CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto

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1 CORSO DI LAUREA I ECOOMIA AZIEDALE Metod Statstc per le decso d mpresa (ote ddattche) Bruo Chadotto 4 STATISTICA DESCRITTIVA I questo captolo s rtrovao espost, ua prospettva emprca, molt de cocett trodott precedeza el cotesto teorco del calcolo delle probabltà Per esprmere gl stess cocett o sempre s utlzza la stessa termologa, ad esempo qu s parlerà d varable o dstrbuzoe statstca e o d varable casuale, s parlerà d frequeza relatva e o d probabltà, s parlerà d fuzoe d massa e d destà d frequeza, azché d fuzoe d massa e d destà d probabltà, d fuzoe d frequeze cumulate, azché d fuzoe delle probabltà cumulate, ecc Oltre alla rproposzoe u cotesto emprco degl dc stetc gà cosderat el cotesto teorco, verrao trodott ulteror dc estededo l aals alle mutabl statstche, coè, a feome collettv le cu mafestazo soo espresse co scale qualtatve I partcolare, verrao trodott dc d mutabltà, verrao cosderat aspett partcolar della varabltà e s procederà ad adeguat approfodmet rguardo al problema della msura dell assocazoe tra caratter el cotesto emprco l elemeto fodametale d rfermeto è l formazoe e la statstca può essere detfcata come dscpla che tratta d metod attraverso qual l formazoe stessa dovrebbe o potrebbe essere mpegata per otteere, fuzoe delle specfctà del problema aalzzato, ua rappresetazoe semplfcata della realtà facedo emergere le caratterstche che teressao dpedeza degl obettv che s tedoo persegure I tale ottca assumoo rlevaza ulteror elemet qual l esatta defzoe della qualtà e quattà d formazoe che s tede acqusre, la decsoe su temp e su mod d acquszoe e la valutazoe de cost coess Relatvamete all formazoe, s deve sottoleare che è opoe abbastaza dffusa quella d rteere carete l patrmoo formatvo dspoble, ma o è affatto frequete mbatters stuazo elle qual, pur preseza d u patrmoo formatvo rlevate, l utlzzatore potezale, o avedo char gl obettv che tede persegure, o resce a coglere la portata e l utltà del patrmoo stesso Accade ache che l utlzzatore (o ch per lu), pur avedo charamete defto gl

2 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa obettv, o sa grado, macado d strumetazoe metodologca adeguata, d trarre dal patrmoo formatvo dspoble la specfca formazoe d teresse La statstca, che s occupa della raccolta e del trattameto falzzato de dat, etra, a peo ttolo, og processo decsoale, falzzato al cosegumeto d uo specfco obettvo, che prevede l utlzzo d formazo U processo el quale: a) gl put (formazo d base) soo costtut da dat rfert ad ua specfca realtà, della quale rappresetao qualtatvamete e/o quattatvamete uo o pù aspett; b) la trasformazoe avvee attraverso l mpego d procedure e metod aaltc; c) gl output ( prodott o formazo statstche) soo dat umerc l cu sgfcato ed terpretazoe dpedoo dagl put utlzzat e dal meccasmo logco e metodologco d elaborazoe Da quato sopra detto, emergoo almeo tre sem d elemet caratterstc: u seme d dat che vegoo trodott qual put el processo d trasformazoe, u seme d procedure d elaborazoe e u seme d prodott costtuto da tutte le modaltà assumbl da rsultat coseguet l applcazoe delle procedure S suppoga ora che sa sempre possble assocare ad og prodotto la descrzoe delle cosegueze che scaturscoo dalla scelta, le qual assumerao ua fsooma partcolare a secoda dell oggetto del problema: se s tratta d operare ua compattazoe d dat osservat co l obettvo d mettere rsalto ua caratterstca specfca del feomeo, le cosegueze potrao essere descrtte dalla perdta (d formazoe) determata dal processo, oppure, se l problema è falzzato alla scelta d ua modaltà operatva, le cosegueze potrao essere detfcate perdte moetare o d altra atura ed essere, evetualmete, collegate ad error commess el processo d trasformazoe Rsulta, pertato, defto u quarto seme d elemet: l seme delle cosegueze Il crtero guda ell operare la trasformazoe de dat cosste, per quato possble, ell evtare cosegueze egatve e derva che l formazoe crca le cosegueze assume ua rlevaza esclusva ed u ruolo codzoate rspetto ad og altra tpologa (dspoble) per la quale s rederà, apputo, ecessaro u cofroto o, meglo, ua tegrazoe co dat d perdta gà deft

3 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa La tracca orgale vee, qud, specfcata e orgazzata secodo lo schema seguete: avedo defto l seme de rsultat possbl (le formazo statstche) e avedo dvduato le perdte corrspodet, l elaborazoe deve essere effettuata avedo come obettvo la mmzzazoe della perdta Cosderado che, co l mpostazoe sopra deleata, sulla base d ua fuzoe d perdta vee selezoato l elemeto ottmo (quello coè cu corrspode la perdta mma), rsulta aturale attrbure agl specfc elemet che costtuscoo l seme de prodott l dettà d decso, el seso che ess rappresetao le alteratve possbl del rsultato d u problema del quale è stato specfcato l obettvo S può, pertato, accatoare l espressoe processo d trasformazoe (compattazoe) delle formazo e fare rfermeto al problema decsoale quale schematzzazoe che prevede la lsta d tutt gl est possbl e la scelta d quello ottmo secodo l crtero d mmzzazoe della perdta Assumedo come struttura d base quella sopra trodotta è possble formulare, seza perdere geeraltà e seza codzoamet, og problema statstco term decsoal A proposto dell ultma affermazoe fatta, sorge ua problematca d estrema rlevaza rguardo a vatagg e alle dffcoltà, se o addrttura alla ragoevolezza, propr d ua mpostazoe quale è quella decsoale Alcu autor rtegoo l mpostazoe decsoale applcable a sol problem co faltà operatve, altr cosderao (come l autore d queste ote ddattche) la logca decsoale applcable, secodo modaltà partcolar, a tutte le problematche descrttve e/o ferezal ache quado queste soo caratterzzate da faltà esclusvamete coosctve, altr acora rtegoo la logca decsoale semplcstca ed oltremodo rduttva Gl elemet a sostego della mpostazoe decsoale soo umerevol e d vara atura S può, az tutto, osservare che la duplce faltà, coosctva ed operatva, assegata alla statstca quale dscpla scetfca, co coseguete attrbuzoe de problem decsoal alla secoda faltà, s rsolve, semplcemete, ella specfcazoe della duplce tpologa d prodott che vao a costture l seme delle decso: a) le decso espresse come azo da trapredere e da realzzare cocretamete; b) le decso espresse come affermazo da formulare le qual, a loro 3

