INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI

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1 INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI Mirta Debbia LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) - Maria Cecilia Zoboli - LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) -

2 INDICE Presetazioe Pag. Schema delle attività Pag. ^LEZIONE Itroduzioe al cocetto di successioe Pag.3 ^LEZIONE Itroduzioe all uso della calcolatrice TI89: ambieti Home, Yeditor, Graph e Table; grafico di ua successioe Pag.4 3^LEZIONE Itroduzioe al cocetto di serie umerica Pag.9 4^LEZIONE Proprietà di alcue serie umeriche Pag. 5^LEZIONE U umero atico: PIGRECO Pag. 6^LEZIONE U umero famoso: il umero e Pag.5 7^LEZIONE U esempio di geometria frattale: il fiocco di eve di Koch Pag.8 Bibliografia Pag. Verifica fiale Pag. Osservazioi sulla fase di sperimetazioe Pag.3 Questioario di gradimeto e risultati Pag.5

3 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli Presetazioe Fialità Usare la TI89 i modo critico e cotrollato Usare la TI89 per fare cogetture Usare la TI89 per cercare soluzioi diverse da quelle tradizioali a situazioi problematiche Argometi trattati Obiettivi Metodologia Successioi e serie Alcue successioi e serie otevoli Acquisire alcue coosceze di base sull uso della TI89 Acquisire i cocetti di successioe e di serie Lezioi frotali ed utilizzo del view scree per l esposizioe dei cocetti fodametali Uso di ua macchia TI89 per ogi coppia di studeti Scoperta guidata di leggi e proprietà co evetuali discussioi sulle difficoltà icotrate dall aluo Tempi di attuazioe Destiatari 5 ore circa Alui delle classi quarte PNI

4 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli SCHEMA DELLE ATTIVITA ARGOMENTO METODOLOGIA E STRUMENTI TEMPI ^LEZIONE Itroduzioe al cocetto di successioe Lezioe frotale Studio guidato ora ^LEZIONE Itroduzioe all uso della calcolatrice TI89: ambieti Home, Yeditor, Graph e Table; grafico di ua successioe Schede guidate Studio guidato View-scree TI89 3 ore 3^LEZIONE Itroduzioe al cocetto di serie umerica Lezioe frotale Studio guidato TI89 ora 4^LEZIONE Proprietà di alcue serie umeriche Studio guidato View-scree TI89 3 ore 5^LEZIONE U umero atico: PIGRECO Lezioe frotale Studio guidato TI89 ore 6^LEZIONE U umero famoso: il umero e Lezioe frotale Studio guidato TI89 ore 7^LEZIONE U esempio di geometria frattale: il fiocco di eve di Koch Lezioe frotale Studio guidato View-scree TI89 ore 8^LEZIONE Verifica fiale co la TI89 ora

5 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli I LEZIONE (u ora) Situazioe problematica: cosideriamo u segmeto AB di lughezza. Dalla geometria sappiamo che è possibile dividerlo i due parti tra loro cogrueti, grazie al teorema dell esisteza e uicità del puto medio di u segmeto. Le due parti AB e B B soo etrambe di lughezza a =a/. Possiamo ripetere la procedura di dimezzameto sul segmeto AB, otteedo u segmeto AB che rappreseta la quarta parte del segmeto AB di parteza. Determiare le lughezze a, a, a,, a dei segmeti AB, che si ottegoo iterado fio ad volte la procedura. Defiizioe di successioe umerica Esempi: La successioe: {,4,6,8,...,,... } idica l isieme dei umeri aturali pari La scrittura idica la successioe di termie geerale a = a = La scrittura a = idica la successioe di Fiboacci, che risulta defiita a = a + a per ricorreza Defiizioe di successioe mootoa Studiare il comportameto della successioe Studiare il comportameto della successioe Studiare il comportameto della successioe a = 3 a = a π = se( ) Esempio di successioe aritmetica: {,6,9,...,3,...} ( a + a ) S = può dimostrare che 3 - Defiizioe di successioe aritmetica - Si Esempio di successioe geometrica: q S = a può dimostrare che q. a = (,) - Defiizioe di successioe geometrica - Si 3

