistica), che si occupa dei metodi che permettoo di stimare le caratteristiche di u feomeo collettivo partedo dall aalisi delle caratteristiche di u campioe. Geeralità a) Feomei tipici, atipici e collettivi Per feomeo si itede tutto ciò che capita itoro a oi o che oi stessi provochiamo. Tutti i feomei che si presetao costatemete co le stesse caratteristiche soo chiamati feomei tipici. Ad esempio u corpo abbadoato a ua certa altezza, cade verticalmete verso il basso a causa della forza di gravità terrestre. Esistoo feomei che si maifestao ogi volta co caratteristiche diverse e per le quali è difficile fare delle previsioi sul loro comportameto e che per questo soo defiiti feomei atipici. Pesiamo, ad esempio, ai feomei meteorologici. Se cosideriamo, ivece, feomei sociali quali ad esempio le ascite, i matrimoi, le migrazioi, o è possibile stabilire delle leggi geerali come avviee ivece per i feomei tipici. Possiamo però affermare che se si effettuao delle osservazioi molto umerose su tali feomei, essi rivelao ua tipicità di comportameto che ci permette di studiare le leggi che li goverao. Questo tipo di feomei vegoo chiamati feomei collettivi. La statistica aalizza, i termii quatitativi, i feomei collettivi. b) Natura del metodo statistico La ricerca scietifica usa essezialmete due metodi: il metodo deduttivo e il metodo iduttivo. Si adopera il metodo deduttivo se si stabiliscoo a priori assiomi geerali, che si pogoo come premesse al processo logico, e i seguito, attraverso il ragioameto, se e ricavao le possibili cosegueze. Si procede dal geerale al particolare. Se, ivece, si parte dall osservazioe di fatti sigoli e, successivamete, geeralizzado, si risale ai pricipi e alle leggi di carattere geerale relativi ai fatti studiati, si adopera il metodo iduttivo, si procede cioè dal particolare al geerale. Il metodo statistico è il metodo iduttivo per eccelleza perché cerca di ricavare, pur ella varietà delle sigole maifestazioi, le leggi soggiaceti ai feomei stessi, o almeo di evideziare evetuali regolarità, i modo da trarre previsioi relative al comportameto futuro

2 c) Dati statistici Si defiisce uità statistica o idividuo il più piccolo elemeto sul quale si effettua u osservazioe. Esempi di uità statistiche: Studete Famiglia Aziede Scuole Uiversità L uità statistica può essere: Semplice, se corrispode ad ua sigola persoa o a u oggetto (ad esempio età di ua persoa, cilidrata di u automobile); Composta, se è composta da u isieme di elemeti (ad esempio, uclei familiari) Si defiisce dato statistico il risultato di u operazioe compiuta sulle uità statistiche (ad esempio il prezzo medio di u certo bee) Per popolazioe statistica si itede l isieme degli elemeti che soo oggetto di studio cioè le uità statistiche. d) Frequeza e itesità Se i dati statistici esprimoo il umero di volte i cui u dato feomeo si è verificato assumoo la atura di frequeza (ad esempio il umero dei promossi a giugo di ua certa scuola) Se rappresetao ivece ua media, ua somma allora esprimoo ua itesità (ad esempio la statura media di u gruppo di giovai della stessa età). e) Carattere, modalità quatitative e qualitative Le uità statistiche vegoo studiate secodo uo o più caratteri comui e successivamete vegoo divisi rispetto alle varie modalità attraverso cui il carattere si maifesta. Il carattere è rappresetato, ad esempio, dal tipo di scuola, metre le modalità soo rappresetate da: scuole matere, scuole elemetari, scuole superiori. I questo caso le modalità soo qualitative i quato soo espresse da espressioi verbali. U carattere qualitativo è detto mutabile statistica. Se prediamo i esame il carattere altezza, le varie modalità soo rappresetate dalle misure delle diverse altezze divise per scaglioi (da 150 cm a 155 cm, da 155 cm a 160 cm). I questo caso le modalità soo quatitative essedo espresse da umeri. U carattere quatitativo è detto variabile statistica. Le modalità quatitative possoo essere: Cotiue, se soo espresse da umeri reali (ad esempio altezze e pesi). Tutte le osservazioi di u feomeo collettivo che soo oggetto di u processo di misurazioe origiao dati quatitativi di tipo cotiuo. Discrete quado tutte le osservazioi soo oggetto di u processo di coteggio o eumerazioe. Ad esempio il umero di vai di ua abitazioe, il umero di compoeti i ua famiglia, umero libri di ua biblioteca

3 Osservazioe U carattere determia ua partizioe della popolazioe statistica poiché suddivide tale popolazioe i u certo umero di sottoisiemi, ciascuo costituito dalle uità statistiche aveti la stessa modalità, e quidi soo sottoisiemi o vuoti, a due a due disgiuti e la loro uioe è l isieme uiverso. a) Tabelle a semplice etrata Ua tabella a semplice etrata è costituita da due coloe, la prima riporta le varie modalità del carattere qualitativo, o le varie itesità del carattere quatitativo, la secoda riporta le frequeze rilevate. Se il carattere è qualitativo la successioe dei dati è detta serie statistica Esempio di serie statistica rispetto ad u carattere qualitativo Specie di scuole N. alui iscritti Scuole matere Scuole elemetari Scuole medie Scuole secodarie superiori Totale Se ivece il carattere è quatitativo la successioe dei dati è detta seriazioe statistica. Esempio di seriazioe statistica rispetto ad u carattere quatitativo discreto N. staze N. abitazioi e più b) Tabelle a doppia etrata Se si eseguoo rilevazioi su due o più caratteri cotemporaeamete come, ad esempio, altezza e peso dei militari di leva oppure spese per bei alimetari e spese voluttuarie, i dati rilevati si rappresetao co tabelle a doppia etrata che possoo essere: Di cotigeza, se i due caratteri soo etrambi qualitativi (si parla di mutabile statistica doppia); Di correlazioe, se i due caratteri soo etrambi quatitativi (si parla di variabile statistica doppia); Miste, se uo dei due caratteri è qualitativo e l altro è quatitativo.

