Analisi delle serie storiche: modelli ARCH e GARCH. Prof. M. Ferrara

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1 Analisi delle serie soriche: modelli ARCH e GARCH Prof. M. Ferrara 1

2 Scele di porafoglio Markowiz ci insegna che i parameri decisionali fondamenali per operare scele di porafoglio sono: Media Varianza

3 Obieivi 1 L obieivo che ci siamo proposi in quesa prima fase del lavoro è approfondire le nosre conoscenze in ambio economerico per essere in grado, una vola cosruia la banca dai con le serie soriche dei ioli appareneni allo S&P 500, di sudiare le loro caraerisiche saisiche. 3

4 Obieivi Noe le caraerisiche delle serie è possibile scegliere il modello economerico che meglio le descrive per poerne prevedere il comporameno fuuro. Ciò sa alla base di scele di porafoglio consapevoli. 4

5 In paricolare, dao un processo socasico y={ y } τ che rappresena i prezzi in chiusura della giornaa borsisica, è imporane conoscere il comporameno della media varianza Funzione di auocovarianza del processo socasico nel passao per poer dire qualcosa sul fuuro. τ è un insieme discreo, per cui il processo y è deo in empo discreo 5

6 Caraerisiche delle serie finanziarie 1. La varianza di una serie finanziaria è un paramero fondamenale nella deerminazione del porafoglio oimo dell'invesiore: nella definizione di ques'ulimo occorre infai rovare il giuso compromesso ra il rendimeno medio aeso e la rischiosià, misuraa dalla varianza. Acceare l'ipoesi di omoschedasicià significa inrodurre nell'analisi della serie un elemeno foremene disorcene nella sima dei parameri dei modelli economerici e dei relaivi es. Le analisi empiriche mosrano, infai, che grandissima pare delle serie finanziarie è caraerizzaa da eeroschedasicià. 6

7 Omoschedasicià Una serie sorica è omoschedasica se presena varianza cosane nel empo. Eeroschedasicià Una serie sorica è eeroschedasica se presena una varianza caraerizzaa da un comporameno non cosane. 7

8 Caraerisiche delle serie finanziarie. Empiricamene è sao verificao che è daa dal fao che le loro disribuzioni di probabilià delle serie finanziarie sono lepocuriche. Le disribuzioni lepocuriche hanno la paricolarià di assegnare una maggiore probabilià ad eveni molo lonani dal valor medio della disribuzione rispeo alle probabilià che verrebbero assegnae a ali eveni da una disribuzione normale. Per queso moivo si parla di disribuzioni con code spesse. 8

9 Caraerisiche delle serie finanziarie 3. E saa verificaa empiricamene l influenza di lungo periodo degli shock sulle quoazioni dei ioli. A ciò si aggiunge il comporameno asimmerico, evidenziao dalle quoazioni, in base al quale shock negaivi sembrano incremenare la volailià più di quano non facciano shock posiivi (leverage effec). I rendimeni hanno caraerisiche conrappose, per cui a bassa volailià corrisponde ala correlazione e viceversa: inuiivamene, piccole escursioni dei ioli, ipiche di fasi di sagnazione del mercao, sono legae da una fore correlazione lineare. 9

10 Caraerisiche delle serie finanziarie 4. Un alra caraerisica ipica delle serie finanziarie è il cosiddeo effeo clusering: In alri ermini, la volailià dei rendimeni è auocorrelaa. 10

11 ARCH Noi per il momeno abbiamo concenrao la nosra aenzione sui modelli di ipo ARCH e loro variani. Il nosro ineresse a quesa ipologia di modelli è nao dalla consaazione che i conribui che abbiamo consulao a proposio di sudi sul comporameno caoico dei mercai ne facevano spesso riferimeno. 11

12 Jingrong, Dong Chaos in an Emerging Capial Marke? The Case of he Shanghai Sock Exchange Journal of Emerging Markes, Fall-Winer 00, v. 7, iss. 3, p Chu, Parick Sudy on he Non-Random and Chaoic Behavior of Chinese Equiies Marke Review of Pacific Basin Financial Markes & Policies,Jun003, Vol. 6 Issue, p199, 4p Chen, Shu-Heng; Lux, Thomas; Marchesi, Michele Tesing for Non-Linear Srucure in an Arificial Financial Marke Universia Bonn Sonderforschungsbereich 303, Discussion Paper: B/447 (1999) 1

