8-9 Analisi di reti normali

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Emanuele Ranieri
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1 Lati della rete ipoli normali lettrotenia 8-9 Analisi di reti normali Per iasuno degli l ipoli (lati) GT GC ell analisi sono da determinare l tensioni l orrenti l inognite G Sistema di equazioni di rete Tipologihe: 0 ( / GC) 0 0 l G 0 ( / GT) G 0 G 0 Topologihe: anelli ± 0 a m maglie indipendenti l maglie fondamentali nodi ± 0 a n tagli indipendenti tagli fondamentali l vinoli Commenti USCT: e (inognite) GSS: e (termini noti) Sistema di equazioni lineari a oeffiienti ostanti (della rete inerte): Coeffiienti di onnessione 0,, esistenze e onduttanze, G

2 Soluzione rete uona : le equazioni sono indipendenti e ompatiili la soluzione esiste ed è unia Per tutte le tensioni e le orrenti dei lati essuna o infinite soluzioni reti attive : a) mpossiile (equazioni inompatiili) ) ndeterminata (equazioni dipendenti) e e e j j j ) on i interessano! 6 Metodi ridotti ) l sistema l x l può essere pesante ) Formulazioni alternative: Frazionare il sistema in sottosistemi più semplii he fornisono soluzioni intermedie ) Consideriamo tre possiili vie ) Sovrapposizione degli effetti ) Soluzione nelle orrenti ) Soluzione nelle tensioni effetti (teorema -. 9) - Sistema delle equazioni di rete: G l ± 0 ± 0 lineare > vale la sovrapposizione degli effetti. 7 8

3 effetti (teorema -. 9) - Ogni usita ( h o h ) è uguale alla somma degli effetti (tensioni o orrenti) prodotti nel lato h da iasun ingresso ( o ) he agise da solo (on tutti gli altri ingressi spentiannullati): l (l ) hl effetti (teorema -. 9) - Ogni usita ( h o h ) è uguale alla somma degli effetti (tensioni o orrenti) prodotti nel lato h da iasun ingresso ( o ) he agise da solo (on tutti gli altri ingressi spentiannullati): l (l ) hl h h h h hl h(l ) hl 9 0 effetti (teorema -. 9) - Ogni usita (tensione o orrente h o h ) è uguale alla somma degli effetti ( o ) prodotti nel lato h da iasun ingresso ( o ) he agise da solo (on tutti gli altri ingressi spentiannullati): l (l ) hl h h h h hl h(l ) hl h h h h hl h(l ) hl effetti (teorema -. 9) - Preisazioni: ingresso spento (annullato) vuol dire on la grandezza impressa azzerata 0 > un GT diviene v un ortoiruito 0 > un GC diviene un iruito aperto v i i

4 effetti (teorema -. 9) -6 Preisazioni e ommenti: l singolo effetto ( o ) ompare in una rete on un solo generatore ideale in azione (GT o GC) e tutti i resistori della rete originale Questa rete è più faile da risolvere he la rete originale, ove agisono insieme tutti i generatori (GT e GC) Ma isogna risolvere tante reti faili quanti sono i GTGC Conviene se il numero GTGC è non troppo elevato (in pratia ( ). effetti (teorema -. 9) -7 Approfondimenti: l singolo effetto (usita) risulta proporzionale alla ausa (ingresso) he lo produe, tramite un oeffiiente di proporzionalità; viene sritto osì a ragione della sua dimensione fisia: α, G, β effetti (teorema -. 9) -8 nfatti, definizioni: α G h p 0 p 0 q q h β p p 0 q 0 q h h p 0 p 0 q q p 0 p 0 q q effetti (teorema -. 9) -9 Pertanto: h αh h h h... α ' ' ( ' ) '... h Gh... Gh ' ' βh( ' ) '... βh Attenzione: ale solo per tensioni e orrenti l l l l l l l l l l l l 6

5 effetti (teorema -. 9) -9 Pertanto: h αh h h h... α ' ' ( ' ) '... h Gh... Gh ' ' βh( ' ) '... βh l l l l l l l l l l l l Attenzione: ale solo per tensioni e orrenti, non vale per le potenze:, P pq h h h p q hp hq Coeffiienti di rete - Sono i oeffiienti di proporzionalità: α G β ) Dipendono dalla rete inerte (, G e loro onnessioni, a GT e GC spenti) ) Sono SMP rapporti tra effetti (usite) e ause (ingressi); MA l inverso. 7 8 Coeffiienti di rete - Teorema di reiproità Legano un effetto he si manifesta in qualhe parte della rete alla sua unia ausa, presente da un altra parte; sono: FUZO D TASFMTO: Conetto fondamentale nell ingegneria, speialmente in quella dei segnali e dell informazione (questi oeffiienti di rete ne sono esempi semplii, ostituiti da numeri reali; in generale le funzioni di trasferimento sono numeri omplessi) 9 Le reti di ipoli presentano sempre questa notevole proprietà G α G (non quelle di n-poli, in generale) Si può dimostrare rigorosamente (ma non lo faiamo). h h β h 0

6 sempio - sempio - Azione di ( 0) a) ), β Azione di ( 0) s sempio - Sovrapposizione: sempio - ( ) α, G è verifiata l equazione tipologia:

