VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

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1 VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria che associa ad ogni evento elementare dello spazio campionario uno ed un solo numero reale è del tutto naturale estendere questo concetto al caso di due o più dimensioni. SMPIO : Si consideri lo spazio campionario ottenuto lanciando tre monete ben equilibrate e si pensi di associare ad ogni evento elementare il numero di realizzazioni con il risultato Testa v.a. e il numero di variazioni nella sequenza v.a. intendendo con questo il numero di volte in cui si passa dal simbolo Testa al simbolo Croce. Indicando con T Testa e C Croce si ottiene: ω Pω ω TTT 3 0 / 8 ω TTC / 8 ω 3 TCT / 8 ω 4 CTT / 8 ω 5 CCT / 8 ω 6 CTC / 8 ω 7 TCC / 8 ω 8 CCC 0 0 / 8

2 Ad ogni coppia distinta di valori è possibile associare un livello di probabilità che è pari alla probabilità dell evento o alla somma delle probabilità degli eventi elementari che danno luogo a tale coppia. Si ottengono pertanto i seguenti livelli di probabilità: P 0 0 Pω 8 CCC /8; P Pω 5 CCT + Pω 7 TCC /8; P Pω 6 CTC /8; P Pω TTC + Pω 4 CTT /8; P Pω 3 TCT /8; P 3 0 Pω TTT /8. Dette probabilità possono essere riportate nella seguente tabella a doppia entrata: 0 p 0 /8 0 0 /8 0 /8 /8 3/8 0 /8 /8 3/8 3 /8 0 0 /8 p /8 4/8 /8 Variabile aleatoria doppia discreta Dato uno spazio campionario discreto Ω si chiama variabile aleatoria doppia discreta la funzione definita in R che associa ad ogni evento elementare ω i dello spazio campionario Ω la coppia di numeri reali essendo ω e ω. Come visto nell esempio è possibile assegnare ad ogni coppia un livello di probabilità che prende il nome di funzione di probabilità congiunta: p P.

3 La parola congiunta deriva dal fatto che questa probabilità è legata al verificarsi di una coppia di valori il primo associato alla v.a. ed il secondo alla v.a.. La funzione di probabilità gode delle seguenti proprietà: i p 0 ii p ; il segno di doppia sommatoria indica che la somma è estesa rispettivamente a tutti i valori di e a tutti i valori di. Per determinare la probabilità che la v.a. assuma valori in un qualsiasi sottoinsieme A: [ A] P p dove la somma è estesa a tutte le coppie A appartenenti ad A. Funzioni di probabilità marginali Data la funzione di probabilità congiunta p è possibile pervenire alla costruzione della funzione di probabilità della singola v.a. o : p P p P p p che prendono rispettivamente il nome di funzione di probabilità marginale di e funzione di probabilità marginale di. Facendo riferimento all esempio si possono costruire le funzioni di probabilità di e di : 3

4 p 0 /8 Funzione di probabilità marginale di 3/8 3/8 3 /8 p 0 /8 Funzione di probabilità marginale di 4/8 /8 Funzioni di probabilità condizionate Data una v.a. doppia può avere senso introdurre il concetto di relazione che lega ad. Si può quindi studiare la distribuzione di probabilità di per livelli assegnati di : si vuole quindi capire se e in che modo il livello di va ad influenzare la distribuzione di probabilità di. Data la v.a. doppia discreta descritta dalla funzione di probabilità congiunta p si vuole definire la funzione di probabilità di condizionata ad un prefissato valore di. Posto si definisce funzione di probabilità condizionata di dato : p P p P con p > 0 P p definizione di probabilità condizionata vista nelle probabilità elementari. ; si ricordi la Analogamente fissato un particolare valore di è possibile definire la funzione di probabilità condizionata di dato : 4

5 p P p P con p > 0 P p. immediato verificare che: P P 0 e P 0 e P ;. Facendo ancora riferimento all esempio si ottiene: pl 0 0 Funzione di probabilità condizionata di dato / / 3 0 p l 0 0 Funzione di probabilità condizionata di dato /3 /3 Indipendenza stocastica Dalla definizione di distribuzione di probabilità condizionata è possibile derivare la nozione di indipendenza stocastica o semplicemente indipendenza; infatti se: P P 5

