Luca Lussardi - Universit` a Cattolica del Sacro Cuore Dalla citt` a ideale alle cellule: l ubiquit` a della matematica

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2 Lo studio della matematica costituisce un educazione formativa della mente. La matematica sviluppa tutte le facoltà dell ingegno, affina in particolare le facoltà logiche, educa e rende più retta l intuizione, insegna a ragionare, a parlare con precisione e a non accontentarsi di sole vuote parole.

3 Dalla città ideale alle cellule: l ubiquità della matematica Luca Lussardi Università Cattolica del Sacro Cuore Brescia ITAS G. Pastori - Brescia 10 marzo 2015

4 L inizio di una storia Sbarcarono là dove grandi mura vedrai e di Cartagine l arce che sorge; e tanto terreno comprarono chiamandolo Birsa, dal nome di ciò che avevan fatto, quanto del luogo potessero cingere con pelle taurina tagliata. Virgilio, Eneide, libro I, versi

5 Ricostruzione dell antica Cartagine (800 a.c. circa)

6 Il problema di Didone

7 Il problema di Didone Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato

8 Il problema di Didone Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella che racchiude area massima

9 La natura massimizza e minimizza

10 La natura massimizza e minimizza

11 La soluzione di Steiner (1838) al problema di Didone

12 La soluzione di Steiner (1838) al problema di Didone La soluzione del problema di Didone è il cerchio

13 given perimeter. La soluzione di Steiner (1838) al problema di Didone La soluzione del problema di Didone è il cerchio F I d l t La soluzione deve essere convessa

14 the same N th of ne fig So suppose that F is convex, an equal area and equal perimeters.

15 the same No N th of ne fig Posso ragionare su metà figura e ribaltare per simmetria So suppose that F is convex, an equal area and equal perimeters.

16 C A B B A C Steiner s idea was and BC, andto change. Thus, H i bounded by AB a the analogous regi the area and shap rigid shapes that triangle with base altitude is maxim

17 B B C C A Ogni angolo al vertice B deve essere retto: A C trian Steiner s ideaaltit was and BC, Aandto not change. B Thus, H i bounded by AB a the analogous regi the area and shap rigid shapes that triangle with base altitude is maxim

18 B B C C A Ogni angolo al vertice B deve essere retto: A A triangolo = 1 2 b c sin α C trian Steiner s ideaaltit was and BC, Aandto not change. B Thus, H i bounded by AB a the analogous regi the area and shap rigid shapes that triangle with base altitude is maxim

19 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica!

20 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì,

21 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta:

22 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che

23 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che se una soluzione esiste

24 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che se una soluzione esiste allora è il cerchio

25 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che se una soluzione esiste allora è il cerchio

26 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che se una soluzione esiste allora è il cerchio Come dimostrare che una soluzione al problema di Didone deve esistere?

27 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che se una soluzione esiste allora è il cerchio Come dimostrare che una soluzione al problema di Didone deve esistere? Potrebbe anche non esistere una soluzione?

28 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che se una soluzione esiste allora è il cerchio Come dimostrare che una soluzione al problema di Didone deve esistere? Potrebbe anche non esistere una soluzione? In matematica è fondamentale avere anche dimostrazioni astratte di esistenza

29 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie

30 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali:

31 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,...,

32 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,...,

33 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,...

34 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali:

35 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 3 2, 5...,

36 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,

37 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? 3 5

38 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale

39 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 3 5

40 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. 3 5

41 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: 3 5

42 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b =

43 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b = è irrazionale. 3 5

44 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b = è irrazionale. Ho risolto il problema: 3 5

45 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b = è irrazionale. Ho risolto il problema: pongo a = 2 2 e b = 2, allora 3 5

46 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b = è irrazionale. Ho risolto il problema: pongo a = 2 2 e b = 2, allora a b = 3 5

47 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b = è irrazionale. Ho risolto il problema: pongo a = 2 2 e b = 2, allora a b = ( 2 2) 2 = 3 5

48 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b = è irrazionale. Ho risolto il problema: pongo a = 2 2 e b = 2, allora 3 5 a b = ( 2 2) 2 = =

49 Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie Numeri razionali: 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,..., 1 2, 2 3, 15 8,... Numeri irrazionali: 2, 3, 3 2,..., π, e,... Esistono due numeri irrazionali a, b tali per cui a b è razionale? Consideriamo il numero irrazionale 2. Si possono presentare due casi: 2 2 è razionale. Ho risolto il problema: a = b = è irrazionale. Ho risolto il problema: pongo a = 2 2 e b = 2, allora che è razionale! a b = ( 2 2) 2 = = 2 2 = 2 3 5

50 Un problema simile che non ha soluzione

51 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone:

52 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato

53 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima

54 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva)

55 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione.