4 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa volta, possoo cofgurars come asserzo che specfcao la coformtà dell evdeza osservata e cofrot d ua o pù potes assute a pror, come asserzo che specfcao la stma d ua quattà cogta e/o l adattameto d u modello teorco ad ua realtà osservata, ecc Il problema s rsolve sempre ua decsoe, che po questa sa oretata al cosa dre o al cosa fare è solo ua questoe d specfctà della stuazoe cu lo statstco opera Se s parla po d att o decso term pù geeral, el seso d scelte, la suddvsoe dveta addrttura artfcosa se s pesa che og azoe può essere cosderata come l effetto dell affermazoe: la decsoe d è la mglore possble e scatursce, allora, ua dffereza solo verbale, termologca e, qud, o sosteble dal puto d vsta cocettuale U altro rlevate aspetto che può cosglare la scelta decsoale, rsede ella logca tera propra della teora (statstca) delle decso che duce a formulare ed terpretare correttamete u problema statstco S tratta d ua correttezza che può essere rcodotta a due fatt essezal: gl obettv che s tedoo persegure e dat utlzzabl L obettvo della mmzzazoe della perdta evdeza, fatt, la parzaltà e la partcolartà del rsultato che scatursce dalla elaborazoe: problem aalogh affrotat co specfcazo dverse della fuzoe d perdta possoo codurre, az geeralmete coducoo, a cocluso dverse quato collegate ad elemet dvers dell seme delle decso possbl Quale soluzoe è quella gusta è quale è quella sbaglata? essua delle due, oppure etrambe se vste ottche dverse; l gudzo o deve essere formulato term d correttezza o errore, s può solo dre che, rteedo valda (accettable, verosmle) ua struttura d perdta così come è rappresetata dalla fuzoe prescelta, la decsoe mglore è quella che rsulta dalla mposzoe della codzoe d perdta mma L ultma rflessoe s rcollega alla ecesstà d attrbure a dat ua specfca forma per poter otteere ua rappresetazoe (compattazoe) sgfcatva degl stess La realtà o è é descrvble é rappresetable seza rcorrere a schem cocettual d rfermeto e corrspodeza d oguo d ess s ottee u rsultato, evdetemete parzale e codzoato allo schema specfcato La logca decsoale, cu rsultat 4

5 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa soo codzoat alla partcolare fuzoe d perdta specfcata, fa emergere modo equvocable tale cosapevolezza S è gà messo evdeza come og problema statstco preveda la preseza d utà statstche portatrc delle formazo e d dat statstc (formazo d base) che s tedoo aalzzare Per quato cocere le utà (statstche) portatrc delle formazo, s può procedere all'troduzoe d ua tpologa geerale che le dstgue : a) elemet o seme d'elemet; b) temp o tervall temporal; c) aree terrtoral o "zoe" Relatvamete a dat statstc, quado quest rguardao feome cosddett d cossteza o d fodo e per qual è ragoevole l rfermeto ad u state, s parla d temp, metre quado feome soo d flusso, coè co dat attrbubl a perod, s cosderao tervall temporal Ua sere d dat statstc rferta a temp successv vee soltamete deomata sere storca o sere temporale La sua caratterstca peculare è l orde d successoe predetermato (formazoe aggutva), che deve essere teuto presete a f delle elaborazo statstche Ua sere d dat statstc rferta a zoe geografche vee soltamete chamata sere terrtorale elle elaborazo statstche occorrerà teere coto sa della dfferete mportaza evetualmete attrbuble a cascua zoa, sa delle relazo d cotgutà spazale fra coppe d zoe e cas cu le utà d rfermeto o possoo essere cosderate equvalet (elemet d dversa dmesoe, zoe d vara ampezza), le elaborazo statstche rchedoo, geere, l'adozoe d u opportuo sstema d poderazoe, coè d pes che esprmoo l'mportaza attrbuta a cascua utà Fssat gl obettv che s tedoo persegure ed dvduato, corrspodeza agl obettv stess, l seme de dat statstc ecessar, coè le mafestazo de feome d teresse, può emergere la ecesstà d procedere all'effettva rlevazoe delle mafestazo de feome (raccolta de dat statstc) Il processo d rlevazoe de dat può essere dstto elle seguet quattro fas: 5

6 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa - defzoe del pao d rlevazoe; - raccolta effettva de dat; - spoglo e classfcazoe La fase pù delcata el processo d rlevazoe de dat è seza dubbo quella relatva alla defzoe del pao d rlevazoe L'argometo, che per la sua mportaza merterebbe ua dettaglata trattazoe, o vee qu affrotato: c s lmta pertato a rchamare la fodametale dstzoe delle rlevazo rguardo alla loro ampezza I questo cotesto, le rlevazo s dcoo complete quado teressao tutte le mafestazo del feomeo oggetto d'dage, s dcoo vece parzal o campoare le rlevazo che teressao soltato ua parte delle mafestazo L'seme d tutte le possbl mafestazo relatve ad u certo feomeo vee detto popolazoe metre feome oggetto d aals, s dstguoo, mutabl e varabl a secoda della atura qualtatva o quattatva delle loro mafestazo U feomeo varable, e coè u feomeo classfcato secodo le modaltà quattatve d u suo carattere, può avere atura dscreta o cotua Essedo l umero assocato a cascua modaltà msurable d u certo carattere usualmete detto varable (co le modaltà, ma specfco d cascua modaltà) statstca, da ora az parleremo d varabl statstche (dscrete o cotue) seza stare a specfcare og volta che s sta trattado d u feomeo classfcato secodo le modaltà quattatve d u suo carattere (dscreto o cotuo) - Varabl statstche Ua varable statstca dscreta può assumere soltato u seme umerable d valor, metre ua varable statstca cotua potrà assumere tutt valor all'tero d u certo tervallo dell asse reale Soo varabl statstche dscrete l umero de soggett affett da cacro polmoare, l umero degl abtat d ua certa regoe, ecc; soo varabl statstche cotue la temperatura d u corpo, l'età d u dvduo, la veloctà d u'automoble, ecc I lea geerale tutte le gradezze relatve allo spazo (lughezza, superfce, ecc), al tempo (età, durata vta, ecc) e alla massa (peso, pressoe arterosa, ecc), soo delle varabl statstche cotue 6

7 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Aalogamete a quato gà fatto quado s è trattato delle varabl casual, s parla d mutabl o varabl statstche semplc, quado u feomeo rsulta classfcato secodo le modaltà (qualtatve o quattatve) d u solo carattere, s parla vece d mutabl o varabl statstche multple, quado u feomeo vee classfcato secodo le modaltà (qualtatve o quattatve) d pù caratter; el caso cu s cosdero, relatvamete ad u certo feomeo, caratter avet atura qualtatva e caratter avet atura quattatva, s parla d varabl statstche mste S cosder u seme P d mafestazo relatve ad u certo feomeo F, classfcato secodo le modaltà quattatve d u suo carattere; s dcho po smbolcamete co,,, e co,,,, le modaltà quattatve dstte (che supporremo ordate modo crescete) del carattere ed l umero delle volte co cu esse s soo presetate L'seme delle coppe (, ), (, ),,(, ) vee detto dstrbuzoe d frequeza, gl ter (,,) vegoo dett frequeze assolute, metre s dcoo frequeze relatve umer f ( ) f,, Valgoo ovvamete le relazo: f 0 f Se s dca co X la varable statstca, e coè l'ettà varable capace d assumere valor,,, co frequeze relatve par a f, f,f, la fuzoe f( ), e coè la fuzoe che fa corrspodere a cascua modaltà d ua varable statstca la rspettva frequeza relatva, è detta fuzoe d frequeza, s dce vece fuzoe d frequeze cumulate (o fuzoe d dstrbuzoe, o d rpartzoe emprca) la fuzoe defta ella formula F( ) f ( ) Oltre che d frequeze relatve cumulate s può, aturalmete, procedere al computo delle frequeze assolute comulate 7