13 ARCH= Auoregressive Condiional Heeroskedasiks E un modello inrodoo da Engle E il primo modello che sudia l eeroschedasicià condizionaa. E un modello adeguao alla descrizione del fenomeno empirico del volailiy clusering secondo il quale periodi di elevaa volailià endono a permanere e sono seguii da periodi di relaiva sabilià che a loro vola manifesano una cera persisenza. 13

14 Assunzioni di base del modello: 1. Gli shock che influiscono sui processi soosani non sono indipendenemene disribuii anche se sono serialmene non correlai;. La disribuzione del processo condizionaa al se informaivo disponibile ha momeni secondi emporalmene dipendeni 14

15 Consideriamo i rendimeni di un iolo r =µ +y dove r = y =σ ε ε ~ IID L(0,1) se assumiamo, come spesso accade, che la media sia pari a zero legge di probabilià di una variabile aleaoria a media nulla e varianza uniaria σ I -1 Dae le ipoesi accade che: non è necessariamene cosane ma dipende dalla soria passaa E(y I -1 )= E(σ ε I -1 )= σ E(ε I -1 )= σ E(ε )=0 E(y I -1 )= E(σ ε I -1 )= σ E(ε I -1 )= σ E(ε )= σ Media condizionaa Varianza condizionaa Per cui il processo y ha media condizionaa nulla e varianza condizionaa σ : y ~ L(0, σ ) 15

16 1. Alla base dei modelli di ipo ARCH(p) vi è l idea che la varianza condizionaa non sia cosane nel empo, ma dipenda dalla soria passaa di y ove p è il numero di passi indiero nel empo di cui si iene cono per la previsione: σ = α 0 + α 1 p y α p y -p. Si ipoizza che la componene socasica ε ε ~ IID N(0,1) 3. Ricordando che y =σ ε y =(α 0 + α 1 p y α p y -p )1/ ε, ε ~ IID N(0,1) 16

17 Affinché la varianza condizionaa σ sia sreamene maggiore di zero è necessario che: α 0 >0, α 1 0,, α p 0 Talvola viene anche richieso che i coefficieni α i abbiano decrescenza monoona, così che i pesi più elevai nel deerminare la varianza condizionale siano assegnai agli shock più receni. 17

18 Proprieà del modello ARCH 1. Il processo ARCH(p) è debolmene sazionario se e solo se le radici dell equazione caraerisica α 0 + α 1 z + + α p z p =0 sono eserne al cerchio uniario. Se così è la varianza non condizionaa è: E(y )= α 0 / (1-α α p ) Qualora la varianza non condizionaa sia non negaiva la condizione necessaria e sufficiene per per la sazionarieà del processo ARCH è che α α p <1 18

19 . Il processo è non lineare. Ciò significa che non può essere espresso come combinazione lineare di una successione (anche infinia) di variabili casuali. 3. Il processo ARCH(p)ha una disribuzione non condizionaa di y caraerizzaa da code più elevae rispeo alla disribuzione condizionaa (indice di curosi > di 3). 4. I residui del modello sono incorrelai ma non indipendeni, per cui si può dire che presenano una dipendenza non lineare. I quadrai dei residui sono invece correlai. 19

20 Sima dei parameri del modello La sima dei parameri di un processo con eeroschedasicià condizionaa di ipo ARCH non può essere faa ricorrendo a modelli lineari in quano il processo y è non lineare. E uile invece il ricorso al meodo della massima verosimiglianza che garanisce la consisenza e l efficienza asinoica delle sime. 0

21 1 Ponendo α=(α 0,,α p ) è possibile esprimere la funzione di densià condizionaa come: Da cui è possibile cosruire la funzione di verosimiglianza E da essa quella di log-verosimiglianza Che può essere massimizzaa numericamene per oenere così le sime di massima verosimiglianza dei parameri del modello. ( ) ( ) = 1/ 1 exp ; y I y f σ πσ α ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = T T T T y y y f L 1 1/ 1 / 1 1 exp ;,..., σ σ π α α ( ) ( ) ( ) ( ) = = = T p p T p p y y y y y T l log 1 log α α α α α α π α

22 GARCH Il modello ARCH richiede un elevao ordine p del processo per caurare l auocorrelazione presene in y, andando così a conraddire il principio di parsimonia che guida la scela dei modelli economerici. Il problema è sao superao grazie a Bollerslev che suggerisce l applicazione del meodo GARCH (Generalised Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) che, pur essendo basao su un numero limiao di parameri, permee di riprodurre siuazioni di lunga memoria.