4 Esempio di tabella di cotigeza (tabella di distribuzioe di ua mutabile statistica doppia) Provice Sesso Femmie Maschi Totali Torio Vercelli Novara Cueo Asti Alessadria Totali Esempio di tabella di correlazioe (tabella di distribuzioe di ua variabile statistica doppia) N. vai Compoeti famiglia Totali Totali Esempio di tabella mista Età Sesso Femmie Maschi Totali Fio a 13 ai Oltre 65 ai Totali

5 c) Tabelle composte Soo tabelle formate da più coloe che si riferiscoo a varie caratteristiche ache seza legame fra esse. Reddito Spesa Percetuale Ai cosumo su Familiare Pro capite Familiare Pro capite reddito , , , , ,3 Variabili e mutabili statistiche Ua variabile statistica è defiita dall isieme dei valori osservati di u carattere quatitativo e dalle frequeze a essi associate; Ua mutabile statistica è defiita dall isieme delle modalità osservate di u carattere qualitativo e dalle frequeze ad esse associate. Frequeze statistiche Si defiisce frequeza assoluta di u valore di u carattere il umero di uità che possiedoo quel valore. Si defiisce frequeza relativa di u valore di u carattere il quoziete tra la frequeza assoluta e il umero di uità della popolazioe. Le frequeze relative soo sempre umeri compresi tra 0 e 1 e la loro somma è uguale a 1. Si defiisce frequeza percetuale la frequeza relativa moltiplicata per 100. Si defiisce frequeza cumulata assoluta di u valore la somma delle frequeze assolute dello stesso carattere relative a tutti i valori, miori o uguali al valore cosiderato. Si defiisce frequeza cumulata relativa di u valore la somma delle frequeze relative dello stesso carattere relative a tutti i valori, miori o uguali al valore cosiderato. Si defiisce frequeza cumulata percetuale di u valore la somma delle frequeze percetuali dello stesso carattere relative a tutti i valori, miori o uguali al valore cosiderato.

6 Esempio Tabella degli italiai resideti all estero al 31 dicembre 2007 Ripartizioi estero Europa America merid. America settetr. e cetrale Africa, Asia, Oceaia, Atartide Totale Frequeza assoluta Frequeza relativa Frequeza percetuale Frequeza Cumulata assoluta Frequeza cumulata relativa Frequeza cumulata percetuale ,57 57% ,57 57% ,28 28% ,85 85% ,10 10% ,95 95% ,05 5% % % Rappresetazioi grafiche I dati raccolti i tabelle si possoo rappresetare graficamete utilizzado diversi tipi di rappresetazioi grafiche le quali soo molto più espressive di ua tabella i quato permettoo di capire l adameto del feomeo e di essere utilizzate ache per ricercare il modello matematico del feomeo (ossia ua fuzioe che esprima l adameto del feomeo). Esempi di rappresetazioe grafica Istogrammi Italiai resideti all'estero al 31 dicembre Europa America meridioale America settetrioale e cetrale Africa, Asia, Oceaia, Atartide Frequeze assolute

7 N. abitazioi Diagramma cartesiao Abitazioi i Italia secodo il umero di staze N. vai Grafico a Torta Vedite 10% 9% 23% 58% 1 trim. 2 trim. 3 trim. 4 trim.

8 I valori medi I valori medi cosetoo di sitetizzare le distribuzioi statistiche o di cofrotarle co altre distribuzioi omogeee: per esempio si potrebbero cofrotare i voti coseguiti agli esami di maturità dagli alui di due licei. I statistica si distiguoo due tipi di medie: Medie di calcolo (o ferme); soo quelle che si calcolao teedo coto di tutti i valori della distribuzioe. Fao parte di queste medie: la media aritmetica, la media geometrica, la media quadratica e la media armoica Medie di posizioe (o lasche); soo quelle che si calcolao teedo coto solo di alcui valori. Fao parte di queste medie: la mediaa e la moda o valore ormale Media aritmetica La media aritmetica è il valore che più comuemete viee associato a ua serie di dati quatitativi tato che quado si parla geericamete di media si fa riferimeto alla media aritmetica. Si defiisce media aritmetica semplice di più umeri quel valore M (idicato ache co x ) che, sostituito ai dati, lascia ivariata la loro somma: x 1 + x x = M + M + + M = M M = x = x 1 + x x Se i valori x 1 + x x compaioo co frequeze rispettivamete f 1 + f f (dette ache pesi) tali che f 1 + f f = allora: M = x = x 1 f 1 + x 2 f x f f 1 + f 2 + f Che prede il ome di media aritmetica poderata. Se i dati soo distribuiti i classi di uguale ampiezza ci si ricoduce al caso discreto sostituedo alla classe il suo valore cetrale, otteuto come media aritmetica degli estremi. Esempio Numero dipedeti Frequeza Puto cetrale della classe , ,5 La media dei dipedeti è: M = , ,5 150 = 11,96 Osservazioe La media ha sigificato se i valori soo diffusi i modo bilaciato. No è u buo idice se ei dati soo preseti valori estremi aormali. Se ella serie di dati compaioo valori estremi molto distati dagli altri si usao come medie la mediaa o la moda.

9 Proprietà fodametali della media aritmetica 1. La somma degli scarti è ulla, itededo per scarti la differeza tra i sigoli valori e la media (x 1 M) + (x 2 M) + + (x M) = 0 2. La media è il valore che rede miima la somma dei quadrati degli scarti cioè qualuque sia il umero c si ha: (x 1 M) 2 + (x 2 M) (x M) 2 (x 1 c) 2 + (x 2 c) (x c) 2 3. La media aritmetica M è sempre u umero compreso tra il miimo e il massimo degli valori mi+mi+ +mi x 1 + x x Max+Max+ +Max mi x 1 + x x Max Dividedo per si ottiee: mi M Max 4. Se tutti i termii di ua serie subiscoo u icremeto (o decremeto) uguale a b ache la media aritmetica subisce lo stesso icremeto (o decremeto) b. Se tutti i termii della serie vegoo moltiplicati (o divisi) per lo stesso umero a ache la loro media aritmetica risulta moltiplicata (o divisa) per a. Pertato se M è la media degli valori x 1 + x x la media dei valori (ax 1 + b) + (ax 2 + b) + + (ax + b) ha media am+b. Media geometrica Se i valori soo tutti positivi o ulli si può calcolare la media geometrica che viee utilizzata tutte le volte che deve rimaere ivariato il prodotto dei valori. Si defiisce media geometrica semplice dei umeri positivi x 1, x 2,, x Il umero positivo G che sostituito ai valori xi lascia ivariato il loro prodotto: x 1 x 2 x = G G. G = G Da cui si ricava: G = x 1 x 2 x Nel caso i cui i valori xi hao frequeze fi si parla media geometrica poderata e si ha: G = (x 1 ) f 1 (x2 ) f 2 (x ) f co = f 1 + f f

