Funzioni con dominio in R 2

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1 0.1 Grafici e curve di livello Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R 2 Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Il dominio U di una funzione f e il sottoinsieme dove e definita, cioe f : U R. Ad esempio, se f(x, y) = log(x + y) i punti della retta x + y = 0 non appartengono al dominio di f. Pero il dominio non e necessariamente l insieme di punti dove la formula che define la funzione ha senso. Insomma, il dominio di una funzione e parte integrante della definizione della funzione stessa. 0.1 Grafici e curve di livello Data una funzione f(x, y) si puo fare il grafico, cioe per ciascun punto (x, y) del dominio si fa un punto ad altezza f(x, y). Qui vediamo il grafico della funzione f(x, y) = x 2 + y 2 z f(x, y) x y Figure 1: f(x, y) = x 2 + y 2. Funzioni di R 2 1 Geometria

2 0.1 Grafici e curve di livello Politecnico di Torino. Tagliando il grafico orizzontalmente si ottengono le curve di livello wikipedia.org/wiki/insieme_di_livello f(x, y) z = 5 z = 2 z = 1 Funzioni di R 2 2 Geometria

3 0.1 Grafici e curve di livello Politecnico di Torino. Invece tagliando il grafico verticalmente si ottengo grafici di funzioni d una variabili: y = 2 y = 1 Simbolicamente la funzione d una variabile si ottiene sostituendo la y per il suo valore in f(x, y). Ad esempio, tagliando con il piano y = 1 si ottiene la funzione f(x, 1) che e una funzione di x. f(x, 1) = x Funzioni di R 2 3 Geometria

4 0.2 Sviluppo di Taylor di primo ordine: piano tangente Politecnico di Torino. 0.2 Sviluppo di Taylor di primo ordine: piano tangente Lo sviluppo di Taylor di primo ordine nel punto (x 0, y 0 ) della funzione f(x, y) e f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Osservare che lo sviluppo di Taylor di primo ordine nel punto (x 0, y 0 ) e una funzione di x, y, anzi e un polynomio di grado 1 1. Lo sviluppo cambia se si cambia il punto (x 0, y 0 ). Esempio 0.1. Lo sviluppo di Taylor di primo ordine nel punto (0, 2) della funzione f(x, y) = x 3 + x + 5y + 1 e 11 + x + 5(y 2). Invece nel punto (0, 0) e x + 5y + 1. Il piano tangente al grafico della f(x, y) nel punto (x 0, y 0 ) si ottiene dal sviluppo di Taylor: z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Ad esempio, il piano z = 11 + x + 5(y 2) e tangente al grafico della f(x, y) = x 3 + x + 5y + 1 nel punto (0, 2). 1 A volte si chiama polynomio di Taylor di primo ordine Funzioni di R 2 4 Geometria

5 Politecnico di Torino. 1 Sviluppo di Taylor di secondo ordine Lo sviluppo di Taylor di primo ordine si puo pensare come una approssimazione lineare della funzione f(x, y) vicino al punto (x 0, y 0 ). Questa approssimazione si puo migliorare usando lo sviluppo di Taylor di secondo ordine : f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + ( ) 1 2 x (x 0, y 2 0 )(x x 0 ) f x y (x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + 2 f y (x 0, y 2 0 )(y y 0 ) 2 Dunque lo sviluppo di Taylor di secondo ordine e un polinomio di grado 2 in x, y Matrice Hessiana Lo sviluppo di primo ordine si ricava facilmente dal gradiente di f(x, y). Infatti, faccendo si ottiene lo sviluppo di primo ordine. f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ).(x x 0, y y 0 ) Per riccordare lo sviluppo di secondo ordine si usa la matrice Hessiana 3 Hess f (x 0, y 0 ) = ( (x x 2 0, y 0 ) (x y x 0, y 0 ) (x ) x y 0, y 0 ) (x y 2 0, y 0 ) Usando la matrice Hessiana lo sviluppo di secondo ordine e f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ).(x x 0, y y 0 ) + 1 ( ) x 2 (x x x0 0, y y 0 )Hess f (x 0, y 0 ) y y 0 Esempio 1.1. Lo sviluppo di Taylor di secondo ordine nel punto (1, 2) della funzione f(x, y) = x 3 + x + 5y + 1 e (x 1) + 5(y 2) + 3(x 1) 2. 2 A volte si chiama polynomio di Taylor di secondo ordine 3 Anche per funzioni di R n c e la Hessiana Funzioni di R 2 5 Geometria