6 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli II LEZIONE ( ore) I Parte Itroduzioe all uso della calcolatrice TI89, co particolare riferimeto agli ambieti HOME, Y-EDITOR, GRAPH e TABLE. II Parte Rappresetazioe grafica di successioi co la TI Esempio : a = + 3 PASSAGGI TI89 TASTI DA PREMERE. Visualizzare la fiestra di dialogo MODE. Impostare il modo GRAPH su SEQUENCE 3 B 4. Visualizzare Y-EDITOR e digitare, a fiaco di u=, la legge di defiizioe della successioe. ( Si digiti (3*+)/(*+3). Per le lettere usare il tasto ALPHA; Si può omettere il simbolo * : viee immesso direttamete dalla TI89 che lo cosidera sottiteso. No si utilizzi l espressioe ui=, che serve per defiire le successioi i modo ricorsivo. Per selezioare e deselezioare ua legge di defiizioe di ua su successioe usare il tasto F4. I ambiete GRAPH vegoo tracciate tutte le fuzioi selezioate. ) O D (3ù j +)/(ù j +3) 3. Visualizzare Widow Editor. Impostare le variabili Widow. (mi=, max=5, plotstrt=, plotstep=, xmi=, xmax=5, xscl=, ymi=, ymax=, yscl=). Per ua dettagliata descrizioe delle stesse si veda la tabella O DD D5DDDD5DDDD 4. Visualizzare lo schermo dei grafici. (Lo stile di visualizzazioe delle successioi di default è SQUARE. Per modificarlo digitare dall ambiete Y-EDITOR d F6. Per modificare il formato grafico da Y- EDITOR digitare F 9.) O DDD 4

7 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli 5. Selezioare TRACE (F3 dall ambiete GRAPH). Spostado il cursore sul grafico co il tasto >, vegoo visualizzati sullo schermo i basso i valori di,x,y corrispodeti al puto selezioato. 6. Per determiare le coppie corrispodeti (,u) si può ache attivare l ambiete TABLE. Per otteere i 5 valori della pagia seguete digitare d D. Per otteere valori a partire da diverso da e/o cambiare il passo a,digitare F (TABLE SETUP) e iizializzare il valore di tblstrart e/o tbl ) O DDDD TABELLA N : VARIABILI WINDOW VARIABILE DESCRIZIONE VALORI STANDARD mi, max plotstrt plotstep xmi, xmax ymi, ymax xscl,yscl Valori miimo e massimo di da calcolare Numero del primo elemeto tracciato Valore icremetale di per la sola rappresetazioe grafica Estremi della fiestra di visualizzazioe Distaza fra i puti segati degli assi x e y mi=, max= plotstrt= plotstep= xmi=-, xmax= ymi=-, ymax= xscl=, yscl= Utilizzado allo stesso modo la TI89 rappresetare ache le segueti successioi, impostado la calcolatrice per otteere ua buoa visualizzazioe dei grafici : + ( ) Ex : a = ; Ex 3 : a = / 5

8 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli Situazioe problematica: Quado di ua successioe abbiamo il termie geerale, possiamo idividuare le caratteristiche, ma il ostro vero iteresse è riuscire a domiare il comportameto quado diveta molto grade e i valori della successioe sfuggoo alle elemetari possibilità di calcolo. Aalizzare il comportameto della successioe di termie geerale a = + all aumetare 3 di, utilizzado il grafico (ymax= ) e la tabella dei valori o il comado TRACE (F3). Si osserva che i valori della successioe all aumetare di si avviciao rapidamete a uo. Dall ambiete TABLE si osserva, per esempio, che per =, a=., per =5, a=.3, per =, a=., per = Primo approccio alla defiizioe di limite di ua successioe per tedete a + : DEF: lim = l p > N : m > am l < p a + Per ogi umero reale p, piccolo quato si vuole, si può sempre trovare u umero aturale tale che, per ogi m> si ha che l p < am < l + p. Co la TI89, impostata i modo da otteere ua buoa rappresetazioe grafica, e co l aiuto delle istruzioi riportate ella tabella che segue, iterpretare geometricamete la defiizioe di limite delle segueti successioi:. a = 5 7. a = a = 6

