Esempio di prova scritta per il primo parziale
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1 Esempio di prova scritta per il primo parziale Corso di Laurea in Economia e Management Matematica per l Economia (E-Z) a.a prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio o il 3. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. L aver copiato anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È assolutamente vietato l utilizzo di un cellulare o altro strumento di telecomunicazione. Teso della prova. Si consideri la funzione f : R R data da f(x) = log (x + ) +. (a) Calcolare, se possibile, f( 3), f( ), f(0) ed f(3). (b) Determinare l insieme di definizione A della funzione f. (c) Determinare l insieme f(a) delle immagini di f; (d) Determinare A, l insieme dei punti di accumulazione di A. (e) Disegnare il grafico della funzione f. Evidenziare nel grafico i valori calcolati al punto a). (f) Determinare f, la funzione inversa di f. (g) Calcolare, se possibile, f () ed f (). (h) Disegnare il grafico della funzione f. Evidenziare nel grafico i valori calcolati al punto g). (i) Calcolare i seguenti iti: x + x
2 . Si calcolino i seguenti iti: 3x 3 e x e x log x x + + x + x + 3 log x ( x x ) x 3 3. Determinare, per i seguenti insiemi, quali sono i punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione ed isolati. Soluzioni. Esercizio A = {} [, + ) B = { x x R, < x < 4} (a) f( 3) = log ( 3 + ) + = log ( ) + non si può calcolare perché log non è definito per valori negativi. f( ) = log ( + ) + = log (0) + non si può calcolare perché log non è definito per 0. f(0) = log (0 + ) + = log () + = 0 + =. f(3) = log (3 + ) + = log (4) + = + = 4. (b) L unica operazione problematica nella definizione di f è il logaritmo. Sappiamo che il logaritmo si può calcolare solo per valori strettamente positivi, quindi perché f(x) sia calcolabile deve essere x + > 0, ovvero x >. Pertanto l insieme di definizione di f è A = (, + ). (c) Sappiamo che l insieme delle immagini della funzione logaritmo è tutto R. Al variare di x in A, log (x + ) assume pertanto tutti i possibili numeri reali, e nulla cambia aggiungendo la costante due. Pertanto, l insieme delle immagini di f è R. (d) A è un insieme aperto, quindi tutti i suoi punti sono interni. Un punto interno è anche di accumulazione, quindi tutti i punti di A sono punti di accumulazione. A questi bisogna aggiungere gli estremi dell intervallo, e +, ottenendo A = [, + ]. (e) Il grafico di f(x) si ottiene a partire da quello di log (x) con due trasformazioni. Prima di tutto, x viene rimpiazzato con x+. Questo causa una traslazione del grafico verso sinistra di una unità. Successivamente, al risultato viene sommato. Questo causa la traslazione Si ricordi che + non è un numero reale. Tuttavia l insieme A non è un sottoinsieme di R ma di R.
3 del grafico verso l alto di unità. Si ottiene quindi: 5 f(x) = log (x + ) x (f) Per determinare f si considera l equazione y = f(x), ovvero y = log (x + ) +, e si risolve per la variabile x. Si ottiene allora x = y. Si ottiene pertanto f (y) = y. (g) f () = = 0 = = 0. Notare, tra l altro, che questo risultato si poteva anche ricavare direttamente dal punto a), visto che sapevamo già che f(0) =. f () = = = /. (h) Il grafico di f si ottiene dal grafico di f ribaltandolo rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. 4 f(x) = log (x + ) f(x) f (x) x 3
4 (i) Direttamente dal grafico di f(x), è possibile ricavare che = + x + f(x) = Siccome log e tutte le altre operazioni coinvolte sono continue, si ha ( ) = f x = f() = log ( + ) + = log (3) +. x x. Consideriamo il primo dei iti indicati. Poiché al numeratore 3x 3 è un infinito di ordine inferiore ad e x, ed al denominatore log x è un infinito di ordine inferiore a e x, otteniamo: 3x 3 e x e x log x = e x = ex e x = 0 Analogamente per il secondo ite abbiamo che è possibile ignorare l effetto dei + al numeratore e di 3 log x al denominatore. Otteniamo x + + x + x + x = = x + 3 log x x x + x ( + )x = x x + = + Per il terzo caso, calcoliamo separatamente i iti destro e sinistro. Se x +, allora x 0 + e x 3 0, pertanto ( x + x ) x 3 ) = /0 + /0 = + ( ) = + Analogamente ( x x ) x 3 ) = ( ) Pertanto possiamo affermare che x x x non esiste. In alternativa, possiamo anche dire x x x ( ) 3 = Consideriamo l insieme A = {} [, + ). punti frontiera: {, }; punti interni: (, + ); 3 punti esterni: R \ A; 4 Notare che tra la prima e la seconda riga sostituiamo x con x. Questo è possibile solo perché stiamo calcolando il ite per x + e quindi non siamo interessati ai valori negativi di x, altrimenti dovremmo rimpiazzare x con x. 3 Notare che i punti interni di un insieme A sono sempre gli elementi dell insieme A meno i punti di frontiera di A. 4 Notare che i punti esterni di un insieme A sono sempre tutti i numeri reali tranne i punti interni e di frontiera di A. 4
5 punti isolati: {}; punti di accumulazione: [, + ]. Consideriamo l insieme B = { x x R, < x < 4}. Se < x < 4, allora < x < 4 =. Pertanto B = (, ). Abbiamo dunque i seguenti insiemi: punti di frontiera: {, }; punti interni: è B stesso, ovvero (, ); punti esterni: R \ [, ]; punti isolati: ; punti di accumulazione: [, ]. 5
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