10 Proprietà della media geometrica 1. Il logaritmo della media geometrica di umeri positivi x1, x2,, x coicide co la media aritmetica degli logaritmi logx1, logx2,, logx : logg = log(x 1 x 2 x ) 1 = logx 1 + logx logx 2. Moltiplicado (o dividedo) tutti i valori xi per ua stessa quatità k>0 la media geometrica risulta moltiplicata (o divisa) per tale quatità: kx 1 kx 2 kx = k x 1 x 2 x = k x 1 x 2 x = kg 3. Il reciproco della media geometrica è uguale alla media geometrica del reciproco dei valori xi: G = x 1 x 2 x = 1 x 1 x 2 x Si utilizza la media geometrica quado ha seso moltiplicare fra loro i dati statistici. Si calcola la media geometrica per determiare, ad esempio, il tasso di icremeto medio (o di decremeto) dei prezzi o il tasso di accrescimeto di ua popolazioe. Esempio U capitale C0 ivestito i borsa, il primo ao aumeta del 25% metre il secodo ao dimiuisce del 10%. Qual è il motate alla fie dei due ai? Qual è il fattore di capitalizzazioe medio? Alla fie del primo ao il capitale risulta uguale a: C 1 = C 0 (1 + 0,25) co fattore di capitalizzazioe x1 = 1,25. Alla fie del secodo ao il capitale risulta uguale a: C 2 = C 0 (1 + 0,25)(1 0,10) co fattore di capitalizzazioe x2 = 0,90. Il fattore di capitalizzazioe medio xg è la media geometrica dei due fattori di capitalizzazioe auali: x G = x 1 x 2 = 1,25 0,90 = 1,06 Media quadratica Si defiisce media quadratica semplice degli umeri positivi x1, x2,, x il umero positivo Q: = 1 G Q = x x x 2 Nel caso i cui i valori xi hao frequeze fi si parla media quadratica poderata e si ha: Q = f 1 x f 2 x f x 2 f 1 + f f La media quadratica viee utilizzata tutte le volte che deve rimaere ivariata la somma dei quadrati dei valori.

11 Esempio U proprietario terriero vede 3 terrei quadrati di lati rispettivamete uguali a l1=240 m, l2=340 m, e l3=460 m e vuole comperare 3 terrei quadrati uguali co la stessa superficie totale. Quato deve misurare il lato l dei 3 terrei da comprare? Deve risultare: 3l 2 = l l l 3 2 ; l = l l l = = 358,14 m Media armoica Si defiisce media armoica semplice degli umeri positivi x1, x2,, x il umero positivo A: A = 1 x x x La media armoica è quel valore che sostituito ai dati rede ivariata la somma dei reciproci. Ifatti: 1 x x x = 1 A + 1 A A = 1 A da cui si ricava la formula della media armoica. Nel caso i cui i valori xi hao frequeze fi si parla media armoica poderata e si ha: A = f 1 + f f f 1 x + f 2 1 x + + f 2 x La media armoica si applica tutte le volte che ha seso calcolare il reciproco dei dati; ad esempio per determiare il potere d acquisto medio di ua moeta o per cooscere la velocità media. Esempio Ua merce è stata veduta el corso di 5 periodi successivi ai segueti prezzi (i euro): Calcolare il potere di acquisto medio (riferito ad u importo di 1000 ). (Ricordiamo che si defiisce potere d acquisto la quatità di merce che si può acquistare co ua data uità di moeta) I poteri d acquisto risultao: ,571; = 3,125; = 2,857; = 2,778; = 2,5 Ed esprimoo quate uità, o frazioi di uità, di quella merce si sarebbero potute acquistare co Il valore medio di uità, o frazioi di uità, che si sarebbero potute acquistare co 1000 è dato dalla loro media aritmetica:

12 M = = 2,966 5 Lo stesso valore si sarebbe otteuto calcolado prima la media armoica dei prezzi: 5 A = = 337, che rappreseta il prezzo medio di acquisto. Dividedo 1000 per 337,139 si ottiee 2,966. Esempio U puto materiale si muove su ua retta percorredo il primo metro a velocità v1, e u secodo metro alla velocità v2. Calcolare la velocità media. La velocità media è la media armoica delle due velocità: Osservazioe v m = 2 2 = t 1 + t 2 1 v v 2 Fra le medie di calcolo esamiate sussiste la seguete relazioe che tralasciamo di dimostrare: A G M Q Il sego di uguale vale el caso i cui tutti i valori siao uguali tra loro. Moda Si chiama moda degli elemeti x1, x2,, x l elemeto (o gli elemeti) che ha la frequeza più alta. Se i dati soo raggruppati i classi e l ampiezza della classe è costate, la classe modale è quella a cui corrispode la frequeza maggiore. Se le classi hao ampiezza diversa, si divide ogi frequeza per l ampiezza della rispettiva classe e la classe modale è quella alla quale corrispode il rapporto maggiore. Il valore modale è, fra tutti i valoro medi, il più sigificativo i quato è u dato che esprime il valore di ua cocreta osservazioe sul feomeo, metre le medie di calcolo possoo o meo coicidere co u valore della distribuzioe. Cosiderado, ad esempio, le retribuzioi di u isieme di lavoratori, il valore modale è sez altro il più sigificativo, i quato corrispode alla retribuzioe più frequete e o è ifluezato dalle retribuzioi o molto basse o molto alte.

13 Esempio Rilevazioe delle abitazioi occupate i Italia secodo il umero di staze el 1981 N. staze N. abitazioi e più Il valore modale della distribuzioe è 4 staze perché a questo corrispode la massima frequeza. Esempio Ripartizioe delle autovetture prodotte i Italia ell ao 1981 secodo la cilidrata Cilidrate (i cm 3 ) N. autovetture Oltre Totale Poiché le classi hao uguale ampiezza la classe è la classe modale. Esempio Distribuzioe dei Comui dell Italia per classi di superficie al Classi di superficie (i migliaia di ha) N. Comui Fio a Oltre Totale Poiché le classi hao ampiezza diversa, per determiare il valore modale della distribuzioe bisoga dividere le frequeze per l ampiezza della classe relativa. La classe modale è la classe perché ad essa corrispode il massimo valore dei rapporti.