9 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli PASSAGGI TI89 TASTI DA PREMERE 7. Visualizzare la fiestra di dialogo MODE. Impostare il modo GRAPH su SEQUENCE 3 B 4 8. Visualizzare Y-EDITOR e digitare, a fiaco di u=, la legge di defiizioe della successioe. ( Si digiti /). Per le lettere usare il tasto ALPHA; Si può omettere il simbolo * : viee immesso direttamete dalla TI89 che lo cosidera sottiteso. No si utilizzi l espressioe ui=, che serve per defiire le successioi i modo ricorsivo. Per selezioare e deselezioare ua legge di defiizioe di ua su successioe usare il tasto F4. I ambiete GRAPH vegoo tracciate tutte le fuzioi selezioate. O D (3ùj +)/(ùj +3) 9. Visualizzare Widow Editor. Impostare le variabili Widow. (mi=, max=, plotstrt=, plotstep=, xmi=, xmax=, xscl=, ymi=-, ymax=, yscl=.5). Per ua dettagliata descrizioe delle stesse si veda la tabella O DD D D D D D D D - D D.5. Visualizzare lo schermo dei grafici. (Lo stile di visualizzazioe delle successioi di default è SQUARE. Per modificarlo digitare dall ambiete Y-EDITOR d F6. Per modificare il formato grafico da Y- EDITOR digitare F 9.) O DDD. Visualizzare Y-EDITOR e digitare, a fiaco di u=, la legge di defiizioe della successioe costate uguale ad ½( si digiti u=/). A fiaco di u3 digitare la legge della successioe costate uguale a /(si digiti u3=-/).. Visualizzare lo schermo dei grafici. 7

10 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli 3. Selezioare TRACE (F3 dall ambiete GRAPH). Spostado il cursore sul grafico co il tasto >, vegoo visualizzati sullo schermo i basso i valori di,x,y corrispodeti al puto selezioato. 4. Per determiare le coppie corrispodeti (,u) si può ache attivare l ambiete TABLE. Per otteere i 5 valori della pagia seguete digitare d D. Per otteere valori a partire da diverso da e/o cambiare il passo a,digitare F (TABLE SETUP) e iizializzare il valore di tblstrart e/o tbl ) O DDDD N.B. Soo da iterpretare alcui risultati che possoo veire foriti dalla calcolatrice : per esempio, per =8, ell esercizio sopra svolto il risultato è a =. Ciò o è da iterpretare suppoedo che a sia realmete poichè l algebra ci dice che ciò è impossibile. Se co il cursore evideziamo a =., ella riga di itroduzioe appare Ciò ci fa compredere che a =. è u dato scritto i modo approssimato per motivi di spazio. La stessa iterpretazioe (sempre per i limiti di approssimazioe di ogi calcolatore) si potrà dare se ache ella riga di itroduzioe ci sarà u valore di che potrà dare tutte le (max) 3 cifre decimali ulle Si osservi che lim =. Utilizzado gli esempi si formulao le defiizioi di successioi + 3 covergeti, divergeti, oscillati. 8

11 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli III LEZIONE ( ora) Situazioe problematica : I riferimeto al paradosso di Zeoe, suppoiamo che Achille si muova a velocità costate e che impieghi t miuti a coprire la distaza iiziale x che lo separa dalla tartaruga che però si è spostata di u tratto x. Per percorrere il uovo tratto, suppoiamo che Achille abbia impiegato u tempo t/ miuti, poi t/4 miuti per percorrere l ulteriore tratto x e così via. Calcolare se e i quato tempo Achille raggiugerà la tartaruga. Si osserva che La successioe dei tempi parziali si può scrivere come ua successioe geometrica di ragioe. Ifatti a =t; a =t/; a =t/4 Suppoiamo per comodità t=. Quidi avremo a = ; a =/ ; a =/4 ; Si osservi che i tempi successivi dimiuiscoo. Per percorrere x Achille ha perciò impiegato u tempo s =, per percorrere x e x u tempo s =+/, per percorrere x, x e x u tempo s 3 =+/+/4, e così via secodo la tabella qui sotto riportata spazio tempo x s = x + x s =+/ x + x + x s 3 =+/+/4 x + x + x + + x s = + ( / ) + ( / ) ( / ) il tempo da calcolare si potrà scrivere come somma dei termii della successioe geometrica di ragioe ½. ( / ) Defiizioe di somme parziali. Poiché coosciamo s = = / possiamo studiare la successioe delle somme parziali co la TI89 :possiamo disegare il grafico e osservare che al tedere di a ifiito questa coverge a. Defiizioe di serie umerica. Co la TI89 si può calcolare l espressioe s el modo seguete: 9