56 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm.

57 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm.

58 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm.

59 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm

60 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm L area può diventare arbitrariamente piccola

61 Un altro problema che non ha soluzione

62 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone:

63 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata

64 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo

65 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione.

66 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm 2.

67 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm 2.

68 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm 2.

69 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm

70 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm Il perimetro può diventare arbitrariamente grande,

71 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm Il perimetro può diventare arbitrariamente grande, quindi non c è un perimetro massimo

72 L ultima variante: la geometria delle api

73 L ultima variante: la geometria delle api Tra tutte le figure piane che racchiudono un area assegnata

74 L ultima variante: la geometria delle api Tra tutte le figure piane che racchiudono un area assegnata trovare quella di perimetro minimo

75 L ultima variante: la geometria delle api Tra tutte le figure piane che racchiudono un area assegnata trovare quella di perimetro minimo

76 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle

77 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari:

78 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

79 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

80 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

81 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

82 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano. Ci sono altre tassellazioni regolari del piano?

83 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano. Ci sono altre tassellazioni regolari del piano? no!

84 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno:

85 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno:

86 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni:

87 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = 360 p

88 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = ovvero p p + 1 q = 1 2

89 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = ovvero p p + 1 q = 1 2 Tre sole possibilità:

90 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = ovvero p p + 1 q = 1 2 Tre sole possibilità: p = 3 e q = 6,

91 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = ovvero p p + 1 q = 1 2 Tre sole possibilità: p = 3 e q = 6, p = q = 4,

92 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = ovvero p p + 1 q = 1 2 Tre sole possibilità: p = 3 e q = 6, p = q = 4, p = 6 e q = 3.

93 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = ovvero p p + 1 q = 1 2 Tre sole possibilità: p = 3 e q = 6, p = q = 4, p = 6 e q = 3. Conclusione: le api scelgono le celle esagonali.

94 Scegliendo celle circolari?

95 Scegliendo celle circolari?

96 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9%

97 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9% I 6 esagoni esterni formano gratis il perimetro dell esagono interno:

98 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9% I 6 esagoni esterni formano gratis il perimetro dell esagono interno: 7 circonferenze sono 7 circonferenze,

99 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9% I 6 esagoni esterni formano gratis il perimetro dell esagono interno: 7 circonferenze sono 7 circonferenze, ma 7 perimetri esagonali sono in realtà ottenuti con 5 perimetri esagonali

100 Il miracolo della matematica

101 Il miracolo della matematica Abracadabra...

102 Il miracolo della matematica Abracadabra... La disuguaglianza isoperimetrica area perimetro2 4π

103 E ora tante cose si spiegano...

104 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha

105 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A

106 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π

107 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π

108 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2

109 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π

110 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima

111 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima Tra tutte le figure piane di area assegnata, il cerchio ha perimetro minimo: 2p 2 πa

112 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima Tra tutte le figure piane di area assegnata, il cerchio ha perimetro minimo: 2p 2 πa Se fisso l area non ho una limitazione da sopra per il perimetro

113 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A dis. isoper. (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima Tra tutte le figure piane di area assegnata, il cerchio ha perimetro minimo: 2p 2 πa Se fisso l area non ho una limitazione da sopra per il perimetro Se fisso il perimetro non ho una limitazione da sotto per l area

114 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica

115 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica

116 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica

117 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica I distributori automatici funzionano necessariamente con monete circolari?

118 Il triangolo di Reuleaux

119 Il triangolo di Reuleaux È una figura a spessore costante, ma non è un cerchio

120 Il triangolo di Reuleaux È una figura a spessore costante, ma non è un cerchio

121 50 pence e 20 pence inglesi: sono eptagoni a spessore costante

122 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r,

123 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r, dunque 2p = 2πr = πd.

124 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r, dunque 2p = 2πr = πd. Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd.