8 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa,,, Ovvamete F F( ) f ( ) per,,, F Evdetemete l passaggo dalla fuzoe d frequeza alla fuzoe d dstrbuzoe è mmedato ed uvoco, oltre etrambe descrvoo completamete la varable statstca cu s rferscoo Se le mafestazo quattatve d u certo feomeo vegoo raggruppate class d modaltà, e cò accade soprattutto quado s ha a che fare co caratter avet atura cotua, le varabl statstche dvse tervall, s cofgurao el modo seguete: 8

9 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Frequeze Classdmodaltà Frequeze assolute Frequeze assolute cumulate Frequeze relatve relatve cumulate ( Fuzoed 0 f rpartzoe ) F + f F f F f F dove la otazoe ( < ) vuol sgfcare che l'tervallo è aperto a sstra e chuso a destra, el seso che esso clude l valore e o l valore - che appartee vece all'tervallo precedete (voledo s possoo cosderare tervall chus a sstra o tervall chus, ma quest'ultmo caso uo stesso valore o potrà apparre come estremo due tervall cotgu); e f rappresetao, al solto, la frequeza assoluta e la frequeza relatva delle utà che rcadoo ell'tervallo - I modo aalogo a quato fatto precedeza, s potrà defre la fuzoe d frequeze cumulate o fuzoe d rpartzoe per le varabl statstche dvse tervall Rsulta del tutto evdete a questo puto la completa equvaleza tra varable statstca e varable casuale; equvaleza che dveta acora pù chara se s fa rfermeto alla defzoe classca della probabltà, Se s potzza u espermeto cosstete ell estrazoe d u utà statstca da ua popolazoe d utà co uguale probabltà d essere estratte, rappreseta l umero de cas favorevol, coè l umero d utà statstche per le qual la mafestazoe del feomeo d teresse è 9

10 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa par a, metre rappreseta l umero de cas possbl, coè l umero complessvo delle utà statstche cosderate Altrettato ovve rsultao le equvaleze tra fuzoe d massa d frequeza e fuzoe d massa d probabltà, tra fuzoe d frequeze cumulate e fuzoe d probabltà cumulate Da sottoleare che per quest ultma fuzoe s usa, sa el cotesto emprco che quello teorco, la stessa deomazoe d fuzoe d rpartzoe o fuzoe d dstrbuzoe Esempo (Dstrbuzo dscrete) Le votazo rportate da u gruppo d 30 studet che hao superato l esame d statstca soo state 7, 7, 3, 5, 8, 30,, 30,, 8,, 7, 7, 5, 8, 30, 8, 7,,, 5, 8, 0, 5,, 6, 7, 0, 7 La dstrbuzoe d frequeza relatva al feomeo questoe può essere coveetemete rappresetata ua tabella (tabella d frequeza) del tpo seguete Modaltà Frequeze Frequeze cumulate Tab - Votazo rportate da u gruppo d 30 studet all esame d statstca Ua tabella maggormete esplcatva e ella quale vegoo rportat ache valor assut dalla fuzoe d frequeza e dalla fuzoe d dstrbuzoe (o fuzoe d rpartzoe, o fuzoe delle frequeze cumulate relatve) può essere del tpo che segue 0

11 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa F F( ) / Tab - Votazo rportate da u gruppo d 30 studet all esame d statstca Tab - Votazo rportate da u gruppo d 30 studet all esame d statstca Esempo (Dstrbuzo cotue raggruppate class d modaltà) ella tabella che segue soo rportat valor relatv alla msurazoe del lvello d acdtà, espresso utà d PH, d 300 cassette d terreo

12 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Tab 3 - Lvello d acdtà, espresso utà d PH, d 300 cassette d terreo Alcue rappresetazo grafche relatve alle dstrbuzo statstche cosderate e due esemp precedet possoo essere del tpo che segue Fg - Votazoe rportata da u gruppo d 30 studet all esame d statstca

13 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Fg - Votazoe rportata da u gruppo d studet all esame d statstca La rappresetazoe grafca rportata ella fgura seguete vee usualmete detta stogramma d frequeze Fg 3 - Lvello d acdtà, espresso utà d PH, d 300 cassette d terreo 3

14 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa el caso cu s vogla traccare u stogramma per ua dstrbuzoe statstca avete class d modaltà d ampezza dversa, s dovrà stture ua scala d proporzoaltà tra l area d cascu rettagolo e la frequeza della corrspodete classe d modaltà Fg 4 - Lvello d acdtà, espresso utà d PH, d 300 cassette d terreo Se le mafestazo d u certo feomeo F vegoo classfcate secodo le modaltà qualtatve d u suo carattere ed dchamo smbolcamete co A, A,A le modaltà dstte, co,,, le frequeze assolute, coè è l umero delle volte cu s preseta cascua modaltà, l'seme delle coppe (A, ), (A, ),,(A, ) costtusce ache questo caso ua dstrbuzoe d frequeza; l'ettà varable A capace d assumere le modaltà A, A,,A co frequeze,,, vee detta mutable statstca Rallaccados a quato detto a proposto delle scale d msura, s possoo dstguere le mutabl statstche rettlee, cclche e scoesse S parla d mutable statstca rettlea quado le modaltà A presetao u orde aturale d successoe, co ua modaltà zale A ed ua modaltà fale A ; tal mutabl s rferscoo ovvamete a scale ordal d msura S dce vece cclca la mutable statstca che pur presetado u orde d successoe delle modaltà A o ha (a meo d ua covezoe) ua prma ed ultma modaltà S parla fe d mutable statstca 4

