Introduzione alla Mostra "Riflessioni & Riflessioni"

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1 1 Introduzione alla Mostra "Riflessioni & Riflessioni" Nei programmi di scuola il concetto di simmetria si limita normalmente a quello di simmetria assiale e di simmetria centrale, per cui una figura del piano è considerata simmetrica quando esiste un asse di simmetria o un centro di simmetria. Una figura dunque è simmetrica se non si modifica scambiando ogni suo punto con il simmetrico rispetto ad una retta o ad un punto. Nella mostra il concetto di simmetria è molto più ampio. Prendiamo per iniziare una figura molto semplice come il rettangolo. Il rettangolo ha due assi di simmetria (uno verticale e uno orizzontale, attenzione: le diagonali non sono assi di simmetria) ed un centro di simmetria, quindi il rettangolo è una figura simmetrica secondo il concetto standard di simmetria già ricordato: è possibile cioè ribaltare il rettangolo rispetto all asse verticale o all asse orizzontale in modo da riportarlo su se stesso. Oltre a tali trasformazioni è però possibile muovere il rettangolo in modo da riportarlo su se stesso mediante altri tipi di trasformazioni o movimenti. Quali? Le uniche due trasformazioni possibili, a meno di multipli di 180, sono le rotazioni di 180 e di 360. La seconda rotazione in realtà non cambia nessun punto del rettangolo ed è pertanto detta identità o trasformazione identica (si tratta in effetti della rotazione di 0!), mentre la rotazione di 180 scambia i punti opposti rispetto al centro e quindi non è nient altro che una simmetria centrale. In questo caso dunque, pur volendo allargare il concetto di simmetria a qualunque trasformazione che non modifichi il rettangolo, come le rotazioni di 180 e 360 gradi, non abbiamo ottenuto nulla di nuovo ed in effetti le uniche simmetrie di un rettangolo sono solamente le quattro già considerate: ribaltamento rispetto all asse verticale, ribaltamento rispetto all asse orizzontale, rotazione di 180 o simmetria centrale, e identità. Come vedremo tra poco le simmetrie di una figura possono esser molto più ricche, ma per un attimo ci fermiamo ancora sul rettangolo e proviamo a giocare un pochino con le sue simmetrie. Utilizzando un lucido eseguiamo un ribaltamento verticale seguito da uno orizzontale. Cosa otteniamo? La composizione dei due ribaltamenti è equivalente ad una rotazione di 180. E se scambiamo l ordine? Nuovamente la stessa rotazione. Continuando poi a comporre in tutti i modi possibili due simmetrie del rettangolo, possiamo verificare che la composizione di due simmetrie è di nuovo una simmetria; più precisamente la tabella riportata sul cartellone descrive tutti i possibili risultati della composizione di due simmetrie del rettangolo (attenzione: su tutte le tabelle il risultato della composizione è calcolato applicando prima la simmetria indicata sulla riga e poi quella indicata sulla colonna, inoltre tutte le rotazioni considerate sono rotazioni in senso orario). Con un pochino di pazienza in più potremmo verificare che per la composizione di simmetrie vale la proprietà associativa, proprio come per i numeri, ma è un po noioso e ci accontenteremo di crederlo, mentre abbiamo già verificato che per il rettangolo vale la proprietà commutativa! Abbiamo però anche già verificato che esiste un elemento speciale, che composto con qualunque altro non lo modifica: si tratta dell identità, che corrisponde allo 0 della somma tra numeri, o all 1 del prodotto. Infine la composizione è dotata ancora di una proprietà fondamentale: l esistenza dell opposto di ogni simmetria! Ossia, scelta una qualsiasi simmetria, esiste una simmetria opportuna che, composta con quella scelta, dà come risultato l'identità. Qual è l opposto di ciascuna simmetria del rettangolo? Bene, l insieme delle quattro simmetrie del rettangolo è un esempio di un oggetto speciale e tra i più importanti della matematica moderna, che si chiama gruppo. Più precisamente, nel caso del rettangolo, si tratta di un gruppo commutativo. Un gruppo è dunque un insieme con una operazione che gode delle proprietà che abbiamo elencato prima: associativa, esistenza dell'identità o elemento neutro, esistenza dell'opposto. I numeri interi (relativi) sono un gruppo con l operazione di somma, come anche i numeri reali. Attenzione però, i numeri reali non sono un

