Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa

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1 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa

2 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento evento elementare = un qualsiasi elemento di S evento = un qualunque sottoinsieme E dello spazio campionario S si dice che l evento E si è realizzato se il risultato dell esperimento è un elemento di E

3 Operazioni con gli eventi somma logica o unione: B prodotto logico o intersezione: B evento contrario il complementare di rispetto a S: e B si dicono incompatibili o mutuamente esclusivi se B =

4 Definizione formale assiomatica della probabilità Sia S uno spazio campionario Sia una funzione a valori reali definita sui sottoinsiemi di S eventi a valori reali tale che: 0 E 1 S=1 er ogni coppia di eventi E 1 ed E 2 incompatibili si ha E 1 U E 2 = E 1 +E 2 E si dice probabilità dell evento evento E

5 Se S contiene infiniti elementi La terza condizione diventa er successioni di eventi E 1, E 2, a due a due incompatibili, cioè t. c. E i E j = Ø se i j si ha = i i= 1 i= 1 U E E i

6 Relazioni elementari robabilità del complementare E =1 E = 0 Monotonia E E 2 1 E E 1 2 Unione e intersezione E 1 UE 2 = E 1 + E 2 - E 1 E 2

7 La definizione classica Se S è uno spazio campionario formato da eventi elementari equiprobabili la probabilità di un evento E è data da E = # elementi di E / # elementi di S = # casi favorevoli / # casi possibili

8 Esercizio: compleanni Calcoliamo la probabilità che scegliendo a caso n persone almeno due di esse festeggino il compleanno lo stesso giorno. Ipotesi operativa: i bambini nascono con la stessa probabilità in ognuno dei 365 giorni dell anno. = {almeno due delle n persone festeggiano il compleanno lo stesso giorno}

9 Esercizio compleanni Calcoliamo la probabilità di = { tra gli n compleanni non ve ne sono due uguali} # eventi possibili = # n-uple formate scegliendo tra i 365 giorni = 365 n # eventi favorevoli a = # n-uple formate scegliendo tra i 365 giorni senza ripetizioni = 365 * 364 * * 365 n K 365 n n + 1 = = 1 L n

10 roviamo alcuni n compleanni.xls - Foglio1!1

11 Fissiamo il compleanno Vogliamo calcolare la probabilità dell evento B = {tra n persone almeno una ha il mio stesso compleanno} Calcoliamo la probabilità del complementare B = B compleanni.xls - Foglio3! n n = 1 = n n

12 Calcolo delle probabilità probabilità condizionata Laboratorio di Bioinformatica Corso aa

13 robabilità condizionata La probabilità di un evento può variare quando si aggiungono informazioni, ad esempio il fatto che un altro evento si è verificato.

14 Esempio: lancio di un dado rima di lanciare un dado, la probabilità di ottenere il numero 5 è 1/6. Supponiamo che dopo il lancio del dado una persona mi riferisca che il numero uscito è dispari. La probabilità, per effetto della nuova informazione è salita a 1/3. L informazione acquisita mi ha portato a rinnovare lo spazio campionario dall iniziale S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a S' = {1, 3, 5}.

15 robabilità condizionata Si definisce probabilità di un evento condizionata o subordinata all'evento B, e s'indica B, la probabilità del verificarsi di nell'ipotesi che B si sia verificato.

16 robabilità condizionata S B B Dobbiamo restringere a B lo spazio campionario e ridefinire su B la probabilità.. La sola parte di significativa resta B. B = B B

17 In altre parole La formula precedente si può leggere come B = B B B = B Teorema della probabilità composta

18 Eventi indipendenti Da un mazzo di carte da briscola si estrae una carta. La probabilità che sia fiori è 10/40 = 1/4. Se so che la carta estratta è una figura, la probabilità che si tratti di una carta di fiori rimane 3/12=1/4. = "esce una carta di fiori" F = "esce una figura" p = 1/4 = p F Il verificarsi di F non modifica la probabilità che si verifichi. Si dice allora che i due eventi sono indipendenti

19 Eventi indipendenti Due eventi e B si dicono stocasticamente indipendenti quando la conoscenza del verificarsi di uno dei due non dà alcuna informazione sul verificarsi dell altro. Due eventi e B si dicono stocasticamente indipendenti quando si verifica una delle due condizioni equivalenti = B o B = B

20 Eventi indipendenti ancora una definizione Due eventi e B si dicono stocasticamente indipendenti quando B = B

21 TTENZIONE! Non confondere eventi indipendenti con eventi incompatibili. Se due eventi sono incompatibili il verificarsi di uno dei due esclude il verificarsi dell altro quindi non sono indipendenti. d esempio = esce testa B= esce croce

22 Teorema di Bayes Sia {, B } una partizione dell insieme campionario, cioè una coppia di eventi tali che B = S e B = Supponiamo di conoscere >0 e B>0 Sia C un terzo evento del quale si conoscono C e C B

23 Un disegno C B

24 Teorema di Bayes Se si verifica C, qual è la probabilità che si sia verificato? C C C = C C = B C C C + = B B C C C + =

25 Teorema di Bayes Sia {E 1, E 2,, E n } una partizione si S, cioè una collezione di eventi tali che E i E j = se i j e U n i=1 E i = S llora, se E i >0 per ogni i ed è un evento con >0 vale la formula Effetto E j = n i= 1 E j E i E j E i Cause

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