Un po di teoria. cos è un condensatore?

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1 Sudio sperimenale del processo di carica e scarica di un condensaore cos è un condensaore? Un po di eoria Un condensaore è un sisema di due conduori affacciai, dei armaure, separai da un isolane. Esso è un disposiivo che serve per immagazzinare energia elerica nel campo elerico che si sabilisce fra le armaure. Un condensaore piano è cosiuio da due lasre mealliche piane di superficie A, separae da un dielerico con cosane ε, pose ad una disanza d ra loro e collegae agli esremi di un generaore. La grandezza che caraerizza un condensaore è la capacià. Si definisce capacià C il rapporo ra quanià di carica Q Q deposa sulle sue armaure e la differenza di poenziale V ra esse C. La capacià in un V A condensaore piano valec. Perano d essa dipende solo dalle caraerisiche geomeriche del condensaore e dalle caraerisiche fisiche del mezzo in cui si rova. Un condensaore piano si può rappresenare schemaicamene in al modo: Nel nosro esperimeno abbiamo uilizzao un condensaore eleroliico, cosiuio da due lamine mealliche avvole a cilindro, separae da un soile srao di ossido, oenuo ramie un procedimeno eleroliico. Abbiamo scelo queso ipo di condensaore perché ha una capacià molo grande. 1

2 carica e scarica del condensaore Consideriamo dal puno di visa emporale il processo di carica di un condensaore. La carica elerica che si crea sulle armaure quando si soopone un condensaore a una d.d.p., non raggiunge isananeamene il suo valore massimo Q = CΔV. Queso avviene perché man mano che la carica si accumula sull armaura, aumena la forza di repulsione ra le cariche e perciò aumena il lavoro necessario al generaore per accumulare alre cariche. La legge che esprime il valore della carica in funzione del empo q(), durane il processo di carica del condensaore è q( ) Q(1 e ), in cui Q indica il valore finale della carica, R la resisenza elerica del circuio con il quale il condensaore si carica e C la capacià del condensaore. Perano, il grafico relaivo alla legge sarà di ipo esponenziale. La rapidià con cui la carica del condensaore aumena dipende dal prodoo, che rappresena la cosane di empo τ. Dopo un empo =, il condensaore raggiungerà il 63% della carica oale Q, dopo = l 86%, dopo =3 il 95% e dopo =4 il 98%. Con l analogo ragionameno, analizzando la fase di scarica si giunge a sabilire che il valore della carica q rilevabile sulle armaure del condensaore dopo un empo, è espresso dalla relazione q( ) Qe. Tenendo presene della proporzionalià direa ra la carica e il poenziale, un analoga legge di ipo esponenziale esprime la variazione della d.d.p. ai capi del condensaore, in funzione del empo. Carica: V ( ) V o (1 e ) Scarica: V ( ) V e o E ora meiamoci all opera L obieivo del nosro lavoro è sao: 1) Giusificare le leggi suddee uilizzando gli srumeni fisico-maemaici e il foglio eleronico EXCEL. ) Verificare sperimenalmene il modello. Per verificare sperimenalmene la legge di carica e scarica di un condensaore in funzione del empo, abbiamo cosruio un circuio usando: - un condensaore eleroliico di capacià C= μf - una resisenza R= 47 kω - un commuaore - un generaore di d.d.p. variabile a scai da 1V a 1V - un volmero - un amperomero

3 Con il volmero a nosra disposizione abbiamo misurao la f.e.m del generaore rovando un V =11V (il valore nominale indicao sullo srumeno era di 1V). Abbiamo scelo quella resisenza e quel condensaore ra il maeriale a nosra disposizione poiché era l unica combinazione che ci dava una cosane di empo dell ordine dei minui e quindi ci permeeva di effeuare delle misure col cronomero. 1) Il nosro modello Consideriamo il circuio in figura. Sfruando la legge della maglie, o legge di Kirchhoff e le definizioni di inensià di correne e di capacià: V ir VC q i q C VC da cui: q V R V C CVC 1) V R VC Riscriviamo la 1): VC V VC V In al modo meiamo in evidenza che la rapidià con cui varia V C nel empo ( C è un rapporo incremenale) dipenda dal valore isananeo di V C e dalla cosane di empo. All inizio, quando V C è nullo la rapidià è massima; man mano che V C si avvicina a V essa diminuisce sempre più. E allo sesso modo la rapidià diminuisce se aumeniamo la cosane di empo. Ponendo: V 1 V C V C V V1 Possiamo leggere la 1) come una relazione fra V 1 =d.d.p. in un isane 1 e V =d.d.p. nell isane successivo = 1 +Δ Allora: ( V V1 ) V V1 Da cui, infine: V V V1(1 ) 3