2 gruppo rispetto al prodotto, la cui identità (o elemento neutro) è il numero 1, infatti non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia 1 e quindi 0 non ammette opposto rispetto al prodotto (più comunemente, per l'operazione prodotto, l'opposto si chiama inverso!). Se togliamo lo 0 dai numeri reali, allora i numeri reali senza lo 0 formano un gruppo rispetto al prodotto. Notiamo che tutti questi gruppi sono commutativi. Qual è l'opposto moltiplicativo di, 1/3, 1? Come per il rettangolo, possiamo considerare l insieme delle simmetrie di una figura qualsiasi, anche non poligonale. Per semplicità comunque noi continuiamo a considerare poligoni. Nel cartellone sono riportate le simmetrie di un triangolo isoscele (identità e ribaltamento o riflessione verticale), di un triangolo equilatero (6 simmetrie: tre ribaltamenti e tre rotazioni in senso orario di 10, 40 e 360 =identità) e di un quadrato (8 simmetrie: 4 ribaltamenti e 4 rotazioni in senso orario di 90, 180, 70 e l dentità). Proviamo a giocare un pochino anche con queste simmetrie, componendole:... Anche in questi casi ci ritroviamo con dei gruppi, ma nel caso del triangolo equilatero e del quadrato non sono commutativi! Sorpresa! La proprietà commutativa a cui siamo così abituati non vale sempre, mentre la proprietà associativa continua a valere anche in questi casi ed è necessaria per poter parlare di gruppo. Dunque la proprietà associativa sembra essere più essenziale di quella commutativa ed in effetti se la somma o il prodotto di numeri non possedesse la proprietà associativa, perderebbe significato addirittura il far di conto! Come abbiamo visto invece esistono gruppi molto importanti e concreti in cui non vale la proprietà commutativa. Riassumendo: cos è una simmetria di una figura? Potremmo dire che è una trasformazione che riporta la figura su se stessa; attenzione non punto per punto, nel qual caso avremmo solo l identità, ma nel suo complesso. Ma quale tipo di trasformazione è? Si tratta di una isometria, ossia di un movimento rigido che non cambia le distanze tra i punti della figura: una isometria cioè muove una figura senza deformarla. Le isometrie del piano sono di 4 tipi: riflessioni, rotazioni, traslazioni e glissoriflessioni (vedere il cartellone relativo). Con le figure precedenti abbiamo incontrato tra le simmetrie solo rotazioni e riflessioni. Infatti una traslazione o una glissoriflessione non può essere una simmetria di una figura limitata, perché la figura verrebbe spostata e quindi non più riportata su se stessa! Esistono però figure che ammettono traslazioni e glissoriflessioni come simmetrie: le più semplici sono le cornicette (o fregi). Si tratta di cornicette un po speciali perché illimitate o senza fine e senza principio; occorrerebbe un quaderno infinito per contenerle, ma con un po di fantasia, possiamo cercare di immaginarle disegnandole solo in parte. Una cornicetta si ottiene semplicemente scegliendo un disegno e ripetendolo periodicamente all infinito spostandosi lungo una stessa direzione in entrambe i versi.. Anche le simmetrie di una cornicetta costituiscono un gruppo ed è possibile provare che esistono solamente 7 tipi di gruppi possibili per una cornicetta, qualunque sia il disegno scelto come motivo di base. Le 7 possibilità sono tutte rappresentate sul cartellone: utilizzare i lucidi per verificare l esistenza di simmetrie traslazionali e di vario tipo. Nel piano possiamo considerare figure illimitate più complesse delle cornicette, che si chiamano tassellazioni, tappezzerie, mosaici (o pavimentazioni o ). Per ottenerle, il procedimento è analogo a quello utilizzato con le cornicette, ma invece di spostarci in un unica direzione abbiamo la libertà di spostarci rispetto a due direzioni distinte in modo da riempire tutto il piano (esempio sul cartellone). Con le scatole triangolari di specchi piane presenti si possono costruire pavimentazioni introducendo pochi tasselli al loro interno, provando anche a ricostruire le tassellazioni proposte dai disegni posti vicino ai tavoli. Anche in questo caso le simmetrie di tali figure costituiscono un gruppo ed in tutto ve ne sono esattamente 17 tipi diversi, di cui alcuni rappresentati sui cartelloni. Nello spazio è possibile costruire figure analoghe alle cornicette ed alle pavimentazioni, figure che riempiono tutto lo spazio, come delle specie di costruzioni Lego ad infiniti blocchetti variopinti (ma tutti uguali)! Il fatto veramente sorprendente è che una figura di questo tipo, che sembra più che altro una curiosa

