LIMITI DI FUNZIONI ED ASINTOTI (C. Dimauro) 2 è un intorno di x 0. I, con l intervallo aperto ] x δ + δ [ 0 ; x. x 0 A con A R, si dice che x 0 è un

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1 LIMITI DI FUNZIONI ED ASINTOTI (C. Dimauro) Premessa Intorno di un punto: si chiama intorno completo di intervallo aperto che contiene x 0. Es.: sia = [ 0;10] Graficamente: A ed 3 x. L intervallo ] ;5[ 0 = x 0 A con A R un qualsiasi è un intorno di x In maniera rigorosa, se consideriamo un numero reale δ > 0, si può indicare un intorno di x 0, ( x 0 ) I, con l intervallo aperto ] x δ δ [ di x 0 un intorno tale che ] x0 δ ; x 0 [ che ] x δ [. 0; x 0 Punto di accumulazione: dato un punto 0 0 ; x. Dicesi intorno sinistro ; dicesi intorno destro di x 0 un intorno tale x 0 A con A R, si dice che x 0 è un punto di accumulazione di A se in qualsiasi intorno di x 0 cade almeno un punto di A diverso da x 0. È importante sottolineare che in tale definizione la parola chiave è comunque si fissi un intorno. Il seguente esempio chiarirà il concetto. Sia = [ 1;10] A un intervallo di numeri naturali 1. Vogliamo vedere se il punto x 0 = 5 è di accumulazione per tale insieme. A tale scopo scegliamo = δ ottenendo l intorno ] ;7[ 3. In questo caso, oltre il 5 cadono nell intorno anche i numeri 4 e 6, per cui il punto sembrerebbe di accumulazione. La definizione, però, deve essere soddisfatta comunque si fissi δ > 0. Se scegliamo =1 δ risulta evidente che nell intorno ],5;5,5 [ 4 non cadono punti dell insieme diversi da 5. È evidente che se l insieme A fosse stato un insieme di 1 I numeri Naturali sono tutti i numeri interi positivi, cioè 1,, 3,...

2 numeri reali 5 sarebbe stato di accumulazione. Osservazione: tutti i punti di Q (numeri razionali relativi) ed R (numeri reali) sono di accumulazione. Da un punto di vista intuitivo diremo che se un punto è di accumulazione, allora avvicinandoci ad esso troveremo infiniti punti. È come se vicino al punto in questione si accumulassero sempre più punti, man mano che ci avviciniamo ad esso sull asse reale sia da destra che da sinistra. Consideriamo, ad esempio, l intervallo di numeri reali = [ 1;10] A. Fissiamo il punto x 0 = 5 ed immaginiamo di avvicinarci ad esso per valori più piccoli (da sinistra tabella: x 0 ) e per valori più grandi (da destra x 0 ), costruendo la seguente x 0 x Essendo x 0 = 5 un punto di accumulazione l operazione di avvicinamento è indeterminata, nel senso che esistono infiniti numeri più piccoli e più grandi di 5. Limiti delle funzioni reali di variabile reale Allarghiamo il discorso considerando una dominio è D ( f ) = { x R : x } f :R R con x 8 = il cui x. Visto che f non è definita per x = cerchiamo di capire cosa accade alla funzione nelle estreme vicinanze di (assegniamo cioè alla funzione valori di x vicini a e calcoliamo i corrispondenti valori che la funzione assume sono, per intenderci, le y). Costruiamo la tabella i numeri reali R sono tutti i numeri possibili. È evidente allora che, ad esempio, tra 1 e ci sono infiniti numeri