4 Scegliendo opporunamene un Δ molo piccolo (1s), abbiamo cosruio in un foglio EXCEL, con un procedimeno ieraivo, il grafico del poenziale in funzione del empo V(), riconoscendo in esso un andameno esponenziale, proprio come suggeriva la bibliografia: infai il poenziale in funzione del empo segue la relazione V ( ) V o (1 e ). V 1 1 V() - Modello Riporiamo, di seguio, i passaggi del procedimeno ieraivo seguio per cosruire il grafico: ) Una prima verifica sperimenale Una vola rovao il modello del nosro caso ideale, abbiamo proceduo con le misure sperimenali. Innanziuo abbiamo inserio nel circuio un volmero in parallelo ai capi del condensaore. 4

5 In base alla nosra cosane di empo τ= = 13,4s, ci aspeavamo che il poenziale V C del condensaore raggiungesse il 98% del valore V in 4τ=416,6s. Quindi, abbiamo effeuao le misurazioni e confronando il grafico derivane da ali dai sperimenali, con quello del modello ideale, siamo rimasi delusi: 1 V [V] 1 CARICA/SCARICA: Confrono Modello Ideale - Misurazioni Reali 8 6 Modello Ideale Dai Sperimenali [s] Il grafico oenuo della variazione del poenziale in funzione del empo V() discordava dal grafico ideale che ci saremmo aspeai: nel nosro caso veniva raggiuno un poenziale minore, in empi minori. Tuavia l'andameno del grafico sembrava esponenziale, come ci saremmo aspeai. Per verificarlo, abbiamo preso in considerazione il processo di scarica. Dalla bibliografia ci aspeavamo che V ( ) V e o. Calcolando il logarimo di primo e secondo membro della formula, abbiamo ricavao che ln V lnv. L'andameno di ln V in funzione di è una rea di coefficiene angolare 1 m. Meendo in ordinaa il logarimo dei valori sperimenali di V C e in ascissa il empo, abbiamo oenuo una rea, confermando l andameno esponenziale del grafico dei nosri dai: 1,5 1,5 -, Ln(V) in funzione di Lineare (Ln(V) in funzione di ) y = -,8x + 1,4137 R =,9996-1,5 - -,5-3 Il valore del coefficiene angolare del grafico ci fornisce la nosra cosane di empo τ==44s. 5

6 Perano, le nosre misure confermano il ipo di legge, ma non i valori dei parameri: 1) il valore massimo del poenziale; ) la cosane di empo. Correggiamo il modello 1) Il valore massimo del poenziale Abbiamo subio ipoizzao che il valore del poenziale dipendesse dalla presenza del volmero: l inserimeno del volmero inroduce sempre un errore sisemaico. Allora abbiamo inserio un amperomero in serie nella maglia del generaore, per verificarlo: erminao il processo di carica del condensaore, il passaggio di correne sarebbe dovuo risulare nullo, poiché un condensaore carico si compora come un circuio apero ed un volmero ideale dovrebbe possedere resisenza infinia. La nosra ipoesi si è dimosraa fondaa. Infai, la correne che fluiva all inizio del processo di carica era i i =, A e alla fine era i f =,135 A: cioè la resisenza inerna R V del volmero non è sufficienemene grande rispeo alle nosra R, cosicché la correne che passa per il volmero non è irrilevane. A regime, cioè a condensaore caricao, la correne i f scorre araverso una resisenza R eq =R+R V, che per la prima legge di Ohm è daa da R eq = V /i f =81,481 kω. Assumendo per R il valore nominale di 47kΩ si oiene R V =34,481kΩ. Abbiamo pouo anche capire il moivo per cui il poenziale raggiuno dal condensaore non occa gli 11 V erogai dal generaore, ma si ferma inorno ai 4,6 V. Infai, essendo il condensaore e il volmero collegai in parallelo, la differenza di poenziale ai capi dei due è la medesima, perciò il poenziale del condensaore V C è uguale al prodoo di inensià di correne i f e della resisenza del volmero R V, V C = i f R V =4,65V. Esaamene il valore che corrisponde alla parizione di V =11V ra i 47 kω di R e i 34, 481 kω di R V. In un volmero ideale la resisenza inerna dovrebbe essere infinia, nel nosro caso era addiriura più piccola della R del circuio! 6

