Esempi. In R 2, le coppia (2, 5) è combinazione lineare dei vettori (0, 1) e (1, 1). Infatti:

Transcript

1 Combinazioni lineari [Abate, 4.2] Sia V uno spazio vettoriale e v 1, v 2,..., v n dei vettori di V. Diremo che un vettore w V è combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n se esistono a 1, a 2,..., a n R tali che: w = a 1 v 1 + a 2 v a n v n. Esempi Lezioni 11 e 12 In R 2, le coppia (2, 5) è combinazione lineare dei vettori (0, 1) e (1, 1). Infatti: (2, 5) = 3(0, 1) + 2(1, 1). Lo stesso vettore (2, 5) è anche combinazione lineare di (1, 1) e (1, 2). Infatti: (2, 5) = 3(1, 1) (1, 2). ( Esercizi: C. Carrara, 5 ) Il vettore w = (2, 5), non è combinazione lineare dei vettori v 1 = (3, 0) e v 2 = (5, 0). Infatti, a 1, a 2 R: a 1 v 1 + a 2 v 2 = (3a 1 + 5a 2, 0) w. (La seconda componente è nulla.) 1 / 23 Esempi Siano A, B, C R 2,3 le matrici: A = B = C = Sia I = { v 1, v 2,..., v n } un insieme di vettori di V. L insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori di I verrà indicato con il simbolo L(v 1,..., v n ) oppure L(I). Quindi: L(I) = L(v 1,..., v n ) := { w V : w = a 1 v a n v n, con a 1,..., a n R }. Allora A è combinazione lineare di B e C, infatti: A = 3 B 1 C. 2 2 Siano P 1 (x), P 2 (x), P 3 (x) R[x] i polinomi: P 1 (x) = x P 2 (x) = x 2 + 2x + 1 P 3 (x) = x 2 + 3x + 1 Allora P 1 è combinazione lineare di P 2 e P 3, infatti: P 1 (x) = 3P 2 (x) 2P 3 (x). Dire se il vettore w = (1, 2, 3) di R 3 è combinazione lineare dei vettori v 1 = (1, 1, 1) v 2 = (3, 2, 1) (= Dire se w L(v 1, v 2 ). = Dire se esistono a 1, a 2 R tali che w = a 1 v 1 + a 2 v 2. ) Nella figura a fianco, il vettore D A è combinazione lineare di B A e C D: D A = 2(B A) + (C D) B A B A B A C D A D C D Dire se 1 (3, 2) L ( (0, 0), (2, 2) ) 2 (3, 2) L ( (1, 1), (2, 2) ) 3 (0, 0) L ( (1, 1), (2, 2) ) 4 (3, 2) L ( (1, 1), (2, 2) ) 2 / 23 3 / 23

2 Esempi Ogni vettore (x, y) R 2, si può scrivere nella forma Da cui: L ( (1, 0), (0, 1) ) = R 2. (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) Ogni vettore (x, y) R 2, si può scrivere nella forma (x, y) = x + y 2 Da cui: L ( (1, 1), (1, 1) ) = R 2. In M 2 (R) si considerino le matrici (1, 1) + x y 2 (1, 1) E 11 :=, E 12 :=, E 21 :=, E 22 := Proposizione Sia I = { v 1, v 2,..., v n } V. L insieme L(I) è un sottospazio di V. Dimostrazione. Usiamo il criterio c) di sottospazio. Siano: w = a 1 v 1 + a 2 v a n v n w = a 1v 1 + a 2v a nv n due vettori di L(I), e siano k, k R. Si ha: kw + k w = (ka 1 + k a 1)v 1 + (ka 2 + k a 2)v (ka n + k a n)v n. Quindi kw + k w L(I), essendo combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n, e questo conclude la dimostrazione. Nota: L(I) è detto spazio generato dai vettori v 1,..., v n, o anche spazio generato dall insieme I. I vettori v 1,..., v n si diranno generatori di L(I). Siano v 1 = (1, 0, 1) e v 2 = (2, 0, 0). Provare che L(v 1, v 2 ) R 3. Mostrare che L(E 11, E 12, E 21, E 22 ) = M 2 (R). 4 / 23 Soluzione. Qualunque combinazione lineare di v 1 e v 2 ha la seconda componente uguale a zero. Quindi, ad esempio, (0, 1, 0) R 3 non appartiene a L(v 1, v 2 ). 5 / 23 Sia V = R[x] e sia I = {1, x, x 2, x 3,..., x n } l insieme dei monomi di grado n in x. Allora: L(I) = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n : a 0, a 1,..., a n R } è l insieme di tutti i polinomi in x di grado n, L(I) R n [x]. Uno spazio vettoriale V si dice finitamente generato se ammette un numero finito di generatori, ossia se esistono v 1,..., v n V tali che L(v 1,..., v n ) = V. : R 2 e M 2 (R) sono finitamente generati (vedere esempio slide nr. 4). Teorema Lo spazio R[x] non è finitamente generato. Insiemi liberi e legati [Abate, 4.3] Osservazione: Aggiungendo ad un insieme I di vettori di V una qualsiasi loro combinazione lineare non si cambia lo spazio da essi generato: v L(I) L ( I { v } ) = L(I). E naturale cercare un insieme minimo di generatori. A questo scopo è introdotta la nozione di dipendenza/indipendenza lineare. Definizione Un insieme I = { v 1,..., v n } V si dice libero, ed i suoi vettori si dicono linearmente indipendenti, se a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 a 1 = a 2 =... = a n = 0, Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che esista un insieme finito di generatori I = {P 1 (x), P 2 (x)..., P n (x)}, e sia d il grado del polinomio di grado massimo. Allora x d+1 / L(I) ed L(I) è un sottoinsieme proprio di R[x], contraddicendo l ipotesi. ovvero se l unica loro combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella banale, con tutti i coefficienti uguali a zero. In caso contrario, l insieme I si dirà legato ed i sui vettori si diranno linearmente dipendenti. 6 / 23 7 / 23