12 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli PASSAGGI. I ambiete HOME digitare F3-Calc ed evideziare l operatore somma. Digitare la richiesta di somma da a - dei termii della successioe a=/()^k. Nel risultato si ottiee -^(-). 3. Evideziare l ultimo risultato (-^(-)) e copiarlo ella riga di itroduzioe 4. Defiire ua successioe di termie geerale (-^(-)) 5. Ritrovata la successioe i u di Y- EDITOR selezioarla e rappresetarla. TASTI DA PREMERE " DDD (/)Zk,k,,-) C u() OD # SELEZIONARLA CON IL CURSORE 6. Co TRACE o i ambiete TABLE verificare che all aumetare di la successioe tede a. Co la TI89 si può calcolare ache il valore del limite delle s cioè la somma della serie el seguete modo : PASSAGGI TASTI DA PREMERE. I ambiete HOME digitare F3-Calc ed evideziare l operatore somma. " DDD. Digitare la richiesta di somma da a dei termii della successioe a=/()^k. Nel risultato si ottiee. (/)Zk,k,, )

13 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli IV LEZIONE (due ore) Co la TI89 e facedo riferimeto alle tabelle della III lezioe, si aalizzio le successioi delle somme parziali S ed i rispettivi grafici e la somma della serie il cui termie geerale è:. a = ( + ). a = 3. a = ( ) Osservado il diverso comportameto delle serie di termie geerale riportato egli esempi, si può dare la defiizioe di serie covergete, divergete ed oscillate. Situazioe problematica. Cosideriamo il umero fiito. Se eseguiamo la divisioe tra umeratore e deomiatore 9 otiamo che l operazioe o si arresta mai, dado sempre resto uguale ad. Possiamo, cioè, scrivere questo umero come somma di ifiiti altri el seguete modo: = Al umero periodico corrispode così la serie umerica covergete 9. = Geeralizzado l esempio sviluppato co il umero periodico, si può studiare il comportameto della serie = q che si preseta come somma dei termii di ua progressioe geometrica di primo elemeto e di ragioe q; la serie studiata è detta serie geometrica di ragioe q. Co la TI89 e facedo riferimeto alle tabelle della III lezioe, si aalizzio le successioi delle somme parziali S ed i rispettivi grafici e la somma della serie il cui termie geerale è: a = a = 3 a = ( ) a = π Esercizio: dimostrare la regola della frazioe geeratrice del umero periodico N=,345(6789).

