Calcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 18 Giugno 2019 Soluzioni Scritto. a) Calcolare il dominio, asintoti ed eventuali punti di non derivabilità;

Transcript

1 Calcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 8 Giugno 209 Soluzioni Scritto Data la funzione fx = x 2 x 6 x /3 a Calcolare il dominio, asintoti ed eventuali punti di non derivabilità; b Calcolare, se esistono, estremi relativi ed assoluti; c Studiare la convessità. Tracciare un grafico qualitativo della funzione. Svolgimento. La funzione è definita su tutto R. Per quanto riguarda gli asintoti si osservi che non ci sono asintoti obliqui ne orrizontali in quanto per x ± la funzione è un infinito di ordine 2 + /3 = /6. Per quanto riguarda la monotonia si osservi che la funzione è di classe C in R \ {}. Il punto x = è di non derivabilità la funzione x /3. Studiamo quindi la monotonia di f in R \ {} studiando il segno della derivata prima. Dopodichè studieremo la derivatibiltà della funzione fx in x =. Per x si ha f x = 2x x /3 + /3x 2 x 6 x 2/3 = 32x x + x2 x 6 = 6x2 6x 3x x 2 x 6 3x 2/3 3x 2/3 = x2 0x 3 3x 2/3 Il segno dipende solo dal polinomio a numeratore x 2 0x 3 le cui radici sono x ± = 5± 25+2 = 5± 46. Quindi f x > 0 x, , + Da cui segue che x = 5 46 è un massimo relativo, mentre x + = è un minimo relativo. per quanto riguarda la derivabilità in x = essendo f continua in e derivabile in un intorno di possiamo applicare il corollario del teorema di Lagrange per provare a trovare la derivata destra e sinistra di f in : per x + si ha mentre per x si ha f x = f x = 5 3x 2/3 + o = + x f 5 3x 2/3 + o = x f Per il corollario del teorema di Lagrange x f = + x f, quindi il punto x = è un punto a tangente verticale; chiaramente un punto di non derivabilità.

2 Studiamo ora la convessità tramite l analisi del segno della derivata seconda della funzione in x : 4x 0x 2/3 2/3x 2 0x 3x /3 f x = 3 x 4/3 = 34x 0x 2x 2 0x 3 9 x 5/3 = 42x 2 42x 30x x x x 5/3 28x 2 52x + 36 = 9 x 5/3 Il segno della derivata seconda dipende dal segno del numeratore e da quello del denominatore. Tuttavia il polinomio a numeratore è sempre > 0 si osservi che ha discriminante negativo. per cui il segno dipende solo dal denominatore ossia da x 5/3. Da questo segue che f x > 0, quindi convessa, per x > ; mentre f x < 0, quindi concava, per x <. 2

3 2 Studiare il limite lim x + x 3 + x 2 + x /3 x + /3 lnx 2 2 lnx + x 3 sinx e nel caso di infinito/infinitesimo specificarne, se esiste, l ordine. Inoltre data la funzione F t := t x 3 + x 2 + x /3 x + /3 dx stabilire se la funzione è per t + definitivamente invertibile. Svolgimento. Si tratta di una forma indetereminata 0/0. Se svilupppiamo la funzione x 3 + x 2 + x /3 per x + : x 3 + x 2 + x /3 = x + x + x 2 /3 = x + 3 x + x 2 9 x + 2 x 2 + o x + 2 x 2 = x + 3 x + x 2 9 x 2 + o x 2 = x x + o x Da cui segue che x 3 + x 2 + x /3 x + /3 = 2 + o 9x Per il denominatore si osservi che lnx 2 2 lnx = ln x 2 = x x 2 + o 2 da cui segue che lnx 2 2 lnx + x 3 sinx = + o x2 in quanto, per x +, x 3 sinx tende a zero più velocemente /x 2. x + si ha x 3 + x 2 + x /3 2 x + /3 lnx 2 2 lnx + x 3 sinx = 9x + o x + o = 2x + o 9 2 con ordine di infinito. La funzione F t = t x 3 + x 2 + x /3 x + /3 dx In conclusione per è ben definita nell intervallo [, + in quanto la funzione integranda è continua in questo intervallo. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale F t è quindi derivabile e si ha F t = t 3 + t 2 + t /3 t + /3 = 2 + o 9t dove abbiamo utilizzato lo sviluppo richiesto nel punto precedente. Si osservi quindi che F t è per t definitivamente positiva; quindi è definitivamente strettamente crescente e, di conseguenza, definitivamente invertibile. 3

