2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale

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1 BIOSTATISTICA 2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.1

2 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.2

3 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE CARATTERE (VARIABILE) QUALITATIVO QUANTITATIVO NOMINALE (ES.GENERE) ORDINALE (ES.GIUDIZIO ALL ESAME) DISCRETO (ES.NUMERO DI FIORI DI UNA PIANTA) CONTINUO (ES.STATURA) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.3

4 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE Siamo interessati a stimare l incremento del peso delle cavie nutrite con una certa dieta UNIVERSO PARAMETRI CAMPIONE STIMATORI ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.4

5 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE Siamo interessati a stimare l incremento del peso delle cavie nutrite con una certa dieta UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE CAMPIONE STIMATORI Ad un campione casuale di 12 cavie viene somministrata la dieta in studio dalla nascita fino all età di 3 mesi e ne vengono registrati gli incrementi di peso ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.5

6 2. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE CAMPIONE DESCRIVERE STATISTICHE n = y i : generica i-esima osservazione (i = 1, 2,,12) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.6

7 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA CAMPIONE STATISTICHE A. Come si distribuiscono i dati campionari? B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? C. Quanto sono dispersi i dati campionari? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.7

8 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA A. Come si distribuiscono i dati campionari? Classi di valori Frequenze assolute Frequenze relative (%) totale DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.8

9 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA A. Come si distribuiscono i dati campionari? Classi di valori Frequenze assolute Frequenze relative frequenze ISTOGRAMMA classi di valori ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE - 2.9

10 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA A. Come si distribuiscono i dati campionari? Distribuzione simmetrica Distribuzione con asimmetria positiva Distribuzione con asimmetria negativa ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

11 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA Possiamo ottenere la distribuzione di frequenza anche per gli altri tipi di caratteri: Carattere nominale (genere): M M M M M F F M M F Carattere ordinale (giudizio all esame): Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff M F Insuff Suff Buono Ottimo ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

12 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA CAMPIONE STATISTICHE A. Come si distribuiscono i dati campionari? B. Quale Come valore possiamo assumono sintetizzare i media dati campionari? i dati campionari? C. Quanto sono dispersi i dati campionari? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

13 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? INDICI DI POSIZIONE Medie non analitiche Moda Mediana (e quartili) Medie analitiche Media aritmetica Media geometrica ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

14 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Medie non analitiche Moda È il dato campionario che si manifesta con maggiore frequenza. Essendo una media non analitica possiamo calcolarla per qualsiasi tipo di carattere (qualitativo o quantitativo) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

15 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? M M M M M F F M M F 7 6 frequenze ISTOGRAMMA Carattere Nominale 1 M F MODA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

16 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff ISTOGRAMMA 4 Carattere Ordinale frequenze Insuff Suff Buono Ottimo MODA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

17 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Qual è il valore modale? frequenze 4 3 ISTOGRAMMA Carattere Quantitativo classe modale = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

18 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Distribuzione unimodale Distribuzione bimodale ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

19 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Medie non analitiche Mediana È l osservazione centrale dei dati campionari disposti in ordine crescente o decrescente. Essendo una media non analitica possiamo calcolarla anche per caratteri qualitativi ordinali (NON nominali) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

20 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff Insuff Disposizione in ordine crescente Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo n= Me = 2 = 6 Insuff Insuff Suff Suff Suff Me=Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo frequenze ISTOGRAMMA Carattere Ordinale Insuff Suff Buono Ottimo MEDIANA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

21 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? frequenze Buono Buono Suff Suff Suff Ottimo Insuff Ottimo Buono Suff Insuff Insuff Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo Ottimo n=12 12 Me = 2 Disposizione in ordine crescente = 6 e Me = 12 2 ISTOGRAMMA Carattere Ordinale +1 = 7 1 Insuff Suff Buono Ottimo MEDIANA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

22 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Disposizione in ordine crescente n=12 12 Me = 2 = 6 =60 Me = Me = 2 +1 = 7 = La mediana rimane 60! Non è sensibile ai valori estremi! ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

23 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? frequenze 4 3 ISTOGRAMMA Me= ISTOGRAMMA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