14 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli V LEZIONE ( ore) Cei sulla storia del umero π Il umero π, usato per esprimere il rapporto fra la lughezza di ua circofereza e il suo diametro, è sempre stato oggetto di accurato studio fi dall atichità ed è legato a due problemi fodametali che riguardao il cerchio e la circofereza, cioè il problema della quadratura del cerchio e quello della rettificazioe della circofereza. Quadrare u cerchio sigifica costruire u quadrato di area uguale a quella del cerchio. Questo problema è strettamete legato a quello della rettificazioe della circofereza, che cosiste el costruire esattamete, co riga e compasso u segmeto lugo quato ua circofereza. Il simbolo π, iiziale della parola περιµετροξ (perimetro) oppure diπεριϕερεια (periferia), per esprimere il rapporto fra la lughezza di ua circofereza e il suo diametro, usato per la prima volta el 76 dal matematico britaico William Joes, divee di uso geerale dopo la pubblicazioe dell Aalisi Matematica di Eulero (748). Le ricerche sul problema della quadratura del cerchio risalgoo all atichità : il problema è affrotato el Papyrus Rhid, ora coservato al British Museum a Lodra, databile attoro al 7 a.c. e attribuito allo scrittore egiziao Ahmes. Nel papiro viee idicata come regola di quadratura, seza dare la dimostrazioe, la seguete : è equivalete al cerchio u quadrato che ha per lato gli 8/9 del diametro del cerchio. Ciò implica per π u valore di Si igora come gli egiziai possao aver otteuto ua tale precisioe. Le prime otizie riguardati il problema della rettificazioe della circofereza risalgoo acora agli Egiziai: ci giuge otizia che ai tempi di Seti I e Ramses ( che regaroo dal 3 al a.c.) furoo costruite ella città di Karak delle coloe co misure del diametro e della circofereza tale da otteere per π il valore.9. U valore migliore, isieme a u chiaro ceo alla rettificazioe della circofereza ci viee dagli Ebrei e si trova ella Bibbia, el capitolo VII del Libro dei Re. Qui si dice che il re Salomoe, sul troo di Gerusalemme dal 97 al 93 a.c., fece costruire il tempio e la reggia da u certo Hiram di Tiro, ella Feicia. Questo architetto, tra l altro, costruì ua vasca di brozo fuso di cubiti di diametro, 5 di altezza, 3 di circofereza, attribuedo, quidi, a π il valore 3. Però soltato presso i Greci il problema della determiazioe dell area del cerchio e della misura della circofereza furoo affrotati i modo sistematico e scietifico. Archimede, uo dei maggiori scieziati dell atichità vissuto a Siracusa dal 87 al a.c., ella sue opera La misura del circolo, partedo dall esagoo regolare iscritto e circoscritto al cerchio, calcolò i perimetri di questi poligoi e di quelli da questi otteuti raddoppiadoe successivamete il umero dei lati. Arrivò fio ai poligoi regolari iscritti e circoscritti di 96 lati, stabiledo la otevolissima disuguagliaza 3+/7<π <3+/7 (3.44<π <3.47). I tempi molto più receti, el 5, l oladese Adriao Mezio, grazie al perfezioameto del calcolo mediate l itroduzioe della otazioe decimale, avveuta ei secoli precedeti, trovò per π il valore 3.459, che è diverso dal valore vero solo alla settima cifra decimale. Nella speraza che π potesse risultare razioale, el periodo successivo si calcolaroo molti altri decimali : el 6 Sell calcolò fio alla 35-esima cifra dopo la virgola, eseguedo calcoli riferiti 3 al poligoo co lati. I questo periodo furoo studiate, ache mediate gli strumeti della geometria aalitica e del calcolo ifiitesimale, molte curve e si trovò che di alcue l area poteva veire espressa mediate π, che o risultò più essere legato solo al cerchio. Nel 6 π oltrepassò i cofii della geometria, perché i matematici si staccaroo dal metodo geometrico e tetaroo uove vie per calcolarlo utilizzado gli sviluppi i serie. A comiciare dal tardo 6, furoo scoperte molte serie umeriche covergeti a π. Alcue di esse soo :

15 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli. la serie di Leibitz (67) π = = ( ) ; = +. la serie di Machi (76) π = 6 ( ) 4( +...) = = ( 6 ) 4 ( ) + ( ) ; + = + ( + ) la serie di Eulero (746) π 3 = = = La serie di Leibitz e quella di Machi soo otteute a partire dallo sviluppo i serie della fuzioe + x y = arctg x = ( ), co x [, ]. Metre la serie di Leibitz è a covergeza molto = + leta, cioè occorre sommare u gra umero di termii per avere ua buoa approssimazioe di π, la serie di Machi coverge assai più rapidamete. Co essa veero determiate cifre decimali di π. Nel 766, il matematico Joha Heirich Lambert, utilizzado precedeti risultati di Eulero, dimostrò che π è u umero irrazioale. Rimaeva aperto ua altro problema: pur essedo u umero irrazioale è possibile costruire co riga e compasso u segmeto di tale lughezza. E possibile costruire co riga e compasso ache π? Questo quesito ripropoe il problema della rettificazioe della circofereza, poiché costruire u segmeto lugo π o sigifica altro che trovare u segmeto pari alla lughezza della circofereza. A questo problema fu data risposta egativa el 88 dal matematico Ferdiad Lidema, che dimostrò che π è u umero trascedete (vedi ota), e che, quidi, o si può costruire co riga e compasso u segmeto lugo π. Resta perciò affermata ache la impossibilità della rettificazioe della circofereza e della quadratura del cerchio utilizzado solo riga e compasso. Dopo la dimostrazioe di Lidema la ricerca delle cifre decimali di π cessò fi verso il 95, quado lo sviluppo dei calcolatori elettroici ad alta velocità diede uovi mezzi per il calcolo. Oggi è difficile essere al correte di tutta l attività i questo ramo, ache perché tale ricerca o ha utilità pratica é teorica. Due matematici americai della Columbia Uiversity hao stabilito ell agosto 989 u uovo primato calcolado il valore di π co più di u miliardo di decimali. N.B. U umero x si dice algebrico se soddisfa a ua equazioe algebrica del tipo a x + a x ax + a =, co, a e dove i coefficieti a k soo iteri. I umeri o algebrici soo detti trascedeti. E stato dimostrato che tutti i umeri costruibili co riga e compasso soo algebrici. 3

