Capitolo 2 ELEMENTI BASE DI INGEGNERIA SISMICA

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1 Capitolo ELEMENTI BASE DI INGEGNERIA SISMICA 1. Premessa La crescita di importanza della dinamica delle strttre rislta evidente a chinqe abbia segito l evolzione delle problematiche connesse alla progettazione antisismica, sia sotto il profilo dell istrzione niversitaria che sotto qello dell attività professionale. Alcni concetti di base, come l eqivalenza tra l effetto del terremoto e qello di azioni statiche proporzionali alla massa, sono presenti già all inizio del ventesimo secolo nelle prime norme sismiche e costitiscono n bagaglio cltrale insito in chinqe operi in zona sismica. Ma la seconda metà del secolo ha visto n forte svilppo della dinamica delle strttre, stimolato anche dalla disponibilità di strmenti di calcolo prima inimmaginabili, che ha consentito na conoscenza ben più approfondita del comportamento delle costrzioni drante n terremoto. Ciò ha portato ad n progressivo adattamento della normativa tecnica in ttto il mondo: nel 00 si è ginti ad na versione finale della norma sismica eropea, Erocodice 8; l anno sccessivo è stata emanata la nova norma sismica italiana, che recepisce molti dei contenti della normativa eropea. Le nove prescrizioni fanno riferimento in maniera sempre più esplicita alla dinamica delle strttre. La trattazione sistematica di tale materia esla dagli scopi di qesto libro, ma non è possibile entrare nel merito della progettazione strttrale senza richiamarne i concetti principali. In qesto capitolo si presenta qindi na sintesi degli argomenti fondamentali, rinviando il lettore più esigente ai testi richiamati in bibliografia. L obiettivo che ci si propone è qello di fornire le basi essenziali per comprendere le motivazioni dei più moderni risltati dell ingegneria sismica e per applicare con piena consapevolezza le prescrizioni normative che a tali risltati si ispirano. Per qesto motivo si è scelto di privilegiare l approccio fisico-intitivo a qello analitico. Si rammenta

2 Capitolo infine che tali richiami sono orientati alla tipologia strttrale alla qale qesto libro è dedicato. Essa rappresenta certamente il tema ricorrente e per così dire qotidiano di chi si occpa di strttre, ma comnqe non esarisce il vasto campo delle tipologie ordinarie e specialistiche.. Natra dei terremoti PARAGRAFO DA RIVEDERE Il fenomeno dei terremoti, che potenzialmente interessa ttta la sperficie terrestre, in pratica ha inflenza slla progettazione strttrale solo in alcne a- ree considerate sismiche. L Italia sfortnatamente è fortemente esposta al rischio sismico sì che le sccessive classificazioni del territorio hanno visto il progressivo estendersi delle c.d. zone sismiche. Attalmente si riconosce sll intero territorio nazionale l esistenza del rischio sismico anche se fortemente differenziato nelle varie zone. La novità più importante della recentissima classificazione è la definizione di na qarta zona a bassissima sismicità con la qale anche le parti del territorio meno esposte (Sardegna, Salento et al.) vengono proposte all attenzione della prevenzione sismica, sia pre in misra molto blanda. Il fenomeno dei terremoti è legato al movimento relativo delle placche che, separate da linee di frattra denominate faglie, interferiscono meccanicamente tra loro. L energia meccanica, accmlata lentamente nei predetti movimenti, viene liberata improvvisamente dando origine al fenomeno sismico. Esistono diverse scale di classificazione dei terremoti che, a segito di recenti eventi anche drammatici, sono entrate per così dire nel lingaggio comne. La scala Mercalli valta l intensità del terremoto dagli effetti che esso ha sgli edifici e slle persone; ne consege che il medesimo fenomeno è classificato in maniera diversa nelle diverse località ove esso viene avvertito. La scala Richter invece valta, tramite la definizione della c.d. Magnitdo, l intensità del terremoto slla base dell energia liberata. Entrambe le classificazioni non sono direttamente tilizzate dal Progettista in zona sismica. Qesti valta il terremoto slla base delle registrazioni accelerometriche del solo. Tali registrazioni contengono informazioni fondamentali relative alla massima accelerazione del solo, alla drata ed al contento di freqenze delle onde; pr essendo infatti il sisma n fenomeno caotico esso pò sempre essere scomposto nel contribto di più onde armoniche. Le informazioni relative alla drata ed al contento in freqenza vengono memorizzate negli spettri di risposta (di ci parleremo più avanti) mentre il parametro che discrimina le varie fasce di diversa sismicità è fornito dalla massima accelerazione del solo.

3 Elementi base di ingegneria sismica 3 3. Il sistema ad n grado di libertà Il pnto di partenza tradizionale di ogni trattazione della dinamica delle strttre è il cosiddetto oscillatore semplice, cioè n sistema ad n grado di libertà; nella letteratra anglosassone esso viene in genere indicato con la sigla SDOF, acronimo di single degree of freedom. L oscillatore semplice è n modello ideale costitito da na massa concentrata m che pò spostarsi in na direzione, vincolata da na molla di rigidezza k (Fig. 1). Nmerose strttre reali possono essere schematizzate in tal modo, ad esempio n serbatoio pensile (Fig. ), oppre n telaio ad n solo piano (Fig. 3). In qesti casi la molla del modello rappresenta la rigidezza del fsto del serbatoio o della strttra del telaio, che reagiscono ad no spostamento orizzontale con na forza ad esso proporzionale; la rigidezza k è la forza che prodce no spostamento nitario, ovvero il rapporto tra forza applicata e spostamento consegente. Ovviamente il passaggio dall oggetto reale al modello richiede na serie di semplificazioni, come il considerare privi di massa il fsto del serbatoio e i pilastri del telaio, oppre il spporre che il traverso del telaio sia indeformabile estensionalmente in modo da avere no stesso spostamento orizzontale per ttti i pnti che ad esso appartengono. Si noti inoltre che tanto il serbatoio che il telaio hanno, dal pnto di vista statico, più di n grado di libertà perché è consentito sia lo spostamento orizzontale che la rotazione dei nodi. Dal pnto di vista dinamico, invece, lo schema pò essere considerato ad n grado di libertà; infatti, avendo considerato la massa come concentrata in n pnto, essa è indifferente alle rotazioni e sbisce solo l effetto dello spostamento orizzontale (qello verticale è considerato nllo, per la elevata rigidezza estensionale dei pilastri). k m Fig. 1. Oscillatore semplice