7 ) La cosane di empo Riscrivendo le leggi di Kirchhoff, ma conoscendo ora la resisenza inerna del volmero R v abbiamo oenuo: V ir VC VC iv RV i ic iv q VC q VC C ic C VC C In cui i C è la correne che araversa il condensaore e i V è quella che araversa il volmero. Ripeendo il procedimeno svolo per il caso ideale abbiamo rovao: R RV V V V1( 1 ) RRV C Abbiamo, quindi, cosruio il grafico di V() usando un foglio Excel e l abbiamo confronao con il grafico dei nosri dai. Il risulao è sao soddisfacene: PROCESSO DI CARICA: Confrono Dai Sperimenali - Modello Correo V [V] 5 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1, [s] Modello Caso Reale Dai Sperimenali Variando il valore della resisenza inerna del volmero nel modello abbiamo pouo vedere come al crescere di R v, varia il valore massimo del poenziale raggiuno e la cosane di empo. Affinchè la presenza del volmero non influenzasse le misure, doveva essere R v =1R, come si vede nella simulazione con 47: 7

8 Facciamo un uleriore indagine: la misura della carica Per rovare la variazione della carica in funzione del empo abbiamo prima dovuo misurare la variazione dell'inensià di correne in funzione del empo, inserendo un amperomero nella maglia del condensaore, come in figura. Prendendo in considerazione il processo di carica, abbiamo effeuao una serie di misurazioni e le abbiamo inserie in un grafico. 8

9 Inensià di correne in funzione del empo - Dai sperimenali I[A],5,,15 i(),1, [s] Dal grafico oenuo dell inensià di correne che fluisce nel condensaore nel empo i(), abbiamo pouo calcolare la quanià di carica che si accumulava su ciascuna armaura del condensaore nei successivi inervalli Δ. La quanià di carica q accumulaa in un inervallo Δ è uguale all area del rapeziode soeso dalla curva e con base Δ. Approssimando l area a quella di un rapezio ci è sao possibile calcolare Δq applicando la formula ( i 1 i ). Sommando le aree dei rapezi a parire dal primo inervallo fino all i-simo oeniamo la carica accumulaa nel empo i. Abbiamo cosi oenuo l andameno della carica in funzione del empo. Abbiamo infine inserio i valori oenui di q() in un grafico oenendo l andameno esponenziale previso dalla relazione q( ) Q(1 e ). Carica in funzione del empo Q [C],1,8,6,4, 1 3 [s] q() 9

10 Abbiamo confronao il valore finale della carica raggiuna secondo le nosre misurazioni, con il valore Q che avrebbe dovuo raggiungere eoricamene secondo la relazione Q=CV: i nosri,843 C rispeo al valore eorico di Q=,13 C rivelano un errore del 15%. Non abbiamo rienuo opporuno ripeere le misure perché l amperomero a nosra disposizione, in quese misure, era sao usao al limie della sua sensibilià. Ed ora le nosre impressioni Il lavoro svolo ha susciao in noi impressioni molo posiive - Innanziuo si è raao di un esperienza olre l ordinario esperimeno didaico perché non abbiamo semplicemene confermao in laboraorio conoscenze apprese sui banchi, ma abbiamo cosruio un nosro modello; - avremmo pouo usare i sisemi compuerizzai per la misura del poenziale, di cui la nosra scuola dispone, usando un circuio con una resisenza molo più piccola ed eviando problemi col volmero, uavia avrebbe fao uo il compuer e non sarebbe risulao alreano cosruivo quano è sao avere a che fare con un circuio vero e proprio e con veri srumeni di misura (e anche con le loro pecche!); - proprio quesa scela ci ha messi di frone ad un problema non di poco cono che è l errore sisemaico dovuo agli srumeni di misura. Meerci in gioco per ovviare alle discordanze ra praica e eoria è saa un esperienza posiiva; - infine, individuare e meere in ao un modello ci ha avvicinai alle difficolà di chi le leggi fisiche le ha scopere, senza avere ermini di raffrono, quale era per noi la bibliografia. Insomma è saa un esperienza simolane ed enusiasmane. Bibliografia e siografia - Fisica 3, Anonio Caforio, Aldo Ferilli,Mondadori Educaion - L indagine del mondo fisico- Eleromagneismo, Brgamaschini, Marazzini, Mazzoni, Carlo Signorelli Ediore - hp://brunog.web.cern.ch/brunog/esp6.pdf - hp:// - hp://physics.kuniv.edu.kw/phys17/exp3.pdf 1