Domanda 1: Valutazione e Analisi di Obbligazioni

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1 Domanda 1: Valutazione e Analisi di (48 punti) Il Sig. Smith è responsabile per gli investimenti obbligazionari presso una società di consulenza finanziaria, e ha analizzato la curva di rendimento delle obbligazioni governative del Paese A creando una tabella di rendimenti di mercato (Tabella 1). Assuma che i prezzi di mercato delle obbligazioni governative con cedola, rispettivamente zero coupon del Paese A sono tali che non vi sono opportunità di arbitraggio. Tabella 1 Livello dei tassi d'interesse (con capitalizzazione su base annua) al momento dell'analisi Scadenza (anni) Tasso alla pari ['Par rate'] 2.200% 2.685% % 3.700% Tasso Spot 2.200% 2.692% 3.108% 3.452% 2 Tasso Forward 2.200% % 4.491% 4.951% Fattore di sconto Duration modificata alla pari Zerocoupon Note: - Il par rate è il rendimento alla scadenza di un'obbligazione che paga cedola annualmente ed è quotata alla pari. - Il tasso spot è il rendimento alla scadenza di un'obbligazione zero-coupon. - Il tasso forward è il tasso d'interesse forward a 1 anno con la scadenza data. Per esempio, il tasso forward riportato nella cella con scadenza 3 anni è il tasso spot a 1 anno che parte fra 2 anni. - Il fattore di sconto indica il prezzo di un'obbligazione zero coupon per la scadenza corrispondente (ed è il prezzo per un valore nominale di 1). a) Calcoli i tassi d'interesse (numeri da 1 fino a 3), il fattore di sconto (4), e la duration modificata (5) mancanti nella Tabella 1. Mostri i suoi calcoli (i tassi d'interesse vanno arrotondati alla terza cifra dopo la virgola; il fattore di sconto alla quinta cifra dopo la virgola; la duration modificata alla terza cifra dopo la virgola.) (15 punti) b) La curva dei rendimenti nella Tabella 1 indica che il tasso forward è più alto dell' attuale tasso d'interesse ad 1 anno. Descriva due possibili ragioni che spiegano questo. (5 punti) c) Assuma che il Sig. Smith crei un portafoglio 'barbell' con un valore di mercato di 1 Mio EUR costituito da obbligazioni zero-coupon con scadenza 2 e 5 anni al momento dell'analisi, combinate in modo tale che la duration modificata del portafoglio sia equivalente a quella di un'obbligazione zero-coupon con scadenza 3 anni al momento dell'analisi. Calcoli i pesi delle obbligazioni nel portafoglio 'barbell' e i loro ammontari nominali. Pagina 1 / 8

2 Il Sig. Smith crede che durante il prossimo anno l'economia continui ad espandersi e che il tasso d'inflazione crescerà. Anticipando un livello dei tassi d'interesse più alto tra un anno, crea delle proprie previsioni sui tassi d'interesse come mostrato nella Tabella 2. Pagina 2 / 8