3 x 0 f ( x 0 ) x f ( x 0 ) Sia da destra che da sinistra la funzione tende a 8, ma nel punto non è definita. Il numero 8 è il valore verso il quale la funzione si stabilizza a mano a mano che si prende x più vicino ad x 0. È opportuno affermare con decisione che non potremo mai calcolare il valore della funzione nel punto x =. È però necessario comprendere il comportamento della funzione nelle estreme vicinanze del punto, in modo tale da poterne tenere sotto controllo l andamento. È l operazione di ite che riesce a dirci come si comporta una funzione in corrispondenza di un punto in cui non è definita: x 8 = 8 x x che si legge ite per x che tende a della funzione uguale a 8. Ciò significa che al ite per x che tende a, la funzione assumerà il valore 8, non che il valore della funzione in è 8, perchè in x = la funzione non può essere calcolata. La teoria dei iti ci dice che se il ite che abbiamo calcolato è vero dovrà accadere che x 8 ε > 0 δ ε > 0 : x con x < δε 8 < x Traduzione: comunque si fissi un numero ε positivo piccolo a piacere, deve esistere in corrispondenza un numero δ positivo, dipendente dalla scelta fatta per ε, tale che qualsiasi valore x assegniamo alla funzione, non considerando il valore x =, 3 ε 3 In generale, la scrittura x equivale alle seguenti: ] x δ [ x 0 < δ ε ε 0 δ ε 0 ; x, oppure x δ 0 ε < x < x0 δ ε

4 scegliendolo nell intorno ] δ ε ; δ ε [ compresi tra ] ε ; 8 ε[, la funzione assumerà valori sempre 8. Chiariamo il tutto con un grafico. La funzione data, una volta fatte le dovute semplificazioni è una retta. Infatti: x 8 ( x 4) ( x )( x ) = = = = ( x ) = x 4 x x x 8ε 8 8ε -δ δ Scegliamo = 1/ ε ed individuiamo sull asse delle y l intervallo ] ε ; 8 ε[ 8. In corrispondenza, sull asse delle x si determina l intorno di con ampiezza δ. Come si vede dal grafico, qualsiasi valore prendiamo in tale intorno la funzione si mantiene x 8 sempre tra ] 8 ε ; 8 ε[. Ciò significa che = 8 è un risultato corretto. Se x x avessimo sbagliato a calcolare il ite ed avessimo ottenuto rifacendo il grafico avremmo: x 8 x x = 10

5 10ε 10 10ε 3-δ 3 3δ Otterremmo allora un intorno non di, ma di 3 che non è il punto a cui abbiamo fatto tendere il ite. Definiamo adesso il tutto rigorosamente. Sia f : A R con A R. Sia x0un punto di accumulazione di A. Dire che significa che ε > = L x x δ ε > 0 : x x0 con x x < δ ε L < ε (traduzione: comunque si fissi un numero ε positivo piccolo a piacere, deve esistere in corrispondenza un numero positivo denominato δ dipendente dalla scelta fatta per ε, tale che qualsiasi valore x assegniamo alla funzione, non considerando il valore x 0, scegliendolo nell intorno ] 0 δ ε ; x0 δ ε [ compresi tra ] L ε ; L ε[. x, la funzione assumerà valori sempre

6 Limite destro e ite sinistro Consideriamo la seguente funzione: 1 y = x 1 il suo dominio è D = { x R : x > 1}, cioè sono buoni tutti i numeri maggiori di 1, 1 escluso. Non è possibile considerare un ite sinistro, perchè tutti i numeri più piccoli di 1 sono stati esclusi. È lecito solo considerare il ite destro. In maniera rigorosa si ha: x x0 = L ] x ; x δ [ f ( x L ε ε > δ ε > 0 : x x con x ) < x x0 = L ] x δ ; x [ f ( x L ε ε > δ ε > 0 : x x con x ) < La differenza sostanziale sta nel fatto che invece di considerare intorni completi di x 0 si utilizza soltanto, nel primo caso, un intorno destro, nel secondo un intorno sinistro. Altri iti Spesso, calcolando un ite, facendo tendere x ad un valore finito, si ottiene un risultato infinito, cioè: Ad esempio, per la funzione ite, calcolato nel punto x 0 =4 è = x x 1 = x 4 ( x 4 ) In generale, allora, diremo che = significa 0 1 = ( x 4), definita in D = { x R : x 4} x x M > δ > 0 : x x con x x < > M δ il seguente grafico permetterà di chiarire tutto. 0, il

7 M 4-δ 4 4δ Scegliamo M = 6. In corrispondenza troveremo un intorno di 4. Qualsiasi valore scegliamo in tale intorno, il valore della funzione sarà sempre maggiore di M, e ciò comunque scegliamo M.