15 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa scoessa quado la dstrbuzoe delle modaltà o preseta alcu orde aturale d successoe La estrema rlevaza della fuzoe d frequeza e della fuzoe d rpartzoe è stata gà sottoleata; tal fuzo rescoo fatt a caratterzzare completamete le mafestazo d u certo feomeo Se cò è vero, è pur vero che u seme d dat può essere poco dcatvo a meo che dat stess o vegao stetzzat qualche modo Può accadere ad esempo che determate crcostaze e relatvamete ad u partcolare feomeo possoo teressare ucamete certe tpctà; questo caso u sgolo valore umerco, capace d esprmere tal tpctà, potrebbe rsultare ecessaro e rspodere modo soddsfacete agl scop cocret d ua aals I altr cas s potrebbe vece avere teresse ad esprmere stetcamete l grado d eterogeetà presete elle mafestazo d u certo feomeo collettvo; ache tal stuazo l fe può essere ragguto attraverso uo o poch valor umerc S dcoo valor med o msure d poszoe, tutt quegl dc capac d stetzzare u sgolo valore umerco la tpctà rscotrable ua dstrbuzoe emprca; s dcoo vece d varabltà o mutabltà quegl dc che rescoo a stetzzare u sgolo valore umerco gl elemet d eterogeetà preset elle mafestazo de feome collettv Tra pù mportat valor med qu rcorderemo soltato la meda artmetca, la meda geometrca, la meda armoca, la moda, la medaa ed quartl Alcu d quest dc soo gà stat trodott precedeza quado s è proceduto alla stes delle varabl casual Meda artmetca La meda artmetca, o pù semplcemete la meda, d ua varable statstca X resta defta dalla formula: M

16 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa dove: ; ;,, soo le modaltà dstte d u carattere quattatvo relatvo alle mafestazo d u determato feomeo e,,, le rspettve frequeze assolute La meda artmetca può essere defta facedo rfermeto alla fuzoe d frequeza, coè alle frequeze relatve; tal caso s avrà M f S cotrolla mmedatamete come la meda artmetca, quado s ha a che fare co caratter trasferbl, lasc varato l'ammotare totale del carattere, essa fatt dca la parte del totale che spetterebbe a cascua utà el caso d equdstrbuzoe; fatt: M Σ Da quato sopra affermato derva quella che usualmete vee dcata come prma propretà della meda artmetca, coè è la propretà d aullare la somma algebrca degl scostamet ( M ) ( ) 0 U tale rsultato può essere terpretato da u puto d vsta fsco dcedo che la meda artmetca rappreseta l barcetro d u sstema d forze, proporzoal ad, applcate su d u asse coordato e put La secoda propretà della meda artmetca è quella d redere mma la somma de quadrat degl scart rspetto alla somma de quadrat degl scart da u qualsas altro valore ( M ) ( ) ( M ) 6

17 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa dove l sego d uguaglaza vale solo el caso cu M cocde umercamete co Ua terza propretà della meda artmetca da rcordare è la propretà assocatva (la meda artmetca complessva, relatva ad ua popolazoe dsaggregata grupp, è uguale alla meda artmetca poderata delle mede calcolate e sgol grupp) Il soddsfacmeto d ua tale propretà permette la dervazoe della meda artmetca relatva ad u certo gruppo d valor attraverso le mede artmetche de sgol sottogrupp, cu l gruppo el suo complesso è evetualmete suddvso el caso cu s abba a che fare co varabl statstche suddvse tervall (per class d modaltà), per l calcolo della meda artmetca s troduce geeralmete l'potes d equdstrbuzoe all'tero d cascua classe d modaltà Sotto tale potes, per la propretà assocatva, s potrà procedere al calcolo della meda artmetca sosttuedo a valor d cascua classe l valore cetrale della stessa ed operare modo aalogo a quello vsto per le dstrbuzo dscrete; s avrà pertato che, a f della determazoe umerca della meda artmetca, l'potes d equdstrbuzoe de valor all'tero d cascua classe d modaltà e l'potes opposta d cocetrazoe de valor el puto cetrale soo equvalet el caso d dstrbuzo d frequeze per class d'tervallo la quattà dove soo valor cetral delle class, forsce ua stma approssmata dell'ammotare complessvo del feomeo Ioltre, se la prma e/o l'ultma classe soo aperte, bsoga fssare ( maera soggettva) gl estrem d tal class, allo scopo d calcolare l valore cetrale Coseguetemete, l valore medo calcolato sulla dstrbuzoe d frequeze per class può dfferre, e soltamete dffersce, dal valore medo (esatto) calcolato sulla sere orgale degl valor Se s dspoe d dat orgar, è duque opportuo calcolare la meda (oché gl altr dc statstc stetc) drettamete su tal dat, Sul cocetto d meda poderata s avrà modo d soffermare l attezoe elle page successve 7

18 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Meda geometrca La meda geometrca d ua varable statstca X resta defta dalla formula M g ( ) / / Per la propretà de logartm rsulta logm g log coè l logartmo della meda geometrca è uguale alla meda artmetca de logartm de term S ot che la meda geometrca o va utlzzata og qualvolta s abbao elle dstrbuzo, modaltà co valor egatv o ull e che essa rceve le maggor applcazo el calcolo del valore medo d tass o d rapport Meda armoca La meda armoca d ua varable statstca vee defta dalla formula M M h è data coè dal recproco della meda artmetca del recproco de term Moda S defsce come moda M o d ua dstrbuzoe statstca la modaltà che preseta la massma frequeza el caso d dstrbuzo suddvse class s parla usualmete d classe modale 8

19 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Medaa La medaa d ua dstrbuzoe statstca ordata è data dal valore cetrale della dstrbuzoe, el caso cu l umero delle utà statstche d osservazoe è u umero dspar, dalla semsomma de valor cetral, della dstrbuzoe, el caso cu l umero delle utà d osservazoe è u umero par Quado s ha a che fare co dstrbuzo suddvse class, la medaa s ottee, attraverso terpolazoe, medate la formula M e a L + dove: L è l lmte ferore della casse medaa, coè è la classe che clude el suo tero la medaa; è l totale delle frequeze, - è la somma delle frequeze relatve alle class che precedoo la classe medaa, è la frequeza della classe medaa; a + è l'ampezza della classe medaa La pù mportate propretà della medaa è quella d redere mma la somma de valor assolut degl scart rspetto alla somma de valor assolut degl scart calcolat da u qualsas altro valore; coè M e M dove l sego d uguaglaza vale solo el caso cu M M e Il cocetto che sta alla base del calcolo della medaa può essere geeralzzato, troducedo ua uova classe d valor med: quatl che soo gà stat trodott quado s è dscusso d varabl casual S dce quatle co dce z, (0 < z < ) e lo s dca co Q z, l valore che suddvde la successoe degl ordat seso o decrescete due part: ua frazoe maggore o uguale a z d valor Q z ed ua frazoe maggore ouguale a (- z) d valore Q z 9