3 Tabella 2 Livello dei tassi d'interesse tra 1 anno Scadenza (anni) Tasso alla pari ['Par rate'] 3.150% 3.424% 3.800% 4.090% 4.260% Tasso Spot 3.150% 3.429% 3.818% 4.123% 4.303% Tasso Forward 3.150% 3.709% 4.600% 5.043% 5.026% Fattore di sconto Duration modificata alla pari Zerocoupon Egli considera obbligazioni zero-coupon con scadenza tra 1 e 5 anni dal momento dell'analisi quali possibili investimenti. [Suggerimento solo per gli studenti che non hanno risolto il punto c): si assuma, per risolvere i punti d) ed e), che i pesi iniziali dell'investimento nel portafoglio barbell siano 65% per l'obbligazione zero coupon a due anni e 35% per l'obbligazione zero coupon a cinque anni.] d) Assuma che le previsioni della Tabella 2 si realizzino. Calcoli il rendimento ottenuto sul periodo di detenzione (holding period return) di 1 anno dal portafoglio barbell creato al punto c) (il risultato va scritto sotto forma di percento arrotondato alla seconda cifra dopo la virgola). Confronti questo con il rendimento ottenuto sullo stesso periodo di detenzione da un'obbligazione zero coupon con una scadenza a inizio periodo di 3 anni. e) Con riferimento alle previsioni della curva dei rendimenti del Sig. Smith, valuti dopo 1 anno la differenza tra la duration modificata del portafoglio barbell creato al punto c) e l'obbligazione zero coupon che a inizio periodo aveva scadenza 3 anni. Cosa potete dire a proposito di questi risultati? (8 punti) f) Il Paese A emette anche obbligazioni governative indicizzate all'inflazione. Queste sono obbligazioni zero-coupon con un valore di rimborso che cambia a seconda della variazione percentuale cumulata dell'indice di prezzo dalla data di emissione. Il Sig. Smith sta considerando se investire in obbligazioni governative indicizzate all'inflazione quale mezzo per evitare il rischio di rialzi dei tassi d'interesse. Discuta e spieghi come il prezzo delle obbligazioni governative indicizzate all'inflazione cambia rispetto ai cambiamenti di prezzo di un'obbligazione zero-coupon ordinaria con la stessa scadenza. Includa le seguenti parole-chiave nella sua risposta: tasso atteso di inflazione (expected rate of inflation) e rendimento aggiustato per l'inflazione (inflation-adjusted return) (o altri termini che esprimono lo stesso concetto). (8 punti) [Nota: Un' obbligazione governativa indicizzata all'inflazione è un'obbligazione dove il valore nominale F 0 è aggiustato secondo l'indice dei Prezzi al Consumo (CPI). Se I 0 è il livello del CPI al momento dell'emissione e I t è il livello del CPI al tempo t, allora il valore nominale dell' obbligazione al tempo t è I t dato da: F t = F0.] I 0 Pagina 3 / 8

4 Domanda 2: Strumenti Derivati nella Gestione di Portafoglio (42 punti) Il capo del dipartimento di investimento ha difficoltà nel trovare opportunità di investimento interessanti in un contesto ormai prolungato nel tempo di bassi tassi d'interesse. In questo contesto riceve la seguente proposta di obbligazione strutturata: Valore nominale JPY 100 milioni, scadenza 1 anno. Il valore nominale è garantito alla scadenza. Gli interessi sono pagati solo alla scadenza e il loro ammontare è legato al valore dell'indice azionario S 1 e determinato secondo la regola seguente. Se alla scadenza l'indice azionario S 1 si trova sotto JPY 12'000, viene pagato un interesse del 2% sul valore nominale. Se alla scadenza S 1 si trova sopra JPY 12'000, l'interesse è ridotto in proporzione all'ammontare col quale S 1 eccede JPY 12'000 (diminuendo dell' 1% ogni JPY 3'000 sopra JPY 12'000). Se l'indice azionario S 1 si trova sopra JPY 18'000, l'interesse è 0%. Il prezzo d'emissione dell'obbligazione legata all'indice azionario è di JPY 100 milioni. Lei ha piena facoltà nel decidere se la sua azienda debba o meno investire nell'obbligazione strutturata oppure no. Inizi con l'investigare se il prezzo dell'obbligazione è corretto. Noti che il mercato tratta sia obbligazioni governative zero coupon (risk-free) con scadenza 1 anno sia opzioni europee e futures con scadenza 1 anno aventi come sottostante lo stesso indice azionario. Per semplicità assuma che sia le opzioni che i futures abbiano una taglia contrattuale unitaria [1 moltiplicato per l'indice azionario], e la medesima scadenza dell'obbligazione legata all'indice azionario. Il valore attuale S 0 dell'indice azionario è JPY 15'000, e il tasso d'interesse privo di rischio per il prossimo anno è 1%. Risponda alle domande seguenti. a) Rappresenti graficamente la relazione tra il valore finale di rimborso dell'obbligazione legata all'indice azionario (cioè la somma del valore nominale e degli interessi ricevuti) alla scadenza - tra un anno - a fronte di un investimento di JPY 100 milioni (asse verticale) contro il livello dell'indice azionario S 1 tra un anno (asse orizzontale). (5 punti) La seguente tabella riporta le opzioni europee esistenti sul medesimo indice azionario con scadenza 1 anno e prezzi strike da JPY 10'000 a JPY 20'000 in intervalli di JPY 2'000, coi relativi prezzi quotati ed i delta (rispetto all'indice azionario): prezzo Strike Prezzo del Delta (call) Prezzo del Delta (put) Call Put 10'000 5' '000 3' '000 1' ' ' ' ' ' ' b) Cerchi di replicare il 'payoff' dell'obbligazione legata all'indice azionario utilizzando obbligazioni governative e opzioni call [ponga la condizione per cui nello scenario 'worst case' il rimborso finale ammonti al 100% del valore nominale]. Pagina 4 / 8