4 3 Data la serie =2 ln + x, x R studiarne la convergenza semplice, assoluta ed uniforme. Svolgimento. Si tratta di una serie di potenze centrata in x =. Conviene come prima cosa studiare il comportamente asintotico della successione a := ln + che definisce la serie di potenze. Si osservi che a = ln + = 2 + o = o 2 da cui segue che / / a = 2 + o =, 2 ossia il raggio di convergenza r =. Quindi la serie converge assolutamente x < e uniformemente per x [a, b] 0, 2. Non converge per x >. Nei punti di frontiera x = 0, 2 si ha: x = 2 a = + o 2 la serie converge non converge in x = 2 per confronto asintotico con la serie armonica. Per x = 0 a = a ln + si ha una serie a termini di segno alterno. Abbiamo già osservato che a 0, studiamo quindi la monotonia di a attraverso il segno della derivata prima: a = ln = ln = o = o + 2 = o 2 = o 2 = + o 22 da cui segue che a è definitivamente decrescente, quindi per il teorema di Leibniz la serie converge in x = 0. 4

5 4 Discutere, al variare di α [0, +, l integrabilità in senso improprio della funzione f α x = arctant 2 4t 3 + 0t t 4 + 5t t arctant α, nell intervallo in 0, +. Calcolare l integrale per α = 0 ossia + 0 arctant 2 4t 3 +0t t 4 +5t dt. Svolgimento. Si tratta di un integrale improprio in quanto l intervallo di integrazione non è limitato e la funzione a denominatore presenta sia uno zero per t = 0. Negli intervalli [a, b] per ogni 0 < a < b < + la funzione é continua e limitata quindi integrabile. Inoltre dato che la funzione è definitivamente di segno costante sia in 0 che ha + possiamo applicare il confronto asintotico per lo studio dell integrabilità in senso improprio. Per t = + e α 0 si ha f α t = arctant 2 4t 3 + 0t t 4 + 5t t arctant α = π 2 quindi f α è integrabile 5 + α > e α > 4. Per t = 0 si ha f α t = 4t 3 t 8 + o = 2π tα + o. t5+α arctant 2 4t 3 + 0t t 4 + 5t t arctant α = t2 0t + o 36 t 3 /3 + ot 3 α = 5 3α + o 8 t3α 3 quindi f α è integrabile in t = 0 per 3α 3 < ossia α < 4/3. In conclusione f è integrabile in senso improprio nell intervallo 0, + per α [0, 4/3. Calcoliamo l integrale per α = 0. Sostituendo u = t 2, du = 2tdt si ha arctant 2 4t 3 + 0t arctant 2 2t t arctanu2u t 4 + 5t dt = t 4 + 5t dt = u 2 + 5u du ed integrando per parti arctanu2u u 2 + 5u du = arctanu u 2 + 5u Per quanto riguarda il secondo termine si ha u 2 + 5u + 6u 2 + du = che si decompone in fratti semplici nel seguente modo e le costanti soddisfano la relazione u 2 + 5u + 6u 2 + du u + 3u + 2u 2 + du u + 3u + 2u 2 + = A u B u Cu + D u 2 + A = /0, B = /5, C = B A, D + A/3 + B/2 = /6. C = /0 e D = /30 /0 + /6 = 3 + 5/30 = /0. L integrale diventa /0 u + 3u + 2u 2 + du = u /5 u /0 u + u 2 + = 0 ln u = 20 ln u u u arctanu ln u ln u arctanu 5

6 Quindi una primitiva della funzione integranda nella variabile u è + 0 Infine F u = arctanu u 2 + 5u ln u u u arctanu arctant 2 4t 3 + 0t t 4 + 5t dt = lim F u lim F u = π u + u ln6/9 = 20 π ln6/9. 6

7 5 Data l equazione differenziale ẋ = x2 2 et t 2 4, trovarne le soluzioni, specificandone il dominio massimale di esistenza, verificanti le seguenti condizioni iniziali: a x0 = 0; b x0 =. Svolgimento. Si tratta di una equazione differenziale a variabili separabili. Per quanto riguarda la soluzione con dato iniziale x0 = 0 si osservi che x = 0 è uno zero della funzione fx, t = x 2 2 et t 2 4 che definisce l equazione differenziale ossia f0, t = 0 per ogni t. Quindi la soluzione associata è la soluzione stazionaria xt = 0, t R. La soluzione associata al secondo dato iniziale la otteniamo per separazione della variabili xt 2 x 2 dx = t 0 e t t 2 4dt da cui si ottiene integrando il secondo integrale per parti 2 x xt = e t t 2 2t 2 t 0 2 xt + 2 = et t 2 2t xt = et t 2 2t 2 da cui otteniamo la soluzione esplicita invertendo la frazione xt = 2e t t 2 2t 2 t 2 2t 2 0. Gli zeri del polinomio sono t ± = ± 3. Quindi il dominio massimale della soluzione che stiamo cercando è l intervallo aperto contenente l istante iniziale t = 0 ossia xt = 2e t t 2 2t 2 t 3, + 3.