14 Mediaa Si chiama mediaa degli elemeti x1, x2,, x ordiati i seso o decrescete il valore Me che bipartisce la successioe, ossia il valore o iferiore alla metà dei valori e o superiore all altra metà Ua volta ordiati i valori, se il umero dei termii è dispari, la mediaa è il valore cetrale; se è pari, si assume come mediaa la semisomma dei due valori cetrali. Il procedimeto precedete si applica alle serie. Esempio Nelle ove prove di Italiao uo studete ha otteuto i segueti risultati: 3, 4,4,4,5,6,6,7,10 Moda: 4; Mediaa: 5 Per le distribuzioi di frequeza co valori discreti, occorre, per prima, calcolare le frequeze assolute cumulate. Il valore della mediaa sarà pari alla metà della somma delle frequeze se questa è pari e alla metà della somma della frequeze più uo se questa è dispari. Esempio N. staze N. abitazioi Frequeze assolute cumulate e più Per determiare il temie cetrale dividiamo per 2 il umero totale delle abitazioe: : 2 = La mediaa è il valore del umero di staze che corrispode al umero Tale termie si trova ella riga corrispodete a 4. Il umero mediao di staze delle abitazioi italiae è perciò 4. La variabilità della statistica: gli idici di dispersioe Nello studio dei dati statistici o è sufficiete determiare il valore medio ma è ecessario determiare ache altri idici i grado di forire iformazioi sulla variabilità dei dati, detta ache dispersioe cioè sulla distaza delle varie osservazioi dal valore medio che rappreseta il cetro della distribuzioe. Valore medio X1 X2 X3 Xi X-1 X Tato miore è la distaza (o dispersioe) delle osservazioi dal cetro tato maggiore sarà la rappresetatività e l affidabilità.

15 Gli idici di variabilità hao due proprietà fodametali: 1. Valgoo zero se i dati statistici soo tutti uguali 2. Soo positivi se i dati statistici soo diversi e soo tato più gradi quato più gli elemeti soo dispersi Vi soo quattro modi per descrivere la variabilità di ua serie di dati statistici: Il campo di variazioe Lo scarto semplice medio Lo scarto quadratico medio Lo scarto iterquartile Campo di variazioe Si defiisce campo di variazioe di elemeti x1, x2,, x la differeza tra il massimo e il miimo dei valori rilevati. Il campo di variazioe è u idice molto semplice da calcolare ma di scarsa utilità perché tiee coto solo dei valori estremi e o degli altri. Esempio {35,11,35,37,34,34,36} mi = 11; Max = 37; campo di variazioe d = 37-11=26 Scarto semplice medio Si defiisce scarto semplice medio di elemeti x1, x2,, x la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dei valori dalla media aritmetica: Scarto quadratico medio S = x 1 M + x 2 M + + x M Si defiisce scarto quadratico medio o deviazioe stadard di elemeti x1, x2,, x la media quadratica, semplice o poderata, degli scarti dei valori dalla media aritmetica: σ = (x 1 M) 2 + (x 2 M) (x M) 2 Lo scarto quadratico medio è tato più piccolo quato più i dati soo vicii al valore medio ed è uguale a zero se e solo se i dati soo tutti uguali.

16 Il quadrato dello scarto quadratico medio è detto variaza ed è idicato co σ 2 : σ 2 = (x 1 M) 2 + (x 2 M) (x M) 2 La variaza è uguale alla differeza dei fra la media degli xi 2 e il quadrati della media degli xi : Esempio σ 2 = i= i=1 (x i M) 2 = i= i=1 (x i 2 2Mx i + M 2 ) = i= i=1 x i 2 = i= i=1 x i 2 2M 2 + M 2 = M x 2 M 2 2M i= i=1 x i + M 2 Cosideriamo la seguete tabella corrispodete a 75 laci di ua coppia di dadi e alla somma dei valori otteuti da 2 a 12 co le relative frequeze: Somme xi Frequeze fi Determiiamo la media, la variaza e lo scarto quadratico medio. xi fi (xi) 2 xifi (xi) 2 fi xi-m (xi-m) 2 xi- M fi (xi-m) 2 fi , , ,96 64, , , ,27 66, ,6533 7, ,23 56, ,6533 2, ,53 27, ,6533 0,4268 7,19 4, ,3467 0,1202 3,81 1, ,3467 1, ,12 16, ,3467 5, ,08 33, , , ,43 78, , , ,04 56, , , ,69 57, , , ,35 462,99 M = 6,6533 M 2 = 44,26684 Mx 2 = 50,44 σ 2 = 50,44-44,26 = 6,17 σ=2,48

17 Idici di dispersioe relativi Ua differeza di 20 mila euro el reddito auo è cosistete se stiamo cofrotado il reddito di 40 mila euro e l altro co u reddito di 60 mila euro. La stessa differeza è trascurabile se stiao cofrotado due redditi milioari, ad esempio di euro co euro. Si itroducoo, per questo motivo, idici di dispersioe relativi che hao la caratteristica di essere dei umeri puri, idipedeti perciò dall uità di misura prescelta, e cosetoo di cofrotare più distribuzioi che siao espresse co uità di misura diverse. Tali idici si calcolao facedo il rapporto tra gli idici di variabilità e la media del feomeo. Il più usato è il coefficiete di variazioe: C v = σ M Esempio I ua scuola è stata codotta u ichiesta sulle altezze degli studeti all iizio del primo ao e soo stati messi a cofroto i dati raccolti egli ai 1990 e 2010, calcolado la media aritmetica e lo scarto quadratico medio. Ao M (i cm) σ (i cm) , ,01 Il coefficiete di variazioe è: Per il 1990 C v = 6,14 0,038 = 3,8% 161 Per il 2010 C v = 7,01 0,043 = 4,3% 163 Si coclude che le altezze registrate, rispetto alla media dell ao, avevao el 1990 ua variabilità del 3,8% miore di quelle registrate el 2010 pari a 4,3%. Numeri idici Cosideriamo, per esempio, la seguete tabella che rappreseta l ammotare della popolazioe residete i Italia a partire dal 1901 al Ao Resideti (i migliaia Vogliamo cofrotare le variazioi della popolazioe rispetto ad u ao particolare detto ao base, per esempio il Per fare questo si costruisce la tabella dei rapporti otteuti tra il dato relativo all ao e il dato relativo all ao base. Tale valore moltiplicado per 100, è detto umero idice semplice.

