UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI.

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a Prova scritta del --09 TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi.. Sia k R tale che k > 0, k 4 e sia b k : R 3 R 3 R la forma bilineare simmetrica avente come matrice associata 0 k A k = 0 k 0 k 0 rispetto alla base canonica {E, E, E 3 } di R 3. (a) Determinare la forma canonica di Sylvester di b k. (b) Determinare una matrice M SO(3) che diagonalizza b k. (c) Determinare i valori di k per i quali b k definisce un prodotto scalare su R 3. (d) Per i valori di k trovati in (c) calcolare l angolo tra E ed E e il prodotto vettoriale E E. (b) Il polinomio caratteristico di A k è SOLUZIONE: P Ak (T ) = T 0 k 0 k T 0 k 0 T = ( T ) (k T ) k (k T ) = (k T )(T T + 4 k ) e quindi gli autovalori di A k sono λ = k, λ = k, λ 3 = + k. Dato che k > 0, k 4 i tre autovalori sono distinti quindi per diagonalizzare A k basterà trovare tre autovettori corrispondenti. Sia λ uno degli autovalori e consideriamo il sistema ovvero λ 0 k 0 k λ 0 k 0 λ x y z ( λ)x + kz = 0 (k λ)y = 0. kx + ( λ)z = 0 = 0

2 Se λ = k si vede subito che una soluzione è (0,, 0). Se λ = ± k si deduce subito che y = 0 e che z = ±x da cui le altre soluzioni sono (, 0, ±). Dunque una base ortonormale di autovettori sarà e = {e, e, e 3 } dove e = (0,, 0) = E, e = (, 0, ), e 3 = (, 0, )} e quindi 0 M = (a) La matrice A k diagonalizzata sarà k k k Notiamo che k > 0 e + k > 0 mentre k 0 se e solo se k. Pertanto la forma canonica di Sylvester di b k sarà se k < ; se k = e se k > (c) Per quanto sopra si deduce che b k definisce un prodotto scalare su R 3 se e solo se 0 < k <, k 4. (d) Supponiamo ora 0 < k <, k 4. Per calcolare l angolo tra E ed E e il prodotto vettoriale E E conviene mettersi nella nuova base e. Ora E ha coordinate (, 0, 0) nella base e mentre si vede subito che le coordinate di E nella base e sono (0,, ). Ma allora b k (E, E ) = (, 0, 0) (0,, ) = 0 e quindi l angolo tra E ed E è π. Invece E E ha coordinate, nella base e, i minori a segni alterni della matrice ( ) da cui deduciamo che E E = e e 3 = (0, 0, ) = E 3.. Nello spazio euclideo reale E 3 consideriamo le rette di equazioni r : { { Y Z + = 0 Y Z = 0 Z Y + = 0, s k : Y + kz + = 0.

3 (a) Determinare la distanza di r da s k. (b) Esiste un punto P s 0 tale che la distanza di P da r è? (c) Considerato E 3 IP 3 R determinare le equazioni della chiusura proiettiva r di r e s k di s k e verificare se r ed s k sono incidenti o sghembe. SOLUZIONE: (a) Un vettore di direzione di r è, risolvendo il sistema omogeneo, v r = (, 0, 0) mentre un punto di r è, risolvendo il sistema, P r = (0,, 3). Osserviamo intanto che affinchè s k sia una retta deve essere k. Un vettore di direzione di s k è, risolvendo il sistema omogeneo, v sk = (, 0, 0), mentre un punto di s k è, risolvendo il sistema, P sk = (0, +k, +k ). Essendo r e s k sono parallele si ha che d(r, s k ) = d(p r, s k ) = ( 4+3k +k ) + ( 3+k +k ) 3k + 36k + 5 = k (b) Dato che le retta sono parallele si ha, per ogni P s 0, che d(p, r) = d(r, s 0 ) = 5 e quindi non esiste un punto P s 0 tale che la distanza di P da r è. (c) Sostituendo X = X X 0, Y = X X 0, Z = X 3 X 0 r : ed omogenizzando si ha che { { X X 3 + X 0 = 0 X 3 X + X 0 = 0, s X X k : 3 = 0 X + kx 3 + X 0 = 0 ed intersecando otteniamo X X 3 + X 0 = 0 X r s k : 3 X + X 0 = 0 X X 3 = 0 X + kx 3 + X 0 = 0 ovvero che il punto di intersezione è [0,, 0, 0]. Quindi r ed s k sono incidenti. 3. Siano k, h R e siano C k, la conica (affine o euclidea) di equazione X + k(y + Y + ) + X(Y + ) = e D h la conica (affine o euclidea) di equazione X + hy =. 3