3 In R 3, siano v 1 = (1, 4, 6), v 2 = (9, 1, 1), v 3 = (3, 2, 4). Riassunto Lezione 11 Dato un insieme di vettori I = { v 1, v 2,..., v n } di uno spazio vettoriale V: L insieme I = { v 1, v 2, v 3 } è legato, infatti 3v 1 2v 2 + 5v 3 = 0 R 3. un vettore w V si dice combinazione lineare dei vettori dell insieme I se: In R 2,3, consideriamo matrici: A = , B = , C = l insieme I si dice legato se: a 1,..., a n R tali che a 1 v a n v n = w. L insieme I = {A, B, C} è legato, in quanto: 2A 3B + C = 0 R 2,3. a 1,..., a n R non tutti nulli tali che a 1 v a n v n = 0. In R[x], consideriamo i polinomi: Un insieme di vettori che non è legato si dice libero. P 1 (x) = x 3 + 7x 2 + 9x + 3, P 2 (x) = 4x 3 + x 2, P 3 (x) = 6x 3 2x 2 x 4. L insieme I = {P 1 (x), P 2 (x), P 3 (x)} è legato, in quanto: 2P 1 (x) 11P 2 (x) + 7P 3 (x) = 0. Sinonimi: insieme legato vettori linearmente dipendenti insieme libero vettori linearmente indipendenti 8 / 23 9 / 23 Osservazioni se 0 I, allora I è legato (infatti a v 1 + 0v v n = 0 anche se a 1 0); se I è libero e I I, allora I è libero; se I è legato e I I, allora I è legato. Iniziamo a studiare i casi più semplici. Sia I = { v 1 } un insieme formato da un solo vettore v 1 V. Se v 1 = 0 l insieme è legato. Se v 1 0, per la legge di annullamento del prodotto a 1 v 1 = 0 implica a 1 = 0, quindi I è libero. I = { v 1 } è legato se e solo se v 1 = 0. Proposizione Sia n 2. Un insieme I = { v 1,..., v n } è libero se e solo se nessun suo elemento si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti vettori di I. Dimostrazione. Se I è legato, allora esistono a 1,..., a n R non tutti nulli tali che a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. Da questo ricaviamo, se a 1 0: v 1 = 1 ( ) a2 v a a n v n. 1 Più in generale se a i 0, v i si può scrivere come combinazione dei rimanenti vettori di I. Siccome almeno un coefficiente è non nullo per ipotesi, questo prova. Definizione/Osservazione. Due vettori v, w V si dicono proporzionali se esiste k R tale che v = kw oppure w = kv. Il vettore nullo è proporzionale ad ogni altro vettore (0 = 0v v V). Sia I = { v 1, v 2 } un insieme di due vettori di V. Allora: I = { v 1, v 2 } è legato i due vettori v 1 e v 2 sono proporzionali. Questo è un caso particolare della proposizione seguente / 23 Viceversa, immaginiamo per ipotesi che un vettore di I si possa scrivere come combinazione lineare dei rimanenti, sia esso ad esempio v 1 : v 1 = b 2 v 2 + b 3 v b n v n, con b 2,..., b n R. Allora posto a 1 = 1 e a i = b i i 2, si ha a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. Poichè almeno un coefficiente è non nullo (a 1 = 1), l insieme I è legato. 11 / 23