4 4 Capitolo m k Foto Disegno schematico Fig.. Serbatoio pensile Modello di calcolo Inserire foto di n telaio ad n piano m k m Foto Disegno schematico Fig. 3. Telaio monopiano Modello di calcolo L analisi del comportamento dinamico di n oscillatore semplice parte dall ipotesi che la molla abbia n comportamento linearmente elastico (Fig. 4a). Nelle costrzioni reali ciò è plasibile qando le oscillazioni sono di ampiezza modesta e qindi per terremoti con bassa accelerazione di picco. Realizzare strttre che si mantengano in campo elastico anche per i terremoti più forti sarebbe possibile, ma non è conveniente dal pnto di vista economico. Occorre qindi analizzare, sbito dopo, il comportamento dello schema na volta sperato il limite elastico. Il reale comportamento è alqanto complesso, con progressivo degrado della rigidezza e con ridzione della resistenza in sccessive fasi di carico e scarico (Fig. 4b). L analisi è però svolta, per semplicità, con l ipotesi che la relazione tra forza e spostamenti sia elastica fino ad n assegnato valore e poi perfettamente plastica, senza degrado di resistenza (Fig. 4c).

5 Elementi base di ingegneria sismica 5 a) F F b) Inserire diagramma F- ciclico reale c) F Fig. 4. Relazioni tra forza e spostamento 4. Comportamento elastico del sistema ad n grado di libertà 4.1. Oscillazioni libere in assenza di smorzamento Immaginiamo di imporre no spostamento orizzontale alla massa dell oscillatore semplice e poi di lasciarla libera. La massa oscillerà con n periodo T ben definito, con n comportamento analogo a qello di altri oggetti più vicini all esperienza qotidiana, come i pendoli 1 (ad esempio n altalena, Fig. 5). Già all inizio del XVII secolo Galileo dimostrò che il periodo di oscillazione libera di n pendolo dipende solo dalle caratteristiche del sistema e non dall entità dello spostamento iniziale imposto. Per il noto principio di conservazione dell energia, in assenza di fenomeni dissipativi l oscillazione del sistema prosegirà per n tempo indeterminato conservando la medesima ampiezza iniziale. Inserire foto di na altalena Foto Fig. 5. Altalena l m Modello di calcolo La trattazione matematica del moto libero di n oscillatore semplice richiede la scrittra di na relazione che esprima, nel generico istante t, l eqili- 1 Le oscillazioni libere e forzate di n pendolo sono descritte da eqazioni analoghe a qelle dell oscillatore semplice, anche se in qesto caso la forza di richiamo è data dalla componente della forza di gravità perpendicolare all asta e non dalla rigidezza della molla ed il parametro fondamentale non è più la massa ma la lnghezza dell asta.

6 6 Capitolo brio tra la forza di richiamo e l azione inerziale (eqilibrio dinamico). Se si indica con (t) lo spostamento orizzontale della massa, la forza di richiamo elastico vale k (il segno meno indica che la forza agisce con verso opposto allo spostamento, per riportare la massa nella posizione iniziale). La forza d inerzia è invece data dal prodotto tra massa m ed accelerazione (derivata seconda dello spostamento). L eqazione differenziale di eqilibrio dinamico è qindi m + k = 0 (1) La solzione di qesta eqazione, con la condizione di avere no spostamento iniziale 0, è (Fig. 6) = 0 cos( ω t) () cioè na fnzione armonica con freqenza angolare k ω = (3) m e periodo π m T = = π (4) ω k Il periodo di oscillazione libera T (detto anche periodo proprio del sistema), ovvero la freqenza f che è il so inverso, contenendo le informazioni relative sia alla massa che alla rigidezza, esprime na sorta di rigidezza dinamica del sistema. Un sistema è dinamicamente rigido se il rapporto tra rigidezza e massa è alto; esso sarà caratterizzato da n basso valore del periodo. Viceversa, n sistema con basso rapporto tra rigidezza e massa è dinamicamente poco rigido ed avrà n periodo di oscillazione più elevato. Sistemi diversi ma aventi lo stesso rapporto tra rigidezza e massa avranno n comportamento dinamico identico, oscillando con lo stesso periodo T. T = 1 s t (s) Fig. 6. Moto libero dell oscillatore semplice non smorzato

7 Elementi base di ingegneria sismica Oscillazioni libere in presenza di smorzamento Nella realtà si nota che il moto di n pendolo (o di n oscillatore semplice) non contina all infinito: la sa ampiezza si ridce man mano, finché esso si ferma del ttto. Ciò è dovto alla dissipazione di energia provocata dalla resistenza dell aria, dall attrito dell asta nel so perno, ecc. Il fenomeno dissipativo, in se abbastanza complesso, viene schematizzato considerando presenti azioni viscose, proporzionali alla variazione di posizione nel tempo, ovvero alla velocità (derivata prima dello spostamento), e qindi pari a c. Il coefficiente di proporzionalità c è detto coefficiente di smorzamento viscoso. L eqazione di eqilibrio dinamico diventa in tal caso m + c + k = 0 (5) e pò essere scritta anche come + ξ ω + ω = 0 (6) avendo posto c ξ = (7) k m La solzione dell eqazione dipende dal valore di ξ. Se tale parametro è minore di 1, si avrà n moto periodico con ampiezza via via decrescente. Con la condizione di avere no spostamento iniziale 0, la solzione è (Fig. 7a) ξ ω ( t) = ) che ha na freqenza angolare minore di qella del moto non smorzato 0 ωt 0 cos( ωd t) + sin( ωd t e ξ (8) ωd ω = ω 1 ξ d (9) e qindi n periodo maggiore T T d = (10) 1 ξ Se, invece, il parametro ξ ha n valore maggiore o gale ad 1 il sistema raggingerà la posizione di qiete senza oscillare (Fig. 7b). Il valore del coefficiente di smorzamento viscoso che corrisponde a ξ=1 è detto smorzamento critico. Il parametro ξ rappresenta qindi lo smorzamento come percentale del valore critico. Data la complessità del fenomeno, l nico modo realistico per valtare il coefficiente di smorzamento di na strttra consiste nell effettare na prova di oscillazione libera e misrare la ridzione dell ampiezza del moto in cicli sccessivi.

