ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA, l rett t tngente in A, un rett r pssnte per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con, il punto C intersezione di r con t. L prllel per B t e l perpendicolre per C t s intersecno in P. Al vrire di r, P descrive il luogo geometrico noto con il nome di versier di Agnesi [d Mri Getn Agnesi, mtemtic milnese, (78-799)].. Si provi che vlgono le seguenti proposizioni: OD DB OA DP OC DP DP BC ove D è l proiezione ortogonle di B su OA.. Si verifichi che, con un opportun scelt del sistem di coordinte crtesine ortogonli e monometriche Oy, l equzione crtesin di è: y ;. Si trcci il grfico di e si provi che l re compres fr e il suo sintoto è quttro volte quell del cerchio. PROBLEMA Si f () b c con, b, c numeri reli. Si determinino, b, c in modo che:. l funzione f si pri;. f () ;. f () d. l n Si studi l funzione g ottenut sostituendo d, b, c i vlori così determinti e se ne disegni il grfico G. Si consideri l rett r di equzione y e si determinino, pprossimtivmente, le scisse dei punti in cui ess intersec G, mettendo in tto un procedimento itertivo scelt. Si clcoli l re dell regione finit del pino rcchius tr r e G. Si clcoli d. g ( ) Si determini l funzione g il cui grfico è simmetrico di G rispetto ll rett r. Znichelli Editore, 6

2 5 QUESTIONARIO Qunte prtite di clcio dell serie A vengono disputte complessivmente (ndt e ritorno) nel cmpionto itlino 8 squdre? Tre sctole A, B e C contengono lmpde prodotte d un cert fbbric di cui lcune difettose. A contiene lmpde con il 5% di esse difettose, B ne contiene 5 con il % difettose e C ne contiene con il % difettose. Si sceglie un sctol cso e si estre cso un lmpd. Qul è l probbilità che ess si difettos? Qul è l cpcità mssim, espress in centilitri, di un cono di potem dm? Dre un esempio di polinomio P () il cui grfico tgli l rett y quttro volte. Dimostrre, usndo il teorem di Rolle [d Michel Rolle, mtemtico frncese (65-79)], che se l equzione: n n n mmette rdici reli, llor fr due di esse gice lmeno un rdice dell equzione: n n (n ) n n Si vuole che l equzione b 7 bbi tre rdici reli. Qul è un possibile vlore di b? Verificre l uguglinz d e utilizzrl per clcolre un pprossimzione di π, pplicndo un metodo di integrzione numeric. Dre un esempio di solido il cui volume è dto d d. Di un funzione f () si s che h derivt second ugule sen e che f (). Qunto vle f f ()? Verificre che l equzione mmette tre rdici reli. Di un di esse, quell compres tr e, se ne clcoli un pprossimzione pplicndo uno dei metodi numerici studiti. Durt mssim dell prov: 6 ore. È consentito soltnto l uso di clcoltrici non progrmmbili. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse ore dll detttur del tem. Znichelli Editore, 6

3 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. PROBLEMA. Con riferimento ll figur si osserv che l similitudine tr i tringoli ODB e OAC permette di scrivere: OD DB OA AC; essendo AC DP l prim proporzione è dimostrt. t y A C Il tringolo OAB è inscritto in un semicirconferenz, quindi OÂB, i tringoli OAC e ABC sono simili, quindi: OC AC AC BC che equivle ll second proporzione, essendo ncor AC DP. D B P Figur. r O. Scegliendo il sistem di riferimento come in figur, l equzione crtesin del luogo si otterrà dlle coordinte del punto P. Le coordinte di B sono dte dll intersezione tr il cerchio ed il fscio di rette pssnti per l origine. m m B y m y m y m Le coordinte di C sono dte dll intersezione tr l rett y ed il fscio di rette pssnti per l origine. y C y m m y M y P y B e P C, dunque P m m y m, llor ricvndo m dll prim equzione e sostituen- do nell second si ottiene: y.. : y è un funzione definit R, pri (simmetric rispetto ll sse delle y), e sempre positiv. Intersec l sse delle y nel punto A(; ), non intersec l sse delle. lim y (), il grfico h un sintoto orizzontle y. y, per. ( ) Znichelli Editore, 6

4 Il punto A(; ) è un punto di mssimo (figur ). y y + m Figur. y ( ) (, per e per. ) L concvità h l ndmento di figur. y y + + A(; ) y flesso flesso Figur. O Si hnno due punti di flesso: F ; e F ;. In definitiv il grfico è quello rppresentto in figur. Figur. L re del cerchio è L re compres tr e l sintoto y si ottiene d: d lim d, ponen- do t, si ottiene lim cerchio. k rctg k k k, quindi è pri quttro volte quell del PROBLEMA. Se l funzione è pri, llor f () f () b c b c ( ) b( ) b.. f () b c.. f () d l ( b c) d n ln b c ln b c. ln l n b b c Le tre condizioni costituiscono il sistem con b c ln l n soluzioni b, quindi l fun- c zione cerct è g (). Znichelli Editore, 6