8 Se accade che significa che = x x M > δ > 0 : x x con x x < < M δ 0 x 0 -δ x 0 x 0 δ -M È evidente che anche in questi casi si può tendere ad x 0 sia da destra che da sinistra ottenendo i seguenti risultati possibili: x x0 = ; = ; = ; = x x0 x x0 x x0 Asintoti Come si vede dai precedenti grafici, nel caso in cui facendo un ite del tipo x x 0 =, la funzione tende ad assumere valori che, a seconda dei casi, diventano infinitamente grandi o infinitamente piccoli man mano che ci avviciniamo

9 ad x 0. Il comportamento della unzione è palesemente un comportamento asintotico, per cui la retta x = x0 sarà detta asintoto verticale. Quando si studia il grafico di una funzione, è importante chiedersi cosa accadrà ai valori della funzione quando si assegnano valori delle x molto grandi o molto piccoli. Ciò può essere facilmente dedotto utilizzando il concetto di ite. Vediamo i diversi casi possibili. = L ε > 0 M > 0 : x > M L < ε Ciò significa che man mano che assegniamo ad x valori sempre più grandi, la funzione tende ad assumere un valore ben preciso, L, appunto. Similmente, = L, significa ε > 0 M > 0 : x < M L < ε L L Allora la retta y = L sarà detta asintoto orizzontale

10 L ultima tipologia di ite è la seguente: = M > 0 N > 0 : x > N > M in questo caso al tendere di x a più infinito, la funzione assume valori infinitamente grandi. Le possibilità sono le seguenti: = ; = ; = Asintoti obliqui Abbiamo visto come, a volte, una funzione possa avere un comportamento asintotico, rispetto ad una retta verticale o orizzontale. È lecito a questo punto chiedersi se è possibile che una funzione ammetta un asintoto obliquo, cioè abbia un comportamento asintotico nei confronti di una retta obliqua. Una retta y = mx q ( m 0) si dice asintoto obliquo per il grafico della funzione y = f (x), se e solo se [ ( mx q) ] 0 = questa espressione si interpreta osservando che la distanza PQ = ( mx q) P Q H

11 (3) tra un punto sul grafico della funzione ed il punto di uguale ascissa sulla retta tende a zero per x. Nel triangolo PQH, dove PH < PQ, essendo PQ = 0 sarà, a maggior ragione, PH = 0 : la distanza dall asintoto di un punto della curva tende a zero al tendere all infinito dell ascissa del punto. Quindi l asintoto obliquo è la posizione ite della retta tangente al grafico della funzione al tendere all infinito dell ascissa x del punto di contatto. Tale punto sarà un punto all infinito. Vediamo adesso come ricercare il coefficiente angolare e l ordinata all origine dell asintoto obliquo. Dalla definizione stessa si ricava che condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché vi sia un asintoto obliquo è che: = cioè che la funzione abbia dei rami che si stendono all infinito. È evidente che perché ciò sia possibile il dominio deve anche essere infinito, almeno da una parte. Supponiamo che la retta y = mx q ( m 0) sia asintoto obliquo per la funzione, cioè [ mx q] 0 = da qui si ha a maggior ragione che mx q = 0 x cioè q m = 0 x x q da cui, essendo m = m e = 0, si ha: x m = 0 x tale relazione ci permette di calcolare il coefficiente angolare: (1) m = () x

12 Riscriviamo adesso la (1) nel seguente modo: [( mx) q] 0 = da cui si ricava q = [ mx] Viceversa, se entrambi i iti () e (3) esistono e sono finiti, allora la retta y = mx q ( m 0) è asintoto obliquo. Proprietà: 1) se la funzione ha un dominio itato non ci sono asintoti obliqui ) se la funzione è periodica non ci sono asintoti obliqui 3) se la funzione è razionale fratta essa avrà asintoto obliquo se il numeratore è di un grado superiore del denominatore. 4) Se la retta y = mx q ( m 0) è asintoto obliquo per la funzione solo per x (oppure x ) si parla di asintoto obliquo sinistro (oppure destro).