24 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Medie non analitiche Quartili Sono le osservazioni che dividono in 4 parti uguali i dati campionari disposti in ordine crescente o decrescente. Essendo medie non analitiche possiamo calcolarle anche per caratteri qualitativi ordinali (NON nominali) 25% 25% 25% 25% q25 Me q75 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

25 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? ESEMPIO 1: n/4 non è un numero intero q25 = Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff Insuff 11 4 Disposizione in ordine crescente Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo = 2.75 n=11 1 quartile: a sn abbiamo il 25% della popolazione, a ds il 75% Mediana (o 2 quartile): prendo il primo numero intero più grande (3 ) a sn abbiamo il 50% della popolazione, a ds il 50% Me = = 6 3 quartile: a sn abbiamo il 75% della popolazione, a ds il 25% q75 = 3 4 * 11 = 8.25 prendo il primo numero intero più grande (9 ) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

26 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? ESEMPIO 1: n/4 non è un numero intero Modalità Insuff Suff Buono Ottimo - Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo Frequenze assolute Frequenze cumulate pos: q25=insuff 6 pos: Me=suff 9 pos: q75=buono 4 n=11 frequenze Insuff Suff Buono Ottimo q25 MEDIANA q75 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

27 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? q25 = ESEMPIO 2: n/4 è un numero intero Buono Buono Suff Suff Suff Ottimo Insuff Insuff Buono Suff Insuff Insuff Disposizione in ordine crescente Insuff Insuff Insuff InsuffSuff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo 12 4 = 3 n=12 1 quartile: a sn abbiamo il 25% della popolazione, a ds il 75% Mediana (o 2 quartile): prendo n/4 (3 ) e n/4+1 (4 ) a sn abbiamo il 50% della popolazione, a ds il 50% Me = 3 quartile: a sn abbiamo il 75% della popolazione, a ds il 25% q75 = * 12 = 6 = 9 e Me = = 7 prendo 3*n/4 (9 ) e 3*n/4+1 (10 ) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

28 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? ESEMPIO 2: n/4 è un numero intero Modalità Insuff Insuff Insuff Insuff Suff Suff Suff Suff Buono Buono Buono Ottimo Frequenze assolute 4 Frequenze cumulate 4 3 e 4 pos: q25=insuff Suff e 7 pos: Me=suff Buono Ottimo e 10 pos: q75=buono 4 n=12 frequenze Insuff Suff Buono Ottimo q25 MEDIANA q75 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

29 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? INDICI DI POSIZIONE MEDIE ANALITICHE MEDIA ARITMETICA Somma dei valori osservati divisa il numero di osservazioni (numerosità campionaria) y = n i = 1 n y i ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

30 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? n MEDIA ARITMETICA y = i = 1 n y i = = = 60 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

31 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? frequenze 4 3 ISTOGRAMMA MEDIA ARITMETICA y = 60 Definisce la posizione media dei valori campionari ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

32 frequenze 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? y = 60 frequenze La media aritmetica è influenzata dai valori estremi 126 y = 65 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

33 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA La media aritmetica si può calcolare SOLO per caratteri QUANTITATIVI: Carattere nominale (genere): M M M M M F F M M F Carattere ordinale (giudizio all esame): Buono Buono Suff Suff Suff Insuff Ottimo Buono Suff Insuff y = n i = 1 n y i ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

34 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA Distribuzione simmetrica Media Mediana aritmetica= = Moda Distribuzione con asimmetria positiva Moda Mediana Media aritmetica Distribuzione con asimmetria negativa Media aritmetica Mediana Moda ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

35 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? MEDIA GEOMETRICA Radice n-esima del prodotto dei valori osservati Mg = n n i= 1 y i che, per le proprietà dei logaritmi diventa: log(mg) = n n 1 log(y ) = i= i n i= 1 1 log(y ) n i Il logaritmo della media geometrica è la media aritmetica dei logaritmi dei valori osservati ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

36 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? Titoli anticorpali 1/25 Grandezze biologiche misurate in scala di diluizione a raddoppio - log(25) Espressi in logaritmi Possono essere scritti come - (0 log 2+log 25) 1/50 1/100 1/200 1/400 - [log(2) 1 + log(25)] - [log(2) 2 + log(25)] - [log(2) 3 + log(25)] - [log(2) 4 + log(25)] - (1 log 2+log 25) - (2 log 2+log 25) - (3 log 2+log 25) - (4 log 2+log 25) log(mg) = [ 5 = [ ] + 4 log(2) = log(25)] = il cui antilogaritmo è: 10-2 = 1/100 e quindi Mg = 1/100 = 5 1/25*1/50*1/100*1/200*1/400 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