6 cioè se non dipende da allora si può dire che è indipendente da ; e se: P P cioè se non dipende da allora si può dire che è indipendente da. Se è indipendente da allora si ottiene che: P P P e se è indipendente da si ottiene che: P P P da cui si può dedurre che la relazione di indipendenza è simmetrica e si dice che e sono indipendenti. Valore atteso congiunto Covarianza e Correlazione Il valore atteso e la varianza così come definiti per una v.a. unidimensionale non possono essere applicati al caso bidimensionale. In questo contesto si possono definire il valore atteso congiunto la covarianza Cov e il coefficiente di correlazione lineare ρ dati da: p ; Cov p ; 6

7 7 Cov σ σ ρ. Nota: La covarianza può anche essere calcolata nel seguente modo: p p p p p p p p p p Cov cioè come differenza tra il valore atteso congiunto e il prodotto tra il valore atteso della distribuzione marginale di e il valore atteso della distribuzione marginale di. sempio : Data la seguente distribuzione congiunta: 0 p i 0 /8 /8 3/8 0 3/8 /8 4/8 3 /8 0 0 /8 p J /8 5/8 /8

8 calcolare il valore atteso congiunto la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare ; e ; Cov ; Var e Var + ; ρ Per comprendere il significato della covarianza e del coefficiente di correlazione lineare si consideri l esempio: sempio 3: Rappresentare mediante un diagramma di dispersione la seguente v.a. doppia: P

9 Il diagramma di dispersione non è altro che la rappresentazione delle coppie di punti individuati dalle v.a. e si ottiene ponendo i valori di sull asse delle ascisse e quelli di sull asse delle ordinate. Riportando nel medesimo grafico anche le rette individuate dai due valori attesi rispettivamente di e di si ha: 4 e 9 Diagramma di dispersione La nuvola di punti viene così suddivisa in 4 quadrati numerati in senso antiorario e partendo da quello in alto a destra. Per i punti che si trovano nel I quadrante vale che: > e > > 0 Per i punti che si trovano nel II quadrante vale che: < e > < 0 Per i punti che si trovano nel III quadrante vale che: 9

10 < e < > 0 Per i punti che si trovano nel IV quadrante vale che: > e < < 0 Si può calcolare il valore atteso dei prodotti degli scarti che non è altro che la covarianza: Cov p che in questo caso vale Cov 08. Se prevalgono punti nel I e III quadrante la nuvola di punti avrà un andamento crescente e la covarianza segno positivo; mentre se prevalgono punti nel II e IV quadrante la nuvola di punti avrà un andamento decrescente e la covarianza segno negativo. Se la covarianza è nulla si dice che le due v.a. sono tra loro incorrelate o linearmente indipendenti si introduce così un secondo tipo di indipendenza più debole dopo quello di indipendenza stocastica. Se Cov > 0 la relazione tra e è diretta per cui a valori bassi di tendono ad associarsi valori bassi di e a valori elevati di tendono ad associarsi valori elevati di. Se Cov < 0 la relazione tra e è inversa per cui a valori bassi di tendono ad associarsi valori elevati di e a valori elevati di tendono ad associarsi valori bassi di. 0

11 La covarianza non è un valore di facile interpretazione perché non è noto il suo range di variazione valore minimo e valore massimo che può assumere quindi di essa è possibile dare un interpretazione del segno positivo negativo o nullo ma non del valore. Al fine di normalizzare la covarianza è possibile dimostrare che: [ Cov ] Var Var σ σ Cov σ σ da cui si ottiene il coefficiente di correlazione lineare: Cov ρ ρ + σ σ che risulta pertanto un indice normalizzato tra - e + in modo tale da tenere conto sia dei valori positivi che di quelli negativi della covarianza. Il coefficiente di correlazione lineare misura l intensità del legame lineare tra due v.a. e ed ha lo stesso segno della covarianza infatti il numeratore è positivo o negativo mentre il denominatore è sempre positivo. Tanto più ρ tanto più la relazione lineare è stretta e i punti si dispongono più o meno attorno ad una retta. Se ρ + la relazione tra e è del tipo a + b con b > 0 e nel diagramma di dispersione i punti sono allineati come nel grafico che segue: Relazione lineare diretta

12 Se ρ la relazione tra e è del tipo a + b con b < 0 e nel diagramma di dispersione i punti sono allineati come nel grafico che segue: Relazione lineare inversa Nell esempio si ha: 08 ρ che indica un grado di correlazione lineare diretta di media intensità. Nota: Confrontando l indipendenza stocastica con l indipendenza lineare si può dire che l indipendenza stocastica implica quella lineare ma non vale il viceversa: Indipendenza stocastica Indipendenza lineare sempi di correlazione I sei grafici che seguono indicati con le lettere A B C D F mostrano alcune situazioni del coefficiente di correlazione lineare ρ che meritano di essere commentate.