20 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Secodo tale defzoe, la medaa è duque l quatle Q 0,50 I quatl soo varat ( seso debole) per trasformazo mootoe crescet, e qud rsultao calcolabl per feome rlevat almeo su scale ordale I partcolare, presetao teresse applcatvo seguet quatl: ) I tre quartl, deft come Q 0,5, Q 0,50, Q 0,75 ) I ove decl, deft come Q 0,0, Q 0,0 Q 0,90 el caso d dstrbuzo d frequeze co class aperte, l calcolo della medaa o rchede la fssazoe dell'estremo ferore della prma classe e dell'estremo superore dell'ultma classe (salvo l caso partcolare cu la classe medaa sa la prma ovvero l'ultma) Dato che la scelta d quest estrem è larga msura soggettva - se o addrttura arbtrara, asseza d altre formazo - la medaa può costture, elle stuazo suddette, u crtero d stes preferble alla meda artmetca che rchede, vece, la fssazoe degl estrem ferore e superore o, quatomeo, la fssazo d valor rappresetatv delle class estreme che, geeralmete, o cocdoo co valor cetral delle class stesse Mede d poteze poteza Ua defzoe pù geerale d meda è quella rferta alla cosdetta meda d M r r / r Per r s ottee la meda artmetca, per r - la meda armoca, per r la meda quadratca, per r 3 la meda cubca, ecc Per le dstrbuzo che assumoo tutte modaltà postve valgoo le seguet relazo 0

21 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa lmm r 0 r M g ( meda ge ometrca ) M M g M M M 3 cu l sego d uguaglaza sussste soltato el caso cu tutte le modaltà soougual tra loro el computo de valor med sopra trodott, a cascua delle modaltà resta assocato u peso rappresetato, a secoda de cas, dalla frequeza assoluta o dalla frequeza relatva f( ) f U tale fatto ha dotto alcu autor ad trodurre la dstzoe tra meda semplce e meda poderata, utlzzado questa secoda locuzoe, apputo, tutte le volte cu alle modaltà del carattere soo assocate frequeze (relatve o assolute) U tale modo d procedere può, comuque, geerare, qualche caso, cofusoe; covee, pertato, utlzzare l terme meda poderata soltato e cas cu alle modaltà resta assocato u vero e propro peso Esempo 3 Data la dstrbuzoe statstca Modaltà Frequeze 3 s vogla determare la meda artmetca, la meda geometrca e la meda armoca S avrà M , 8 M M g h log3 + log5 + log 63 + log 7 + log0 atlog 595 8, 8 564, / 3 + / 5 + / 6 3+ / 7 + / 0 S osserv la relazoe d dsuguaglaza M < M < M ; come gà sottoleato, ua tale relazoe sarà sempre valda per le dstrbuzo statstche a valor postv a meo che tutte le modaltà o sao ugual, el qual caso le tre mede cocdoo h g

22 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa La meda artmetca, la moda e la medaa della dstrbuzoe rportata ella Tab soo rspettvamete: M 4,933 M o 7 (modaltà co frequeza pù elevata) M e 5 (semsomma de due term cetral) Relatvamete alla dstrbuzoe rportata ella Tab 3, s avrà Classe modale: 5,9 6, 50 4 M e 59, + 03, 607, 65 I valor med cu s è fatto rfermeto elle page precedet soo quell tra pù utlzzat ella rcerca applcata e cò accade sa per la loro utltà che per la estrema semplctà d calcolo A proposto d tal valor, va sottoleato l fatto che ess, avedo propretà dverse, rcevoo applcazo cotest dfferet Ma, o è certo questa la sede pù opportua per svolgere ua dscussoe su tal questo, pure se estremamete rlevat; qu s osserva soltato che la scelta del valore medo da usare dpede dal tpo d dstrbuzoe co cu s ha a che fare e da f che s vogloo persegure Le msure d poszoe (valor med) rescoo a stetzzare soltato ua parte delle caratterstche d ua dstrbuzoe statstca: la tpctà ella geeraltà de cas, de feome oggetto d studo teressa ache ua msura stetca della varabltà D qu la ecesstà d dc capac d evdezare, attraverso u solo valore umerco, tale partcolartà delle dstrbuzo D'altra parte va ache sottoleato l fatto che, dal puto d vsta della compresoe de feome, ua stes lmtata a sol aspett tpc, rsulta spesso suffcete Degl umerevol dc che soo stat propost per la msura stetca della varabltà elle dstrbuzo qu s rchamao soltato lo scostameto semplce medo, lo scostameto quadratco medo, la varaza, la dffereza semplce meda e la dffereza quadratca meda Da sottoleare che quest dc, come qualuque altro dce d varabltà, devoo essere grado d esprmere la varabltà presete elle mafestazo de

23 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa 3 feome; devoo, pertato, assumere valor tato pù elevat quato pù l feomeo è varable ed aullars caso d completa omogeetà (feomeo dvduale) Scostameto semplce medo e scostameto quadratco medo Se, al solto, co,, s dcao le modaltà dstte relatve alle mafestazo quattatve d u certo feomeo, e co,, le rspettve frequeze assolute, lo scostameto semplce medo e lo scostameto quadratco medo restao deft rspettvamete dalle formule f M S ( ) ( ) / / / f M S dove al solto M rappreseta la meda artmetca della varable statstca X Pù geerale, lo scostameto medo d orde r resta defto dalla formula r / r r / r r / r r f M S Dove M è u qualuque valore medo d teresse che o cocde ecessaramete co la meda artmetca Ifatt, a volte lo scostameto semplce medo vee defto term d scostamet valore assoluto da msure d poszoe dverse dalla meda artmetca, partcolare, s calcola lo scostameto semplce medo dalla medaa azché dalla meda artmetca e e M f M M S e godedo la medaa, come ho gà detto, della propretà d redere mma la somma de valor assolut degl scart

24 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa S rcorda che lo scostameto quadratco medo è gà stato trodotto precedeza quale radce quadrata postva del secodo mometo cetrale, coè come radce quadrata postva della varaza Ovvamete qu s può defre la varaza come quadrato dello scostameto quadratco medo µ σ S ; σ S Dffereza semplce meda e dffereza quadratca meda Per otteere ua msura stetca d varabltà d ua dstrbuzoe statstca, puttosto che operare l cofroto tra dvers valor assut dalle vare modaltà ed u sgolo valore che rassume la tpctà della dstrbuzoe stessa, s può operare l cofroto tra tutte le dverse modaltà assute dal carattere oggetto d aals Gl dc statstc d uso pù frequete propost letteratura soo la dffereza semplce meda e la dffereza quadratca meda seza rpetzoe defte, rspettvamete, dalle formule ( ) per ( ) / ( ) per metre la dffereza semplce meda e la dffereza quadratca meda co rpetzoe soo defte dalle formule r r ( ) / 4

25 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa La dffereza quadratca meda e lo scostameto quadratco medo pur essedo dc d varabltà cocettualmete dvers (el prmo caso, per msurare la varabltà d u feomeo s opera l cofroto tra tutte le modaltà delle sue mafestazo, metre, el secodo caso, le dverse modaltà vegoo cofrotate co u valore medo: la meda artmetca el caso specfco) soo legat tra loro dalla relazoe r σ Altre msure d dspersoe, pù semplc da calcolare, ma meo sgfcatve come dc d varabltà, soo l campo d varazoe e la dffereza terquartle Il campo d varazoe vee defto come dffereza fra l valore massmo ed l valore mmo assuto da ua varable statstca La dffereza terquartle vee defta come dffereza tra l terzo ed l prmo quartle Q 3 Q Esempo 4 Voledo determare valor umerc delle quattro dverse msure d varabltà sopra trodotte, relatvamete alla dstrbuzoe rportata ella Tab, può rsultare utle l adozoe d uo schema d calcolo smle a quello sotto rportato ello schema vegoo dcat gl elemet per l calcolo d tutt gl dc d varabltà cosderat; evdetemete, l rcercatore el suo lavoro s lmterà al calcolo d quegl elemet ecessar alla determazoe della msura d dspersoe scelta fuzoe d quel partcolare aspetto della varabltà che vuole evdezare 5

