Corso di Geometria - CdL triennale in Ingegneria a.a

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1 Corso di Geometria - CdL triennale in Ingegneria a.a. 8-9 C. Liverani, J. Garofali Tutorato del 3/5/9 Cambiamenti di base Per fissare le notazioni ricordiamo che date due basi B = {v,..., v n } e B = {v,..., v n} di uno spazio vettoriale V, chiamiamo matrice del cambiamento di base da B a B la matrice A = (a ij ) j=,...,n i=,...,n tale che v j = n i= a ijv i (dove i è l indice di riga e j l indice di colonna). Se denotiamo rispettivamente con x e x le coordinate rispetto B e B, il relativo cambiamento di coordinate è dato da x = Ax. Denoteremo A con M B B (id). Analogamente data una base C = {w,..., w m } di uno spazio vettoriale W e una applicazione lineare f : V W, denotiamo con M B C (f) la matrice A = (a ij ) j=,...,n i=,...,m che rappresenta f nelle basi B in partenza e C in arrivo, ovvero data da f(v j ) = m i= a ijw i.. Si considerino i seguenti vettori di R 3 v =, v =, v 3 =, w =, w = i) Dimostrare che B = {v, v, v 3 } e B = {w, w, w 3 } sono basi; ii) Trovare la matrice M B B del cambiamento di base da B a B ; iii) Trovare le coordinate rispetto a B di w = 3w 5w 3. Soluzione. i) Sia B i la matrice avente come colonne i vettori della base B i per i =,. Abbiamo che B i è una base se e solo se det(b i ), cosa che si verifica facilmente. ii) La matrice M B B ha come colonna j-esima il vettore delle coordinate di w j rispetto la base B, ovvero detto x j tale vettore, esso soddisfa B x j = w j. Ma questo scritto in forma compatta diventa la seguente identità tra matrici: B M B B = B, cosa che si verifica anche ossservando che B i è la matrice del cambiamento di base dalla base, w 3 =

2 standard alla base B i e che, date B i, i=,,3, tre basi qualsiasi, vale la formula M B B M B3 B = M B3 B 5 3 Dunque M B B = B B =. 5 3 Notiamo che avremmo potuto fare direttamente il punto ii), ovvero si poteva tentare di calcolare la matrice del cambiamento e, nel caso si avesse avuto successo, sarebbe bastato controllare che tale matrice è non degenere: questo dimostra che effettivamente sono due basi.. Trovare un cambiamento di coordinate x = Ax tale che A T A = I, det(a) = e tale che il piano di equazione x + x x 3 = abbia equazioni x 3 = nel nuovo sistema di riferimento. Soluzione. Basta trovare una rotazione che porti il versore normale al piano x + x x 3 =, ovvero ν = (/, /, /) in un versore normale al piano x 3 =. Scegliamo quest ultimo uguale a e 3 per convenienza. Vediamo subito che la proiezione ortogonale di ν sul piano x =, (, /, /) forma un angolo di π/4 con e 3 e quindi facendo una rotazione rispetto l asse delle x di angolo π/4 in senso orario rispetto il piano y, z l immagine di ν apparterrà al piano x =. La matrice che fa questo è A = / / / / Si calcola che Aν = (/,, / ), il quale a sua volta forma un angolo di π/4 con e 3 e deve quindi essere ruotato rispetto l asse delle x, di nuovo in senso orario nel piano x, z, per finire su e 3. La matrice da applicare a questo punto è / / B = / / Dunque il cambio di coordinate cercato è x = BAx ovvero x = / x /x + /x 3 x = / x + / x 3 x 3 = / x /x + /x 3 Lo studente può controllare che il cambio di coordinate inverso è x = / x / x 3 x = /x + / x /x 3 x 3 = /x + / x + /x 3 e quindi x + x x 3 = x 3 =.

