SUCCESSIONI NUMERICHE

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1 SUCCESSIONI NUMERICHE Una funzione reale di una variabile reale f di dominio A è una legge che ad ogni x A associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = N, la f è detta successione di numeri reali. Se con n si denota la variabile che descrive l insieme N, allora l immagine di n tramite la f, cioè f(n), si denota con a n e si usa la notazione (a n ) o a 1, a 2,..., a n,... per denotare la successione f. I numeri a 1, a 2,..., a n,... rappresentano i termini della successione, rispettivamente, primo, secondo,..., n-mo termine della succesione. Il termine a n è noto, anche, come termine generale della successione (da tale termine si ottengono tutti i termini della successione attribuendo ad n successivamente i valori 1,2,...). Il codominio della successione (a n ) si denota con {a n : n N} o semplicemente con {a n }. Una successione (a n ) è limitata, limitata superiormente, limitata inferiormente se tale è il suo codominio. E facile verificare che una successione (a n ) è limitata se e solo se esiste una costante M > 0 tale che a n M per ogni n N.

2 Una successione (a n ) è non decrescente se a n a n+1 per ogni n N e noncrescente se a n a n+1 per ogni n N. Le successioni nondecrescenti o noncrescenti sono dette monotone. In particolare sono monotone le successioni costanti, cioè tali che a n = a per ogni n N. Una successione (a n ) è crescente (rispettivamente decrescente) se a n < a n+1 (rispettivamente a n > a n+1 ) per ogni n N. Le successioni crescenti o decrescenti sono dette strettamente monotone. Ovviamente ogni successione strettamente monotona è monotona. Esempio 1. La successione n 1 n Infatti per ogni n N n 1 n essendo n 2 1 < n 2. < n n + 1 è crescente. Esempio 2. La successione (1/n) è decrescente. Infatti 1/n > 1/(n + 1) per ogni n N

3 Esempio 3. La successione di termine generale ( 1) n è limitata, dato che il suo codominio { 1, 1} è un insieme limitato. Siano (n k ) una successione crescente e (a n ) una successione. La successione (a nk ) è detta sotto successione della (a n ). In pratica la successione (a nk ) si ottiene dalla successione (a n ) prendendo solo i termini di posto n 1, n 2,..., n k,... (Si noti che i termini della sottosuccessione conservano lo stesso ordine che hanno nella successione data). Esempio 4. a nk = 1/2k. Se a n = 1/n e n k = 2k, allora Se una successione è limitata tale risulta ogni sua sottosuccessione, il viceversa in generale non sussiste. Definizione 1. Una successione (a n ) converge al numero reale a, se per ogni ε > 0, esiste n ε N tale che per ogni n N con n n ε risulta a n a < ε. Per indicare che la successione (a n ) converge ad a useremo una delle notazioni lim a n = a, a n a.

4 Osservazione 1. Per stabilire se una successione converge ad a occorre, fissato ε > 0, risolvere la disequazione a n a < ε. Se l insieme delle soluzioni di tale disequazione, per ogni ε > 0, contiene tutti i numeri naturali maggiori di un opportuno numero reale ν ε, allora la successione a n a, in caso contrario non corvenge ad a. Esempio 5. Lasuccessione ( n+1 n ) converge a 1. Fissato ε > 0, risulta n < ε 1 n n < ε n > 1 ε. Basta scegliere n ε maggiore di 1/ε perché la definizione sia verificata. Esempio 6. La successione (1/n) non converge a 1. In virtù dell osservazione 1 dobbiamo risolvere la disequazione 1/n 1 < ε. Si noti che n N è soluzione se e solo se 1 1/n < ε, cioè se e solo se 1 ε < 1/n. Supponendo ε < 1, n è soluzione se e solo se n < 1/(1 ε) e ciò permette di concludere che la successione considerata non converge a 1.

5 Teorema 1. è limitata. Ogni successione convergente Dimostrazione. Supponiamo che la successione (a n ) converga ad a. Fissato ε > 0 esiste n ε N tale che per ogni n n ε risulta a ε < a n < a + ε. Prima di a ε cadono al più i primi n ε 1 termini della successione e tra questi consideriamo il più piccolo (se non abbiamo termini della successione prima di a ε, scegliamo a ε) sia esso h. Tra quelli maggiori di a + ε (che sono al più n ε 1) scegliamo quello più grande (in assenza di termini maggiori di a + ε, scegliamo a + ε) sia esso k. Otteniamo così due numeri h, k che sono rispettivamente un minorante e un maggiorante per la successione che risulta quindi limitata. Definizione 2. Una successione (a n ) diverge positivamente se, per ogni k > 0, esiste n k N tale che per ogni n N con n n k risulta a n > k. Definizione 3. Una successione (a n ) diverge negativamente se, per ogni k > 0, esiste n k N tale che per ogni n N con n n k risulta a n < k.