8 8 Capitolo 0 a) ξ = 0.05 T d = s 5 10 t (s) 0 b) ξ = t (s) Fig. 7. Moto libero dell oscillatore semplice smorzato Nelle strttre in cemento armato lo smorzamento è dovto principalmente ad elementi non strttrali, come i tramezzi e le pareti di tamponatra; in misra minore vi contribisce anche la non linearità insita nel comportamento del calcestrzzo al crescere delle deformazioni. Il valore normalmente sato per lo smorzamento percentale nelle strttre in c.a. è pari al 5%. Valori minori potrebbero essere sati nel caso di tramezzatre ridotte. Valori maggiori sono tilizzati nel caso di strttre isolate alla base (nelle qali vengono disposti isolatori in gomma con elevato smorzamento) oppre qando si vole tener conto in maniera approssimata del comportamento della strttra soggetta a forti e- scrsioni plastiche. In ogni caso, comnqe, il periodo è molto vicino a qello corrispondente ad oscillazioni libere in assenza di smorzamento e la ridzione dell ampiezza del moto in cicli sccessivi non è molto forte Oscillazioni forzate Il fenomeno delle oscillazioni libere pò riferirsi al moto della strttra al termine di na scossa sismica, ma il fenomeno dinamico più complesso avviene nella fase iniziale, qando il sistema è eccitato dal moto del solo. È però tile analizzare preliminarmente la risposta di n sistema (oscillatore semplice o pendolo) ad n azione periodica. Si pensi ad esempio alla spinta che viene data ad n altalena: se essa è applicata con n periodo gale a qello di oscillazione del sistema, l ampiezza del moto cresce man mano. O, analogamente, se si applica n azione ritmica ad n palo che regge n cartello stradale (altro esempio di oscillatore semplice) si possono ottenere spostamenti molto elevati anche con

9 Elementi base di ingegneria sismica 9 piccolo sforzo. Qesti sono esempi di ciò che viene denominata risonanza di n sistema soggetto ad azione periodica (Fig. 8). t Fig. 8. Moto in condizioni di risonanza (senza smorzamento) Volendo affrontare il problema dal pnto di vista analitico, occorre aggingere nell eqazione di eqilibrio n lteriore azione p(t), che rappresenta la casa forzante. L eqazione del moto diventa m + c + k = p(t) (11) Se la forzante è na fnzione armonica con freqenza angolare ωp e periodo Tp = π / ωp, ad esempio (Fig. 9a) p( t) = p0 sin( ω t) (1) p e lo smorzamento è nllo (c = 0) la solzione è (Fig. 9b) = p0 1 ω p ( t) sin( ω p t) sin( ωt 1 ( ω / ω) ω ) (13) k p cioè è somma di de componenti armoniche, aventi periodo coincidente rispettivamente con qello della forzante e con qello di oscillazione libera del sistema. La prima componente è detta stazionaria, mentre la seconda è detta transitoria. Qesti nomi nascono dal fatto che in presenza di smorzamento la componente transitoria è moltiplicata per n termine che la ridce esponenzialmente, fino a farla scomparire del ttto (Fig. 9c).

10 10 Capitolo a) forzante armonica p p 0 T p = 0.75 s 5 10 t (s) b) risposta in assenza di smorzamento 0 T = 0.5 s 5 10 t (s) 0 T = 1.0 s 5 10 t (s) moto totale componente stazionaria c) risposta con smorzamento ξ = 5% 0 T = 0.5 s 5 10 t (s) 0 T = 1.0 s 5 10 t (s) Fig. 9. Moto dell oscillatore semplice, con forzante armonica

11 Elementi base di ingegneria sismica 11 L ampiezza della componente stazionaria è data dal prodotto di de fattori. Il primo, p0 / k, rappresenta lo spostamento st che si avrebbe in condizioni statiche, se fosse applicata al sistema na forza p0. Il secondo indica l amplificazione, o ridzione, dello spostamento massimo per gli effetti dinamici. Se si riporta in n diagramma lo spostamento massimo provocato da na forzante di periodo assegnato, in fnzione del periodo dell oscillatore semplice, si pò vedere (Fig. 10a) che in assenza di smorzamento l amplificazione diventa infinita qando il periodo della forzante coincide con qello proprio del sistema (risonanza). Con i valori di smorzamento sali per gli edifici l amplificazione è forte, ma non infinita, ed è massima per valori leggermente diversi del periodo. Per smorzamenti elevati, o qando la forzante ha n periodo molto minore di qello proprio del sistema, si ha invece na ridzione dell ampiezza del moto. Considerazioni analoghe possono essere fatte per l accelerazione (Fig. 10b). 5 / st 4 ξ = 0 a) spostamento 3 ξ = ξ = T p = 0.75 s 1 3 T (s) 5 4 ξ = 0 b) accelerazione 3 ξ = ξ = T p = 0.75 s 3 1 T (s) Fig. 10. Amplificazione o ridzione del moto, in fnzione del periodo dell oscillatore

12 1 Capitolo 4.4. Risposta sismica e spettro di risposta elastico Nel valtare la risposta di n oscillatore semplice ad n inpt sismico, occorre distingere tra spostamento (t) della massa rispetto alla base e spostamento g(t) della base dell oscillatore, ovvero del solo. La forza di richiamo elastico e qella di smorzamento dipendono ancora rispettivamente da ed. La forza d inerzia è invece legata all accelerazione assolta + g. L eqazione di eqilibrio dinamico assme qindi l espressione m + c + k = m g (14) L eqazione è analoga a qella scritta pensando ad na forzante applicata alla massa. Se la forzante è armonica t) = sin( ω ) (15) g ( g, 0 p t la solzione sarà qella già vista nel paragrafo precedente, con p = m (16) 0 g,0 Anche l amplificazione degli spostamenti, sarà la stessa. Per qanto rigarda l accelerazione, è interessante esaminare l amplificazione dell accelerazione assolta + g, che ha l andamento mostrato in Fig. 11. Oltre al forte incremento che si ha per la risonanza, qando il periodo proprio dell oscillatore è prossimo a qello della forzante, si nota che qando T tende a zero l accelerazione assolta tende ad essere gale all accelerazione massima alla base. Ciò corrisponde al fatto che na strttra molto rigida (e qindi con T molto piccolo) si deforma poco e qindi tende ad avere le stesse accelerazioni sia alla base che in corrispondenza della massa. Viceversa, qando T diventa molto grande (strttra molto deformabile) il movimento della base non viene trasmesso alla massa, che rimane qasi ferma, con accelerazioni piccolissime. + 5 g g,0 4 accelerazione assolta 3 1 ξ = T p = 0.75 s 1 3 s Fig. 11. Amplificazione o ridzione del moto, in fnzione del periodo dell oscillatore T