16 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli Situazioe problematica: si ricerchio le formule che permettoo di determiare i perimetri p e P dei poligoi regolari di lati iscritto e circoscritto ad ua circofereza di diametro uitario. O A A B T B E data ua circofereza di cetro O e diametro uitario. Sarà perciòot = /. Sia AB il lato del poligoo regolare di lati iscritto e A B il lato del poligoo regolare di lati circoscritto. Il corrispodete agolo al cetro è AOB ˆ = 36, metre AOT ˆ = 8. Applicado i oti teoremi di trigoometria si ha AH = se AB = se p= se A' T = tg A' B' = tg P= tg. Abbiamo otteuto perciò due successioi : all aumetare di p è crescete, metre P è decrescete. Quado tede a ifiito p e P covergoo alla lughezza della circofereza cioè a π. Mediate la TI89 si possoo defiire le successioi p e P. Occorre attivare co il tasto MODE l opzioe Agle Degree. Selezioado etrambe le successioi e settado ymi di WINDOW EDITOR per esempio a 6, si osservao i due grafici covergere Per determiare la covergeza a π, si può utilizzare l ambiete TABLE. Per esempio per = p= P= = p= P= =5 p= P= =56 p= P= =57 p= P= = p= P= = p= P=

17 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli VI LEZIONE (u ora) Cei sulla storia di u umero famoso: il umero e Joh Napier (o Giovai Nepero) o era u matematico di professioe. Era u ricco proprietario terriero scozzese di famiglia obile e si iteressò soltato a certi aspetti della matematica, soprattutto a quelli che si riferivao al computo ed alla trigoometria. I bastocii di Nepero erao dei parallelepipedi di lego a base quadrata, sulle cui facce erao icise delle tavole di moltiplicazioe, che si servivao di particolari teciche memoiche applicate alla trigoometria sferica. Napier afferma di aver comiciato a lavorare alla sua ivezioe dei logaritmi già dal 594; el 64, i seguito al fatto di essere veuto a coosceza della tecica matematica della prostaferesi, largamete usata egli osservatori astroomici daesi per fare i calcoli, pubblicò la sua Mirifici logarithmorum caois descriptio (Descrizioe della regola meravigliosa dei logaritmi). L idea cetrale su cui si basa l ivezioe di Napier è semplice: per mateere vicii tra loro i termii di ua progressioe geometrica delle poteze itere di u dato umero, Napier decise 7 di usare il umero (ossia, ). I termii della progressioe delle poteze cresceti soo troppo vicii tra loro: per otteere u maggior equilibrio e per evitare cifre decimali N. 7 7 L moltiplicò ciascua poteza per. Se N = ( ), allora L è il logaritmo eperiao del 7 7 umero N. Dividedo per i umeri e i logaritmi, si sarebbe potuto otteere u sistema di logaritmi co base /e. La defiizioe di logaritmo data da N., però, era diversa dalla ostra. I pricipi da lui fissati erao spiegati i termii geometrici el modo seguete: Siao dati u segmeto lieare AB e ua semiretta CDE (vedi figura) A P B C D Q E U puto P parte da A e si muove lugo AB co velocità variabile decrescete i rapporto alla sua distaza da B; cotemporaeamete u puto Q partedo da C comicia a muoversi lugo CDE co velocità costate uguale a quella che P aveva all iizio del moto. Napier chiama questa distaza variabile CQ il logaritmo della distaza PB. Napier, ovviamete, costruì le sue tavole umericamete e o geometricamete e coiò per i suoi idici di poteze il termie composto dalle due parole greche logos (ragioe o rapporto) e arithmos (umero). Napier o aveva essua idea di ua base per il suo sistema, ma compilò le sue tavole mediate ripetute moltiplicazioi, equivaleti a poteze di, ; era perfettamete al correte delle regole dei prodotti e delle poteze, i quato osservò che tutti i umeri che soo i rapporto di a hao differeze di , i logaritmi e tutti quelli che soo i rapporto di a hao differeze di ,34 i logaritmi. I queste differeze, se si sposta la virgola, si vedoo i logaritmi aturali dei umeri due e dieci e per questo o è irragioevole chiamare eperiai i logaritmi aturali, ache se questi logaritmi o soo, rigorosamete, quelli che Napier aveva i mete. Il cocetto di fuzioe logaritmica è implicito ella defiizioe di Napier e i tutte le sue ricerche sui logaritmi, ma tale relazioe o era così importate per lui: egli aveva laboriosamete costruito il suo sistema i vista della semplificazioe dei calcoli, soprattutto dei prodotti e dei quozieti, e di calcoli trigoometrici (egli chiamava logaritmo di u seo quello che oi chiamiamo logaritmo eperiao di u umero. Il sistema dei logaritmi fu pubblicato el 64 ed ebbe u immediato ricooscimeto, ma occorre sottolieare che l'ivezioe dei logaritmi o fu opera di u uomo solo: idee molto simili i proposito erao state sviluppate più o meo egli stessi ai dal matematico svizzero Jobst 5