4 (a) Determinare per quali k, h si ha che C k e D h sono non degeneri, semplicemente degeneri o doppiamente degeneri e sono (o no) a centro. (b) Determinare un isometria che trasforma C k nella sua equazione canonica euclidea. (c) Determinare, se esistono, i valori di k e di h per cui C k e D h sono affinemente equivalenti ma non congruenti. SOLUZIONE: Osserviamo preliminarmente che l equazione di C k si scrive anche come X + k(y + ) + X(Y + ) = e quindi, con il cambio di coordinate (che è un isometria) { X ( ) = X Y = Y + diventa (X ) + k(y ) + X Y = ovvero, ritornando a (X, Y ), C k è congruente a C k : X + ky + XY =. Sarà ora sufficiente studiare C k. (a) La matrice di C k è A = k e si ha det A = 4 k = 0 se e solo se k = 4 e r(a) = { 3 se k 4 se k = 4 e pertanto C k è non degenere se k 4, semplicemente degenere se k = 4. Invece A 0 = ( ) k e si ha det A 0 = k 4 = 0 se e solo se k = 4 e pertanto C k è a centro se e solo se k 4. 4

5 La matrice di D h è B = h e si ha det B = h = 0 se e solo se h = 0 e r(b) = { 3 se h 0 se h = 0 da cui D h è non degenere se h 0, semplicemente degenere se h = 0. Inoltre B 0 = ( ) 0 0 h e si ha det B 0 = h e pertanto D h è a centro se e solo se h 0. (b) Diagonalizziamo A 0. Si ha P A0 (T ) = T k T = T (k + )T + k 4 quindi, osservando che k k + > 0 per ogni k, gli autovalori di A 0 sono λ = + k k k + e λ = + k + k k +. Sia λ uno degli autovalori e consideriamo il sistema ( ) ( ) λ x = 0 k λ y ovvero { ( λ)x + y = 0. x + (k λ)y = 0 Dato che la matrice dei coefficienti ha necessariamente rango (essendo λ uno degli autovalori), basta scegliere un equazione, per esempio ( λ)x+ y = 0. Ne deduciamo che due autovettori indipendenti saranno (, λ ) e (, λ ) e quindi una base ortonormale di autovettori sarà { 8λ + 5 (, λ ), 8λ + 5 (, λ )} 5

6 e quindi l isometria cercata è data dalla composizione di ( ) con l isometria definita dalla matrice M = 8λ +5 λ 8λ +5 8λ +5 λ 8λ +5. (c) Diagonalizzando C k si ottiene λ X + λ Y = 0. Ora osserviamo che λ > 0 per ogni k mentre λ 0 se e solo se k 4, da cui l equazione canonica affine di C k è: X Y = 0 se k < 4 ; Y = 0 se k = 4 ; X + Y = 0 se k > 4. Invece l equazione canonica affine di D h è: X Y = 0 se h < 0; Y + = 0 se h = 0; X + Y + = 0 se h > 0. Affinchè C k e D h siano affinemente equivalenti dovrà essere quindi k < 4 e h < 0. Per tali valori l equazione canonica euclidea di C k è, scambiando X e Y, mentre quella di D h è, scambiando X e Y, Quindi C k e D h sono congruenti se e solo se λ X ( λ )Y = 0 ( h)x Y = 0. λ = h e λ = ovvero se e solo se k = 7 8 e 8h 5h 9 = 0 e pertanto C k e D h sono affinemente equivalenti ma non congruenti se e solo se k < 4, h < 0 e k 7 8 o h 5 ±