3 astrazione matematica, serve a rappresentare niente di meno che la distribuzione degli atomi di un cristallo! In altre parole in un cristallo gli atomi sono disposti ripetendo periodicamente un unico "mucchietto" di atomi lungo tre direzioni distinte (non complanari), seguendo quindi le stesse regole di formazione di una cornicetta o di una tassellazione! Ovviamente il cristallo costituisce solamente una parte limitata della figura complessiva, ma se potesse espandersi all infinito esso riempirebbe tutto lo spazio con i suoi mattoncini di atomi tutti uguali, esattamente come il pavimento di una stanza riempirebbe tutto un piano illimitato se avessimo abbastanza piastrelle. tempo e pazienza. In mostra si possono osservare alcuni modelli di reticoli cristallini, ossia dell insieme di atomi che costituiscono certi cristalli ed inoltre sono esposti anche esemplari piuttosto interessanti di cristalli di varia forma. Osserviamo che la forma regolare di tali esemplari è completamente naturale e non opera dell uomo, ed è dovuta proprio alla disposizione estremamente regolare degli atomi che compongono il cristallo (vedere le schede con alcune delle forme possibili di cristalli ottenibili mediante ripetizione di più celle elementari). Dunque siamo partiti dall astrattezza della matematica dei disegni limitati ed illimitati (particolarmente famosi quelli di Escher) per arrivare all estrema concretezza della natura dei cristalli e dei minerali. Per la precisione esistono esattamente 30 gruppi diversi di simmetrie per una struttura cristallina, quindi gli atomi di un cristallo devono sempre distribuirsi in modo tale da rispettare una di tali 30 simmetrie e ci sono proprio tutti! Cioè, per ogni gruppo di simmetrie, i cristallografi hanno verificato sperimentalmente che esistono cristalli che hanno una struttura cristallina con quel tipo di simmetria. Ecco quindi come la mostra ci permette di sperimentare uno dei tanti modi in cui la matematica, come scrive Keith Devlin, riesce a rendere visibile l invisibile! 3 Attività varie in mostra - attività con le scatole triangolari piane : - scrivere il proprio nome allo specchio o altre scritte e numeri, fare disegni che si completino allo specchio. - utilizzare gli specchi incidenti per verificare che due volte una riflessione dà una rotazione di angolo pari al doppio dell'angolo formato dai due specchi. - utilizzare due specchi paralleli per costruire cornicette, accostando i due specchi rialzati (e perpendicolari al piano orizzontale). - trovare assi di simmetria utilizzando gli specchi rialzati. - utilizzare gli specchi incidenti per "costruire" angoli di 30, 45, 60, moltiplicando l'immagine di un oggetto sistemato tra gli specchi 1, 8, 6 volte. -negli specchi incidenti, per ottenere una figura con simmetria rotazionale utilizzando la riflessione multipla di una singola figura, occorre che l'angolo formato dagli specchi (nel quale viene inserita la figura) sia un sottomultiplo di 180 e non solo di 360 (36 va bene, ma 7 non va bene!). Ciò dipende dal fatto che otteniamo una rotazione della figura inserita tra gli specchi solamente ogni due riflessioni, quindi per ottenere un numero intero di rotazioni per riflessione occorre poter compiere un numero pari di riflessioni, dunque occorre che l'angolo formato dagli specchi stia un numero pari di volte nell'angolo giro (e quindi un numero intero di volte nell'angolo piatto). Più brevemente potremmo anche dire che la figura che genera la figura completa (con simmetria rotazionale) non è solamente quella inserita tra gli specchi, ma l'unione di questa con la sua figura riflessa. Dunque per ottenere una rotazione completa di un angolo giro occorre che, non solo l'angolo formato dagli specchi, bensì il doppio dell'angolo (in cui sono comprese la figura generatrice e la sua riflessa) sia contenuto esattamente nell'angolo giro.