18 Ad esempio il umero idice: Relativo all ao 1901 è: = 89 Relativo all ao è: = Proseguedo co tutti gli altri valori si ottiee la seguete tabella dei umeri idici Ao Resideti (i migliaia Dalla tabella si desume che el 1981 la popolazioe è aumetata del 49% rispetto al 1921, metre el 1901 era iferiore dell 11%. I umeri idici fissi possoo essere a base fissa, cioè se i rapporti vegoo tutti calcolati rispetto ad uo stesso dato (ell esempio precedete la base fissa è l ao 1921) o a base variabile el caso i cui le variazioi si studio rispetto alla situazioe immediatamete precedete o successiva. Nell esempio precedete la popolazioe del 1911 si poteva rapportare a quella del 1901, quella del 1921 a quella del 1911, quella del 1931 a quella del 1921 e così via. Relazioi statistiche. Regressioe e correlazioe Lo studio della ricerca di relazioi tra variabili e mutabili statistiche è di otevole iteresse perché permette di idividuare legami tra feomei diversi. Tale studio è detto studio della coessioe. I metodi per ricercare la coessioe tra due variabili statistiche, oppure tra ua variabile e ua mutabile, oppure fra due mutabili soo diversi. I statistica è più importate lo studio della coessioe tra due variabili che si può effettuare o ricercado se ua variabile è dipedete da u altra (ad esempio l allugameto di ua barra i fuzioe della temperatura dove X rappreseta la temperatura e Y la lughezza della barra), oppure se due variabili si ifluezao reciprocamete come, ad esempio l altezza e il peso. La fuzioe che esprime il legame di dipedeza di ua variabile dall altra è detta fuzioe di regressioe, molto utile per valutare, ei limiti dell itervallo dei dati rilevati, il valore della variabile dipedete al variare della variabile idipedete. Ad esempio, se di u bee, o di prima ecessità, si rilevao le quatità domadate al variare del prezzo, è possibile determiare, mediate il metodo dei miimi quadrati, la fuzioe che esprime il legame tra il prezzo e la quatità domadata dai cosumatori, cosetedo al produttore di sapere per u determiato prezzo la quatità domadata. La fuzioe più utilizzata è la fuzioe lieare. Si parla, i questo caso di regressioe lieare.

19 Se fra due variabili o esiste u legame di dipedeza, esse si potrebbero ifluezare reciprocamete, o essere idipedeti, o essere etrambe dipedeti da ua terza gradezza. Si esamia allora la correlazioe tra le due variabili, che esprime l itesità del loro legame. La correlazioe si misura mediate idici il più importate dei quali è il coefficiete di correlazioe lieare. Regressioe lieare Date due variabili statistiche X e Y e i relativi valori associati (xi,yi) lo studio della regressioe cosiste ella determiazioe di ua fuzioe matematica che esprima la relazioe fra le variabili aalizzado, dapprima, il diagramma a dispersioe rappresetate le coppie di valori rilevati. La relazioe tra le due variabili statistiche, se esiste, può essere lieare (i puti si distribuiscoo lugo ua retta come ella prima figura); o lieare (secoda figura) o può o esistere alcua relazioe se i puti soo molto dispersi. Y Y Y X X X Nel caso i cui la relazioe tra le due variabili statistiche X e Y è di tipo lieare bisoga determiare la retta y = mx + q, detta retta di regressioe, che meglio approssima la uvola di puti. La determiazioe di questa retta può essere ua scelta ituitiva, fatta a colpo d occhio oppure ua scelta aalitica che cosiste el determiare l equazioe della retta i modo che i puti (xi,yi) distio il meo possibile.

20 Assegati gli puti (x1, y1), (x2, y2). (x, y) sia G(Mx ;My) il loro baricetro co M x = x i M y = y i Le rette per G hao equazioe: y = M y + m(x M x ) La retta di regressioe relativa ai puti (x1, y1), (x2, y2). (x, y) è quella che rede miima la somma delle differeze tra i valori teorici e quelli rilevati: i= i= S(m) = (y i M y m(x i M x )) 2 i=1 i= S(m) = (y i M y ) 2 2m (y i M y )(x i M x ) + m 2 (x i M x ) 2 i=1 i=1 i= i=1 Posto: i= a = (x i M x ) 2 i=1 i= b = 2 (x i M x )(y i M y ) i=1 Otteiamo: i= c = (y i M y ) 2 i=1 S(m) = am 2 + bm + c La rappresetazioe grafica è quella di ua parabola co la cocavità rivolta verso l alto, i quato a>0, che assume miimo el vertice: i= i=1 m = b 2a = (x i M x )(y i M y ) i= (x i M x ) 2 Se dividiamo umeratore e deomiatore per si ottiee al umeratore la media del prodotto degli scarti detta covariaza, idicata co cov(x;y) e al deomiatore la variaza σ 2 x della variabile x. Per cui cov(x; Y) m = σ2 x La retta di regressioe lieare passate per il baricetro e che rede miima la somma dei quadrati degli scarti ha equazioe: cov(x; Y) y = M y + (x M σ2 x ) x i=1

21 Esempio La seguete tabella riporta le misure di ua lastra metallica a sei temperature diverse; Determiare la legge di dilatazioe termica. X = Gradi C Y = Cetimetri , , , , i Xi Yi Xi-Mx Yi-My (Xi-Mx)(Yi- My) (Xi-Mx) ,4 20, , ,3 9, , ,1 1, ,4 10 0,0-0, ,7 30 0,3 8, ,6 29, ,5 69, Mx 50 My 30,4 m 0,00986 La retta cercata ha equazioe: y = 30,4 + 0,0098(x -50) Il valore 0,0098 è detto coefficiete di dilatazioe lieare Nel caso i cui la variabile statistica X dipede dalla variabile statistica Y la retta di regressioe ha equazioe: cov(x; Y) x = M x + (y M σ2 y ) y