3 3. Dati i polinomi p (t) = t + t, p (t) = t + 3t +, p 3 (t) = t +, q (t) = t, q (t) = t t, q 3 (t) = t + t i) Dimostra che B = {p, p, p 3 } e B = {q, q, q 3 } sono basi di R[t] ; ii) Trovare la matrice del cambiamento di base da B a B ; iii) Trovare le coordinate rispetto a B di f(t) = 3t 5t +. Soluzione. Ragionando come nell esercizio ), la matrice X del cambiamento di base (se esiste) è la matrice non degenere che soddisfa BX = B con B e B le matrici ottenute mettendo in colonna le coordinate rispetto la base {, x, x } dei vettori che formano, rispettivamente, le basi B e B. Ora se tramite un eliminazione di Gauss sulla righe della matrice 3 6 data da [B B ], possiamo arrivare alla fine ad ottenere la matrice della forma [I X] con det(x), allora abbiamo concluso: B e B sono basi e M B B = B B = X. Si calcola che nel nostro caso 6 3 B = 3, C =, X = 4 3 e che det(x). 4. Sia f : R 3 R 3 data da f(x) = Ax, dove A = 7 3 Trovare la matrice M B B (f) che rappresenta f nelle basi B in partenza e B in arrivo che trovate nell esercizio ). Soluzione. Dobbiamo trovare la matrice X tale che, dato il vettore v () delle coordinate di x R 3 rispetto la base B, il vettore v () = Xv () sia il vettore delle coordinate di y = Ax rispetto la base B. Nelle notazioni dell esercizio ) abbiamo le seguenti relazioni: v () = Xv (), x = B v () e y = B v (). Dunque y = Ax B v () = AB v (), cioè X = B. Si calcola che X = Dato il sottospazio W R 4 di equazione cartesiana x + x x 3 x 4 = i) Trovare una base B di W ; ii) Completare B a una base B di R 4 e calcolare la matrice M E B (id), dove E è la base standard; 3

4 iii) Si consideri T : W R 4 l applicazione lineare data da x x x x 3 T x x 3 = x + x + x 4 x + x 3 + x 4 x 4 x x 3 Dimostrare che Im(T ) W e calcolare la matrice M B B (T ) che rappresenta l endomorfismo T : W W nella base B. Soluzione. i) Ad esempio B =,,. ii) Sappiamo che il vettore n = (,,, ) T è normale all iperpiano W e completa una base di W a una base di R 4. Prendiamo dunque come base B = {w, w, w 3, n} dove i w i sono nell ordine quelli elencati sopra. La matrice che stiamo cercando è chiaramente l inversa della matrice che come colonne i vettori della base B : 3 M E B (id) = iii) Dobbiamo trovare le coordinate di T (w i ) rispetto la base data dai w i e metterle in colonna. Si calcola che la matrice A che ha come colonne i vettori T (w i ) è 3 3 Dobbiamo risolvere tre sistemi lineari con la stessa matrice dei coefficienti, la matrice B formata dai w i messi in colonna, ovvero in forma compatta abbiamo BM B B(T ) = A che si calcola facilmente in quanto il minore principale della matrice dei coefficienti è l identità: M B B(T ) = Si considerino B = {, + t, + t + t } R[t] e l applicazione lineare T : R[t] R[t] data da T (p)(t) = p (t + ) (dove p è la derivata prima di p). 4

5 i) Dimostrare che l insieme (ordinato!) B è una base e calcolare la matrice M E B (id) del cambiamento di base da B a E = {, t, t }; ii) Si calcolino le matrici M E E (T ), MB B (T ) e ME B (T ). Soluzione. La matrice B = M B E (id) = è chiaramente invertibile (ad esempio perchè det = ) e la sua inversa è B = M E B(id) = Calcoliamo l applicazione T sulla base standard: chiaramente T () =, T (t) =, T (t ) = (t+) e dunque la matrice che la rappresenta in questa base è A = M E E(T ) = e dunque M E B (T ) = B A = e M B B (T ) = B AB = 7. Date due matrici A, B M(n, n; R) esse si dicono simili se esiste una matrice C invertibile tale che CB = AC. Dimostrare che A e B sono simili se e solo se rappresentano lo stesso endomorfismo f : in basi diverse. Soluzione. Se A e B sono simili, allora abbiamo una matrice non singolare C che le coniuga, ovvero B = C AC, ovvero B rappresenta l endomorfismo f(x) = Ax (la cui matrice rappresentativa rispetto alla base standard è ovviamente A) nella base C = {C,..., C n } data dalle colonne di C. Il viceversa è ovvio perchè il cambio di base è una matrice C che coniuga due matrici rappresentative di uno stesso endomorfismo f (osservate infatti che tutto questo discorso vale per uno spazio vettoriale V qualunque). Il seguente diagramma commutativo dovrebbe chiarire tutti 5

6 i dubbi A φ B φ B V f V φ B φ B B Basta prendere come matrice C che coniuga A e B il cambiamento di base φ B φ B. 6