4 Dire se i seguenti vettori di R 3 sono linearmente indipendenti: v 1 = (1, 5, 2) v 2 = (3, 5, 4) v 3 = (6, 0, 3) In caso negativo, esprimere uno di essi come combinazione lineare degli altri due. Studiare la dipendenza/indipendenza lineare dei seguenti vettori di R 2 : v 1 = (2, 1), v 2 = (1, 1), v 3 = (4, 2). Se risultano linearmente dipendenti esprimere, quando è possibile, v 1 come combinazione lineare di v 2 e v 3 ; v 2 come combinazione lineare di v 1 e v 3 ; v 3 come combinazione lineare di v 1 e v 2. Teorema I = { v 1,..., v n } è libero v 1 0 e, 2 i n, si ha v i / L(v 1, v 2,..., v i 1 ). Dimostrazione. segue dalla proposizione precedente. Dimostriamo. Per assurdo, immaginiamo si possano scegliere a 1,..., a n non tutti nulli tali che a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. Se a n 0, possiamo scrivere v n come combinazione lineare dei primi n 1 vettori, contraddicendo l ipotesi. Deve essere quindi a n = 0, e da ( ) si ricava a 1 v 1 + a 2 v a n 1 v n 1 = 0. Ripetendo lo stesso ragionamento, siccome v n 1 non può essere combinazione lineare primi n 2 vettori, deve essere necessariamente a n 1 = 0, e: a 1 v 1 + a 2 v a n 2 v n 2 = 0. Iterando il ragionamento, si dimostra che a 2 = a 3 =... = a n = 0 e che a 1 v 1 = 0. Siccome per ipotesi v 1 0, per la legge di annullamento del prodotto anche a 1 = 0. L insieme I è quindi libero. ( ) 12 / / 23 Basi e componenti Definizione Una base B = (v 1,..., v n ) di V è un insieme libero e ordinato di generatori. Per ogni 1 i n, sia i 1 volte n i volte {}}{{}}{ e i = ( 0,..., 0, 1, 0,..., 0 ) la n-upla con i-esima componente uguale a 1 e tutte le altre uguali a zero. Per ogni v = (a 1,..., a n ) R n vale l identità v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n. ( ) Questo prova che i vettori e i sono generatori di R n. Inoltre la combinazione lineare ( ) è nulla solo se a 1 = a 2 =... = a n = 0, quindi i vettori formano una base B = (e 1, e 2,..., e n ) detta base canonica di R n. 14 / 23 Osservazione: lo spazio V = {0} che ha come unico elemento il vettore nullo non possiede nessuna base (ogni sottoinsieme non vuoto di V è legato). Per ogni 1 i m e 1 j n, sia E ij R m,n la matrice che ha 1 in posizione (i, j) e tutti gli altri elementi uguali a zero. Per ogni matrice A = (a ij ) R m,n vale l identità A = i=1,...,m j=1,...,n a ij E ij. Questo prova che le matrici E ij sono generatori di R m,n. Inoltre la combinazione lineare ( ) è nulla solo se a ij = 0 per ogni i, j. Quindi le matrici E ij formano una base B = (E 11, E 12,..., E 1n, E 21, E 22,..., E 2n,..., E m1, E m2,..., E mn ) detta base canonica di R m,n. ( ) 15 / 23

5 L insieme è una base per lo spazio R n [x]. B = (1, x, x 2,..., x n ) Basi e sistemi di riferimento [Abate, 2.2] Si dice versore di una retta orientata r il vettore libero di modulo 1 avente la stessa direzione e lo stesso verso di r. Siano v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 0) e v 3 = (0, 1). L insieme (v 1, v 2, v 3 ) contiene la base canonica, quindi genera R 2. Non è però una base, in quanto v 1 = v 2 + v 3 ed i vettori non sono linearmente indipendenti. Abbiamo visto che i vettori v 1 = (1, 1) e v 2 = (1, 1) generano R 2. Siccome nessuno dei due è proporzionale all altro, l insieme B = ( ) v 1, v 2 è una base di R 2. Osservazione Per costruzione, se I = (v 1,..., v n ) è libero, allora è una base dello spazio L(I). Nel piano, scegliamo un sistema di riferimento e indichiamo con î e ĵ i versori degli assi, che rappresentiamo applicati nell origine. Ogni vettore libero P O si può scrivere nella forma y ĵ P P O = xî + yĵ dove (x, y) sono le coordinate di P. ĵ L insieme B = (î, ĵ) O î xî è libero (P O = 0 x = y = 0), quindi è una base di V 2. Nello spazio tridimensionale, i tre versori degli assi î, ĵ, ˆκ formano una base di V / / 23 Teorema (Caratterizzazione di una base) B = (v 1,..., v n ) è una base di V se e solo se ogni w V si può scrivere in un unico modo come combinazione lineare w = a 1 v 1 + a 2 v a n v n ( ) dei vettori di B. Definizione/Osservazione Il coefficiente a i in ( ) si dice componente i-esima di w nella base B. Fissata una base ogni vettore è univocamente determinato dalle sue componenti. Siano w = (w 1,..., w n ) R n, A = (a ij ) R m,n. Allora w i è la è la i-esima componente di w nella base canonica di R n, mentre a ij sono le componenti di A nella base canonica di R m,n. Se P O V 2 è un vettore libero, le sue componenti nella base B = (î, ĵ) sono le coordinate del punto P nel sistema di riferimento corrispondente. 18 / 23 Dimostrazione del Teorema. Sia B = (v 1,..., v n ) una base di V. Se w = a 1 v 1 + a 2 v a n v n = a 1v 1 + a 2v a nv n, allora (a 1 a 1)v 1 + (a 2 a 2)v (a n a n)v n = w w = 0. Per definizione di base, v 1,..., v n sono linearmente indipendenti, e quindi deve essere a 1 a 1 = a 2 a 2 =... = a n a n = 0. Se ne deduce che w si può scrivere in un unico modo come combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n. Supponiamo che ogni v V si possa scrivere in uno e un solo modo come combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n. Allora B genera V. Inoltre b 1 v 1 + b 2 v b n v n = 0 se e solo se b 1 = b 2 =... = b n = 0, altrimenti si avrebbero due modi differenti di scrivere 0 come combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n, contraddicendo l ipotesi di partenza. Se ne deduce che B è libero, e quindi una base. 19 / 23