125 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r, dunque 2p = 2πr = πd. Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd. Fissare lo spessore implica fissare il perimetro

126 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r, dunque 2p = 2πr = πd. Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd. Fissare lo spessore implica fissare il perimetro quindi tra tutte le figure convesse di spessore costante d il cerchio massimizza l area ovvero

127 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r, dunque 2p = 2πr = πd. Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd. Fissare lo spessore implica fissare il perimetro quindi tra tutte le figure convesse di spessore costante d il cerchio massimizza l area ovvero produrre monete circolari vuol dire spendere il massimo possibile in materiale di produzione.

128 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r, dunque 2p = 2πr = πd. Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd. Fissare lo spessore implica fissare il perimetro quindi tra tutte le figure convesse di spessore costante d il cerchio massimizza l area ovvero produrre monete circolari vuol dire spendere il massimo possibile in materiale di produzione. Ma anche gli inglesi non sono i più furbi...

129 Il cerchio di raggio r è una figura convessa e ha spessore costante d = 2r, dunque 2p = 2πr = πd. Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd. Fissare lo spessore implica fissare il perimetro quindi tra tutte le figure convesse di spessore costante d il cerchio massimizza l area ovvero produrre monete circolari vuol dire spendere il massimo possibile in materiale di produzione. Ma anche gli inglesi non sono i più furbi poiché nel 1915 i matematici Blaschke e Lebesgue dimostrano che tra tutte le figure convesse di assegnato spessore costante, il triangolo di Reuleaux ha area minima.

130 Un altra applicazione del triangolo di Reuleaux

131 Un altra applicazione del triangolo di Reuleaux

132 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D,

133 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D, e vale ancora la disuguaglianza isoperimetrica, da cui: Tra tutti i solidi che hanno bordo di area fissata la sfera è quella che massimizza il volume

134 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D, e vale ancora la disuguaglianza isoperimetrica, da cui: Tra tutti i solidi che hanno bordo di area fissata la sfera è quella che massimizza il volume Tra tutti i solidi che hanno volume fissato la sfera è quella che minimizza l area del bordo

135 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D, e vale ancora la disuguaglianza isoperimetrica, da cui: Tra tutti i solidi che hanno bordo di area fissata la sfera è quella che massimizza il volume Tra tutti i solidi che hanno volume fissato la sfera è quella che minimizza l area del bordo

136 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone:

137 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio,

138 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio, trovare una superficie che ha la curva assegnata come bordo

139 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio, trovare una superficie che ha la curva assegnata come bordo e che ha area minima.

140 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio, trovare una superficie che ha la curva assegnata come bordo e che ha area minima.

141 Come mai questi problemi sono così difficili?

142 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone:

143 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima

144 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice:

145 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p,

146 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato,

147 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x.

148 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x. Dobbiamo massimizzare la quantità xy

149 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x. Dobbiamo massimizzare la quantità xy = x(p x)

150 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema di Didone: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x. Dobbiamo massimizzare la quantità xy = x(p x) = px x 2, al variare di x [0, p].

151 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] :

152 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] :

153 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] : Notiamo che A assume massimo per x = p/2,

154 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] : Notiamo che A assume massimo per x = p/2, che vuol dire y = p/2:

155 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] : Notiamo che A assume massimo per x = p/2, che vuol dire y = p/2: la soluzione è il quadrato di perimetro 2p.

156 Come mai quest ultimo problema è elementare?

157 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare:

158 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare: abbiamo infatti ridotto la classe delle figure ammissibili.

159 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare: abbiamo infatti ridotto la classe delle figure ammissibili. Il problema appena descritto ha però una particolarità dal punto di vista matematico:

160 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare: abbiamo infatti ridotto la classe delle figure ammissibili. Il problema appena descritto ha però una particolarità dal punto di vista matematico: richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale, nella fattispecie A(x) = px x 2.

161 Il caso dei triangoli

162 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente:

163 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima

164 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo,

165 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo.

166 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo. Bisogna quindi massimizzare la funzione A(x, y, z) sapendo che:

167 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo. Bisogna quindi massimizzare la funzione A(x, y, z) sapendo che: x, y, z sono le misure dei lati di un triangolo;

168 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo. Bisogna quindi massimizzare la funzione A(x, y, z) sapendo che: x, y, z sono le misure dei lati di un triangolo; 2p = x + y + z.

169 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale.

170 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale:

171 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale: richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z).