7 Potenza: sempio - on è uguale alla somma : ( ) P ( ) ( ) Metodi ridotti ) l sistema l x l può essere pesante ) Formulazioni alternative: Frazionare il sistema in sottosistemi più semplii he fornisono soluzioni intermedie ) Consideriamo tre possiili vie ) Sovrapposizione degli effetti ) Soluzione nelle orrenti ) Soluzione nelle tensioni 6 Soluzione nelle orrenti Tutti i ipoli devono essere ontrollati in orrente esprimiili ome GT. sono eslusi solo i GC Per tutti i lati vale on i asi limite Metodo delle orrenti ilihe di maglia - ± 0 a m maglie fondamentali > ± ( ) 0 a m maglie fondamentali > ± ± a m maglie fondamentali elle stesse m maglie fondamentali si onsiderano m orrenti ilihe M m, on le quali, per ogni lato: ± M > ± ( ± ) ± a m maglie fondam. M 7 8

8 Metodo delle orrenti ilihe di maglia - M M h ± Mh Mh M... m M Σ h h : resistenza (o autoresistenza) di maglia (somma di tutte le resistenze dei suoi lati); Mh Σ h : resistenza omune (o mutua) tra le maglie e h (somma di tutte le resistenze dei lati in omune on la maglie h; Mh M ) M Σ h ± h : tensione impressa (f.e.m.) di maglia (somma algeria delle le f.e.m. dei suoi lati) sempio ( 6 8 7) M 6M 6M 8M 6 8 ( 6) M 6M ( 6) M M 6 ( 6) M 6M ( 6) M ( ) M ( 8) M 8M M ( ) M 8 a a M a a M a a 6 M a 8 M a sempio a a M a a M a a 6 M a 8 M a sempio a a a M a M a a 6 M a 8 M a 7 7 M M M M M M 7 M M M M M M 7 7 7

9 Metodo delle orrenti ilihe di anello (per reti piane) - Le equazioni si appliano a m anelli (di solito interni) nei quali si onsiderano m orrenti ilihe A m, on le quali, per ogni lato: ± A Ah A > ( ) ± a m anelli A Ah Metodo delle orrenti ilihe di anello (per reti piane) - Ovvero: A A h Ah Ah A... m A Σ h h : resistenza (o autoresistenza) di anello ; Ah Σ h : resistenza omune (o mutua) tra gli anelli e h (del lato in omune on l anello h; Ah A ) A Σ h ± h : tensione impressa (f.e.m.) di anello. Metodo delle orrenti ilihe di anello (per reti piane) - A A h Ah Ah A... m ote: Per ogni lato interno dell anello -esimo passa un solo altro anello h-esimo, on orrente opposta (l addendo h-esimo si sottrae sempre) Per ogni lato esterno dell anello -esimo non passa alun altro anello Le orrenti dei lati interni ed esterni sono poi alolate ome ± A Ah A a : : : sempio - Aa 6 A A ( ) Aa A 6 ( ) A Aa A ( ) A A 6 6

10 sempio - Aa 6 A sempio - Aa 6 A A A Aa A A Aa A 6 Aa A A A Metodi ridotti ) l sistema l x l può essere pesante ) Formulazioni alternative: Frazionare il sistema in sottosistemi più semplii he fornisono soluzioni intermedie ) Consideriamo tre possiili vie ) Sovrapposizione degli effetti ) Soluzione nelle orrenti ) Soluzione nelle tensioni Soluzione nelle tensioni Tutti i ipoli devono essere ontrollati in orrente esprimiili ome GC. sono eslusi solo i GT Per tutti i lati vale G on i asi limite G 9 0

11 Metodo dei potenziali ai nodi - G ± 0 a n nodi > ± ( G ) 0 a n nodi > ± G ± a n nodi egli stessi n nodi si onsiderano gli n potenziali (all n-esimo si pone n 0) on ui, per ogni lato: h ± > G( ) ± a n nodi h Metodo dei potenziali ai nodi - G h G... ( n ) h h G Σ h G h : onduttanza (o auto onduttanza) di nodo (somma di tutte le onduttanze dei suoi lati); G Mh Σ G h : onduttanza omune (o mutua) tra i nodi e h (onduttanza tra i due nodi; G h G ) Σ h ± h : orrente impressa (f.e.m.) di nodo (somma algeria delle le.i. dei suoi lati) sempio - G o G G 6 a 6 G a ( G G) a G 6 ( G G) G 6 G ( G G G ) G G a 6 a a a sempio - G G 6 a 6 G G o G

12 sempio - eti on lati anomali - G G G G o G G 6 a 6 G el metodo delle orrenti ilihe un lato formato da un GC è anomalo; si può trattare: La tensione inognita è trattata ome una tensione impressa di un GT: A A h Ah Ah A ± G Si aggiunge un equazione in più, usando la.i. : A Ah A ± 6 sempio eti on lati anomali - a ( ) Aa A 6 ( ) A Aa A ( ) A A 6 x Aa A 6 Aa A 6 6 A el metodo dei potenziali ai nodi un lato formato da un GT è anomalo; si può trattare: La orrente inognita è trattata ome una orrente impressa di un GC: G h G ± h h Si aggiunge un equazione in più, usando la f.e.m. : h ± 7 8

13 sempio a ( G G) G a 6 ( G G G ) 6 ( G G G) G G a x a 6 G G G G 6 a 6 o G 9

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