13 Elementi base di ingegneria sismica 13 La solzione analitica dell eqazione del moto esiste solo nel caso di forzanti con eqazioni ben precise. L accelerogramma g è però fornito in genere come coppie di valori tempo-accelerazione e la risolzione deve avvenire per via nmerica. La discssione dei metodi risoltivi dell eqazione dinamica trascende gli scopi di qesta breve introdzione e pò essere trovata nei testi richiamati in bibliografia. Daremo qindi per scontata 3 la capacità di determinare il moto (t) del sistema na volta assegnata, tramite n accelerogramma, la fnzione g (t). Come mostrato dalla Fig. 1 e dalla Fig. 13, la risposta è notevolmente diversa, istante per istante, secondo il periodo proprio T dell oscillatore e lo smorzamento percentale ξ. Ai fini pratici, non interessa però ttta la storia della risposta nel tempo. Un progettista vole conoscere le massime sollecitazioni che sbirà la strttra in consegenza ad n assegnato terremoto e qeste si hanno qando la strttra ragginge la massima deformazione. Per no schema ad n grado di libertà i massimi valori delle caratteristiche di sollecitazione provocate da n sisma possono essere facilmente determinate applicando allo schema na forza statica proporzionale allo spostamento massimo max F = k max (17) Poiché qando lo spostamento ragginge il massimo la sa derivata prima si annlla, dall eqazione (14) si ha, per = max m ( + g ) = k (18) La forza da applicare pò, qindi, essere valtata moltiplicando la massa per l accelerazione assolta che si ha nell istante in ci lo spostamento è massimo F = m + ) (19) con ( g k π + g = max = ω max = max (0) m T La qantità ω è detta psedo-accelerazione. Se lo smorzamento è nllo essa coincide istante per istante con l accelerazione assolta. In caso contrario, l gaglianza si ha solo nell istante in ci lo spostamento è massimo; il massimo valore dell accelerazione assolta pò qindi essere leggermente speriore al massimo valore della psedo-accelerazione, ma le differenze sono talmente piccole da consentire, ai fini pratici, di parlare indifferentemente di accelerazione o psedo-accelerazione. 3 Un programma che consente ciò è riportato nel cd allegato al testo.

14 14 Capitolo 400 g 0 Accelerogramma (Tolmezzo, Frili, 1976) PGA = 351 cm s t (s) -400 Risposta in termini di accelerazioni (con ξ = 5%) g cm s - T = 0.5 s t (s) g cm s - T = 0.50 s t (s) g T = 1.00 s t (s) -5 cm s Fig. 1. Accelerogramma e risposta in termini di accelerazioni (con ξ = 5%)

15 Elementi base di ingegneria sismica g 0 Accelerogramma (Tolmezzo, Frili, 1976) PGA = 351 cm s t (s) -400 Risposta in termini di spostamenti (con ξ = 5%) cm T = 0.5 s t (s) T = 0.50 s t (s) cm cm T = 1.00 s t (s) Fig. 13. Accelerogramma e risposta in termini di spostamento (con ξ = 5%)

16 16 Capitolo In definitiva, al progettista basta conoscere il valore massimo della psedoaccelerazione (o dell accelerazione assolta). Si è già fatto notare che il moto libero di n oscillatore semplice dipende esclsivamente dal periodo proprio T e dallo smorzamento percentale ξ. Ciò vale anche per il moto forzato e per la risposta ad n inpt sismico. Strttre diverse, ma aventi gali valori di T e ξ, avranno gli stessi valori dello spostamento e dell accelerazione massima. È qindi possibile sintetizzare la risposta ad n assegnato terremoto mediante n grafico, denominato spettro di risposta elastico, costrito (Fig. 14) riportando come ascissa il periodo proprio dell oscillatore e come ordinata la psedoaccelerazione massima Se (T). In esso potranno essere riportate più crve, ciascna corrispondente ad n diverso valore dello smorzamento (Fig. 15). Qesta idea, proposta inizialmente da Biot negli anni 30 e diffsa da Hosner negli anni 40, è diventata n caposaldo dell ingegneria sismica. Ttte le norme, infatti, prescrivono di valtare la massima azione inerziale moltiplicando la massa m per il valore letto nello spettro di risposta in corrispondenza del periodo proprio della strttra. Lo spettro di risposta elastica in termini di accelerazione parte sempre, per T = 0, da n valore pari alla massima accelerazione del solo ag (indicata anche con la sigla PGA, acronimo di peak grond acceleration ). Infatti al valore nllo di T corrisponde n sistema infinitamente rigido dinamicamente, per il qale il moto relativo (t) della massa m rispetto al solo è rigorosamente nllo; di consegenza la massima accelerazione assolta del sistema coincide con qella del solo. S e 100 cm s cm s cm s cm s s Fig. 14. Costrzione dello spettro di risposta elastica in termini di accelerazione: accelerogramma di Tolmezzo, Frili, 1976 T

17 Elementi base di ingegneria sismica 17 S e 100 ξ = % cm s ξ = 5% 400 ξ = 10% T 3 s Fig. 15. Spettri di risposta elastica in termini di accelerazione: accelerogramma di Tolmezzo, Frili, 1976 L andamento tipico dello spettro presenta n iniziale tratto a campana, che corrisponde ad na forte amplificazione dell accelerazione spettrale rispetto a qella del solo. Si tratta del fenomeno meccanico della risonanza, descritto in precedenza, che avviene qando il periodo della forzante è simile a qello proprio del sistema strttrale. In effetti il moto del solo, pr non essendo periodico, pò essere scomposto in infinite componenti armoniche, ciascna di diversa ampiezza; in genere (specialmente per i terreni compatti) sono particolarmente importanti le componenti di basso periodo e qeste danno logo all amplificazione citata. Per sistemi (ideali) privi di smorzamento l amplificazione pò assmere valori estremamente grandi, ma per i valori di smorzamento comni nelle strttre reali tale amplificazione è di circa 3 volte. Al termine del tratto a campana l andamento dello spettro si presenta lteriormente decrescente, fino a tendere a valori qasi nlli dell accelerazione spettrale per sistemi con periodo T molto elevato. In termini fisici qesto significa che sistemi dinamicamente molto deformabili non risentono in maniera apprezzabile degli effetti del moto del solo. Ad esempio, se appendiamo ad n filo sottile na massa considerevole otteniamo n oscillatore semplice (capovolto) di tale caratteristica (ricordiamo che il valore di T è legato al rapporto tra la massa m e la rigidezza k). Imprimendo all estremo libero del cavo n moto oscillatorio orizzontale non risciremo ad eccitare in maniera significativa la massa sospesa all altro capo, che resterebbe praticamente ferma; in qesto caso il moto relativo (t) della massa rispetto al solo è egale e contrario a qello assolto del solo g(t). In maniera analoga possono essere costriti gli spettri di risposta elastica in termini di spostamento, in ci è diagrammato lo spostamento relativo mas-