6 In R 2, detti v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 1), determinare le componenti del vettore u = (2, 1) nella base B = (v 1, v 2 ). Soluzione. Per definizione le componenti a 1, a 2 R del vettore u nella base B si ottengono imponendo l uguaglianza u = a 1 v 1 + a 2 v 2 ovvero scrivendo i vettori in colonna [ 2 1 = a ] 1 + a 2 1 Si ottiene in questo modo un sistema di due equazioni nelle incognite a 1, a 2, { a1 + a 2 = 2 la cui soluzione è unica e data da a 1 a 2 = 1 a 1 = 3 2, a 2 = / 23 Lemma di Steinitz Sia A = { v 1, v 2,..., v n } un insieme di generatori di V e B = { w 1, w 2,..., w k } un insieme libero. Allora k n. Dimostrazione (per assurdo). Supponiamo k > n. Dato che A è un insieme di generatori di V, w 1 si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di A: w 1 = a 1 v 1 + a 2 v a n v n I coefficienti a i non possono essere tutti nulli, poichè B è libero e quindi w 1 0. Senza perdere generalità, supponiamo a 1 0. Allora v 1 = a 1 1 (w 1 a 2 v 2... a n v n ). Pertanto anche A 1 = {w 1, v 2,..., v n } è un insieme di generatori di V. Possiamo scrivere w 2 come combinazione lineare dei vettori di A 1 : w 2 = b 1 w 1 + b 2 v 2 + b 3 v b n v n ed i coefficienti b 2,..., b n non possono essere tutti zero, perché altrimenti w 2 sarebbe proporzionale ad w 1, contraddicendo l ipotesi che B è un insieme libero.... continua. 21 / 23 Lemma di Steinitz Sia A = { v 1, v 2,..., v n } un insieme di generatori di V e B = { w 1, w 2,..., w k } un insieme libero. Allora k n. Equipotenza delle basi Se B = (v 1, v 2,..., v n ) e B vettoriale V, allora k = n. = (w 1, w 2,..., w k ) sono due basi di uno stesso spazio Dimostrazione (2a parte). Senza perdere generalità, supponiamo b 2 0. Allora v 2 = b 1 2 (w 2 b 1 w 1 b 3 v 3... b n v n ). Pertanto anche A 2 = {w 1, w 2, v 3,..., v n } è un insieme di generatori di V. Con lo stesso ragionamento, dopo n passi, si arriva a sostituire v 3 con w 3, v 4 con w 4,..., v n con w n. Si dimostra in questo modo che i primi n vettori dell insieme libero B danno un insieme A n = { w 1, w 2,..., w n } di generatori di V. Se k > n, i restanti vettori w n+1,... w k si possono scrivere come combinazione lineare dei vettori di A n, contraddicendo l ipotesi che B è un insieme libero. Deve essere quindi k n. Dimostrazione. Per ipotesi, B ed B sono basi, ovvero insiemi liberi di generatori. Siccome B è libero e B genera V dal lemma di Steinitz segue che k n. Siccome B è libero e B genera V dal lemma di Steinitz segue che n k. Quindi k = n. Osservazione Tutte le basi di V hanno lo stesso numero di elementi; tale numero è detto dimensione di V ed indicato con dim(v). Per convenzione dim({0}) = 0. Teorema dim(r n ) = n dim(r m,n ) = m n dim(v 2 ) = 2 dim(v 3 ) = 3 Dimostrazione. Contare gli elementi delle basi canoniche (cf. slide 14, 15, 17). 22 / / 23