26 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Tab 4 - Votazo rportate da u gruppo d 30 studet all esame d statstca S 0, ; S 0 ( ), S 0 M e M e 30, 80 ; S σ 0, 994 Tutt gl dc d varabltà deft precedeza, soo dc assolut d varabltà, soo coè espress ella stessa utà d msura mpegata per esprmere valor del feomeo cosderato Il cofroto fra gl dc assolut d varabltà, ella geeraltà de cas, o è propoble se s fa rfermeto a feome dvers; ad esempo, voledo cofrotare la varabltà de pes e delle stature u collettvo d'dvdu, o s possoo mpegare rspettv scostamet quadratc med, essedo l prmo msurat Kg ed l secodo cm Il raffroto fra dc assolut d varabltà può ache essere reso llogco dal dverso valore medo de feome esamat S suppoga, ad esempo, d voler cofrotare la varabltà del fatturato e la varabltà della spesa pubblctara u seme d'azede; gl scostamet quadratc med de due feome o possoo essere 6

27 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa paragoat, poché l valore medo della spesa pubblctara è evdetemete molto more del valore medo del fatturato Allo scopo d superare queste dffcoltà, voledo cofrotare la varabltà stuazo (feome, sem, ecc), dfferet, s'troducoo dc relatv d varabltà, qual soo pur umer, coè rapport fra gradezze, cu è stata elmata l'flueza dell'utà d msura e del valor medo de feome orgar Ua prma classe d dc relatv d varabltà, vee defta come rapporto fra ua geerca msura d varabltà assoluta, V, ed u geerco valore medo, M, che cosdereremo modulo, per compredere ache l caso d varabl, come proftt delle mprese, le temperature, ecc, che possoo avere meda egatva S rcorda proposto che u dce d varabltà può assumere soltato valor postv ed assume l valore mmo zero solo elle stuazo d asseza d varabltà: tal cas l feomeo esamato o è collettvo ma dvduale (varable statstca degeere) L espressoe geerale per u dce relatvo d varabltà è V r V M I partcolare, se V è lo scostameto quadratco medo e M è la meda artmetca, l'dce relatvo d varabltà è detto coeffcete d varazoe ed è dcato abtualmete col smbolo CV: CV σ M S M Il coeffcete d varazoe rappreseta l'dce relatvo d varabltà pù mpegato, essedo basato su M e S, cu motv d prefereza soo gà stat llustrat Altr dc d varabltà relatva che trovao qualche applcazoe soo: 7

28 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa ) l campo d varazoe relatvo: M che può essere utlzzato, ad esempo, per cofrotare la varabltà delle quotazo d ttol azoar dfferet: ) lo scostameto medo relatvo dalla medaa, el quale, per coereza co l'dce d varabltà posto a umeratore, s cosdera a deomatore la medaa, azché la meda S M e M Questo dce vee mpegato per la msura e l cofroto della varabltà d feome d cu s è stetzzato la tpctà attraverso l computo della medaa Tra gl dc d varabltà relatva, quello che trova la maggore applcazoe per la sua partcolare atura è l cosdetto rapporto d cocetrazoe defto dalla relazoe e R M dove è la dffereza semplce meda e M è l valore massmo che questo dce può assumere Da sottoleare che ella stuazoe esame M > 0 L dce d cocetrazoe vara, ovvamete, tra 0 (stuazoe d equdstrbuzoe dell testà complessva, coè dell ammotare totale del carattere, tra le vare utà statstche) e (stuazoe d massma varabltà o, come s avrà modo d charre elle rghe seguet, d massma cocetrazoe) L dce R s presta ad u teressate terpretazoe geometrca attraverso l dagramma d Lorez che vee costruto el modo seguete: s abba ua successoe ordata d determazo d u carattere X, supposto trasferble, e s dcho co 8

29 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa p la frazoe d utà statstche che presetao ua determazoe d X q M M la frazoe dell testà totale ( M ) che compete alle utà statstche che presetao ua determazoe d X Se s rappresetao u sstema d ass cartesa put (p, q ) e s uscoo put stess co de segmet, s ottee ua spezzata detta spezzata d cocetrazoe (Fg 5) La spezzata cocderà co segmet AB e B C se q q q - 0 (stuazoe d massma cocetrazoe); s preseterà modo smle a quella della fgura og al tra stuazoe q* q* q q A 0 p p p p - p Fg 5 - Spezzata d cocetrazoe e retta d equdstrbuzoe Cascua dffereza p -q può essere terpretata come msura dell allotaameto dalla stuazoe d equdstrbuzoe e può essere utlzzata per costrure u dce relatvo d cocetrazoe defto dal rapporto 9

30 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa R ( p q ) p dove l umeratore dà ua msura complessva della cocetrazoe esstete ella dstrbuzoe emprca e l deomatore forsce l aaloga msura che s otterrebbe el caso d massma cocetrazoe; questo caso, fatt, s avrebbe q 0 per,,, - e qud p -q p S dmostra che l dce R, otteuto base a cosderazo d atura geometrca, cocde co quello defto precedeza come rapporto tra e M; coè: R M ( p q ) Se la varable statstca è del tpo (, ),,,, l dagramma d Lorez vee costruto rappresetado put (p, q ),,, p p e q M e s procede ad ua valutazoe approssmata del rapporto d cocetrazoe come rapporto tra l area d cocetrazoe (area compresa tra la retta d equdstrbuzoe e la spezzata d cocetrazoe) e l area del tragolo ABC (par a /) che, per abbastaza grade, rappreseta ua buoa approssmazoe dell area d massma cocetrazoe 30

31 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa q q q - A 0 p p p - p p - p Fg 6 - Area d cocetrazoe relazoe L dce relatvo d varabltà (rapporto d cocetrazoe) rsulta defto dalla R ( p p )( q + q ) ( p p )( q + q ) dove p 0 q 0 0 e l area d cocetrazoe s ottee come dffereza tra l area del tragolo ABC (par a /) e la somma delle aree de trapez d altezza p - p - e d base q (base maggore) e q - (base more) Esempo 5 S suppoga d dsporre d formazo relatve al quattatvo d merce gacete e magazz d ua certa dtta alla fe d due a e che s vogla procedere al calcolo de rapport d cocetrazoe relatv a due a ed alla rappresetazoe grafca, tramte dagramm d Lorez, u uco dagramma d cocetrazoe 3