13 A. Un valore del coefficiente di correlazione lineare pari ad indica che tra le due v.a. ed esiste una perfetta relazione lineare per cui punti del diagramma di dispersione giacciono tutti su una retta nel grafico non è così evidente perché i punti sono migliaia caratterizzata da un coefficiente angolare positivo. Quindi i valori di possono essere determinati dall equazione della retta che lega ad. B. Un valore del coefficiente di correlazione lineare pari a 069 indica una relazione diretta trend crescente di media intensità. I punti mostrano in modo evidente il trend crescente anche se non si dispongono in modo evidente attorno ad una retta. C. Il valore del coefficiente di correlazione lineare è ancora pari a 069 anche se la relazione tra ed pur essendo di forma evidente è di tipo parabolico non è assolutamente di tipo lineare. Per valori bassi di il trend è decrescente mentre per valori elevati diventa crescente. D. Un valore del coefficiente di correlazione lineare pari a 096 indica che la relazione tra e è di tipo lineare e molto stretta i punti sono quasi allineati ma mostra un trend decrescente.. ed F. Questi ultimi due grafici mostrano due situazioni molto diverse in cui il coefficiente di correlazione lineare è pari a 0 che indica un caso incorrelazione cioè di mancanza di relazione lineare tra e. Nel grafico la relazione è molto forte i punti tendono a disporsi lungo una circonferenza ma non è assolutamente lineare mentre nel grafico F non c è nessun tipo di relazione. 3

14 A B C D F 4

15 Nota: Per commentare correttamente il valore del coefficiente di correlazione lineare è importante guardare il grafico; il numero potrebbe trarre in inganno situazione C! L intensità della relazione lineare indicata dal valore potrebbe essere smentita dal grafico. Distribuzione ipergeometrica estesa Questa v.a. doppia discreta non è altro che una generalizzazione della ipergeometrica in cui anziché avere solo due risultati possibili del tipo A e A ce ne sono. Si consideri un insieme di N unità di cui M di tipo A M di tipo A M di tipo A con N M i i ; si estraggano n unità senza reimmissione. Per estensione dell ipergeometrica la probabilità che fra le n unità estratte siano di tipo A di tipo A di tipo A con n i i è pari a: M M M... p... con N n 0...; 0...;...; 0... e i n. i sempio 4: Da un urna contenente 0 palline bianche 0 rosse e 0 verdi ne vengono estratte 5 senza reimmissione. Siano e rispettivamente il numero di palline bianche e il numero di palline rosse estratte. 5

16 Scrivere la funzione di probabilità congiunta di e determinare la probabilità che siano estratte palline bianche e rosse. La funzione di probabilità è data da: p mentre la probabilità di estrarre palline bianche e rosse è pari a: p Distribuzione multinomiale Questa v.a. doppia discreta non è altro che una generalizzazione della binomiale in cui anziché avere solo due risultati possibili del tipo A e A ce ne sono. Si consideri un insieme di N unità di cui M di tipo A M di tipo A M di tipo A con N M i i ; per cui M M M p p p N N.... Si estraggano n unità con N reimmissione. Per estensione della binomiale la probabilità che fra le n unità estratte siano di tipo A di tipo A di tipo A con n i i è pari a: n! p... p p p con!!...! ; 0...;...; 0... e i n. i 6

17 sempio 5: In una città il 0% delle famiglie possiede più di una casa il 70% solo la prima casa il 0% non possiede case. L ufficio tributario del comune al fine di effettuare un controllo estrae un campione con reinserimento di 0 famiglie. Si determini la probabilità che nel campione entrino 6 famiglie che possiedono una sola casa e famiglie che non possiedono casa. Si ricerca quindi la probabilità che fra le 0 famiglie estratte possiedano più di una casa 6 possiedano una casa e non possiedano case: 0! 6 P ! 6!! DISUGUAGLIANZA DI CHBSHV Sotto determinate condizioni la distribuzione di una qualsiasi v.a. discreta o continua soddisfa sempre questa disuguaglianza che fornisce un limite superiore per la probabilità che un valore cada all esterno dell intervallo - t; + t. Sia una v.a. qualsiasi con valore atteso e varianza σ e sia t > 0 una quantità prefissata; allora vale la seguente disuguaglianza: P σ t : { } > 0 t t che può anche essere riscritta fornendo un limite inferiore per la probabilità che un valore cada all interno dell intervallo - t; + t : σ t : P { < t } > t > 0. 7