18 18 Capitolo simo SDe (T) in fnzione del periodo (Fig. 16). Essi partono, per T = 0, dal valore zero perché sistemi infinitamente rigidi hanno spostamenti relativi nlli. In essi si pò inoltre notare che per alti periodi lo spostamento massimo tende a mantenersi costante; anche qesto ribadisce il comportamento precedentemente citato, di massa che rimane praticamente ferma ed ha qindi no spostamento relativo rispetto al solo ben definito, che non è altro che lo spostamento assolto del terreno stesso. S De ξ = % 7.5 cm 5.0 ξ = 10% ξ = 5% T 3 s Fig. 16. Spettri di risposta elastica in termini di spostamento: accelerogramma di Tolmezzo, Frili, 1976 Per concldere, è importante osservare che le caratteristiche dinamiche delle strttre intelaiate in cemento armato, che sono oggetto di qesto libro, portano a periodi corrispondenti al tratto di maggiore amplificazione dello spettro; tali strttre sono qindi soggette ad accelerazioni nettamente speriori a qelle del solo. Le strttre intelaiate in acciaio presentano invece, di solito, periodi abbastanza maggiori e qindi accelerazioni minori; l elevata deformabilità del sistema prodce però altri problemi. Infine, i sistemi strttrali isolati alla base, non esaminati in qesto volme, sono dimensionati proprio in modo da collocarsi nella zona dello spettro caratterizzata da accelerazioni veramente basse Spettri di risposta elastici della normativa italiana Lo spettro elastico relativo ad n accelerogramma storico si presenta come n grafico fortemente accidentato, poiché la risposta di oscillatori semplici aventi periodi abbastanza prossimi pò essere notevolmente diversa. Nella pratica professionale, lo spettro relativo ad n singolo sisma interessa poco, perché pò

19 Elementi base di ingegneria sismica 19 servire solo per gidicare a posteriori il comportamento di n sistema soggetto a qel terremoto. Ai fini progettali occorrerebbe prevedere gli spettri relativi ai sismi che potranno cimentare, in ftro, la strttra. Ciò viene fatto analizzando statisticamente per ciascn sito le registrazioni storiche e facendo n invilppo dei loro spettri. Il risltato è no spettro convenzionale, di forma regolare. Si è notato che, in generale, è possibile individare qattro intervalli di periodi. Nel primo, da 0 a TB, l accelerazione massima cresce col periodo (anche se sarebbe più corretto dire che nella sa parte iniziale, da 0 a TA, essa è costante ed gale a PGA). Nel secondo, da TB a TC, l accelerazione massima pò ritenersi mediamente costante. Nel terzo, da TC a TD, è la velocità massima a rimanere costante, mentre l accelerazione varia in maniera inversamente proporzionale al periodo. Nel qarto infine, per T maggiore di TD, lo spostamento massimo rimane costante e la psedo-accelerazione varia in maniera inversamente proporzionale al qadrato del periodo, conformemente all eqazione (0). Conformemente a qeste indicazioni, la normativa italiana riporta le segenti espressioni analitiche per lo spettro di risposta elastico Se (T) per 0 T < TB T S e ( T ) = a g S 1 + (.5 η 1) (1 a) TB per TB T < TC per TC T < TD Se ( T ) = a g S. 5 η (1 b) TC Se ( T ) = a g S. 5 η (1 c) T per TD T TC TD Se ( T ) = a g S.5 η (1 d) T È importante osservare che la normativa riconosce grande importanza alla capacità degli strati sperficiali di terreno di inflenzare il moto sismico trasmesso dallo strato roccioso di base (bed rock). Essa fornisce qindi cinqe distinti spettri di risposta (Fig. 17), indicati con le lettere da A ad E, ciascno tipico di n determinato profilo stratigrafico del terreno. Essi si differenziano per i valori di TB, TC, TD, nonché per il coefficiente S che incide sll amplificazione del moto (Tab. 1). Il parametro meccanico che principalmente diversifica le diverse tipologie di solo è la velocità media di propagazione delle onde sismiche di taglio in n tratto di 30 m di profondità al di sotto del piano di posa delle fondazioni, Vs30, valore legato alla. compattezza del solo. I soli migliori (categoria di solo A) sono qelli omogenei e molto rigidi, caratterizzati da valori di Vs30 speriori a 800 m/s. La risposta sismica è peggiore nel caso di soli costititi da sabbie o ghiaie molto addensate o argille molto consistenti (categoria di solo B, con Vs30 compresa tra 360 m/s e 800 m/s), terreni di media consistenza (categoria di solo C, con Vs30 compresa tra 180 m/s e 360 m/s) o terreni costi-

20 0 Capitolo titi da strati sperficiali allvionali di spessore compreso tra 5 e 0 m, giacenti s n sbstrato più rigido (categoria di solo E); la diversificazione tra qesti tre soli è però solo teorica, perché la norma impone per essi n nico spettro. Accelerazioni spettrali ancora maggiori, specie nel campo degli alti periodi, sono previste per terreni sabbiosi poco addensati o coesivi di bassa consistenza (categoria di solo D, con Vs30 minore di 180 m/s). In alternativa all so della velocità media di propagazione, entro 30 m di profondità, delle onde di taglio, la normativa consente di operare il riconoscimento della classe anche in fnzione della resistenza penetrometrica NSPT ovvero della coesione non drenata c., che sono parametri meccanici sicramente più familiari alla gran parte degli operatori tecnici. Tab. 1. Valori dei coefficienti che definiscono lo spettro di risposta elastico Categoria solo TB TC TD S A 0.15 s 0.40 s.0 s 1.00 B, C, E 0.15 s 0.50 s.0 s 1.5 D 0.0 s 0.80 s.0 s S a e g 3.0 Solo D.0 Soli B, C, E 1.0 Solo A T 3.0 Fig. 17. Spettri di risposta elastici normalizzati, indicati dalla normativa italiana (per ξ = 5%) La normativa impone inoltre di prestare particolare attenzione ad altri tipi di solo, come terreni che incldono no strato spesso almeno 10 m di argille di