32 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa magazzo gaceze a fe ao I ao II ao A B 50 0 C 0 45 D 0 0 E F G H 0 75 I 0 45 L 0 05 Totale Tab 5 - Gaceze d magazzo temp dvers Applcado uo qualsas de metod d calcolo vst precedeza, s può verfcare faclmete che, per la dstrbuzoe rferta all ao I, rsulta M 00 e 04,889 metre, per quella rferta all ao II, s ha M 50 e 57,333 I due rapport d cocetrazoe rsultao qud R 04, 889 0, R 57, I II 0, 54 Msurata attraverso R la cocetrazoe rsulta detca elle due dstrbuzo Per la costruzoe del dagramma d Lorez s può mpostare u prospetto el quale soo rportat valor delle due dstrbuzo ordate seso crescete ed relatv valor p e q Dat rfert al tempo I Dat rfert al tempo II orde p q q 0, 0 0 0, ,03 0, 0 0 0, ,06 3 0, , , 4 0, , ,6 5 0, , , 6 0, , ,8 7 0, , ,35 8 0, , ,43 9 0, , ,5 0, , ,00 Tab 6 - Procedmeto d calcolo del rapporto d cocetrazoe su dat della Tab 5 3

33 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Rappresetado put (p, q ),,, 0 per le due dstrbuzo, s ottegoo le spezzate d cocetrazoe rportate ella Fg 7 Dall osservazoe del grafco emerge modo evdete che l valore del rapporto d cocetrazoe o defsce uvocamete la spezzata d cocetrazoe quato a due valor detc corrspodoo due spezzate dverse, che rflettoo la dversa dstrbuzoe delle gaceze fra dec magazz; passado dall ao I all ao II, fatt, aumeta la cocetrazoe delle scorte el magazzo A metre tedoo a rdurs le dffereze tra rmaet Il dagramma d Lorez, qud, può essere utlmete affacato, come strumeto d aals, all dce d cocetrazoe, quato cosete d evdezare alcu aspett della dstrbuzoe che ua msura stetca, rappresetata da u solo valore umerco, può o ruscre a coglere Tempo II Tempo I Fg 7 - Spezzate d cocetrazoe per dat della Tab 5 33

34 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa Mutabl statstche - Se da u lato l'operazoe d classfcazoe delle mafestazo d u certo feomeo (utà statstche) secodo le modaltà qualtatve può rsultare pù facle d quella corrspodete a modaltà quattatve, cosstedo l'operazoe stessa ua semplce eumerazoe de cas che rcadoo cascua classe, lo studo delle mutabl statstche rsulta relatvamete pù complcato rspetto allo studo delle varabl statstche A tale proposto va subto detto che talu tra gl dc trodott precedeza (valor med ed dc d varabltà) perdoo d sgfcato el caso delle mutabl statstche quato deft da u seme d operazo artmetche su umer avet atura cardale el caso cu s debbao trattare modaltà qualtatve ordate d u certo carattere (mutabl rettlee), è possble, sosttuedo alle modaltà ordate ua graduatora, procedere al calcolo della meda artmetca allo stesso modo vsto precedeza purché s abba l'accortezza d'attrbure al rsultato l gusto sgfcato, el seso che la meda otteuta avrà atura ordale così come avevao atura ordale le sgole modaltà Dverso è aturalmete l dscorso e cas cu s procede ad u effettvo cambameto della scala d msura, coè quado alle modaltà qualtatve s sosttuscoo de valor umerc avet atura cardale (quado s sosttusce, ad esempo, al colore la lughezza d'oda delle radazo emesse); quest cas s avrà a che fare co delle vere e propre varabl statstche e varrao pertato tutte le cosderazo fatte a proposto d tal dstrbuzo Quado s deve aalzzare u feomeo classfcato secodo le modaltà qualtatve o ordate d u suo carattere (mutabl cclche e scoesse), per procedere al calcolo della meda artmetca, s può far rfermeto ad uo schema teorco el quale s covee d porre uguale ad uo la dstaza tra le due utà d osservazoe che presetao modaltà dverse ed uguale a zero la dstaza tra utà d osservazoe che presetao la stessa modaltà, s determa po la meda artmetca vsta del soddsfacmeto della secoda propretà cu la stessa soddsfa; s cerca coè d dvduare l valore che mmzza la somma de quadrat degl scart (dstaze questo caso) S defsce pertato meda artmetca d ua mutable o ordata A la modaltà A che mmzza l'espressoe 34

35 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa d dove d rappreseta la dstaza tra la modaltà A e la modaltà A Teedo presete che d 0 se e d se, s ha d + + Il mmo s otterrà corrspodeza della modaltà A che preseta la massma frequeza Se soo preset pù modaltà co uguale frequeza massma, la meda artmetca sarà ua qualsas d queste modaltà La meda sopra defta soddsfa ache alle defzo d moda e d medaa; fatt, essa da u lato corrspode alla modaltà co massma frequeza (moda), dall'altro mmzza (sotto la covezoe trodotta) la somma de valor assolut degl scart Per procedere al calcolo degl dc stetc d mutabltà va detto che ess, aaloga a quato g affermato a proposto degl dc stetc d varabltà, devoo essere grado d'esprmere l lvello d eterogeetà presete ella dstrbuzoe oggetto d'aals; devoo pertato aullars el caso d completa omogeetà ed assumere valor tato pù elevat quato pù l gruppo esame s preseta eterogeeo rspetto al carattere (qualtatvo) cosderato el caso cu s abba a che fare co mutabl rettlee trasformate (attraverso u cambameto della scala d msura) varabl, sarà possble procedere al computo d tutt gl dc d varabltà trodott precedeza avedo però l'accortezza d'terpretare le msure otteute fuzoe della trasformazoe adottata Relatvamete alle mutabl statstche cclche o scoesse e alle rettlee o trasformate, se s assume l quadro d rfermeto teorco trodotto a proposto del calcolo de valor med, s potrà defre u dce stetco d mutabltà, sotto l duplce 35

