Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria

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1 Unverstà d Napol Parthenope acoltà d Ingegnera Corso d Metod Probablstc Statstc e Process Stocastc docente: Pro. Vto Pascazo 20 a Lezone: /2/2003

2 Sommaro Dstrbuzon condzonate: CD, pd, pm Teorema della probabltà totale per CD, pd, pm Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} Trasormazon d coppe d varabl aleatore 2

3 Dstrbuzon condzonate Rcordamo la denzone d probabltà condzonata. Dat due event A e B, la probabltà condzonata d A dato B è: P ( A B) ( A B) P( B) P, P B ( ) 0 Ponendo A{ x}, s densce CD condzonata d dato l evento B: ( x B) P( { x} B) ({ x} B) P( B) P, P B ( ) 0 Essendo (x B) una CD, gode d tutte le propretà delle CD. 3

4 Dstrbuzon condzonate In partcolare la (x B) una CD è postva, assume valor tra 0 e, è contnua da destra e noltre: ) 2) 3) P ( B) ( B) P P( { } B) 0 P( B) ({ } B) P( B) P( B) P( B) ( x < x B) ( x B) ( x B) 2 2 P ({ x < x2} B) P( B) Esempo: CD relatva alla v.a. assocata all espermento probablstco lanco d un dado, con evento condzonante B{ dspar}. 4

5 Dstrbuzon condzonate S densce pd condzonata d dato l evento B: d dx ( x B) ( x B) (x B) gode d tutte le propretà d cu gode una qualsas pd. In partcolare è postva, e gode delle propretà d normalzzazone: ( x B) dx Esempo: pd relatva alla v.a. assocata all espermento probablstco lanco d un dado, con evento condzonante B{ dspar}. 5

6 Dstrbuzon condzonate Nel caso d v.a. dscrete, come ad esempo nell espermento lanco d un dado, è pù convenente denre una pm condzonata d dato l evento B: p ( x B) P( { x} B) ({ x} B) P( B) P, P B ( ) 0 p (x B) gode d tutte le propretà d cu gode una qualsas pd. In partcolare è postva, assume valor tra 0 e, e gode delle propretà d normalzzazone: x p ( x B) Esempo: pm relatva alla v.a. assocata all espermento probablstco lanco d un dado, con evento condzonante B{ dspar}. 6

7 Dstrbuzon condzonate Alcun autor usanouna notazone alternatva per le CD, pd, pm condzonata d dato l evento B: p B B B ( x B) ( x B) ( x B) 7

8 Teorema della Probabltà Totale per CD, pd, pm Possamo estendere probabltà totale, Bayes alle dstrbuzon condzonate. Rcordamo l teorema della probabltà totale: P N ( A) P( A B ) P( B ) Ponendo A{ x}, s ottene:, B N U B j B 0, S j N N ( x) P( { x} ) P { x} ( B ) ( ) P B ( x B ) P( B ) che rappresenta l teorema della probabltà totale per la CD. 8

9 Probabltà Totale per CD, pd, pm Dervando rspetto a x s ottene l teorema della probabltà totale per le pd: ( x) ( x B ) P( B ) Se noltre è una v.a. dscreta, da: N N ( A) P( A B ) P( ) P B ponendo A{x} s ottene drettamente l teorema della probabltà totale per le pm: P ( B ) P( B ) ({ x} ) P { x} p N N ( x) p ( x B ) P( B ) 9

10 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} Consderamo l caso n cu nella ( x B) P( { x} B) ({ x} B) P( B) P, P B ( ) 0 sa B{y}: ({ x} { y} ) P( { y} ) P ( x P( { x}{ y} ) Nel caso n cu sa una v.a. contnua s ha che P(x)0. La relazone precedente va allora scrtta n questo modo: ( x lm P( { x}{ y < y + y} ) y 0 0

11 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} ( x lm P( { x}{ y < y + y} ) y 0 lm y 0 lm y 0 lm y 0 P ({ x} { y < y + y} ) P( { y < y + y} ) y + ( y + ( y + y ( y + ( ( y e s ottene la CD d x dato {y}. Relazone analoga scambando l ruolo d e d : ( y x) x x ( ) y

12 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} Dervando rspetto a x la precedente relazone ottenuta per le CD s ottene la pd d x dato {y}: x ( x ( x ( x y ( x ( ( Relazone analoga scambando l ruolo d e d : ( y x) ( x) 2

13 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} Spesso s usa una notazone pù sntetca per denre le pd condzonate precedent. ( x ( y x) ( ( x) che rappresentano una legge smle a quella della probabltà condzonata. ( x ( ( y x) ( x) che rappresentano una legge smle a quella della probabltà composta. 3

14 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} Le unzon ( x (, ( y x) ( x) sono pd monodmensonal, la prma unzone d x e la seconda unzone d y, per le qual vale: ( x dx dx ( ( dx ( ( ( y x) dy dy ( x) ( x) dy ( x) ( x) 4

15 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} A relazon analoghe s pervene aclmente per le pm d x dato {y}: p ( x p p (, p ( y x) p p ( x) Le precedent sono pm monodmensonal, la prma unzone d x e la seconda unzone d y, per le qual vale: x p ( x, p ( y x) y 5

16 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} Nel caso n cu le v.a. e sano statstcamente ndpendent, la attorzzazone delle pd congunta mplca che ( x) ( ( x ( ( x ( x) Analogamente s ottene: ( x) ( ( y x) ( x) ( y x) ( Nel caso n cu le v.a. e statstcamente ndpendent sano dscrete s ottene pù convenentemente che: p ( x p ( x), p ( y x) p ( 6

17 Dstrbuzon condzonate dato {x} e {y} A partre dalla pd congunta ottenuta n unzone delle condzonate ( x ( ( y x) ( x) s ottene, ntegrando rspettvamente rspetto a y e a x : ( x) dy ( x ( ( ( ) x, y dx ( y x) ( x) Che sono le verson applcate alle pd del teorema della probabltà totale. Analoghe relazon valgono per le pm. dy dx 7

18 Mede condzonate La meda condzonata d dato {y} è denta E [ y] x ( x dx Nel caso partcolare che e sano entrambe v. a. dscrete E [ y] x p ( x tutt x 8

19 Trasormazon d una coppa d v.a. Sano e due varabl aleatore. Consderamo una loro trasormazone g(,). La trasormazone dà orgne ad una nuova v.a. S ξ ( ) ξ ( ) ξ ( ) Z g, y ( x g, Z ( ) ξ x z 9

20 Pd congunta d una coppa d v.a. S pone l problema d caratterzzare Z, coè d assegnare Z ( z) oppure ( z) Z Ad esempo: ( z) P( { Z z} ) P( { g(, ) z} ) P( {(, ) }) Z D z dove { : g z} D z qund Z ( z) ( x, D z dxdy 20

21 Consderamo, ad esempo la trasormazone data dalla somma d due varabl aleatore Z + Tutto s rduce a trovare l domno D z, n questo caso dato da D z { : x + y z} per poter po calcolare: y ( z) ( x, Z D z dxdy Pd congunta d una coppa d v.a. y z qund: + z x ( ) ( ) z z x, y dy dx x z D z x 2

22 ne 20a lezone