4 - costruire pavimentazioni: trovare gli assi di simmetria delle pavimentazioni proposte (appese ai cartelloni) per capire quali pezzi introdurre nelle scatole, per questo utilizzare le fotocopie a disposizione nel libro blu sul tavolo vicino ai tavoli delle scatole di specchi. Utilizzare i fogli con le griglie di triangoli equilateri, isosceli e rettangoli per far disegnare in un triangolo a piacere un elemento geometrico molto semplice (pallino, quadrato, triangolo ) per poi "trasportarlo" per riflessione in tutti (o quasi!) i triangoli della griglia. Poco per volta aggiungere altri elementi per ottenere disegni sempre più sorprendenti. Se siutilizzano come elementi geometrici le forme dei singoli pezzi in Forex disponibili nei cesti sarà poi possibile confrontare il risultato disegnato sulla carta con quello ottenuto con gli specchi! In particolare nei cesti esistono delle bacchette che possono essere sistemate lungo i lati di ciascuna scatola, può essere un ottimo esercizio chiedere di immaginare o di disegnare sulle griglie il risultato della riflessioni di queste bacchette nelle scatole, prima di introdurle effettivamente! Pezzi speciali possono essere ritagliati anche utilizzando il cartoncino colorato a disposizione. Esiste una griglia grande di triangoli isosceli per spiegare come funziona la riflessione multipla nelle scatole e come quindi si formano le varie pavimentazioni. La griglia è sistemata sulla lavagna magnetica grande, che permette di utilizzare i pezzi magnetici dei puzzle per spiegare le riflessioni multiple subite dai pezzi di Forex introdotti nelle scatole di specchi. - misurare gli angoli con gli specchi, contando il numero di volte che l angolo tra gli specchi viene riflesso formando un angolo giro. Si verifica poi che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180. Questo esercizio è anche utile per capire quali poligoni saltano fuori dalla riflessione di una bacchetta inserita nelle scatole a specchio (se i poligoni sono regolari) - quanto misura l angolo interno di un poligono regolare? Questo esercizio piace molto. Iniziare col verificare direttamente che la somma degli angoli esterni di un triangolo e di un qualunque altro poligono (convesso) è uguale a 360, poiché corrisponde alla somma degli angoli di svolta da noi eseguiti quando immaginiamo di muoverci lungo il poligono percorrendo tutto il suo perimetro per tornare al punto di partenza, nel nostro caso ci si muove lungo il perimetro di una delle scatole triangolari. Tenendo conto che l'angolo interno di un poligono è 180 meno l'angolo esterno, è molto semplice calcolare l'ampiezza degli angoli interni di tutti i poligoni regolari (che sono tutti uguali!). 4 - la matematica dell orologio (cartellone): un ulteriore esempio di gruppo. - le permutazioni (cartellone): simmetrie come permutazioni. Il gruppo simmetrico S n. - i rosoni (cartellone): simmetrie rotatorie. - le isometrie dello spazio e le simmetrie dei poliedri platonici (cartellone): ricordiamo quali siano gli elementi di simmetria del: - TETRAEDRO REGOLARE: 4 assi di rotazione di ordine 3 per un vertice ed il centro della faccia opposta, 3 assi di ordine per i punti medi di due spigoli opposti, 6 piani di riflessione. - CUBO: 3 assi di rotazione di ordine 4 passanti per i centri di due facce opposte, 4 assi di ordine 3 per due vertici opposti, 6 assi di ordine per i punti medi di due spigoli opposti, 9 piani di riflessione, 1 centro di simmetria. - OTTAEDRO REGOLARE: 4 assi di rotazione di ordine 3 per i centri di due facce opposte, 3 assi di ordine 4 per due vertici opposti, 6 assi di ordine per i punti medi di due spigoli opposti, 9 piani di riflessione, 1 centro di simmetria.

