Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica. Pisa, 20 giugno (log x)x 1

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1 Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica Pisa, 0 giugno 019 e 1 se 0 Domanda 1 La funzione f : R R definita da 1 se = 0 A) ha minimo ma non ha massimo ) ha massimo ma non ha minimo C) non ha né massimo né minimo D) ha sia massimo che minimo C Domanda Sia f) = log ). Allora f ) = A) log ) 1 ) log ) log log + 1 ) log C) log ) 1 D) log ) log log Domanda 3 L insieme A = { R : cos 1} è A) non itato ) itato superiormente C) itato inferiormente D) un intervallo A Domanda 4 A) 1 ) 0 C) e D) n n! n ne n = D Domanda 5 La successione a n = 3n 100n + n + 1 n! A) ha minimo ma non ha massimo ) ha massimo ma non ha minimo C) non ha né massimo né minimo D) ha sia massimo che minimo D Domanda 6 e d = 1 C A) 0 ) e e C) 1 e 1 e D) 1 e 1 e Domanda 7 Sia F ) la primitiva della funzione f) = sin cos e + sin 3 tale che F 0) = 4 π ) 3. Allora F = loge + 1) loge + 1) + 3 A) ) 3 3 C) 1 D) 1 3 Domanda 8 π A) 1 ) π 8 C) 0 D) - 0 cos) d = y = Domanda 9 Sia y) la soluzione del problema di Cauchy y + 1) y0) = 3 3. A) 0 ) + C) D) 3 3 Domanda 10 Sia y) la soluzione del problema di Cauchy A) 1 ) 0 C) 4 D) y = y + e 1 y1) = e + 4. e Allora y) = + Allora 0 + y) = A codice 9964

2 Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica Pisa, 0 giugno 019 Esercizio 1 Studiare la funzione f) = 1 1) determinandone insieme di definizione, eventuali asintoti compresi quelli obliqui), eventuali punti angolosi e di cuspide, punti di massimo o di minimo locali, massimo e minimo o estremi superiore e inferiore. La funzione è definita in tutto R, dato che la quantità sotto radice è sempre non negativa. La funzione inoltre è continua in ogni punto, quindi non ci sono asintoti verticali. Calcoliamo i iti per determinare eventuali asintoti orizzontali. f) = ) 1 1) = + ) =, f) = + ) 1 + 1) = + + ) = +. + Non ci sono quindi asintoti verticali. Verifichiamo ora la presenza di eventuali asintoti obliqui. f) = 1 1 = ) 1 1 = +, f) + = 1 1 = + ) = +, quindi non esistono neanche asintoti obliqui. Dai risultati sui iti possiamo anche dedurre che inff) =, supf) = + e che la funzione non ha né massimo né minimo. Osserviamo ora che 1 0, 1] [1, + ) quindi 1 1) se, 1] [1, + ) f) = 1 1) se 1, 1). Calcoliamo ora la derivata. Se, 1) 1, + ) allora f ) = 1 1) + 1 = 1) + 1) = Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno di f è determinato da quello del numeratore quindi 1 > 0 1 = 0 = 1 ± , 1 ) 1, + ), = 1 oppure 1, 1 < 0 1, 1 ). Tenendo conto che il calcolo appena eseguito è stato fatto per, 1) 1, + ), otteniamo che, 1) 1, + ) = f ) > 0.

3 Se invece 1, 1) risulta f ) = 1 1) + 1 = 1) + 1 ) 1 = Osserviamo che il denominatore è sempre positivo e che il numeratore è esattamente l opposto di quello ottenuto precedentemente. Il calcolo è quindi immediato e si ottiene che > 0 1 ), 1, < 0, 1 ) 1, + ). Combinando questo risultato con il fatto che 1, 1) abbiamo che 1, 1 ) = f ) < 0, f 1 ) = 0, 1 ), 1 > 0. Mettendo insieme tutti i risultati abbiamo che la funzione è strettamente crescente in, 1], strettamente decrescente in [ [ 1, ] 1, strettamente crescente in 1, + ). Il punto di ascissa = 1 è di massimo locale mentre = 1 è di minimo locale. Cerchiamo ora di capire se nei punti = 1 e = 1 la funzione è derivabile. Dato che in tali punti la funzione è continua, possiamo provare a calcolare il ite della derivata. f 1) + 1) ) = = 1 ) = +, f 1) + 1 ) ) = = 1 ) =, quindi il punto = 1 è di cuspide. f 1) + 1 ) 1 ) + 1 )1 + ) ) = = f 1) + 1) ) = = Quindi nel punto = 1 la funzione è derivabile e f 1) = 0. 1 )1 + ) = 1 = )1 + ) = ) = 0 3 = ) + 1) + 1) 1) + 1) = 1 + 1) + 1) ) = 0 3 = ,5 1 0,5-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5-0,5-1 -1,5

4 Esercizio Calcolare l integrale indefinito log + 9) d. Eseguiamo l integrazione per parti: log + 9) d = 1 log + 9) d = log + 9) + 9 d = log + 9) d + 9 ) = log 9 + 9) 1 d + 9 d = log d + 9) Calcoliamo l ultimo integrale con la sostituzione 3 = t, d = 3dt d = 3 t + 1 dt = 3 arctan t + c = 3 arctan 3 + c. Quindi log + 9) d = log + 9) + 6 arctan 3 + c. Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy y 6y + 9y = cos) + 9 sin) y0) = y 0) = 0. Risolviamo prima l equazione omogenea associata y 6y + 9y = 0 il cui polinomio caratteristico λ 6λ + 9 ha la radice λ = 3 con molteplicità. La soluzione generale dell omogenea è quindi y 0 ) = c 1 e 3 + c e 3. Dato che i non è radice del polinomio caratteristico, cerchiamo una soluzione particolare della forma ȳ = A cos) + sin). Deriviamo due volte per determinare i coefficienti A e. ȳ = A sin) + cos) ȳ = 4A cos) 4 sin). Sostituendo nell equazione completa otteniamo 4A cos) 4 sin) 6 A sin) + cos)) + 9 A cos) + sin)) = cos) + 9 sin). Quindi 4A 1 + 9A) cos) A + 9) sin) = cos) + 9 sin).

5 Uguagliando i coefficienti di seno e coseno otteniamo il sistema lineare 5A 1 = 1A +5 = 9 che ha come unica soluzione A =, = 1. La soluzione particolare è quindi L integrale generale dell equazione completa risulta quindi Ne segue che Avremo allora ȳ = A cos) + sin) = cos) + sin). y) = y 0 + ȳ = c 1 e 3 + c e 3 + cos) + sin). y ) = 3c 1 e 3 + c e 3 + 3c e 3 4 sin) + cos). y0) = c 1 +, y 0) = 3c 1 + c +. Sostituendo le condizioni iniziali otteniamo il sistema lineare c 1 + = 3c 1 +c + = 0 che ha come unica soluzione c 1 = 0, c =. La soluzione del problema di Cauchy è quindi y) = e 3 + cos) + sin).