23 A parire dalle sesse ipoesi usae per l ARCH: y =σ ε ε ~ IID L(0,1) legge di probabilià di una variabile aleaoria a media nulla e varianza uniaria σ I -1 non è necessariamene cosane ma dipende dalla soria passaa Quesa vola, nel GARCH (p,q) si esprime la varianza condizionaa come: σ = α 0 + α 1 p y α p y -p+β 1 σ β q σ -q La varianza condizionaa è cioè funzione dei p più receni valori di y e delle q più receni sime della varianza, cercando così di cogliere da un lao gli effei di breve/brevissimo ermine legai all evoluzione della variabile consideraa e dall alro gli effei di lungo periodo legai alla persisenza della volailià. 3

24 Il processo GARCH è cioè una naurale generalizzazione dell ARCH: E agevole ricondursi all ARCH imponendo la resrizione: β 1 = β = = β q =0 4

25 Variani ARCH M (ARCH in Mean) EGARCH (Exponenial GARCH) AGARCH (Asymmeric GARCH) IGARCH (Inegraed GARCH) GARCH M (GARCH in Mean) 5

26 ARCH M (ARCH in Mean) 1 Nei modelli ARCH e GARCH la media condizionaa è convenzionalmene posa =0. => la media condizionaa è compleamene indipendene dalla variabilià condizionaa. In accordo con la eoria classica di porafoglio di frone ad una maggiore variabilià dei rendimeni ci aendiamo una maggior rendimeno => i modelli ARCH e GARCH non rispondono all esigenza di oenere un effeo feedback ra media e varianza L osacolo è sao superao grazie a Engle, Lilien, Robins (1987) che hanno inrodoo l Arch-M: r =µ + σ ε ε ~ IID L(0,1) µ = δσ 6

27 ARCH M (ARCH in Mean) Dove σ I -1 che implica la seguene disribuzione condizionaa di y r I -1 ~ L(δσ, σ ) Così facendo la varianza condizionaa deermina anche la media condizionaa, in ragione della relazione lineare µ = δσ. Il modello presena cioè una media e una varianza condizionae che variano in modo non lineare in relazione ai valori passai di r 7

28 EGARCH (Exponenial GARCH) Risponde all esigenza di dare soluzione al problema dei segni degli errori di previsione che nel GARCH sono elevai al quadrao, rendendo ininfluene il fao che essi siano al rialzo o al ribasso. L evidenza empirica conrasa con ciò. Queso modello, che prende in considerazione non la varianza ma il logarimo naurale della sessa, maniene gli errori con il proprio segno, dando così adeguaa spiegazione alla diversa reazione degli operaori alle buone noizie e alle caive noizie. 8

29 AGARCH (Asymmeric GARCH) Risponde alla sessa esigenza che ha condoo all elaborazione dell EGARCH. Inroducendo un paramero addizionale, posiivo per ipoesi di lavoro, si oiene un amplificazione degli effei degli shock negaivi ed uno smorzameno di quelli posiivi. Predilige il ricorso ad una disribuzione di Suden e non ad una normale degli errori di previsione. 9

30 IGARCH ( Inegraed GARCH) Corrisponde al caso in cui: σ = α 0 + α 1 p y α p y -p +β 1 σ β q σ -q ed è verificaa la resrizione: Σ α j +Σ β j =1 che fa sì che il processo non soddisfi la condizione di sazionarieà debole. L IGARCH è non sazionario in varianza per cui si rivela prezioso nel caso in cui la varianza condizionaa sia foremene auocorrelaa, ovvero nei casi in cui shock subii dalla varianza nel passao si ripercuoono sui valori fuuri della sessa. 30

31 GARCH M (GARCH in Mean) Analogamene a quano accade nell ARCH M, la varianza condizionale enra a deerminare la media condizionale del processo deerminando premi per il rischio aesi che muano emporalmene al variare delle diverse volailià del mercao. 31

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