5 b1) Qual'è la strategia d'opzioni? (4 punti) b2) Quanto investe inizialmente in ogni strumento? (9 punti) b3) Sulla base della sua strategia, mostri che alla scadenza nello scenario 'worst case' (indice azionario sopra JPY ), la protezione del capitale è verificata. Calcoli inoltre il rendimento annuo a scadenza (in %) risultante dalla sua strategia se l'indice azionario chiude sotto JPY (7 punti) c) In base ai risultati trovati al punto b), valuti se il prezzo d'emissione dell'obbligazione legata all'indice azionario è corretto. Discuta a che condizioni acquisterebbe comunque l'obbligazione legata all'indice azionario. Esprima chiaramente le ipotesi fatte nella sua discussione. [Suggerimento: Si noti che è possible pure utilizzare opzioni put invece dei call per replicare l'obbligazione legata all'indice azionario. Perciò, per gli studenti che non hanno risolto la parte b2), per rispondere alle domande d) e) si assuma che vengano vendute 330 opzioni put con prezzo strike di JPY e acquistate 330 opzioni con prezzo strike di JPY per replicare l'obbligazione legata all'indice azionario] Invece di utilizzare opzioni, decide di replicare il 'payoff' dell'obbligazione legata all'indice azionario utilizzando un hedging dinamico. Assuma che si possono ignorare i dividendi. d) Calcoli il prezzo attuale del futures sull'indice azionario. Poi calcoli la posizione futures che è necessario prendere ora per costruire il delta hedging. e) Il corso dell'indice azionario sale in maniera marcata appena dopo che lei ha preso la sua posizione sui futures per il delta hedging. Discuta in che modo dovrebbe aggiustare la sua posizione futures per mantenere il delta hedging. Nella sua risposta spieghi esplicitamente le ipotesi fatte e per quali ragioni. (5 punti) Pagina 5 / 8

6 Domanda 3: Valutazione e Analisi di Strumenti Derivati (60 punti) Lei sta analizzando delle opzioni sull'azione DaimlerChrysler AG [simbolo: DCX] trattate sul mercato delle opzioni EUREX. Il prezzo attuale dell'azione è EUR 42. Durante i prossimi sei mesi non vi è alcun pagamento di dividendo. Il tasso d'interesse privo di rischio è del 2% p.a. (a capitalizzazione continua). Attualmente sono disponibili le seguenti opzioni sull'azione DCX con scadenza tra sei mesi [il 15 marzo 2007]: Opzione Strike (in EUR) Prezzo dell'opzione (in EUR) Delta Gamma Theta Vega DCX Call Mar DCX Call Mar DCX Call Mar DCX Put Mar DCX Put Mar DCX Put Mar Il suo collega ha già svolto alcuni calcoli sui cosiddetti greeks (parametri di hedge quali il delta, gamma, vega, theta, ecc.). La taglia del contratto di opzione è 100. Assuma che queste opzioni siano di tipo europeo. a) Completi il lavoro del suo collega calcolando i valori mancanti nella tabella precedente. Assuma che la volatilità dell'azione DCX sia di per tutti i prezzi strike. Risponda con una precisione decimale analoga a quella dei valori già calcolati. (Suggerimento: potrebbe non essere necessario calcolare tutti i campi vuoti.) (10 punti) b) Il vega di un call con prezzo strike 42 è Assuma che la volatilità aumenti del 10% (cioè la volatilità diventi 0.332). Calcoli utilizzando il vega il nuovo prezzo approssimato del call (tutti gli altri parametri restano invariati). (4 punti) c) Il theta del call con prezzo strike 40 è Calcoli utilizzando il theta il nuovo prezzo approssimato del call dopo 1 mese (tutti gli altri parametri restano invariati). (5 punti) d) Controlli se i prezzi delle opzioni della tabella precedente con prezzo strike 40 rispettano la relazione 'put-call-parity'. (4 punti) e) Assuma (solo per questo paragrafo) che il call con prezzo strike 40 valga ora 4.5 invece di 4.24 e dunque lei trova che la relazione 'put-call-parity' è violata (tutti gli altri parametri restano invariati come al punto d). In che modo può stabilire un arbitraggio privo di rischio per approfittare di questa violazione? Qual'è il suo profitto immediato se lei tratta 10 contratti per ogni tipo d'opzione? Pagina 6 / 8