37 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA CAMPIONE STATISTICHE A. Come si distribuiscono i dati campionari? B. Come possiamo sintetizzare i dati campionari? C. Quanto sono dispersi i dati campionari? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

38 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? dispersione dispersione posizione ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

39 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? CAMPO DI VARIAZIONE (o range o escursione) È l ampiezza assoluta tra i valori estremi delle osservazioni ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

40 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? Disposizione in ordine crescente CAMPO DI VARIAZIONE = (68-52) = = CAMPO DI VARIAZIONE = (128-52) = = 76 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

41 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? Il box plot è un utile strumento per visualizzare la distribuzione di un carattere visualizzandone indici di posizione e di dispersione q25=57 Me=60 q75=63 Distanza interquartilica (IQR) = q75-q25 = 6 Soglia per outliers: >1.5*IQR più grande di q75 o <1.5*IQR più piccolo di q Outliers q75+1.5*iqr=63+1.5*6= IQR q25-1.5*iqr==57-1.5*6=48 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

42 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? DEVIAZIONE STANDARD Radice quadrata della somma degli scarti quadratici dei valori osservati dalla media aritmetica divisa il numero di osservazioni meno uno s = 12 Σ(y i - y) 2 i =1 n - 1 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

43 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? y i (y i - y) = = = = = = = = = = = = - 8 y = Σ (y i - y) = 0 i =1 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

44 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? y i (y i - y) 2 (52-60) 2 = 64 (56-60) 2 = 16 (57-60) 2 = 9 (57-60) 2 = 9 (59-60) 2 = 1 (60-60) 2 = 0 (60-60) 2 = 0 (61-60) 2 = 1 (63-60) 2 = 9 (63-60) 2 = 9 (64-60) 2 = 16 (68-60) 2 = 64 y = Σ (y i - y) 2 = 198 i =1 Devianza ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

45 2a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? 12 Σ (y i - y) 2 = 198 i =1 Devianza Aumenta con il numero di osservazioni 12 Σ(y 198 i i i =1 i - y) 2 = n -1 = = Varianza Unità di misura elevata al quadrato rispetto ai dati originali 12 Σ(y i i =1 i i - y) 2 n n- 1 = = Deviazione standard Perché (n - 1) e non n? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

46 i a. UN CARATTERE MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA C. Quanto sono dispersi i dati campionari? y i y = 60 (y i - y) (52-60) = -8 (56-60)= -4 (57-60) = -3 (57-60) = 3 (59-60) = -1 (60-60) = 0 (60-60) = 0 (61-60) = 1 (63-60) = 3 (63-60) = 3 (64-60) = 4 (68-60) = 8 12 i =1 Σ (y i - y) = 0 Da quante osservazioni dipende dev? Nota y voglio calcolare dev VINCOLO Mi basta calcolare (y 1 -y), (y 2 -y),,(y n-1 -y) e l ultimo termine (y n -y) è completamente determinato dal vincolo: mi servono solo n-1 osservazioni (n-1 gdl) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

47 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

48 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO µ? Campione STATISTICA INFERENZIALE descrizione y Forma Posizione Dispersione Distribuzione di frequenza Media aritmetica Deviazione standard STATISTICA DESCRITTIVA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

49 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO Campione Tutti i possibili 1 campioni Distribuzione campionaria Frequenza y Media Medie campionaria campionarie ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

50 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà delle distribuzione campionaria A. Come si distribuiscono le medie campionarie? B. Quale valore assumono in media le medie campionarie? C. Quanto sono disperse le medie campionarie? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

51 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà delle distribuzione campionaria Frequenza Media Medie campionaria campionarie TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE A DISTRIBUZIONE approssimativamente normale indipendentemente dalla forma della distribuzione di frequenza della variabile nella popolazione bersaglio (se n sufficientemente grande) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

52 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione campionaria Frequenza Media Medie campionaria campionarie A. Come si distribuiscono le medie campionarie? B. Quale valore assumono in media le medie campionarie? C. Quanto sono disperse le medie campionarie? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