22 Riprededo l esercizio precedete i Xi Yi Xi-Mx Yi-My (Xi-Mx)(Yi-My) (Yi-My) ,4 20,833 0, , ,3 9,5 0, , ,1 1,1667 0, ,4 10 0,0-0,1667 0, ,7 30 0,3 8,5 0, ,6 29,167 0, ,5 69,000 0, Mx 50 My 30,4 m 97,4 Si ottiee la retta: x = , 4(y 30, 4) Osservazioe Nel caso i cui tutti i puti fossero perfettamete allieati le due rette coiciderebbero passado esattamete per gli puti. Idicado co mx e my i rispettivi coefficieti agolari si ha: mx = 1 my ; mx my = 1; cov(x; Y) σ x 2 cov(x; Y) σ y 2 = [cov(x; Y)]2 σ x 2 σ y 2 = r 2 = 1 I geerale i puti o soo allieati e il valore ρ 2 è diverso da uo. Più tale valore si avvicia a 1 tato più i puti soo allieati, metre più è prossimo allo zero tato meo soo allieati Il valore: r = cov(x; Y) σ x σ y È detto coefficiete di correlazioe lieare ed esprime co u umero come le due variabili variao cogiutamete. Se r>0, la correlazioe è diretta, o positiva Se r<0, la correlazioe è iversa, o egativa Se r=1, la correlazioe è perfetta diretta Se r=-1, la correlazioe è perfetta iversa Se r=0, o esiste correlazioe lieare (potrebbe, però esistere ua correlazioe curviliea)

23 Relazioi tra le compoeti di ua variabile statistica doppia Passiamo ora a cosiderare il caso i cui i dati rilevati delle due variabili X e Y soo espressi mediate ua tabella a doppia etrata. Per esempio, il voto i storia e matematica, riportato ello scrutiio fiale, da 20 studeti si rappreseta co la seguete tabella a doppia etrata: Voto i Storia Voto i Matematica Totale Totale I totali per riga rappresetao le frequeze margiali dei voti di Storia, metre quelli per coloa rappresetao le frequeze margiali dei voti di Matematica Prededo, dalla precedete tabella, la prima e l ultima coloa, si ottiee la distribuzioe margiale secodo i voti i Storia della distribuzioe doppia:

24 Voto i Storia Totale 20 Prededo, dalla precedete tabella, la prima e l ultima riga, si ottiee la distribuzioe margiale secodo i voti i Matematica della distribuzioe doppia: Voto i Matematica Totale 20 Come per le tabelle a semplice etrata lo studio della regressioe e della correlazioe si può estedere alle tabelle a doppia etrata. Si sceglie come variabile idipedete quella che si pesa sia atecedete all altra. Nel caso i cui sia ua che l altra variabile può essere scelta come atecedete si possoo studiao tutti e due i casi. Idipedeza statistica Itroduciamo il cocetto di idipedeza di ua variabile da u altra. Diremo che: La variabile statistica X è idipedete dalla variabile statistica Y, se, per ogi valore xi le frequeze relative ik (k=1 s) o dipedoo dai valori y1, ys, ma soo tutte uguali tra loro ed uguali ed C k uguali alla frequeza relativa co la quale la xi si preseta ell uiverso delle N uità. I formule: ik C k = R i N ik = R i C k N

25 Aalogamete si trova la stessa codizioe per esprimere l idipedeza della variabile statistica Y dalla variabile statistica X. Variabile X Variabile Y y1 y2 ys Totali x s R1 x s R2 xr r1 r2 rs Rr Totali C1 C2 Cs N Esempio Assegate le segueti tabelle stabilire se le variabili statistiche X e Y soo o meo idipedeti. Tabella A Variabile X Variabile Y Tabella B Variabile X Variabile Y Dalla tabella A si deduce che le due variabili soo idipedeti fra loro; ifatti, fissato x=1 soo uguali tutti i rapporti tra i valori della prima riga e i corrispodeti dell ultima: 2 8 = 6 24 = 4 16 = = Si può verificare che ache i rapporti relativi agli altri due valori di x soo costati. Lo stesso avviee se si fissa u valore di y. Ad esempio fissato y = 4, si ricavao i rapporti: = 5 11 = = 40 8 Aalogamete per gli altri valori di y. Ivece dei rapporti avremmo potuto verificare l idipedeza applicado la formula: ik = R i C k N I dati della tabella B idicao che le variabili soo dipedeti poiché i rapporti, sia sulle righe che sulle coloe, soo diversi. Se c è idipedeza o occorre ulteriore studio altrimeti si procede co lo studio della dipedeza o lo studio della iterdipedeza.

26 Dipedeza i media Nello studio della dipedeza ha otevole importaza lo studio della dipedeza i media di ua variabile dall altra. Suppoiamo di avere due variabili statistiche X (variabile idipedete) e Y (variabile dipedete) date mediate ua tabella a doppia etrata. Facciamo corrispodere ad ogi valore xi di X il valore y i che è la media poderata dei valori della Y quado come pesi si predao i valori ik della riga i-esima, cioè: = k=s k=1 y k ik y i Nel caso i cui scegliamo Y come variabile idipedete e X come dipedete assoceremo ad ogi yk il valore medio poderato x k : x k R i = i=r i=1 x i ik Partedo dalla tabella a doppia etrata costruiamo due tabelle a semplice etrata elle quali compare ache la frequeza: C k xi y i Frequeza x1 y 1 R1 x2 y 2 R xr y r Rr x k x 1 y1 C1 x 2 y2 C2 yk Frequeza x s ys Cs Possiamo ora calcolare la retta di regressioe della Y rispetto alla X: y y = m 1 (x x ) dove m1 è il coefficiete di regressioe di Y su X ed è dato dalla seguete formula: i=r k=s m 1 = i=1 k=1 (x i x )(y k y ) ik i=r(x i x ) 2 R i Aalogamete si calcola la retta di regressioe della X rispetto alla Y: x x = m 2 (y y ) dove m2 è il coefficiete di regressioe di Y su X ed è dato dalla seguete formula: i=r k=s i=1 m 2 = i=1 k=1 (x i x )(y k y ) ik k=s(y k y ) 2 C k k=1

27 Esempio Determiare le rette di regressioe e il coefficiete di correlazioe lieare della distribuzioe dei voti di italiao e di matematica riportati ella tabella seguete: X=voto di italiao Y=voto di matematica Variabile Y Totale Totale Variabile X Calcoliamo i valori medi x e y delle due variabili X e Y prededo come pesi i valori delle frequeze totali: x = y = = 6, = 6 Determiiamo per ogi valore xi il valore medio poderato y i : y 1 = = 4,67 6 y 2 = = 5,31 16 Determiiamo per ogi yk il valore medio poderato x k : x 1 = = 5 3 x 2 = = 5,13 8