5 Studimo l funzione g (). È definit positiv su tutto R; l funzione è pri, quindi simmetric rispetto ll sse delle y. Il grfico intersec l sse delle y nel punto (; ), non intersec l sse delle. lim g (), il grfico non present sintoti orizzontli. lim g ( ) lim lim ( y ) ln, il grfico non present sintoti obliqui. g() ( ) ln, se. Il punto (; ) è un punto di minimo (figur 5). g () g() min + Figur 5. g() ( ) log,. Non ci sono flessi, l concvità è sempre rivolt verso l lto. Il grfico è rppresentto in figur 6. O (; ) r y= Figur 6. h( ) h( ),5,5,,75,75,,875,875,,975,875,975,,5 Determinimo le intersezioni tr l rett y e y g (): y Applichimo il metodo di bisezione ll funzione h() : Si rriv infine l vlore, log ( ), vlori simmetrici rispetto ll sse delle ordinte. Il vlore dell re richiest è dt dll integrle: log( ) ( ) d ln log ( ) ln 8 log ( ) ln 5, y d g ( d, posto t e dt ( ln ) d, segue: ) y t dt rctg( ) c. ln t ln Le equzioni dell simmetri ssile, con sse l rett y sono:, dunque y g () 8. y 8 y y 5 Znichelli Editore, 6

6 QUESTIONARIO Le prtite disputte sono pri lle disposizioni di squdre distinte, ovvero le disposizioni semplici di 8 elementi distinti di clsse : D 8, Detti A, B, C, E gli eventi così definiti: A estrzione di un lmpd dll sctol A; B estrzione di un lmpd dll sctol B; C estrzione di un lmpd dll sctol C; E estrzione di un lmpd difettos. Per il teorem delle probbilità totli: P (E ) P (EA ) P (A ) P (EB ) P (B ) P (EC ) P (C ), nel cso in esme: P (E ) 5 7 6,67. Dett l ltezz del cono e r l misur del rggio di bse, si h: r, dunque il volume risult: V () ( ). Per i vincoli geometrici del problem,. V () V() O + m Figur 7. Si studi l derivt prim: V () ( ), per. Lo schem di figur 7 mostr che il vlore mssimo si h per. Il volume corrispondente è pri 5 V m 6 dm 6 cl,5 cl. 7 7 P () ( )( )( ). Il teorem di Rolle fferm: Dt un funzione rele di vribile rele y f (), definit nell intervllo chiuso e limitto [, b], se l funzione soddisf le ipotesi:. è continu in [; b ] b. è derivbile in ]; b [ c. f () f (b) llor esiste un numero rele c pprtenente ll intervllo tle che f (c). Nel cso in esme: f () n n n è un funzione polinomile, sempre continu e derivbile, con derivt f () n n (n ) n n. Se e b sono due rdici reli, llor f () f (b), l funzione nell intervllo [; b] verific il teorem di Rolle e quindi esiste lmeno un punto c interno ll intervllo in cui l derivt prim si nnull: tle punto è l rdice cerct. 6 Znichelli Editore, 6

7 6 L equzione possiede tre rdici reli se l funzione b 7, continu e derivbile ovunque, intersec tre volte l sse delle scisse. L cubic deve possedere un mssimo e un minimo reltivo e questi devono vere segno discorde. L derivt prim f () b possiede due rdici distinte, b, se b. f () b, se b o b. Lo schem in figur 8 mostr che per b si h un mssimo e per b si h un minimo. f () f() b b + + m min Figur 8. f b b Invece: f b b b 7, b. Poiché f () 7, il minimo è sempre negtivo. b b b 7 b 9 7 b 6,9. Quindi b 7, per esempio soddisf già l condizione richiest d [rctg ] (rctg rctg ). Per il clcolo pprossimto di π si può utilizzre il metodo dei rettngoli, dividendo l intervllo [; ] in n 5 prti uguli, si ottiene: d 5 f () f 5 f 5 f 5 f , ovvero,5. Aumentndo il numero n si può migliorre l pprossimzione. Il volume del solido ottenuto dll rotzione ttorno ll sse delle scisse dell curv y f () in [; b] è V b f () d. Nel cso in esme V d, dunque l rotzione ttorno ll sse delle scisse di y in [; ] gener il solido. f () sen, integrndo si ottiene: f () f () f () sen dcos k, f () k. ( cos ) d sen k. Allor f f (). Anlogmente l quesito 6 l funzione f () h tre intersezioni con l sse delle scisse se possiede un mssimo ed un minimo reltivo e questi sono di segno discorde. L funzione è continu e derivbile su tutto R. f (). Per si h un punto di mssimo di ordint f (). Per si h un punto di minimo di ordint f () (figur 9). f () f() + + m min Figur 9. 7 Znichelli Editore, 6

8 Essendo f () e f (), per il teorem di esistenz degli zeri, l funzione mmette uno zero ll interno dell intervllo [; ]. Utilizzndo il metodo di bisezione: f( ) f( ),5,5,75,5,5,5,66,75,75,5,75,66,7,5,5,75,9,7 Si giunge infine l vlore,7. 8 Znichelli Editore, 6

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