36 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa aspetto d dspersoe meda da ua modaltà e d dspersoe meda tra modaltà, medate la formula: S ( ) ( ) dove ( ) preseta l umero complessvo delle utà osservate - Varabl e mutabl statstche doppe F ad ora soo stat trattat problem coceret feome le cu mafestazo vevao classfcate secodo le modaltà quattatve o qualtatve d u solo carattere S è detto però come le utà statstche possao dfferezars fuzoe delle modaltà d due o pù caratter cosderat smultaeamete; tal caso s avrà a che fare co dstrbuzo statstche multple I partcolare s parlerà d varabl statstche multple, se le mafestazo del feomeo vegoo classfcate secodo le modaltà quattatve d pù caratter e d mutabl multple, el caso cu la classfcazoe vee operata secodo le modaltà qualtatve d pù caratter Quado le mafestazo de feome (utà statstche) vegoo classfcate secodo le modaltà d pù caratter, alcu de qual d atura quattatva altr d atura qualtatva, s parla d varabl statstche mste Lo studo delle dstrbuzo statstche multple, ache se lmtato al lvello descrttvo, rsulta pù teressate ma ache pù complesso e laboroso Ifatt, questo caso s devoo affrotare oltre a problem d rappresetazoe smbolca, tabellare, grafca e stetca gà cosderat a proposto delle dstrbuzo semplc ache uov problem coess allo studo delle relazo tere tra le compoet la dstrbuzoe multpla o è questa la sede per svolgere ua completa trattazoe dell'argometo, s procederà pertato ad llustrare sommaramete ed a ttolo esemplfcatvo soltato talu aspett fodametal dell'aals delle mutabl e varabl statstche doppe Lo studo delle dstrbuzo statstche doppe può essere svolto per ua prma parte seguedo lo schema traccato per le varabl e mutabl statstche semplc, 36

37 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa partedo, coè, dalle rappresetazo smbolche, passado successvamete alle rappresetazo tabellar (e grafche) per gugere fe al calcolo de valor med e degl dc d varabltà e mutabltà Ma tal aspett, che costtuscoo d'altrode ua facle estesoe d quato detto a proposto delle varabl e mutabl statstche semplc, o verrao pres cosderazoe modo specfco, metre ua maggore attezoe verrà dedcata alla secoda parte dell'aals delle varabl e mutabl statstche doppe, coè all'aspetto che rguarda lo studo dell'assocazoe tra le due compoet S cosder duque u seme I d mafestazo relatve ad u certo feomeo F classfcato secodo le modaltà quattatve e/o qualtatve d due caratter e s dch smbolcamete co (, y ) e co (,,,h;,,,) rspettvamete le modaltà de due caratter ed l umero delle volte cu cascua coppa s è presetata L'seme delle trplette (,y ; ),(,y ; ) ( h,y ; h ) costtusce ua dstrbuzoe doppa d frequeza e gl ter (,,,h;,,,) vegoo dette frequeze assolute; s dcoo vece frequeze relatve umer f /,,,h;,,, dove aturalmete h Le frequeze assolute e relatve cumulate soo date, rspettvamete, da rs r s ; F f rs r s r s Co (X, Y) s dca smbolcamete la varable o mutable statstca doppa o varable msta, coè l'ettà capace d assumere le modaltà (, y )co frequeza par a Ache relatvamete alle dstrbuzo statstche doppe s dovrao dstguere le varabl statstche cotue da quelle dscrete Qu verrao lmtate le cosderazo alle varabl statstche dscrete, rsultado facle l'estesoe d quato verrà detto al caso delle varabl cotue facedo, ad esempo, rfermeto al valore rs 37

38 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa cetrale della classe el caso cu le mafestazo del feomeo avete atura cotua vegoo classfcate, come geeralmete avvee, secodo class d modaltà Il rsultato della classfcazoe delle mafestazo d u feomeo secodo le modaltà quattatve e/o qualtatve d due caratter, coè ua dstrbuzoe statstca doppa, può essere rappresetato attraverso ua tabella a doppa etrata Y X h Totale y h y h y h y Tab 7 - Schema d tabella a doppa etrata h Totale h dove: le modaltà de due caratter X e Y, el caso cu ua o etrambe sao quattatve, soo ordate modo crescete;, per,,,h, dca l umero delle utà che presetao la modaltà del carattere X qualuque sa la modaltà assuta dal carattere Y; h, per,,,, dca le utà che presetao le modaltà y del carattere Y, qualuque sa la modaltà assuta dal carattere X e, al solto, rappreseta l umero totale delle utà osservate Le corrspodet frequeze relatve sarao ovvamete: f f h f f h f 38

39 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa - Msura dell assocazoe tra caratter S è detto che l problema che s vuol trattare relatvamete alle dstrbuzo statstche doppe (X, Y) è quello rguardate lo studo delle relazo tere tra la coppa X e Y S'tusce mmedatamete come l problema stesso possa essere vsto sotto agolazo vsual molto dverse a secoda degl aspett che s debboo cosderare vsta degl scop da persegure oostate le molteplc sfaccettature che lo studo delle relazo tere tra le compoet d ua dstrbuzoe statstca doppa può presetare, è possble procedere ad u raggruppameto due grad categore: a) Studo della coessoe b) Studo della tercoessoe el prmo caso s tede ad accertare se ua delle due varabl e/o mutabl è coessa all'altra cosderata come atecedete o ecessaramete causale; el secodo caso s cerca d stablre se esste ua recproca flueza tra le due compoet seza che s cosder ua delle due come atecedete dell'altra Lo studo della coessoe e tercoessoe è fodato sul cocetto d dffereza S dce che tra due varabl e/o mutabl X e Y compoet la dstrbuzoe doppa (X, Y) esste dffereza quado per tutt gl elemet della tabella a doppa etrata vale la relazoe: * ed ache per,,, h;,,, Tutte le volte che la relazoe d uguaglaza o è soddsfatta, coè * quado le frequeze osservate soo dverse dalle frequeze attese (teorche) sotto l potes d dpedeza stocastca, s dce che tra le due compoet la dstrbuzoe statstca doppa esste ua qualche relazoe el seso che essedo ote le modaltà assute dalla varable o mutable cosderata come atecedete s può fare ua qualche 39

40 B Chadotto Versoe 00-Cap4 Metod statstc per le decso d mpresa prevsoe (cogettura) sulle modaltà dell'altra varable o mutable (coessoe) oppure che esste ua certa tedeza ad assocars delle modaltà (tercoessoe) * La relazoe d uguaglaza che defsce l dffereza,, è pù comuemete ota come la relazoe d dpedeza tra le compoet S tratta dello stesso cocetto d dpedeza (statstca o stocastca o el seso del calcolo delle probabltà) gà trodotto a proposto delle varabl casual doppe e, acora prma, quado s è trattato d evet dpedet Quado tra le compoet X e Y della dstrbuzoe statstca doppa esste ua qualche relazoe s dovrà procedere alla dvduazoe d dc capac d forre ua msura del grado d assocazoe (sa el seso della coessoe che quello della tercoessoe) esstete U modo aturale per arrvare alla defzoe d dc d assocazoe è quello d predere avvo dal cofroto tra le frequeze emprche osservate e le frequeze teorche * che s sarebbero otteute el caso d dpedeza (statstca, stocastca, probabltà) tra le due compoet la dstrbuzoe doppa Le quattà c * per,,,h;,,, vegoo dette cotgeze assolute, metre s dcoo relatve le cotgeze c * C * * * Rsulta evdete come l cofroto attraverso le cotgeze relatve sa pù sgfcatvo d quello tra cotgeze assolute o rsetedo dell orde d gradezza delle ettà poste a cofroto Per otteere degl dc che msurao l grado d allotaameto dall potes d dpedeza tra le compoet basterà stetzzare le cotgeze attraverso mede 40

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