18 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli 7 Burgi, che ivece di partire da u umero leggermete miore di ( ) scelse u umero 4 leggermete maggiore di : il umero + ; ivece di moltiplicare le poteze di questo umeor 7 8 per Burgi le moltiplicò per e elle sue tavole moltiplicò tutti gli idici delle poteze per dieci. L ivezioe dei logaritmi ebbe u iflusso otevole sulla struttura della matematica: i logaritmi veero accolti co etusiasmo da Keplero perché forivao agli astroomi u efficace strumeto per effettuare co facilità i calcoli. Si può osservare che per tutto il XVI secolo i matematici teorici, sia di professioe che dilettati, mostraroo vivo iteresse per le teciche di calcolo: ciò cotrastava ettamete co la dicotomia tra attività pratica e speculazioe teorica sottolieata da Platoe due millei prima. Dal 77 al 783 Eulero cotribuì co uove coosceze a quasi ogi braca della matematica pura ed applicata ed usò u liguaggio e ua otazioe che per molti aspetti corrispodoo a quelli usati oggi; usò la lettera e per rappresetare la base del sistema dei logaritmi aturali o eperiai ( questo simbolo apparve per la prima volta i u opera stampata ella Maccaica di Eulero pubblicata el 736. La otazioe e fu forse suggerita dalla prima lettera del termie" espoeziale" e divee presto covezioale. Dimostrare che u qualsiasi umero reale particolare, come e o π, o è u umero algebrico è solitamete abbastaza difficile. Liouville riuscì a dimostrare, i u articolo pubblicato sul suo Joural el 844 che é e é e possoo essere la radice di u equazioe di secodo grado co coefficieti iteri; pertato, dato u segmeto lieare uitario, le liee di lughezza e ed e o soo costruibili co strumeti euclidei. Passerao quasi tret ai prima che u altro matematico fracese, Charles Hermite (8-9), sviluppado le idee di Liouville, riesca a dimostrare, i u articolo pubblicato sui Comptes Redus dell Académie des Scieces del 873, che e o poteva essere la radice di essua equazioe algebrica a coefficieti razioali, ossia che e è trascedete. Il geometria il umero e compare elle equazioi di diverse curve, quale, ad esempio, la catearia. Il umero e riveste u ruolo importate ache ella teoria della probabilità ed importati applicazioi ella teoria dei umeri pura. Il umero e è ua delle più importati costati umeriche. Situazioe problematica: dato u certo capitale iiziale C, suppoedo che gli iteressi su di esso maturati potessero fruttare istataeamete, quale capitale C* maturerebbe al termie del periodo t =? Si otterrebbe u valore di C* fiito oppure o? Si ituisce e si può dimostrare che il capitale C, maturato dopo - iterruzioi, equidistati el tempo e co relativi reivestimeti, vale C = C( + / ). La risposta alla secoda domada è affermativa: al crescere di, cioè approssimadoci all istataea capitalizzazioe degli iteressi, il corrispodete capitale C tederebbe a stabilizzare il suo valore. La dimostrazioe rappreseta u importate capitolo dell Aalisi matematica. Il umero e può essere approssimato per difetto calcolado ( + / ) per u certo valore di +, per eccesso ricorredo a ( + / ). + La doppia disuguagliaza ( + / ) < e < ( + / ) cosete di precisare ulteriormete le cifre di e e il grado di precisioe dell approssimazioe, prededo valori di sempre più gradi. 6