28 Possiamo costruire le tabelle: x i y i 4 4,67 5 5,31 6 5,81 7 6,85 8 7,1 x k y i 5 3 5,13 4 5,69 5 5,98 6 6,72 7 7,25 8 Riportado su u sistema di assi cartesiai le coppie di valori e cogiugedo i puti successivi si tracciao le due liee di regressioe. Per calcolare i coefficieti di regressioe e di correlazioe, riscriviamo la tabella iiziale scrivedo al posto di x e di y gli scarti dal valore medio, cioè: x = x i x ; y = y k y Variabile Y Totale , , , , , Totale Variabile X Calcoliamo, ora, m1 e m2 applicado le formule precedeti: m 1 = ( 2.12) ( 3) 1 + ( 2,12) ( 2) , ( 2,12) ( 1,12) ( 0,12) , , m 2 = m 1 = 66 98,56 = 3 4,48 = ( 3) ( 2) ( 1) = = 1 2 Le rette di regressioe hao, quidi equazioi: y 6 = 75 (x 6,12) 112 x 6,12 = 1 (y 6) 2

29 Il coefficiete di correlazioe lieare è dato dalla media geometrica di m1 em2: r = m 1 m 2 = = 0,5786 Si deduce che c è ua modesta correlazioe tra il voto di italiao ed il voto di matematica. Relazioi tra due mutabili Per lo studio della coessioe tra due mutabili cosideriamo le due tabelle: la tabella delle frequeze effettive: Mutabile X Mutabile Y y1 y2 ys Totali x s R1 x s R2 xr r1 r2 rs Rr Totali C1 C2 Cs N E la tabella delle frequeze teoriche, ossia delle frequeze che si dovrebbero avere se i due caratteri fossero idipedeti, espresse dalla relazioe: ik = R i C k N Nella costruzioe di tale tabella occorre arrotodare all uità i valori, i modo che rimagao costati i totali parziali delle righe e delle coloe. Per valutare la coessioe tra due mutabili si soo costruiti diversi idici. Noi cosidereremo solo l idice quadratico medio di cotigeza: dove: χ2 I c = χ 2 + N k=s i=r χ 2 = ( ik ik ) 2 ik k=1 i=1 Tale idice sarà: Compreso tra zero e uo Uguale a zero se o c è coessioe; i tale caso le mutabili soo idipedeti Tedoo a uo, i caso di perfetta dipedeza

30 Gli idici foriscoo idicazioi di massima e soo meo sigificativi e precisi del coefficiete di correlazioe lieare. Esempio Da u idagie statistica svolta su 200 lavoratrici di u idustria per cooscere le prefereze riguardo all orario di lavoro i relazioe allo stato civile si soo avuti i segueti risultati, dove X = tipo di orario Y = stato civile: Y Totali Nubili Coiugate Vedove Diviso Cotiuato co iterruzioe Cotiuato seza iterruzioe Totali X Calcoliamo la tabella delle frequeze teoriche: Y Totali Nubili Coiugate Vedove Diviso Cotiuato co iterruzioe Cotiuato seza iterruzioe Totali X Calcoliamo il valore di χ 2 : χ 2 = = 10,0342 L idice quadratico medio di cotigeza risulta: I c = 10, , = 0,218 Dall idice si può dedurre che la scelta del tipo di orario dipede poco dallo stato civile delle lavoratrici

31 Relazioi tra ua mutabile e ua variabile Cosideriamo la tabella delle frequeze ricavata da ua rilevazioe statistica tra u carattere qualitativo e uo quatitativo. Mutabile X Variabile Y y1 y2 ys Totali x s R1 x s R2 xr r1 r2 rs Rr Totali C1 C2 Cs N Ua misura della coessioe tra ua mutabile e ua variabile è data dall idice di coessioe η di Pearso. Per determiarlo per ogi modalità della mutabile X si calcolao: le medie poderate della variabile Y, dette ache medie di sottogruppo: e la media geerale: y i = y = k=s k=1 R i k=s k=1 y k ik y kc k N Se o esiste relazioe fra i due caratteri, le medie di sottogruppo sarebbero tutte uguali alla media geerale. Tato più le medie di sottogruppo differiscoo dalla media geerale, tato maggiore è la coessioe tra la mutabile e la variabile. Si defiisce idice di coessioe η di Pearso il rapporto tra lo scarto quadratico medio delle medie di sottogruppo e lo scarto quadratico medio della variabile Y: η = i=r i=1 k=s k=1 L idice: Varia tra 0 e 1 Vale zero quado o esiste coessioe Vale 1 i caso di massima coessioe (y i y ) 2 R i (y k y ) 2 C k Esempio Calcoliamo l idice di coessioe tra il titolo di studio e il reddito su ua rilevazioe codotta su 1000 persoe dove: X = titolo di studio Y = reddito (i migliaia)

32 Y Totali Aalfabeti Liceza elemetare X Liceza media Diploma media superiore Laurea Totali Riscriviamo la tabella precedete associado ad ogi itervallo relativo alla variabile Y il valore medio calcolato sugli estremi dell itervallo: Y ,5 17,5 Totali Aalfabeti Liceza elemetare X Liceza media Diploma media superiore Laurea Totali Calcoliamo le medie di sottogruppo: y 2 = y 1 = = 5, , Cotiuado ello stesso modo si ottegoo le altre medie: La media geerale vale: y = y 3 = 8,318; y 4 = 9,9; y 5 = 14,708 = 7, , , = 9,144

33 Calcoliamo l idice: η = (5,9 9,144) (7,7 9,144) (14,708 9,144) (4 9,144) (7 9,144) (17,5 9,144) 2 90 η = 5.051, ,264 = 0,69728 Esiste ua buoa coessioe tra titolo di studio e reddito.

