UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi.. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione con base e,..., e } e siano v = e + e, v = e + e, v = e + e, v = e + e + e. Sia k R tale che k 0 e sia b k : V V R la forma bilineare simmetrica tale che b k (v i, v i ) =, i, b k (v, v ) = b k (v, v ) = k e v, v = v, v. (a) Determinare la forma canonica di Sylvester di b k. (b) Determinare una matrice M SO() che diagonalizza b k. (c) Determinare i valori di k per i quali b k ha segnatura (, ). (d) Per i valori di k per i quali b k definisce un prodotto scalare su V, calcolare v v. SOLUZIONE: (a) Osserviamo intanto che e = v, v, v, v } è una base di V in quanto = Per ipotesi si ha b(v i, v j ) = 0 se i =,, j =, quindi k 0 0 k 0 0 M e (b k ) = 0 0 k 0 0 k e il polinomio caratteristico è T k 0 0 k T 0 0 = [( T ) k ] 0 0 T k 0 0 k T

2 e quindi gli autovalori sono λ = k, λ = + k, entrambi con molteplicità algebrica. Come sappiamo M e (b k ) è diagonalizzabile e sulla diagonale ci andranno gli autovalori. Osservando che λ > 0 per ogni k, si ha che λ 0 se e solo se k e quindi la forma canonica di Sylvester di b k sarà I se < k < ; se k = ± e se k < o k > In particolare b k definisce un prodotto scalare su V se e solo se < k <. (c) Ne segue inoltre che la segnatura di b k è (, ) se e solo se k < o k >. (b) Sia λ uno degli autovalori e consideriamo il sistema λ k 0 0 k λ λ k 0 0 k λ ovvero ( λ)x + ky = 0 kx + ( λ)y = 0 ( λ)z + kw = 0 kz + ( λ)w = 0 x y z w = 0 che ha le soluzioni y = λ k x, w = λ k z e pertanto una base ortonormale di autovettori sarà f = f, f, f, f } dove f = (k, k, 0, 0), f = (0, 0, k, k ), f = (k, k, 0, 0), f = (0, 0, k, k ) e quindi ovvero M = M = se k > 0, k 0 k 0 k 0 k 0 0 k 0 k 0 k 0 k se k < 0. (d) Sia < k <. Scegliamo un qualsiasi sottospazio di dimensione contenente v e v e dotiamolo del prodotto scalare indotto da b k. Allora, come è noto, v v = v v v, v = b k (v, v )b k (v, v ) b k (v, v ) = k.

3 . Nello spazio euclideo reale E consideriamo la retta r e il piano p di equazioni X = t + r : Y = t, t R, p : X + Y + Z =. Z = t (a) Determinare le equazioni di tutti i piani p in E tali che la distanza di p da r è. (b) Determinare le equazioni di tutte le rette s in E tali che l angolo tra s ed r e l angolo tra s e p è π 6. (c) Considerato E IP R siano r la chiusura proiettiva di r e p la chiusura proiettiva di p. Determinare le equazioni di tutti i piani p di IP R tali che r e p p sono incidenti. SOLUZIONE: Osserviamo che il vettore di direzione di r è v r = (,, ). (a) Sia p il piano di equazione AX + BY + CZ + D = 0 e assumiamo, senza perdita di generalità, A + B + C =. Per definizione p deve essere parallelo ad r e quindi A + B C = 0, ovvero C = A + B. Preso un qualsiasi punto P r si ha allora che d(p, r) = d(p, p ). Sia P = (,, 0). Ne segue che = d(p, p ) = A B + D e quindi A B + D = ±, ovvero D = A + B ±. Imponendo le tre condizioni si trova che A + B + AB = e pertanto i piani p sono tutti e soli quelli di equazione AX + BY + (A + B)Z A + B ± = 0 con A + B + AB =. (b) Sia v s = (l, m, n) un versore di direzione di s. Dunque l + m + n =. Si ha = cos(π 6 ) = < v r, v s > = l + m n v r v s e Dalle tre relazioni deduciamo che (l, m, n) = ( 8 = sen(π 6 ) = < v s, (,, ) > v s (,, ) = l + m + n. ( + ± 6 ), ( ± 6 ), 8 ) e le possibili equazioni di s sono ) x = 8( + ± 6 t + a ) s : y = 8( ± 6 t + b, t R, per ogni a, b, c R. z = t + c