19 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli Ua iteressate implicazioe Pesiamo di aver ivestito u capitale di ceto euro e di avere maturato ciqueceto. La cifra, però, o è sigificativa di per sé: soo diverse le valutazioi che facciamo del tipo di ivestimeto se tale icremeto è otteuto i dieci ai, i u ao o i u gioro. Questa osservazioe itroduce al cocetto di rapidità di crescita, che si ituisce essere u cocetto putuale, cioè corrispodete ad ogi x. Si può dimostrare che x Tra le diverse fuzioi espoeziali a, quella di base a=e ha ua velocità di crescita uguale al valore che essa raggiuge puto a puto. Oppure, se x idica il tempo, si può affermare che: Esiste ua fuzioe di crescita che cresce co ua rapidità uguale ai valori x raggiuti el tempo: la fuzioe di equazioe y = e. Uso della TI89 per approssimare e determiare il umero e Utilizzado la TI89 el modo idicato ella II lezioe, studiare e rappresetare la successioe a = ( + ). Facedo riferimeto alla Tabella N impostare la calcolatrice per otteere ua buoa visualizzazioe del grafico. Dallo studio della successioe determiare il umero e. Facedo riferimeto alla IV lezioe, studiare la serie di termie geerale a =. Approssimare! e determiare co questa serie il umero e. 7

20 Itroduzioe alle successioi e serie: alcui esempi otevoli VII LEZIONE ( ora) Situazioe problematica: Dato u triagolo equilatero di lato uitario, si costruisca su ogi lato, verso l estero, u triagolo equilatero di lato /3, dividedo ogi lato del triagolo dato i tre parti uguali e sul segmeto cetrale si costruisca il triagolo cacellado il segmeto stesso. Studiare le successioi costituite dai perimetri e dalle aree delle successive figure così otteute. La figura che si ottiee è detta curva di Koch chiusa o isola di Koch o fiocco di eve di Koch. Essa costituisce u esempio di figura frattale. Si può visualizzare il fiocco di eve di Koch, utilizzado l ambiete di programmazioe (PROGRAM-EDITOR) della TI89. Si studia la successioe dei perimetri delle figure otteute: idicato co p il perimetro del triagolo iiziale, di lato, si ottiee p = ((4/3)^ ) p La successioe dei perimetri è perciò ua successioe geometrica di ragioe 4/3>. Utilizzado la TI89 co le modalità viste elle lezioi II e III possiamo rappresetare la successioe dei perimetri e verificare che quado tede a +, p diverge a +. Si studia la successioe delle aree delle figure otteute.. Iterado il procedimeto otterremo A = 3 + i i= 9 i 4 rappreseta perciò la somma -esima dei primi termii della serie geometrica di i= 9 ragioe 4/9<. Utilizzado la TI89, come idicato ella terza lezioe possiamo calcolare l espressioe i 4 ( 4 9) =, e la somma della serie che risulta 9/5. Sostituedo si otterrà i= 9 4 / 9 8 perciò A = 3 = A, che rappreseta l area racchiusa dalla curva di Koch. 5 5 Si può otare che l area risulta fiita, metre il perimetro tede a ifiito. Qualche ceo sulla teoria dei frattali. La parola frattale è u eologismo coiato da Beoit Madelbrot el 97, che deriva dal latio fractus, che sigifica iterrotto, irregolare. La geometria frattale o geometria dell irregolare sta trovado ampia applicazioe ella descrizioe dei feomei aturali. E ata all iizio del 9, ma ha trovato il massimo sviluppo co l avveto degli elaboratori che hao permesso la visualizzazioe delle curve frattali. Le forme geometriche classiche soo quelle della geometria euclidea (retta, coiche, ). I atura esistoo però forme molto diverse da quelle descritte dalla geometria euclidea. Esse presetao ramificazioi (alberi, coralli, fulmii, ) o frastagliature come le coste di u isola. 8

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