53 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Frequenza µ Media Medie campionaria campionarie TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE B MEDIA CAMPIONARIA: stimatore corretto coincide con quella della media aritmetica del carattere nella popolazione dalla quale i campioni sono stati estratti ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

54 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione campionaria Frequenza Media Medie campionaria campionarie A. Come si distribuiscono le medie campionarie? B. Quale valore assumono in media le medie campionarie? C. Quanto sono disperse le medie campionarie? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

55 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Frequenza es = σ n µ Media Medie campionaria campionarie TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE C ERRORE STANDARD è la deviazione standard di una distribuzione campionaria: es = σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

56 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Distribuzione normale es = σ n Medie Media campionarie: campionaria y µ Osservazioni y i non per forza Gaussiane e caratterizzate da due parametri: µ e σ 2 Medie campionarie y~n(µ,σ 2 /n) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

57 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Le medie campionarie sono tanto più disperse intorno alla media µ tanto più: Frequenza es = σ n µ Media Medie campionaria campionarie il carattere è disperso nella popolazione il campione è piccolo ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

58 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Proprietà della distribuzione campionaria Forma normale es = σ n µ y i Distribuzione normale standardizzata area = 1 y i - µ 1 0 z = σ y i - µ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

59 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata 0 1 z Medie campionarie: y i µ Distribuzione normale n y i i e n y f ) ( 2 1 ) ( σ µ π σ = σ n es = n z e n z f ) ( π = 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE

60 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Misure di variabilità 12 Σ (y i - y) 2 i =1 Devianza 12 Σ(y i - y) 2 i =1 n -1 = σ 2 Varianza 12 Σ(y i - y) 2 i =1 n - 1 = σ Deviazione standard σ n Errore standard ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

61 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata

62 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = Pr { z +0.5} = Area = Pr { 0.1 z 0.5} = Pr {z 0.5} - Pr {z 0.1} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

63 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = Pr { z 0.2} = 1 - Pr { z 0.2} = = Area = Pr { z - 0.8} = Pr {z 0.8} 1 - Pr { z 0.8} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

64 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = Area: Pr { -0.5 z 0.5} = z Pr { -0.5 y - µ z 0.5} = σ / n Pr { y -0.5 σ / n µ y σ / n } = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

65 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata Area = z Pr { y σ / n µ y σ / n } = 0.95 Limiti di confidenza al 95% della media µ della popolazione ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

66 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO µ? Campione n = descrizione y = 60 Media aritmetica Pr { y σ / n µ 60 y σ / n } = 0.95? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

67 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Dalla distribuzione normale standardizzata... area = z = σ y - µ n area = 1 alla distribuzione t 1 σ è sostituito dal suo stimatore s 0 t = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE s y - µ n

68 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione t gdl gdl 2 gdl t = 0 s y - µ n Non esiste una sola distribuzione t, ma una famiglia di distribuzioni corrispondenti ai diversi gradi di libertà ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

69 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione t gdl ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

70 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE n=10 Pr { t 1} = n=5 Pr { 0.1 t 0.5} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

71 2b. 3. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione normale standardizzata n=15 Pr { t 0.2} = n=8 Pr { t - 0.8} = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

72 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE POPOLAZIONE BERSAGLIO µ Campione n = Pr=95%: t =2.36 t =-2.36 descrizione y = 60 s = 4.2 Media aritmetica Deviazione standard Pr { y s / n µ y s / n } = ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

73 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) ricordando che y = 60 e s = 4.2, scegliendo un valore di t corrispondente a una probabilità del 95% che, per (n-1= 7) gdl, è 2.36, allora µ è compresa nell intervallo: 60 ± 2.36 (4.2 / 8) 56.5, 63.5 con una probabilità del 95% Intervallo di confidenza al 95% della media µ della popolazione ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

74 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) y = 60 n = 8 s = , 63.5 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % Se volessimo diminuire il grado di incertezza n = s = , 63.7 t (1-0.99)/2;11 = 3.50 Pr = 99 % ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

75 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) y = 60 n = 8 s = , 63.5 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % Se disponessimo di un campione meno numeroso n = s = , 63.8 t (1-0.99)/2;11 = Pr = 95 % ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

