Secondo appello 2004/ Tema 1

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1 Secondo appello 2/25 - Tema Esercizio Risolvere l equazione di variabile complessa z 2 (z z)2 + (Re z) [ Im (z 2 ) ] =, () e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss. Poniamo z = + i. Si ottiene che deve valere i (2i)2 + Im ( i) =, da cui i =. Allora il problema si riconduce a risolvere il sistema nelle incognite, R { 2 (2 + ) = =, (2) che ha come soluzioni i punti della retta =, cioé l asse immaginario. Quindi le soluzioni di () sono tutti e soli i numeri complessi del tipo z = i, con R (vedi figura ). Esercizio 2 Sia ( ) f() := arctan e +. i) Determinare il dominio D di f, il segno di f ed il comportamento agli estremi di D (compresi eventuali asintoti). ii) Dire in quali parti di D la funzione è continua e dove è derivabile. Calcolare, per tali punti, f. iii) Determinare la monotonia di f ed invididuare eventuali massimi e minimi, specificando se si tratta di estremi relativi (locali) o assoluti (globali). iv) Con le informazioni raccolte tracciare un grafico di f. v) Facoltativo: dire, al variare di α R, quante soluzioni ha l equazione Giustificare rigorosamente la risposta. f() = α.

2 PSfrag replacements Figura : Esercizio Dominio: Deve essere + e dunque D = R \ { }. La funzione è di classe C in D perché composizione di funzioni di classe C. Segno: Poiché arctan se e solo se e e + > per ogni D, segue che f() se e solo se e f() = solo per =. Limiti ed eventuali asintoti: Essendo arctan < π/2, segue che f() < π/2 per ogni D e quindi f non ha asintoti verticali. Poiché lim e t=/(+) + = lim t si ha che Inoltre da cui si ricava t e t =, t lim f() =, lim e =/(+) + = lim + + lim f() = π + 2. lim e + = +, lim e + =, + lim f() = π + 2, lim f() = π 2, e =, e quindi la retta di equazione = π/2 è asintoto orizzontale a +, mentre la retta di equazione = π/2 è asintoto orizzontale a. È inutile ricercare eventuali asintoti obliqui. 2

3 Derivata prima: Per D si ha e quindi risulta f () = + 2 e 2 + ( e + ) = ( + ) 2 e e 2 + f () > >, ( + ) 2. che è verificata per ogni D. Quindi f è strettamente crescente in ], [ e ], + [. La funzione non ha punti di estremo relativo o assoluto. Si ha inoltre lim f () = lim f () =, + che sono utili per disegnare un abbozzo del grafico (vedi figura 2). = π/2 PSfrag replacements = π/2 Figura 2: Esercizio 2 Veniamo all ultimo punto. Essendo f() < π/2, l equazione f() = α non ha soluzioni per α π/2. Se π/2 < α <, il teorema dei valori intermedi ci dice che l equazione f() = α ha due soluzioni:. una appartiene all intervallo ], [. Infatti inf ], [ f() = π 2, sup f() =, ], [ e quindi f() = α ha almeno una soluzione essendo f continua. In più tale soluzione è unica, essendo f strettamente crescente e dunque iniettiva in ], [.

4 2. una seconda soluzione appartiene all intervallo ], [, per ragioni identiche a quelle menzionate sopra. Poiché f() per, l equazione non ha soluzioni nell intervallo [, + [ qualora α. Se α < π/2, l equazione ha esattamente una soluzione appartenente all intervallo [, + [. Infatti, non può avere soluzioni in ], [ essendo in tale intervallo f negativa. Inoltre, in [, + [ la funzione è continua e quindi per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori compresi fra il suo minimo, che è, e il suo estremo superiore, che è π/2. Qundi f() = α ha una soluzione. Tale soluzione è unica essendo f strettamente crescente e dunque iniettiva in [, + [. Esercizio Risolvere il seguente problema di Cauch: { = ( ) arctan, Poiché () =. ( ) = 9, = possiamo procedere per separazione di variabili. Si ottiene Calcoliamo i due integrali. () () Quindi deve essere () () d = () d = ( ) = 9 = arctan () = arctan t dt = t arctan t da cui si ottiene arctan t dt. () t + t 2 dt [ ( )/ ] 2 + arctan () = arctan 2 log ( + t 2) = arctan 2 log ( + 2). () arctan = arctan 2 log ( + 2), [ ( () = + tan arctan 2 log ( + 2))].,

5 Esercizio Calcolare il valore del seguente limite Poiché si ha lim sin( 2 ) sinh( 2 ) 2 [log( + 2 ) (cos(2 2 ) )]. sin 2 = 2! 6 + o( 8 ), sinh 2 = 2 +! 6 + o( 8 ), log( + 2 ) = 2 + o( ), cos(2 2 ) = 2 (22 ) 2 + o( ), sin 2 sinh 2 = 6 + o( 8 ), log( + 2 ) ( cos(2 2 ) ) = + o( ). Si ottiene lim sin( 2 ) sinh( 2 ) 2 [log( + 2 ) (cos(2 2 ) )] = lim 6 + o( 8 ) P.d.S. = 6 + o( 6 ) 2. 5