21 Elementi base di ingegneria sismica 1 bassa consistenza ed elevato contento di acqa (categoria di solo S1) e terreni soggetti a liqefazione (categoria di solo S). In qesti casi lo spettro di risposta dovrà essere definito slla base di stdi specifici. Occorre poi notare che lo spettro fornito dalla normativa esprime sostanzialmente na forma (spettro normalizzato) e va scalato per tener conto dell accelerazione di picco al bed rock. Il territorio italiano è qindi sddiviso, in base alla massima intensità sismica prevista, in qattro zone, a ciascna delle qali compete il valore di ag indicato in Tab.. Infine, la dipendenza delle ordinate spettrali dal valore dello smorzamento ξ (espresso in pnti percentali) è indicata mediante il parametro η 10 η = 0.55 () 5 + ξ Tab.. Accelerazione di picco del terreno, per le diverse zone previste dalla normativa italiana zona ag g 0.5 g g g 4.0 S a e g 3.0 ξ = % ξ = 5% ξ = 10% T 3.0 Fig. 18. Spettri di risposta elastici normalizzati, al variare dello smorzamento (per soli B, C, E)

22 Capitolo La variazione dello spettro in fnzione dello smorzamento è mostrata in Fig. 18. Dai valori della psedo-accelerazione si possono ottenere qelli dello spostamento massimo, e qindi lo spettro elastico in termini di spostamenti SDe, mediante la relazione inversa della (0) 1 T SDe = Se = S e (3) ω π La conoscenza degli spostamenti massimi è tile in particolare per valtarne la compatibilità con la fnzionalità dell edificio, sopratttto per individare se la loro entità è tale da recare danni alle mratre leggere di tamponamento. 5. Comportamento di n sistema elasto-plastico ad n grado di libertà 5.1. Dttilità Come già anticipato al termine del paragrafo 3, per valtare la reale risposta sismica di n edificio nel caso di n eccitazione sismica severa è necessario abbandonare l ipotesi di comportamento elastico del sistema ed esplorare l inflenza delle se risorse plastiche. Ciascna sezione, o meglio qalsiasi tratto di dimensioni finite appartenente ad na trave o pilastro, è in grado di sopportare rilevanti deformazioni oltre il limite elastico, prima di gingere a rottra. Qesta capacità, indicata con il termine dttilità nel moderno lessico dell ingegneria strttrale, costitisce na proprietà meccanica non meno importante della stessa resistenza. La definizione di dttilità nasce con riferimento ad n legame comportamentale ideale, elastico perfettamente plastico; essa è infatti espressa come rapporto µ tra la deformazione ltima m e qella al limite del tratto elastico y (Fig. 19) m µ = (4) y F y m Fig. 19. Legame elastico perfettamente plastico e dttilità

23 Elementi base di ingegneria sismica 3 Si pò parlare di dttilità innanzittto a livello di materiale; ad esempio il legame costittivo dell acciaio da cemento armato, espresso in termini di tensione deformazione monoassiale, viene salmente schematizzato con na bilatera con ramo orizzontale (Fig. 0). ft legame sperimentale fy modello bilineare ε y ε h ε ε t Fig. 0. Legame costittivo dell acciaio per c.a. Il comportamento della sezione emerge dal legame momento crvatra per n assegnato valore dello sforzo assiale, ottento dal legame costittivo dei materiali nell ipotesi di conservazione della sezione piana. Nel caso di sezioni in c.a. la dttilità è fortemente condizionata dall armatra disposta (Fig. 1) e dall entità dello sforzo normale. Ad esempio, in na sezione semplicemente inflessa si pò ottenere lo stesso momento resistente con disposizioni ben differenti dell armatra. In casi limite, come qello mostrato in figra (sezione a forte armatra), si pò ottenere n bon amento della dttilità diminendo (leggermente) l armatra tesa ed incrementando (in maniera consistente) qella compressa. Una corretta pratica progettale porta, nel caso di elementi inflessi come le travi, all so di sezioni a debole armatra. La dttilità è qindi in genere nettamente minore nei pilastri, per la presenza di consistenti sforzi assiali di compressione. Analogo, ma più significativo, è il legame momento rotazione riferito ad n tratto della trave, generalmente di lnghezza pari all altezza della sezione; il tronco di trave interessato dal momento plastico si configra come na cerniera plastica che pò rotare (ma solo nel verso che ne ha prodotto la plasticizzazione) senza apprezzabili variazioni del momento e nei limiti di dttilità del materiale. Qesto modello, denominato a plasticità concentrata, consente di svolgere anche analisi non lineari, con n onere comptazionale elevato ma accessibile agli attali calcolatori.

24 4 Capitolo M 300 knm legame teorico modello bilineare M 300 knm legame teorico modello bilineare 00 sezione sezione A s = 6. cm A s = 0.6 cm 100 A s = 11.5 cm A s = 19. cm χ χ Fig. 1. Legame momento crvatra per na sezione in c.a. 5.. Risposta sismica di sistemi elasto-plastici In n oscillatore semplice costitito da materiale elasto-plastico il legame tra l azione orizzontale ed il corrispondente spostamento non è più na retta, come avveniva per l oscillatore elastico, ma na bilatera, con ramo orizzontale limitato dalla capacità rotazionale plastica delle sezioni. Il rapporto tra spostamento di collasso e spostamento corrispondente alla plasticizzazione viene denominato dttilità disponibile nella strttra. L eqazione di eqilibrio dinamico è formalmente analoga a qella della strttra elastica m + c + k( ) = m g (5) ma differisce in maniera sostanziale perché la rigidezza laterale del sistema non è più costante ma dipende dal valore dello spostamento. Anche in qesto caso la risolzione pò avvenire solo per via nmerica e fornirà i valori massimi dell accelerazione assolta e dello spostamento relativo del sistema. In genere l analisi viene fatta ipotizzando n diagramma elastoplastico senza limiti per gli spostamenti. Il rapporto µr tra lo spostamento relativo massimo max, ottento come risposta al sisma, e lo spostamento corrispondente alla plasticizzazione viene denominato richiesta di dttilità. max µ r = (6) y Si dirà pertanto che la strttra è in grado di sopportare il terremoto se la dttilità disponibile µ è almeno pari alla richiesta di dttilità µr.