4 (c) Le equazioni di r e p sono r : X X X 0 = 0 X + X + X 0 = 0, p : X + X + X X 0 = 0. Osserviamo che r p è un punto: infatti il sistema X X X 0 = 0 X + X + X 0 = 0 X + X + X X 0 = 0 ha, come si verifica facilmente, le soluzioni X 0 = t, X = t, X = 0, X = t e pertanto r p è il punto P = [,, 0, ]. Ora un piano p è tale che r e p p sono incidenti se e solo se r (p p) ovvero se e solo se P p. Quindi tutti e soli i piani p di IP R tali che r e p p sono incidenti sono quelli di equazioni A 0 X 0 + A X + A X + A X = 0 con A 0 + A A = 0 ovvero i piani A 0 X 0 + A X + A X + (A 0 + A )X = 0 per ogni A 0, A, A R.. Siano k, h R e siano C k, la conica (affine o euclidea) di equazione (k + )X + (k + )Y + kxy + X = e D h la conica (affine o euclidea) di equazione hx Y X = 0. (a) Determinare per quali k, h si ha che C k e D h sono iperboli o parabole. (b) Determinare un isometria che trasforma C k nella sua equazione canonica euclidea. (c) Determinare i valori k e di h per cui C k e D h sono affinemente equivalenti (nel caso affine) o congruenti (nel caso euclideo). (a) La matrice A 0 di C k è A 0 = SOLUZIONE: ( k + k ) k k + e si ha det A 0 = k + 0 se e solo se k. Quindi C k è iperbole o parabola se e solo se k.

5 La matrice B 0 di D h è B 0 = ( h 0 ) 0 e si ha det B 0 = h 0 se e solo se h 0. Quindi D h è iperbole o parabola se e solo se h 0. (b) Diagonalizziamo A 0. Si ha P A0 (T ) = k + T k k k + T = (k + T ) k quindi gli autovalori di A 0 sono e k + e si vede subito che una base ortonormale di autovettori è Se k = 0 con l isometria si ottiene (, 0), (0, )} se k = 0, (, ), (, )} se k 0. X = X + Y = Y X + Y = (C0). Supponiamo ora k 0. La prima isometria sarà X = (X + Y ) e l equazione di C k diventa Y = ( X + Y ) ( ) X + (k + )Y + X + Y = 0. (caso ): k = applicando a ( ) l isometria si ottiene da cui, scambiando X ed Y X = X Y = Y X + Y = 0 Y + X = 0 5

6 e applicando l isometria si ha X = X + Y = Y Y X = 0 (C). (caso ): k applicando a ( ) l isometria X = X Y = Y (k+) si trova ( ) X + (k + )Y k + = 0. (caso ): k = si ha che + k+ = 0 e quindi l equazione diventa X Y = 0 ovvero, scambiando X e Y (caso ): k, da ( ) si ottiene da cui: X + k+ Y = 0 (C). X + k + + k+ Y = (caso 5): < k < l equazione canonica euclidea di C k è, scambiando X e Y, k + + k+ X Y = (C); k+ (caso 6): k > l equazione canonica euclidea di C k è + k+ X + k + + k+ 6 Y = (C)

7 se k 0 mentre è se < k < 0. k + + k+ X + + k+ Y = (C ) (caso 7): k < l equazione canonica euclidea di C k è + k+ X k Y = (C5). + k+ (c) Determiniamo l equazione canonica euclidea di D h. Se h = 0 si ha, con l isometria X = X, Y = Y, Y X = 0 (D). Se h 0 applicando l isometria X = X + h Y = Y si trova hx Y h = 0 ovvero h X hy = e quindi l equazione canonica euclidea di D h è h X hy = (D) se h > 0 mentre è se h < 0 ed è h X + ( h)y = ( h)x + h Y = (D) (D) se h <. In base alle equazioni ottenute si vede subito che sono affinemente equivalenti: (D) e (C); (D), (C) e (C5); (D), (D), (C0), (C) e (C ). Per la congruenza restano alcuni dei casi precedenti: - (D) e (C) non sono congruenti; 7

8 - (D) e (C) sono congruenti se e solo se che si vede essere impossibile; h = k + + k+ - (D) e (C5) sono congruenti se e solo se, h = k+ h = + k+, h = k + k+ se e solo se k = +, h = + 5+ ; - (D) e (C0) non sono congruenti; - (D) e (C) sono congruenti se e solo se h = + k+, h = k + + k+ se e solo se k = +, h = + 5+ ; - (D) e (C ) sono congruenti se e solo se che si vede essere impossibile; - (D) e (C0) non sono congruenti; h = k, h = + k+ - (D) e (C) sono congruenti se e solo se k+ h = + k+, h = k + + k+ che si vede essere impossibile; - (D) e (C ) sono congruenti se e solo se che si vede essere impossibile. h = k, h = + k+ k+ 8