Indice. 8 novembre La similitudine idraulica per le pompe 2. 2 Esercizi sulla similitudine idraulica 3

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1 8 novembre 2015 Indice 1 La similitudine idraulica per le pompe 2 2 Esercizi sulla similitudine idraulica 3 3 Pompe inserite in un impianto Esercizi 5 1

2 1 La similitudine idraulica per le pompe L applicazione della analisi dimensionale alle macchine idrauliche porta alla definizione di opportuni parametri adimensionali di grande utilità per la scelta e per la previsione delle prestazioni delle macchine in differenti condizioni di funzionamento. Nel caso delle pompe, assumendo come parametri indipendenti (vedi, per esempio, [1]): W lavoro specifico (la prevalenza) D diametro dell impeller, rappresentativo delle dimensioni di una serie di pompe ρ densità del liquido si arriva alla definizione di tre parametri adimensionali che correlano le tre variabili indipendenti precedenti (W, D e ρ) con le altre tre variabili V portata volumetrica N numero di giri µ viscosità assoluta I numeri adimensionali (Π 1, Π 2 e Π 3 ) che ne risultano definiscono il comportamento fluidodinamico di una pompa: Π 1 = V W 1/2 D 2 Π 2 = ND Π 3 = W 1/2 µ ρdw 1/2 Al rapporto µ/ρ = ν si dà il nome di viscosità cinematica. In accordo con la analisi dimensionale, le relazioni fra Π 1, Π 2 e Π 3 (generalmente del tipo f (Π 1, Π 2, Π 3 ) = 0) possono essere stabilite solo ricorrendo a misure sperimentali. I numeri Π i per giranti geometricamente simili, che operano in condizioni fluidodinamiche pure dinamicamente simili, qualunque siano il numero di giri e le dimensioni, rimangono costanti. Combinando fra loro i tre numeri Π 1, Π 2 e Π 3, si definiscono altri gruppi adimensionali di pratico impiego: 2

3 Π 4 = V (1) νd 1/2 N V Π 5 = (2) W 3/4 V Π 6 = (3) ND 3 La (1) è una espressione che rappresenta un numero di Reynolds, la (2) è definita numero di giri specifico, la (3) rappresenta un coefficiente di portata. Dalla (3) discendono le cosiddette leggi di affinità: data una pompa (D costante), la portata volumetrica V varia con in numero di giri N per garantire Π 6 costante. Per pompe simili, anche, se N è costante, V varia con il cubo del diametro della girante. Si usa definire anche Π 7 = 1/Π 2 3, ovvero Π 7 = W N 2 D 2 (4) definendo così un coefficiente di carico (lavoro). Per esso: dato un diametro D, il lavoro varia direttamente con il quadrato della velocità, oppure, mantenuto N costante, il lavoro varia con il quadrato del diametro della girante. 2 Esercizi sulla similitudine idraulica 1. Una pompa centrifuga operante alla velocità di 1450 rpm fornisce una portata volumetrica pari a V = 918 l/min, una prevalenza W = 39 m ed assorbe una potenza Ẇ = 68 kw nel punto di massima efficienza. Determinare i nuovi valori del punto di massimo rendimento quando: la velocità di rotazione è 1200 rpm a pari diametro della macchina; [ 26.7 m][ l/min] il diametro passi da 300 mm a 200 mm mantenendo la velocità di rotazione a 1450 rpm. [ 17.3 m][ 272 l/min] 2. Una pompa centrifuga di diametro esterno 450 mm, alla velocità di rotazione di 3000 rpm, eroga una portata di 1 m 3 /s fornendo una prevalenza di 10 m. Determinare: 3