18 La disuguaglianza di Chebshev viene utilizzata per avere delle informazioni sulla probabilità di una v.a. quando di questa si conoscono solo il valore atteso e la varianza ma non la distribuzione di probabilità. µ - t µ µ + t Quindi la disuguaglianza di Chebshev permette di affermare che la probabilità di σ ottenere un valore all interno dell intervallo [ - t; + t] è sempre > t mentre la probabilità di ottenere un valore all esterno del medesimo intervallo è σ sempre. t sempio 6: Un supermercato ha acquistato una partita di patate confezionata in sacchi del peso medio di 0 g con varianza pari 036 g. Se non si conosce la distribuzione del peso di un sacco di patate calcolare la probabilità che un sacco abbia un peso tra i 95 i 09 g. Se la distribuzione del peso di un sacco di patate è di tipo normale calcolare la probabilità che un sacco abbia un peso tra i 95 i 09 g. Dato che non si conosce la distribuzione di per determinare la probabilità si può utilizzare la disuguaglianza di Chebshev. In questo caso t P { 0 < 07} >

19 Se si ipotizza invece la distribuzione normale: P 95 < < 09 P < Z < P 7 < Z < COMBINAZION LINAR DI V.A. Si definisce combinazione lineare di n variabili aleatorie indipendenti n con pesi a a a n : a + a a n n. Il valore atteso e la varianza della combinazione lineare possono essere calcolati come: a + a a n n Var a Var + a Var a Var n n Se le n variabili aleatorie sono tutte distribuite secondo una normale allora anche si distribuisce in modo normale. Se le n variabili aleatorie oltre ad essere indipendenti sono anche identiche cioè hanno la stessa distribuzione e i pesi sono tutti pari ad /n si ottiene la media campionaria: n per la quale si hanno valore atteso e varianza pari a: n 9

20 e Var Var. n sempio 7: Una variabile aleatoria normale ha valore atteso µ e varianza σ finite. Siano variabili aleatorie indipendenti e identiche a. Determinare il valore atteso della variabile aleatoria S Determinare la varianza della variabile aleatoria S Dire giustificando il risultato se il coefficiente di variazione della variabile aleatoria somma S è maggiore minore o uguale di quello della variabile. Per il valore atteso si ha: µ µ 40µ S Per la varianza si ha: Var Var σ σ Var S Var σ Per quanto riguarda il coefficiente di variazione definito come il rapporto tra lo scarto quadratico medio e il valore atteso si ottiene: σ 40σ σ 40 CV CV S CV µ 40µ µ La variabile S risulta pertanto avere un coefficiente di variazione minore rispetto alla variabile. 0

21 sempio 8: Un supermercato ha acquistato una partita di patate confezionata in 00 sacchi del peso medio di 0 g con varianza pari 036 g. Si determini il valore atteso del peso medio dei sacchi presenti in magazzino e la sua variabilità. Si determini la probabilità che il peso medio dei sacchi di patate sia superiore ai 0 g. Considerando il peso medio dei 00 sacchi si ha 0 Var Var n P > 0 P Z > > P Z TORMA DL LIMIT CNTRAL Siano... n n variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con media i e varianza Var i σ. Sia S n n la variabile aleatoria ottenuta come somma delle variabili aleatorie i con media S n n e varianza VarS n nσ. Allora si ha che: lim n Sn n P nσ z Φ z quindi per n la standardizzazione della v.a. S n tende a distribuirsi come una normale standardizzata.

22 Fra le numerevoli applicazioni del teorema del limite centrale il nostro interesse è soprattutto rivolto al limite della distribuzione binomiale. Infatti se segue una distribuzione binomiale n p allora se n è possibile dimostrare che la distribuzione tende ad una normale standardizzata lim n P S np n np p z Φ z. sempio 9: Un indagine ha mostrato che la probabilità di laurearsi in corso per uno studente iscritto alla facoltà di economia di Milano è pari a 05. Se vengono estratti con reinserimento 8 studenti immatricolati lo stesso anno determinare la probabilità che non più di due si laureino in corso. Se vengono estratti con reinserimento 400 studenti immatricolati lo stesso anno calcolare la probabilità che almeno 80 si laureino in corso. La probabilità che non più di due studenti si laureino in corso è determinata utilizzando la binomiale: P P 0 + P + P Considerando invece un campione di 400 studenti n è quindi grande si può applicare l approssimazione della binomiale alla normale. Il valore atteso e la varianza sono pari a:

23 n p Var n p p per cui: n p P P P Z 8 Φ n p p Φ 8 è determinato sulle tavole della normale standardizzata ed è pari a

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