7 Noti che per le restanti domande il prezzo del call con prezzo strike 40 è di f) Invece di sfruttare l'opportunità di arbitraggio descritta al punto e), lei sta meditando di entrare in un 'backspread' con call. Ciò significa vendere 10 contratti del call in-themoney marzo strike 40 e acquistare 20 contratti del call out-of-the-money marzo strike 44. Questo a volte è anche chiamato un 2:1 'reverse ratio call spread. Calcoli l'investimento iniziale, il profitto e la perdita massima, e i punti di break-even quando possibile. Può ignorare gli interessi sul premio, posto che ve ne siano. Disegni infine un grafico che mostra il valore finale della posizione alla scadenza. (11 punti) g) Stabilito che il valore iniziale totale della sua posizione, come visto al punto f), è quasi uguale a zero, disegni approssimativamente una seconda linea nel suo grafico che mostra il valore attuale della posizione in funzione del prezzo dell'azione. Quali sono i vantaggi e i rischi di questa strategia d'opzioni? Che tipo di attese a proposito del comportamento dell'azione sottostante stanno alla base di questa strategia? (8 punti) h) Un collega esamina i suoi calcoli, e suggerisce che dovrebbe prendere in considerazione una posizione inizialmente delta-neutrale per evitare di essere troppo rialzista o ribassista dal principio. Qual'è il delta del suo 2:1 backspread con calls', e che rapporto [ratio] tra calls marzo 44 e calls marzo 40 risulterebbe approssimativamente delta-neutral? Dati questi risultati, come commenta il suggerimento del suo amico? i) Infine lei cerca di determinare un identico backspread con puts. Quali tra i precedenti contratti utilizzerebbe? Quanto di ogni attivo vende o acquista al fine di terminare con il medesimo payoff del 2:1 backspread con calls originale? Qual'è il costo iniziale di questa strategia? Pagina 7 / 8

8 Domanda 4: Gestione di Portafoglio (30 punti) La Tabella 1 contiene la nuova e la vecchia asset allocation strategica per un fondo pensione. La Tabella 2 mostra i rendimenti attesi, i rischi ed i coefficienti di correlazione per le classi d'attivo comunemente utilizzate. Lei è il Direttore esecutivo degli investimenti presso lo sponsor del fondo e deve rispondere alle seguenti domande rivoltele da partecipanti al fondo (impiegati). Tabella 1: Cambiamenti nel mix dell' asset allocation (%) Totale Rendimento Rischio Nuova asset allocation Vecchia asset allocation Tabella 2: Rendimenti attesi, rischi ed coefficienti di correlazione per attivi tradizionali Rendimento atteso (%) Rischio(%) Correlazioni a) Come ha determinato l'asset allocation del fondo (l'asset mix)? Spieghi il processo che ha portato alla sua determinazione. b) Assumendo che il rendimento atteso, il rischio e i coefficienti di correlazione tra gli attivi non cambino per gli attivi tradizionali nella Tabella 2, perchè ha cambiato l'asset mix dalla vecchia asset allocation alla nuova? Elenchi e spieghi le ragioni. c) Spieghi perchè ha investito in obbligazioni e azioni. Lei dovrebbe rispondere prima calcolando il rendimento ed il rischio di un portafoglio contenente l'80% di obbligazioni e il 20% di azioni, poi confrontando il risultato con il rendimento ed il rischio del portafoglio secondo la nuova asset allocation. d) Nomini e descriva brevemente tre metodi per stimare i rendimenti attesi. e) Lei sta considerando di introdurre gli investimenti alternativi in aggiunta agli attivi tradizionali. Indichi tre vantaggi e tre svantaggi nel seguire una tale strategia. Pagina 8 / 8