6 Osservazione 2. Per stabilire se la successione (a n ) diverge positivamente (negativamente) occorre risolvere la disequazione a n > k (a n < k) se l insieme delle soluzioni di tale disequazione contiene, per ogni k, tutti i numeri naturali maggiori di un opportuno ν k allora la successione considerata diverge positivamente (negativamente). In caso contrario la successione non diverge. Esempio 7. La successione ( n) diverge positivamente. Risolviamo la disequazione n > k, con k R+. Elevando al quadrato otteniamo che n è soluzione se e solo se n > k 2 = ν k. Se scegliamo n k > ν k, risulta n > k per ogni n n k e per definizione la successione (a n ) diverge positivamente. Esempio 8. Se a n +, allora a n. Fissato k > 0 esiste n k N tale che a n > k, moltiplicando per 1, otteniamo a n < k per gni n n k e per definizione la successione a n diverge negativamente. Teorema 2. Ogni successione divergente positivamente (negativamente) non è limitata superiormente (inferiormente) ma è dotata di minimo (massimo).

7 Definizione 4. Una successione a n è regolare se ammette limite finito o infinito. Teorema 3. Se una successione ammette limite questo è unico. Dimostrazione. Si noti che una successione non può essere contemporaneamente convergente e divergente perché risulterebbe limitata e non limitata nello stesso tempo. Non può essere divergente positivamente e negativamente perché risulterebbe limitata inferiormente e nello stesso tempo non limitata inferiormente. Per concludere occorre mostrare che una successione non può convergere a due limiti diversi. Supponiamo per assurdo che a n a e a n b, con a b. Posto 2ε = b a, scegliamo n N tale che Risulta a n a < ε, a n b < ε. 2ε = b a = (b a n ) + (a n a) a n b + a n a < ε + ε = 2ε e ciò è assurdo.

8 Teorema 4. (Teorema del confronto limite finito). Siano (a n ), (b n ), (c n ) tre successioni tali che a n b n c n per ogni n N. Se allora esiste lim a n = lim c n = a, lim b n = a. Dimostrazione. Fissato ε > 0 esiste n ε tale che per ogni n n ε risulta a ε < a n < a + ε, a ε < c n < a + ε. Di conseguenza, per ogni n n ε, risulta a ε < a n b n c n < a + ε e quindi a ε < b n < a + ε. Quanto ottenuto permette di affermare che lim b n = a. Teorema 5. (Teorema del confronto limite infinito). Siano (a n ) e (b n ) due successioni tali che a n b n per ogni n N. i) Se a n +, allora b n +. ii)se b n, anche a n.

9 Per il calcolo dei limiti di successioni sono utili i seguenti risultati Se a n a e b n b allora: (i) a n + b n a + b, (ii) a n b n ab, (iii) a n a, (iv) se bb n 0 per ogni n N, allora a n /b n a/b, (v) se a n > 0, a > 0, allora a b n n a b, (vi) se a n > 0, a > 0, allora log a n log a (log x denota il logaritmo naturale di x), (vii) se a n > 0, a n 0, allora log a n, (viii) se a n > 0, a n +, allora log a n + (ix) se a n > 0, a n 0, allora a b n n 0 se b > 0 e a b n n + se b < 0, (x) se a n > 0, a n +, allora a b n n b > 0 e a b n n 0 se b < 0. + se Se la successione a n 0 e la successione (b n ) è limitata allora la successione a n b n 0.

10 Per il calcolo del limite di una successione che si presenta sotto forma indeterminata del tipo 0/0 oppure / è utile il seguente criterio dovuto a Stolz-Cesaro. Teorema 6. (Criterio di Stolz-Cesaro). Siano (a n ) e (b n ) due successioni con (b n ) strettamente monotona. Supponiamo che: oppure allora se esiste esiste anche lim a n = lim b n = 0 lim b n =, lim a n a n 1 b n b n 1 = l lim a n b n = l. Esempio 9. Se a n a verificare che a lim a n = a. n Utilizzando il criterio di Stolz-Cesaro tale limite esiste sicuramente se esiste lim (a a n ) (a a n 1 ) n (n 1) = lim a n = a.

11 Limiti notevoli. Riportiamo, senza verifica, alcuni limiti notevoli utili per il calcolo dei limiti. (i) Se a n + e a n 0, allora lim (1 + 1 a n ) an = e. In particolare e = lim (1 + 1 n )n. (ii) Se a n e a n 0, allora lim (1 + 1 a n ) an = e. (iii) Se a n 0 e a n 0, allora lim (1+a n) 1/an = e, lim lim (1 + a n ) α 1 a n = α, lim a a n 1 a n = log a, sin a n a n = 1.

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