172 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale: richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z). La filosofia generale è che possiamo risolvere problemi di massimo/minimo con strumenti elementari, come il calcolo differenziale, se

173 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale: richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z). La filosofia generale è che possiamo risolvere problemi di massimo/minimo con strumenti elementari, come il calcolo differenziale, se si richiede la massimizzazione/minimizzazione di una funzione di un numero finito variabili reali.

174 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni

175 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti:

176 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale:

177 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1;

178 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali:

179 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3;

180 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita.

181 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita. Ebbene:

182 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita. Ebbene: Il problema di Didone è un problema di dimensione finita?

183 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita. Ebbene: Il problema di Didone è un problema di dimensione finita? NO!!

184 Il caso dei rettangoli: la variabile x può assumere infiniti valori, ma è una variabile.

185 Il caso dei triangoli: le variabili x, y, z possono assumere infiniti valori ciascuna, ma sono tre variabili.

186 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali:

187 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali: Per ognuno degli infiniti valori che può assumere la variabile indipendente ho a disposizione infiniti valori per la variabile dipendente.

188 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali: Per ognuno degli infiniti valori che può assumere la variabile indipendente ho a disposizione infiniti valori per la variabile dipendente. Il Calcolo delle Variazioni risolve problemi di massimo/minimo nei casi di dimensione infinita, come il caso del problema di Didone,

189 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali: Per ognuno degli infiniti valori che può assumere la variabile indipendente ho a disposizione infiniti valori per la variabile dipendente. Il Calcolo delle Variazioni risolve problemi di massimo/minimo nei casi di dimensione infinita, come il caso del problema di Didone, ma non è più elementare come il calcolo differenziale.

190 Altri problemi risolti dal Calcolo delle Variazioni

191 Altri problemi risolti dal Calcolo delle Variazioni Catenaria Qual è la curva formata da una fune appesa a due estremi?

192 Altri problemi risolti dal Calcolo delle Variazioni Catenaria Qual è la curva formata da una fune appesa a due estremi? È sostanzialmente il grafico della funzione y = ex +e x 2 (= cosh x).

193 Brachistocrona Qual è la curva lungo la quale un grave impiega il tempo minimo per scendere da un punto A ad un punto B?

194 Brachistocrona Qual è la curva lungo la quale un grave impiega il tempo minimo per scendere da un punto A ad un punto B? È un arco di cicloide.

195 La bella Elena della matematica

196 La bella Elena della matematica La cicloide come curva descritta da rotolamento senza strisciamento:

197 La bella Elena della matematica La cicloide come curva descritta da rotolamento senza strisciamento: La cicloide è anche la curva tautocrona:

198 Data una curva γ posso sempre costruire la sua evoluta:

199 Data una curva γ posso sempre costruire la sua evoluta: Cosa è l evoluta della cicloide?

200 Data una curva γ posso sempre costruire la sua evoluta: Cosa è l evoluta della cicloide? È ancora una cicloide!

201 Sappiamo costruire un orologio a pendolo perfetto:

202 Sappiamo costruire un orologio a pendolo perfetto:

203 Una variante del problema di Didone in biologia

204 While this interesting combination of properties is clearly related to the chemical makeup of the lipids most importantly, the hydrophobic character of the Una variante tails quantitative del problema and detailed di Didone understanding inofbiologia the phenomenon is still lacking. Here we focus on a simple question that has already been alluded to above: how can we understand the stability of these planar structures, and their pseudo-solid behaviour, if they are constructed from independent, non-bound molecules? This is the main question behind the analysis of this paper. Fig. 1. Lipid molecules aggregate into macroscopically surface-like structures Nel 1973 Wolfgang Helfrich propone un modello matematico per studiare la flessione delle membrane cellulari e quindi per determinarne la forma

205 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva;

206 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva; Helfrich propone allora la seguente variante del problema isoperimetrico 3D:

207 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva; Helfrich propone allora la seguente variante del problema isoperimetrico 3D: Tra tutti i solidi di volume fissato e di area del bordo fissata

208 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva; Helfrich propone allora la seguente variante del problema isoperimetrico 3D: Tra tutti i solidi di volume fissato e di area del bordo fissata trovare quello che curva il meno possibile

209 Un bel problema, anche se non lo risolvi, ti fa compagnia se ci pensi ogni tanto Ennio De Giorgi ( )