6 1.2 Punti di massimo e minimo relativo Politecnico di Torino. Infatti, f(1, 2) = 13, f(1, 2) = (4, 5) e Hess f (1, 2) = ( ) Punti di massimo e minimo relativo I punti critici anche detti estremi relativi sono i punti dove il gradiente di f e zero. Il valore della funzione in un punto critico si chiama valore critico. Dunque sono i punti dove il piano tangente e parallelo al piano x y. Per determinare la natura del punto critico, cioe per decidere se e un massimo relativo, minimo relativo o punto di sella si puo usare il seguente teorema. Teorema 1.2. Sia (x 0, y 0 ) un punto critico di una funzione f(x, y) di classe C 2. Se det(hess f (x 0, y 0 )) < 0 allora (x 0, y 0 ) e un punto sella. Se invece det(hess f (x 0, y 0 )) > 0 sono possibili due casi: se 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 allora (x 0, y 0 ) e un minimo relativo, se 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0 allora (x 0, y 0 ) e un massimo relativo. Ecco un punto di sella Dimostrazione del Teorema: Se (x, y) e vicino a (x 0, y 0 ) la loro differenza (h, k) := (x x 0, y y 0 ) e piccola dunque: f(x, y) f(x 0, y 0 ) 1 2 ( ) x (x 0, y 2 0 )h f x y (x 0, y 0 )hk + 2 f y (x 0, y 2 0 )k 2 Si mette A = 2 f (x x 2 0, y 0 ), B = 2 f (x x y 0, y 0 ), C = 2 f (x y 2 0, y 0 ) e si completa il quadrato, cioe 2 (f(x, y) f(x 0, y 0 )) Ah 2 + 2Bhk + Ck 2 = =A (h BA hk + CA ) k2 = =A ((h + BA k)2 ( BA k)2 + CA ) k2 = =A ((h + BA k)2 ( BA k)2 + CA ) k2 = ( =A (h + B A k)2 + (AC ) B2 ) k 2. A 2 Funzioni di R 2 6 Geometria

7 1.2 Punti di massimo e minimo relativo Politecnico di Torino. Figure 2: Funzione con due punti critici: uno sella (piano tangente in blu) e l altro minimo relativo (piano tangente in verde). Ora se (AC B 2 ) = det(hess f (x 0, y 0 )) e negativo l ultima linea fa vedere che la differenza f(x, y) f(x 0, y 0 ) e positiva se k = 0 ed e negativa se h + B k = 0. Dunque A in questo caso il punto (x 0, y 0 ) e un punto di sella. Se invece (AC B 2 ) = det(hess f (x 0, y 0 )) e positivo allora dipendendo del segno di A il punto (x 0, y 0 ) sara un minimo relativo A > 0 oppure un massimo relativo A < 0. Q.E.D. Esercizio 1.3. Cercare i punti critici della funzione f(x, y) = 2x 3 + (x y) 2 6y. Determinare se sono massimi, minimi o punti di sella. Calcolare i valori critici. Esiste un massimo o un minimo assoluto?. Esercizio 1.4. Cercare i punti critici della funzione f(x, y) = x 2 (y + 1) 3 + y 2. Determinare se sono massimi, minimi o punti di sella. Calcolare i valori critici. Esiste un massimo o un minimo assoluto?. Esercizio 1.5. Cercare i punti critici della funzione f(x, y) = 4x 5x3 + x xy2. Determinare se sono massimi, minimi o punti di sella. Calcolare i valori critici. Esiste un massimo o un minimo assoluto?. Funzioni di R 2 7 Geometria

8 1.2 Punti di massimo e minimo relativo Politecnico di Torino. Esempio 1.6. La funzione f : R 2 R : ha soltanto due punti critici P, Q: f(x, y) = 145x ey x + e 2y x 37x3 2e y x 3 + 6x P = ( 2, log( 7 4 )), Q = (2, log(7 4 )). I valori critici sono f(p ) = e f(q) =. Quindi si potrebbe credere che P e un minimo locale e Q e un massimo locale. Invece non e cosi, P e un massimo locale e Q un minimo. Questo tipo di comportamento non e possibile con una funzione di una variable f : R R. f(p ) f(q) Figure 3: Funzione con due punti critici: uno minimo relativo e l altro massimo relativo. Funzioni di R 2 8 Geometria