25 Elementi base di ingegneria sismica cm T = 1.00 s elastico F cm 10 t (s) T = 1.00 s µ = F cm 10 t (s) cm -7.5 Fig.. Confronto tra la risposta di n oscillatore elastico ed no elasto-plastico: accelerogramma di Tolmezzo, Frili, 1976 Il confronto tra la risposta sismica di n oscillatore elastico e di no elastoplastico (Fig. ) mostra che na strttra pò essere progettata in modo da resistere ad na forza ben minore di qella che la cimenterebbe se il so comportamento dovesse rimanere elastico, prché sia dotata di na adegata dttilità. Resistenza e dttilità sono qindi de caratteristiche complementari, al fine di consentire che na strttra speri n terremoto. In particolare, se il sistema ha n assegnato valore di dttilità è possibile calcolare di qanto pò essere ridotta la forza di progetto per far sì che la strttra sia proprio al limite, cioè che la dttilità disponibile coincida con la richiesta di dttilità. Ricordando an-

26 6 Capitolo cora che la forza di progetto pò essere espressa come prodotto di massa per accelerazione, è possibile riportare in n grafico l accelerazione da sare nel progetto, in fnzione del periodo, per n assegnata dttilità. Lo spettro così ottento viene denominato spettro di risposta a dttilità assegnata (Fig. 3). S e 100 cm s µ = 1 (spettro elastico) µ = 4 µ = 0 1 T 3 s Fig. 3. Spettri di risposta a dttilità assegnata 5.3. Spettri di progetto della normativa italiana Così come già fatto per l oscillatore elastico, analizzando statisticamente la risposta di oscillatori elasto-plastici di assegnata dttilità ad n insieme di eventi sismici storici che hanno colpito na certa zona è possibile definire no spettro convenzionale, di forma regolare, da tilizzare nel progetto di strttre bicate in tale zona. Esso viene denominato spettro di progetto ed è ottento ridcendo le ordinate dello spettro di risposta elastico in fnzione della dttilità disponibile nella strttra. La definizione di no spettro di progetto pò essere agevolata da alcne considerazioni, basate si risltati di n ampia sperimentazione nmerica. Già negli anni 60 Newmark ha infatti evidenziato come gli spostamenti relativi massimi della massa strttrale siano mediamente gli stessi sia per l oscillatore elastico che per qello elasto-plastico (Fig. 4a). Ne consege che in fase di verifica è possibile condrre il calcolo lineare con il modello elastico e, noto il valore di soglia plastica del sistema, ricavare dal citato principio di egaglianza l estensione del ramo orizzontale plastico e la richiesta di dttilità. Ma, ancora più importante, è possibile progettare la strttra con n analisi elastica lineare, sando forze minori di qelle necessarie per mantenere il comportamento elastico, ridotte rispetto a qeste in proporzione alla dttilità disponibile

27 Elementi base di ingegneria sismica 7 Fmax, e Fd = Fy = (7) µ In entrambi i casi, qindi, si tilizza n modello lineare elastico per valtare il comportamento di n sistema non lineare elasto-plastico. Il cosiddetto principio di egaglianza degli spostamenti rislta valido solo nel campo dei periodi elevati (cioè per T maggiore del valore corrispondente al colmo della campana della crva spettrale). Per periodi minori si pò ritenere che si mantenga sostanzialmente invariata l energia, cioè l area sottesa al diagramma forza spostamento (Fig. 4b). Con tale ipotesi la forza di progetto rislterebbe legata alla dttilità dalla relazione Fmax, e F d = Fy = (8) µ 1 F F max,e elastico a) T elevato F F max,e elastico b) T basso aree gali F y elasto-plastico F y elasto-plastico max,e max,ep max,e max,ep Fig. 4. Confronto tra forze e spostamenti massimi di n oscillatore elastico ed no elasto-plastico In realtà il comportamento per bassi periodi è ancora più complesso, perché per strttre veramente rigide, cioè con T tendente a zero, occorrerebbero dttilità estremamente alte per ridrre in maniera significativa la forza di progetto. La normativa tilizza qindi na relazione lineare per raccordare i valori ottenti dal principio di gaglianza degli spostamenti, per T TB, con il valore ag, corrispondente all accelerazione di picco del terreno senza alcna ridzione, tilizzato per T = 0. In definitiva, la normativa italiana impone le segenti e- spressioni analitiche per lo spettro di progetto Sd (T) per 0 T < TB T.5 S d ( T ) = a g S (9 a) TB q

28 8 Capitolo per TB T < TC per TC T < TD per TD T con la condizione aggintiva S S d d.5 ( T ) = a g S (9 b) q.5 TC ( T ) = a g S (9 c) q T.5 TC TD S d ( T ) = a g S (9 d) q T S ( T) 0. (9 e) d a g Si noti che le relazioni sopra riportate forniscono lo spettro di risposta in fnzione di n parametro q, detto fattore di strttra (o, in inglese, behavior factor, cioè fattore di comportamento), e non della dttilità µ (Fig. 5). Ciò dipende, come sarà mostrato in segito, dal fatto che la ridzione delle forze di progetto per schemi a più gradi di libertà è legata non solo alla dttilità del materiale e delle singole sezioni, ma anche al comportamento complessivo della strttra e qindi dalla sa tipologia. Nelle espressioni non compare invece lo smorzamento viscoso, perché si ritiene che nel comportamento elastico-plastico del sistema il so effetto sia trascrabile rispetto a qello della dissipazione i- steretica. 4.0 S a d g spettro di risposta elastico spettro di progetto q = q = 3 q = T 3.0 Fig. 5. Spettri di progetto normalizzati, al variare del fattore di strttra (per soli B, C, D)