76 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE y ± t (s / n) y = 60 n = 8 s = , 63.5 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % Se il carattere fosse più disperso nella popolazione n = s = , 65.3 t (1-0.95)/2;11 = 2.36 Pr = 95 % ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

77 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Interpretazione degli intervalli di confidenza IC al 95% X X X Se ripetessimo l esperimento 100 volte, la media µ sarebbe compresa nell intervallo 95 volte In 95 casi µ è compresa qui X X ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

78 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Distribuzione di 10 intervalli di confidenza Livello di confidenza 90% La VERA media non è contenuta nell intervallo di confidenza ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

79 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Inferenza Ci sono essenzialmente 4 tipi di inferenza I1. Calcolo delle probabilità I2. Stima dei parametri I3. Intervalli di confidenza I4. Test d ipotesi Assumiamo che i parametri siano noti Assumiamo che i parametri siano ignoti Variabile di interesse continua Il fenomeno in studio ha una distribuzione simmetrica? y i ~N(µ,σ 2 ) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

80 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN Continuous CAMPIONE: dataelementi DI STATISTICA INFERENZIALE Il passo successivo è valutare i parametri della distribuzione per poter fare inferenza sui parametri della popolazione di interesse. Tipicamente ci interessano 1. La media della popolazione 2. La varianza della popolazione 1. Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono note Calcolo delle probabilità 2. La media della popolazione µ è ignota (oggetto dell inferenza), ma la deviazione standard σ è nota 3. Sia la media µ che la deviazione standard σ sono ignote ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

81 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale entrambi i parametri sono noti Caso 1: Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono note I1. Calcolo delle probabilità E facile calcolare le probabilità di una variabile casuale Normale standard, tramite opportune tavole Standardizziamo la nostra variabile casuale normale e calcoliamo la probabilità dalle tavole Pr { -0.5 y 0.5} µ µ Pr { z } σ / n σ / n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

82 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale media ignota Caso 2: Media µ ignota e deviazione standard σ nota I2. Stima dei parametri L unico parametro da stimare è la media µ dato che la deviazione standard è nota Utilizziamo l informazione proveniente dal campione y = n i = 1 Associamo una stima della dispersione del parametro tramite lo standard error n y i se= σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

83 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale media ignota Caso 2: Media µ ignota e deviazione standard σ nota I3. Intervallo di confidenza Possiamo identificare un intervallo di confidenza, ad esempio al 95% per la media della popolazione µ: Pr { y z α/2 σ / n µ y + z α/2 σ / n } = 0.95 σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

84 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale entrambi i parametri sono ignoti Caso 3: Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono ignote I2. Stima dei parametri Dobbiamo stimare sia la media che la varianza campionaria Utilizziamo l informazione proveniente dal campione y = n i = 1 n y i n s = i = 1 (y i n-1 - y) 2 L errore standard sarà se = s n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

85 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Popolazione normale entrambi i parametri sono ignoti Caso 3: Media µ e deviazione standard σ della popolazione sono ignote I3. Intervallo di confidenza Possiamo identificare un intervallo di confidenza, ad esempio al 95% per la media della popolazione µ: Pr { y t g, α/2 s / n µ y + t g, α/2 s / n } = 0.95 Dobbiamo utilizzare la stima campionaria della deviazione standard σ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

86 Media e deviazione standard della popolazione (oggetto di inferenza) Errore standard: rappresenta una stima dell incertezza intorno allo stimatore della media µ x,s2x Media e deviazione standard campionarie (usate per stimareµe σ2) 2b. UN CARATTERE QUANTITATIVO MISURATO IN UN CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE (Popolazione) Parametri and stimatori (Popolazione normale) Quantità teoretiche Quantità (funzioni di vs osservabili parametri ignotiµ, σ2) (NB Di solito ci interessaµ) se= µ, σ2 x,s2x σ n Idealmente vorremmo misurareµ. Dato che non possiamo, utilizziamo un suo stimatore Idelamente vorremmo avere un idea dell incertezza associata alla stima Nella pratica usiamo l informazione campionaria per stimare questa variabilità se= Errore standard stimato: dato che non conosciato il vero valoreσl unica cosa da fare è utilizzare l informazione campionaria per stimare questa quantità ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE s n

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