34 DISTRIBUZIONE NORMALE o DISTRIBUZIONE DI GAUSS E la più importate distribuzioe cotiua ed è detta ormale perché trova umerose applicazioi ello studio dei feomei fisici, biologici, ecoomici ecc. Ha la seguete espressioe aalitica: f(x) = 1 σ 2π e 1 2 (X μ σ )2 Fu proposta da Gauss (1809) ell'ambito della teoria degli errori, ed è detta ache curva degli errori accidetali i quato, soprattutto elle disciplie fisiche, la distribuzioe degli errori commessi el misurare ripetutamete la stessa gradezza, è molto bee approssimata da questa curva. CARATTERISTICHE DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE 1. E simmetrica rispetto al valore medio 2. La media aritmetica μ coicide ache co la moda e la mediaa 3. è asitotica all'asse delle X da etrambi i lati 4. è crescete per X<μ e decrescete per X>μ 5. possiede due puti di flesso per X = μ±σ 6. l area sotto la curva è uguale a 1 (essedo la probabilità che si verifichi u qualsiasi valore di X)

35 La fuzioe dipede dai parametri μ e σ 2, al variare dei quali la curva cambia forma e posizioe e precisamete: Per uo stesso σ, al variare di μ, si ottegoo curve di uguale forma traslate lugo l asse delle X Per uo stesso valore medio μ, al variare di σ, la curva può risultare più o meo appiattita o allugata

36 DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA Ua distribuzioe Normale che ha media 1 e deviazioe stadard 0 è chiamata distribuzioe ormale stadardizzata. La sua espressioe aalitica è: f(x) = 1 σ 2π e avedo idicato co Z la variabile ormale stadardizzata. 1 2 Z2 La fuzioe ormale stadardizzata ha tutte le caratteristiche della ormale i più è pari [f(z)=f(-z)] perché il grafico è simmetrico rispetto all asse delle y. La probabilità che la variabile ormale X assuma valore compreso fra due ascisse è data dall area sottesa Essedo la curva simmetrica rispetto all asse Y si ha: P( a < Z < 0) = P(0 < Z < a) Ioltre essedo P( < Z < + ) = 1 si ricava che: P( < Z a) = P(a Z < + ) = 1 P(0 < Z < a) 2

37 INTERVALLI NOTI DI PROBABILITÀ Vediamo ora il calcolo di alcue aree di probabilità usate frequetemete Per la distribuzioe ormale stadardizzata (μ=0, σ=1) gli itervalli soo: (-1 ; 1), (-2 ; 2), (-3 ; 3) P( 1 < Z < 1) = 0,6826 P( 2 < Z < 2) = 0,9544 P( 3 < Z < 3) = 0,9973 Questo vuol dire che: il 68,27% dei valori della distribuzioe è compreso tra -1 e 1; il 95,45% tra -2 e 2 e il 99,73% tra -3 e 3.

38 Per la distribuzioe ormale stadardizzata i valori delle aree di probabilità soo stati riportati i ua tabella: Per calcolare le aree di probabilità di ua fuzioe ormale geerale N (μ,σ 2 ), si trasforma la variabile ormale i variabile ormale stadardizzata mediate la trasformazioe: X μ σ Si calcolao i valori z1 z2 degli estremi dell itervallo e si ha: e co le tavole si ottiee la probabilità richiesta. P(x 1 < X < x 2 ) = P(z 1 < Z < z 2 )

39 Esempio 1 Data la variabile ormale N (50, 8 2 ), qual è la probabilità che la variabile sia compresa tra 30 e 60? Trasformiamo i variabile stadardizzata: X 50 8 x 1 = 30; z 1 = 2,5 Per cui: x 2 = 60; z 2 = 1,25 Esempio 2 P(30 < X < 60) = P( 2,5 < Z < 1,25) = P( 2,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,25) = = P(0 < Z < 2,5) + P(0 < Z < 1,25 =)0, ,3944 = 0,8882 L altezza media di u gruppo di persoe, co distribuzioe ormale, è di 170 cm co variaza Calcolare: a) La probabilità che l altezza sia compresa tra 155 cm e 180 cm; b) Quate persoe soo alte almeo 200 cm; c) Quate persoe soo alte o più di 160 cm. Trasformiamo i variabile stadardizzata: a) X x 1 = 155; z 1 = 1,5 x 2 = 180; z 2 = 1 P(155 < X < 180) = P( 1,5 < Z < 1) = 0,7745 b) x 3 = 200; z 3 = 3 P(X 200) = P(Z 3) = 0,5 0,4987 = 0,0013 Perciò ,0013=26 persoe alte almeo 200 cm.

40 c) x 4 = 160; z 4 = 1 P(X 160) = P(Z 1) = 0,5 P( 1 < Z < 0) = 0,1587 Perciò: ,1587=3174 persoe alte o più i 160 cm.

41 Quadro riassutivo delle medie Media aritmetica M = x = x 1 + x x Media aritmetica poderata M = x = x 1 f 1 + x 2 f x f f 1 + f 2 + f Media geometrica G = x 1 + x x Media geometrica poderata G = (x 1 ) f 1 (x2 ) f 2 (x ) f co = f 1 + f f Media quadratica Q = x x x 2 Media quadratica poderata Q = f 1 x f 2 x f x 2 f 1 + f f Media armoica A = 1 x x x Media armoica poderata A = f 1 + f f f 1 x + f 2 1 x + + f 2 x Moda L elemeto che ha la frequeza più alta Mediaa Il valore Me che bipartisce la successioe

42 Quadro riassutivo degli idici di dispersioe Campo di variazioe Differeza tra il massimo e il miimo dei valori rilevati. Scarto semplice medio S = x 1 M + x 2 M + + x M σ Scarto quadratico medio Variaza = (x 1 M) 2 + (x 2 M) (x M) 2 σ 2 = (x 1 M) 2 + (x 2 M) (x M) 2 Coefficiete di variazioe C v = σ M

43 Quadro riassutivo delle relazioi tra variabili e mutabili statistiche Relazioi fra due variabili Prima retta di regressioe: y = M y + m 1 (x M x ) Regressioe Secoda retta di regressioe: m 1 = i= i=1 (x i M x )(y i M y ) i= (x i M x ) 2 i=1 x = M x + m 2 (y M y ) m 2 = i= i=1 (x i M x )(y i M y ) i= (y i M y ) 2 i=1 Correlazioe Coefficiete di correlazioe lieare Coefficiete di correlazioe lieare: r = i= i=1(x i M x )(y i M y ) i= i=1(x i M x ) 2 i= i=1(y i M y ) 2 ; oppure r = ± m 1 m 2 Frequeza teorica: Relazioi tra due mutabili ik = R i C k N Idice quadratico di cotigeza Dove χ2 I c = χ 2 + N k=s i=r χ 2 = ( ik ik ) 2 ik k=1 i=1 Relazioi tra mutabile e variabile Idice di Pearso η = i=1 (y i y ) 2 R i k=s(y k y ) 2 C k i=r k=1

44 Bibliografia: Gambotto Mazoe: Matematica per ragioieri programmatori vol 3 Tramotaa Lamberti Mereu Nai: Lezioi di Matematica Vol. C