5 Osservazione: cubo e ottaedro hanno gli stessi elementi di simmetria e quindi gli stessi gruppi di simmetrie. Esercizio: il gruppo delle simmetrie del tetraedro regolare è S 4. Ricordando che ogni simmetria del tetraedro induce una permutazione dei quattro vertici, è sufficiente provare che il gruppo delle simmetrie del tetraedro possiede 4 elementi, cioè tanti quanti sono gli elementi di S 4, il gruppo delle permutazioni su quattro elementi. Le simmetrie del tetraedro sono 4 per il Teorema di Lagrange: l'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito G divide l'ordine del gruppo G. Infatti: considerando i soli elementi di simmetria del tetraedro, otteniamo: 4 rotazioni di 10, 4 di 40, 3 rotazioni di 180, 6 riflessioni e l'identità, in totale 18 elementi. Poiché 18 non divide 4 e dato che il più piccolo divisore di 4 maggiore di 18 è 4 stesso, che è il numero totale di elementi di S 4, i due gruppi devono coincidere. Le 6 simmetrie mancanti sono riflessioni rotatorie, più precisamente le riflessioni rotatorie che si ottengono componendo una rotazione di 90 (in un verso o nell'altro, quindi due rotazioni possibili) attorno ad uno dei tre assi di rotazione di ordine, seguita da una riflessione rispetto al piano perpendicolare all'asse di rotazione passante per il baricentro del tetraedro. Tre assi per due versi di rotazione ci danno le 6 simmetrie mancanti. Notare che né le rotazioni di 90 né le riflessioni rispetto al piano sono in questo caso simmetrie del tetraedro! Utilizzando il modello di tetraedro sul tavolo alto della seconda saletta di fianco al cartellone, è possibile vedere piuttosto bene come funzionano tutte le simmetrie del tetraedro (vedere anche cartellone relativo)! Le simmetrie del cubo invece sono 48: 4 rotazioni (simmetrie dirette), 9 riflessioni rispetto ad un piano (6 piani diagonali + 3 piani paralleli alle facce e passanti per il centro del cubo), 7 rotoriflessioni di ordine 4 (di asse passante per i centri di due facce opposte e di angolo k 90, k = 1,, 3), tra cui la riflessione centrale (per k = tutte le rotoriflessioni di ordine 4 considerate coincidono con la riflessione centrale), 8 rotoriflessioni di ordine 3 (di asse passante per due vertici opposti e di angolo 60 + k 10, k = 0,, per k = 1 infatti tutte le rotoriflessioni di ordine 3 considerate coincidono con la riflessione centrale). Il sottogruppo delle rotazioni del cubo è isomorfo a S 4 (suggerimento: 4 sono le diagonali del cubo.). Utilizzare il modello di cubo sul tavolo alto, per far vedere come funzionano le simmetrie del cubo! Anche per l'ottaedro regolare si può fare un discorso analogo. Il gruppo delle rotazioni del dodecaedro regolare (e quindi dell icosaedro regolare) è isomorfo ad A 5, le permutazioni pari su 5 elementi (suggerimento: 5 come i cubi inscritti in un dodecaedro regolare ). - Sempre sui poliedri vale il seguente interessante risultato, noto anche come il teorema di Cartesio: preso un poliedro convesso, definiamo deficit del vertice P, il numero 360 meno la somma degli angoli interni delle facce che si incontrano in P. Allora il deficit totale, cioè la somma di tutti i deficit di ciascun vertice del poliedro convesso, è sempre pari a 70. Per il cubo, il deficit di ogni vertice è 90 (360-70), quindi 8x90=70; per il tetraedro, il deficit di ogni vertice è 180 ( ), quindi 4x180=70. Per l ottaedro 10 (360-40), quindi 6x10=70 e così via per dodecaedro e icosaedro. Provare! 5 - costruzioni con Zome: - poligoni regolari: triangoli, quadrati, pentagoni, esagoni, decagoni regolari e non. - poliedri regolari: cubo, tetraedro (a partire dal cubo, utilizzando le diagonali delle sue facce: bastoncini verdi), ottaedro (a partire da una croce tridimensionale a bracci perpendicolari: bastoncini azzurri).