4 il corrispondente punto di funzionamento alla velocità di rotazione di 1500 rpm; [ 2.5 m][ 0.5 m 3 /s] il corrispondente punto di funzionamento per una macchina geometricamente simile caratterizzata da un diametro di 300 mm e una velocità di rotazione di 5000 rpm. [ 12.3 m][ 0.49 m 3 /s] 3. Una pompa centrifuga con diametro della girante pari a 700 mm è inserita in un circuito di prova e ruota alla velocità di 750 rpm. Vengono misurati i valori riportati in tabella: V (m 3 /s) W (m) η Valutare: le condizioni di funzionamento di una pompa geometricamente simile alla prima, avente diametro della girante di 550 mm ed operante a 1900 rpm; si traccino nel piano Q H e nel piano adimensionale φ ψ le curve caratteristiche delle due macchine; si calcolino (graficamente) i punti di funzionamento e le potenze assorbite dalle due macchine quando sono inserite in un circuito caratterizzato (i) da un dislivello geodetico di 5 m, (ii) da condotti di diametro pari a 25 cm e (iii) con perdite di carico totali corrispondenti a 5.77 quote cinetiche. 4

5 3 Pompe inserite in un impianto Esercizi 1. Una pompa centrifuga, fissato il numero di giri a 1000 rpm, ha la seguente relazione fra prevalenza e portata Portata (m 3 /min) Prevalenza (m) La pompa è inserita in una tubazione lunga complessivamente 69 m con un diametro interno di 300 mm che scarica l acqua a pressione atmosferica 15 m sopra il livello di aspirazione. La perdita di energia in entrata equivale a 6 m addizionali di tubo. Si assuma un coefficiente di attrito f pari a Calcolare la portata scaricata in m 3 per minuto. Si stimi il numero di giri nel caso si volesse dimezzare la portata elaborata. Soluzione La prevalenza richiesta dalla pompa (somma della prevalenza statica, delle perdite per attrito H f, e della perdita di energia cinetica allo scarico H v ) risulta: H = 15 + H f + H v (5) Sia H f (calcolabile con la formula di Darcy) che H v dipendono dalla portata elaborata V. H f = 4fL d v 2 2g con V in m 3 /s (= vπd 2 /4). = fl V 2 3d 5 = (69 + 6) V 2 Se v rappresenta la portata in m 3 /min, allora v = 60 V e 3 (0.3) 5 (6) e la (6) diviene V 2 = v (7) H f = v2 3 (0.3) = v 2 (8) 5

6 L energia persa allo scarico è: H v = v2 2g = V 2g ( π d2) 2 = v g π 2 (0.3) 4 = v 2 (9) 4 La prevalenza richiesta H risulta dunque Ne consegue: H = v 2 (10) Portata (m 3 /min) Prevalenza della pompa (m) Prevalenza richiesta (m) Il punto di funzionamento risulta il punto A di Figura 1. H A = 19 m v A = 14 m 3 /min (11) A velocità ridotta. Quando la portata si dimezza il punto operativo diviene il punto B in Figura 1 sulla curva della caratteristica dell impianto: H B = 16 m v B = 7 m 3 /min (12) Il numero di giri richiesto dalla pompa affinché, in condizioni di similitudine, la prevalenza disponibile coincida con il nuovo valore H B si calcola ricorrendo alle leggi di affinità. v N = v B N 2 (13) H = H B N 2 N2 2 (14) 6

7 Ovvero, eliminando N ( ) 2 v H = H B = 16 v B 7 = v2 (15) La (15) è l equazione di una parabola che passa dall origine degli assi e dal punto B e che interseca la caratteristica originale della pompa in C, dove H C = 21.9 m e v C = 8.2 m 3 /s. La parabola descrive valori corrispondenti di H e v quando il numero di giri N varia, in accordo con la (13) e la (14) (ovvero rispettando la similitudine idraulica). Il numero di giri richiesto si può dunque ricavare dalla (13): v C N 1 = v B N 2 o, indifferentemente, dalla (14): N 2 = N 1 v B v C = = 855 rev/min H C N 2 1 = H B N 2 2 N 2 = N 1 HB H C 16 = = 855 rev/min La curva caratteristica della pompa a 855 rpm è tracciata in Figura 1. 7

8 Figura 1: Caratteristiche di una pompa e dell impianto in cui è inserita. 8

9 Riferimenti bibliografici [1] A J Stepanoff, Centrifugal and Axial Flow Pumps. Theory, Design, and Applications, Krieger Publishing Company, Malabar, Florida, Second Edition, Reprint Edition

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