29 Elementi base di ingegneria sismica 9 6. Sistemi contini e sistemi a più gradi di libertà L oscillatore semplice è n modello molto comodo da sare, per la sa semplicità, ma sono poche le strttre che possono essere realisticamente schematizzate in tal modo. Lo stesso serbatoio pensile, citato come primo esempio di oscillatore semplice, ha in realtà n fsto dotato di massa. Se qesta non è molto piccola, rispetto a qella del serbatoio vero e proprio, si dovrebbe analizzare la strttra come sistema dotato di massa distribita o, come si sol dire, come sistema contino. Fortnatamente sono rari i casi in ci il professionista dovrà tilizzare na modellazione così raffinata. Si rinvia qindi il lettore interessato allo stdio della risposta dinamica dei sistemi contini ai testi richiamati in bibliografia. Ben diverso è il caso del telaio mltipiano, tipologia strttrale comnissima per gli edifici. A rigore, n edificio è n sistema elastico contino, con masse distribite. Tttavia le masse presenti, pr essendo distribite lngo ttta l altezza, sono maggiormente addensate in corrispondenza dei solai. Inoltre esso possiede salmente impalcati orizzontali notevolmente rigidi nel loro piano, che possono essere considerati indeformabili e qindi dotati di soli 3 gradi di libertà. Di consegenza, anche se le incognite cinematiche sono costitite da de rotazioni (ed eventalmente lo spostamento verticale) per ciascn nodo e dalle componenti di movimento degli impalcati, dal pnto di vista dinamico n fabbricato con n impalcati pò essere considerato come n sistema dotato di 3 n gradi di libertà. Se poi la strttra è rappresentabile come telaio piano (ad esempio in edifici simmetrici) essa dal pnto di vista dinamico sarà considerata dotata di n gradi di libertà. Nei paragrafi che segono si discte qindi il comportamento dinamico di sistemi a più gradi di libertà ripercorrendo la stessa via tracciata per l oscillatore semplice, dalla risposta elastica a qella inelastica. Per semplicità si fa riferimento a schemi piani, rinviando ad n paragrafo sccessivo le considerazioni relative alla differenza tra schemi piani e schemi tridimensionali. 7. Comportamento elastico dei sistemi a più gradi di libertà 7.1. Oscillazioni libere e modi principali di oscillazione Immaginiamo di imporre a ciascn traverso di n telaio no spostamento, per poi lasciarlo libero di oscillare. In generale, ogni piano si comporterà in maniera apparentemente indipendente dagli altri e la deformata, che avevamo assegnato all istante t = 0, cambierà forma in istanti sccessivi t1, t, t3 (Fig. 6a). Applicando però particolari deformazioni iniziali i piani oscilleranno contemporaneamente in maniera proporzionale gli ni agli altri, con n periodo ben defini-

30 30 Capitolo to (Fig. 6b). Si dice in tal caso che la strttra oscilla secondo no dei soi modi principali. La deformata, definita a meno di n parametro, è detta deformata modale. Per n sistema dotato di n gradi di libertà esistono altrettante deformate distinte aventi tale proprietà, che possono essere ordinate in base ai valori decrescenti del periodo (T1 > T > Tn). Si parla così di primo, secondo... n-mo modo principale di oscillare del sistema (Fig. 7). I relativi periodi (o freqenze) di oscillazione vengono detti periodi (o freqenze) principali o propri della strttra. In particolare il periodo di oscillazione del primo modo viene spesso denominato periodo fondamentale di vibrazione. Le deformate modali sono caratterizzate dal presentare n nmero di inversione del segno degli spostamenti dei traversi pari al nmero d ordine del modo meno no. m 3 t = t 3 t = 0 t = t 3 t = 0 m t = t t = t m 1 t = t 1 a) t = t 1 b) Fig. 6. Moto libero di n telaio mltipiano: a) assegnando na qalsiasi deformata iniziale b) assegnando na particolare deformata iniziale T 1 T T 3 Primo modo Secondo modo Terzo modo Fig. 7. Modi di oscillazione libera di n telaio piano

31 Elementi base di ingegneria sismica 31 Per trattare matematicamente il moto di n sistema a più gradi di libertà occorre innanzittto definire le incognite del problema. La scelta più intitiva ricade, ovviamente, sgli spostamenti orizzontali i(t) delle masse rispetto alla base del telaio (col pedice i = 1 n che indica la massa, ovvero il traverso). Imponendo la condizione di eqilibrio dinamico, analogamente a qanto fatto per l oscillatore semplice, si ottiene nel caso di moto libero non smorzato n insieme di eqazioni differenziali che possono essere rappresentate sinteticamente dalla relazione matriciale m + k = 0 (30) in ci è il vettore che contiene le n fnzioni i(t), è il vettore che contiene le derivate seconde delle fnzioni, m è na matrice che contiene le masse, k è la matrice di rigidezza della strttra, che mette in relazione forze e spostamenti orizzontali. Avendo ipotizzato che le masse siano concentrate nei traversi, la matrice m ha come nici valori non nlli qelli disposti lngo la diagonale principale, che sono pari alle masse mi. Se lo spostamento iniziale coincide con la deformata modale φ (vettore che contiene gli spostamenti modali φi,) il sistema ha come solzione ( t) = φ, cos( ω t) (31) i i fnzione armonica con freqenza angolare ω. Sostitendo nella (30) si ottiene ω m φ + k φ = 0 (3) che ha solzioni non banali prché sia verificata la condizione det( k ω m) = 0 (33) Svilppando il determinante si ottiene n eqazione polinomiale di ordine n nell incognita ω che fornisce n solzioni (appnto gli n modi di oscillazione libera). L eqazione (3) diventa così n sistema di eqazioni lineari omogeneo nelle incognite φi,. Si noti che se lo schema fosse ad n solo grado di libertà la condizione (33) diventerebbe semplicemente k ω m = 0, che porta alla relazione (3) vista in precedenza per l oscillatore semplice. Anche se concettalmente semplice, lo svilppo nmerico di qanto sopra esposto è abbastanza oneroso. Fortnatamente si tratta di n problema matematico ben noto, qello della determinazione di atovalori (le freqenze angolari ω) ed atovettori (i vettori φ), la ci solzione è descritta in nmerosi testi di matematica e di ingegneria. Se lo spostamento iniziale non è proporzionale ad na deformata modale, diventa molto complicato risolvere il sistema di eqazioni differenziali (30), perché ogni eqazione contiene ttte le fnzioni incognite. Il problema pò essere risolto in maniera più agevole se si definiscono diversamente le incognite. Si osserva innanzittto che qando n sistema oscilla secondo il -esimo modo

32 3 Capitolo principale lo spostamento del traverso i pò essere espresso in fnzione della deformata modale ( t) =, q ( t) (34) i φ i essendo φi, lo spostamento orizzontale del traverso i nella -esima deformata modale. Una qalsiasi deformata pò essere descritta come combinazione lineare di qelle modali 4 (Fig. 8) n ( t) = φ q ( t (35) i = 1 i, ) o, in termini matriciale = φ q (36) = Deformata assegnata Primo modo Secondo modo Terzo modo Fig. 8. Descrizione di na deformata come combinazione di qelle modali La (36) indica semplicemente n cambio delle coordinate di riferimento, che non sono più gli spostamenti i, ma i coefficienti q, che vengono detti coordinate principali. Sostitendo qesta relazione nella condizione di eqilibrio dinamico (30) e premoltiplicando per φ T, si ottiene M q + K q = 0 (37) Si pò dimostrare che, per na proprietà detta di ortogonalità dei modi di vibrare, le matrici M = φ T m φ e K = φ T k φ hanno ttti i termini nlli, tranne qelli della diagonale principale. In particolare, è 4 Qesto è possibile perché le n deformate modali sono linearmente indipendenti, cioè non se ne pò esprimere na come combinazione lineare delle altre.