6 6 - dodecaedro e rombododecaedro a partire dal cubo (costruire un tettuccio con bastoncini azzurri per ogni faccia del cubo per il primo, costruire un tettuccio a piramide con bastoncini gialli per ogni faccia del cubo per il secondo). - icosaedro e dodecaedro a partire dalla stella di bastoncini rossi per il primo, gialli per il secondo. (vedere le schede con le immagini dei poliedri regolari costruiti con Zome) - dualità: costruire i poliedri duali uno nell altro, occorre costruire lati doppi, cioè ottenuti unendo due bastoncini. - dualità: contare vertici, lati e facce nei poliedri regolari utilizzando la formula di Eulero: vertici+faccespigoli=. Contare gli spigoli dei poliedri regolari tenendo conto che ogni faccia ha lo stesso numero di spigoli k e che ogni spigolo fa parte di due facce, quindi la formula per il poliedro regolare di n facce è: Contare i vertici in modo analogo: essi sono stesso vertice. - simmetrie dei poliedri: tetraedro e cubo (vedi sopra) - poliedri semiregolari: antiprismi, pallone da calcio, - poliedri stellati vari a partire da poliedri convessi kn. kf, dove f indica il numero di facce che hanno in comune uno - anamorfosi speculari cilindriche: esempi su vari poster esposti in mostra. - poliedri a spigoli ruotabili: ruotando gli spigoli di questi poliedri si ottengono più poliedri semiregolari, cioè facce tutte regolari, ma diverse (gli spigoli sono tutti della stessa lunghezza). Il poliedro di partenza (tutto chiuso) è un dodecaedro regolare i cui spigoli sono di plastica blu trasparente. - scatole triangolari sferiche : - costruire poliedri negli specchi utilizzando le cannucce o i blocchetti. Con una sola cannuccia si riesce a costruire per riflessione un cubo e un ottaedro nella scatola (90, 60, 45), un cubo, un ottaedro e un tetraedro nella scatola (90, 60, 60) ed infine un dodecaedro ed un icosaedro nella scatola (90, 60, 36). - effetti caleidoscopici negli specchi: utilizzare le varie carte colorate a disposizione. - somma degli angoli diedri delle scatole è >180 (vedere scheda relativa con disegno). Attenzione: in questo caso la somma degli angoli formati dagli specchi non è uguale alla somma degli angoli del triangolo (piano) superiore della scatola, infatti, essendo i piani degli specchi inclinati, la retta intersezione di due piani non è perpendicolare al piano orizzontale, parallelo a quello della faccia superiore della scatola. Gli angoli del triangolo della faccia superiore sono più piccoli degli angoli formati dai piani, infatti l'angolo formato dalle due rette ottenute intersecando un piano perpendicolare a due piani incidenti (e quindi alla loro retta comune) è uguale all'angolo diedro formato dai piani, ma quando incliniamo il piano perpendicolare, le due rette intersezione con gli altri due piani tendono ad avvicinarsi fino a coincidere (con la retta intersezione dei due piani incidenti) quando il piano mobile diventa parallelo alla retta intersezione degli altri due. I tre piani che formano la scatola storta passano per un punto comune, che può essere pensato come centro di una sfera, in cui le tre rette intersezione delle tre coppie di piani (gli spigoli della scatola) sono tre raggi della sfera. Se allora immaginiamo di prendere per ciascuno di questi tre raggi un piano perpendicolare, le due rette ottenute tagliando il piano perpendicolare al raggio con i due piani che individuano il raggio, formano per quanto detto prima un angolo uguale all'angolo diedro formato dai due piani della scatola. Le

7 7 due rette non sono altro che le rette tangenti ai cerchi massimi tagliati dai due piani della scatola sulla sfera e quindi individuano l'angolo formato da questi due cerchi massimi nel loro punto di intersezione comune al raggio. I tre piani della scatola determinano quindi tre cerchi massimi che si intersecano formando un triangolo sferico (in cui le rette diventano i cerchi massimi, ossia le rette della sfera sono le sue geodetiche, cioè i cerchi massimi), i cui i tre angoli sono uguali ai tre angoli formati dai piani della scatola. Un risultato di geometria non euclidea ci dice che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre superiore strettamente a 180, ecco quindi il vero significato di quanto abbiamo verificato direttamente sulle nostre scatole storte: misurare gli angoli diedri dei piani delle tre scatole è come misurare gli angoli interni di un triangolo sferico! La loro somma deve essere pertanto maggiore di la sezione aurea: - i bastoncini Zome (tranne quelli verdi) sono di tre misure per ogni colore. Due successivi per grandezza sono in proporzione aurea, cioè il rapporto è circa ϕ =1,618. L'equazione che definisce il numero aureo ϕ è 1+x=x, ϕ è l'unica soluzione positiva, che vale esattamente Dunque 1+ϕ = ϕ, da cui ϕ -1 = ϕ 1. Con i bastoncini (azzurri per esempio) è facile vedere che la somma dei due più piccoli dà il terzo. Attenzione: la lunghezza del bastoncino va intesa da centro a centro delle due palline inserite agli estremi del bastoncino. Successione di Fibonacci e successione geometrica: 1 ϕ 1+ϕ ϕ +(1+ϕ) 1+ϕ + (ϕ +(1+ϕ)).. che equivale alla successione 1 ϕ ϕ ϕ 3 ϕ 4 la prima è una successione di Fibonacci a partire da 1 e ϕ, la seconda è una successione geometrica di ragione ϕ. Le due successioni coincidono. - in modo analogo si può costruire una successione di Fibonacci/geometrica con i triangolini che formano il puzzle pentagonale di legno. Tenendo conto che il lato del pentagono regolare è in proporzione aurea con la diagonale, procediamo nel modo seguente: A B C D Scegliendo il lato del pentagono regolare come unità di misura, il triangolo ABC ed il triangolo ACD hanno area rispettivamente S e ϕ S. Infatti AC, essendo la diagonale del pentagono di lato unitario, ha lunghezza ϕ, ma calcolando l'area dei due triangoli rispetto alle basi AB e AC rispettivamente, possiamo verificare che hanno le stesse altezze (che sono le distanze tra le due basi dei triangoli e le diagonali del pentagono ad esse parallele). Pertanto se l'area del triangolo ABC è S, necessariamente l'area del triangolo ACD è ϕ S. Accostando ora i due triangoli ABC e ACD come in figura, si ottiene un triangolo isoscele di base CAB e di area S+ S ϕ = S ϕ. C A B

8 È quindi possibile costruire una successione di triangoli isosceli che sia di Fibonacci ed anche geometrica rispetto alle aree, del tutto analoga a quella costruita precedentemente con i bastoncini azzurri. 8 S Sϕ Sϕ Sϕ 3. Dal triangolo ABC inoltre otteniamo che cos(36 )= ϕ/, da cui sin(36 )= ϕ 3 ϕ + ϕ sin(7 )= = 3 ϕ ϕ 1, cos(7 )= e - teorema di Eudosso: il lato di un pentagono regolare, di un esagono regolare e di un decagono regolare inscritti nello stesso cerchio formano un triangolo rettangolo. Infatti, poiché il lato dell'esagono regolare è uguale al raggio del cerchio circoscritto che fissiamo di lunghezza 1 e l'angolo che sottende il lato del decagono regolare è di 36, si ottiene che il lato del pentagono misura sin(36 ) = 3 ϕ. Tenendo poi conto che il lato del decagono è dato da cos(7 )= = 1 ϕ 1 = ϕ, otteniamo che il raggio e il lato del decagono regolare inscritto stanno in proporzione aurea e 1 ϕ che 1 = 3- ϕ = ( 3 ϕ ) + ; ciò è vero poiché ϕ = 1+ ϕ. L'uguaglianza verifica che il lato del pentagono è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 1 e ϕ 1. - a proposito di pentagoni regolari, ecco come costruire un pentagono regolare di carta: prendere una strisciolina rettangolare di carta, alta circa due centimetri e lunga una ventina. Fare un nodo normalissimo e tirare gli estremi con delicatezza cercando di appiattire il più possibile il nodo. Con un briciolo di pazienza si vede subito che il nodo appiattendosi si trasforma in un piccolo pentagono regolare; tagliando le code del nodo si ottiene un bel pentagono regolare di carta. (Questo succede perché nel pentagono regolare le cinque diagonali sono parallele ciascuna ad uno dei cinque lati, quello "opposto"!). - puzzles di gomma magnetici: per costruire figure con simmetrie varie, non necessariamente delle tassellazioni. Sulle schede di istruzioni relative ai vari tipi di puzzle, è possibile trovare parecchi suggerimenti. - tassellazioni varie: in uno dei raccoglitori di schede vi sono parecchi disegni di tassellazioni e le spiegazioni per scoprire il gruppo di simmetrie di ciascuna, o almeno qualcuna, di esse. - la Torre di Hanoi: vedere scheda con istruzioni.