ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

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1 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico di ssi crtesini ortogonli (): ) scrivere l equzione dell circonferenz k con centro nel punto (; ) e rggio 6 e clcolre le coordinte dei punti M ed N in cui l bisettrice b del e qudrnte intersec l curv; b) scrivere l equzione dell prbol p vente l sse prllelo ll sse delle ordinte, tngente ll sse delle scisse in un punto del semipino 0 e pssnte per i punti M ed N; c) clcolre l re dell regione finit di pino delimitt dll prbol p e dll bisettrice b; d) dopo ver stbilito che l circonferenz k e l prbol p non hnno ltri punti in comune oltre d M ed N, clcolre le ree delle regioni in cui il cerchio delimitto d k è diviso dll prbol. PRBLEMA Con riferimento un sistem di ssi crtesini ortogonli (): ) studire le funzioni: 6, 6 e disegnre i loro grfici; b) dopo ver verificto che, oltre l punto, tli grfici hnno in comune un ltro punto A, determinre sul segmento A un punto P tle che, condott per esso l rett prllel ll sse, si mssim l lunghezz del segmento RS, dove R ed S sono i punti in cui l rett intersec i due grfici suddetti; c) determinre le coordinte dei punti di scisse uguli in cui le due curve hnno tngenti prllele e verificre che, oltre l punto A, si ritrovno i punti R ed S; d) clcolre l re dell regione finit di pino delimitt dlle due curve. QUESTINARI Si D il dominio di un funzione rele di vribile rele f () e si 0 un elemento di D: definire l continuità e l discontinuità di f () in 0 e fornire un interpretzione geometric delle definizioni dte. In un pino è ssegnt un prbol p. Trccit l tngente t ess nel suo vertice, chimti M ed N due punti di p simmetrici rispetto l suo sse e indicte con M ed N rispettivmente le proiezioni ortogonli di M ed N sull rett t, determinre il rpporto fr l re dell regione pin delimitt dll prbol e dll rett MN e quell del rettngolo MNN M, fornendo un esuriente dimostrzione. Znichelli Editore, 007

2 4 Si consideri un cono circolre retto ottenuto dll rotzione di un tringolo isoscele intorno ll ltezz proprimente dett. Spendo che il perimetro del tringolo è costnte, stbilire qule rpporto deve sussistere fr il lto del tringolo e l su bse ffinché il cono bbi volume mssimo. In un riferimento monometrico di ssi crtesini ortogonli () è ssegnt l iperbole di equzione. Considerti su di ess i punti A e B di scisse rispettivmente e, con 0, si trccino le tngenti ll iperbole in A e B. Clcolre l re dell regione pin delimitt dll iperbole e dlle tngenti considerte Dimostrre che l derivt dell funzione log è l funzione log e, dove e è l bse dei logritmi nturli. Considert l equzione k k 0, clcolre il limite di ciscun delle sue rdici per k. Dopo ver definito il limite destro e il limite sinistro di un funzione in un punto, ricorrere tli definizioni per verificre che risult: lim 0, lim 0. Dimostrre che le curve di equzione k k, ssegnte in un riferimento crtesino, pssno tutte per uno stesso punto. Considerti i 90 numeri del gioco del Lotto, clcolre qunte sono le cinquine che, in un dt estrzione, relizzno un determinto terno. Dimostrre l formul che esprime il numero delle combinzioni semplici di n oggetti presi k k in funzione del numero delle disposizioni semplici degli stessi oggetti presi k k e delle permutzioni semplici su k oggetti. Durt mssim dell prov: 6 ore. È consentito soltnto l uso di clcoltrici non progrmmbili. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse ore dll detttur del tem. Znichelli Editore, 007

3 PRBLEMA ) L equzione dell circonferenz con centro nel punto (; b) e rggio r è ( ) ( b) r. Quindi, nel nostro cso, l equzione di k è ( ) ( ) 6, d cui, svolgendo i clcoli e portndo form normle, si ottiene: b L equzione dell bisettrice b del e qudrnte è. Clcolimo le coordinte dei punti M ed N di intersezione con l k N circonferenz risolvendo il seguente sistem: M C Sostituendo ll second equzione si ottiene 0 0, equivlente che h come soluzioni e. Perciò si trovno i punti M(; ) ed N(; ). Nell figur è rppresentt l circonferenz k e l rett b. Figur. b) L prbol p h equzione del tipo b c. L sse delle scisse è tngente tle prbol e, poiché il punto di tngenz con tle rett è necessrimente il vertice V, si h che l su ordint deve essere null, cioè b 4c 0 b 4c 0. Inoltre, sostituendo ll equzione di p le coordinte 4 dei punti M ed N, si ottengono ltre due equzioni d mettere sistem con quell precedentemente trovt. Ricvndo c 4 b dll prim equzione e sostituendo nell second si ottiene b 0; sostituendo nuovmente si h: 4 b c 64 b c b 4c 0 c 6 b 0 ( 0) SLUZINE DELLA PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Dll ultim equzione, portt form normle si ricv 6 0 0, che mmette come soluzioni e. In corrispondenz del primo cso si trov b 0 4 e quindi l sciss del vertice (punto di tngenz con l sse delle scisse) risulterebbe V 4 0, contro 9 b l ipotesi. Considerimo ; si ottiene b 4 e V 4 0. In conclusione, l soluzione cerct è, b 4 e c. L equzione dell prbol è perciò: 4. Znichelli Editore, 007

4 c) I punti in comune tr l bisettrice b e l prbol p sono M(; ) ed N (; ). L regione finit di pino delimitt dll prbol p e dll bisettrice b è evidenzit nell figur. Secondo il clcolo integrle l re dell regione vle: A 4 d 5 d 6 5. d) Per determinre tutti i punti in comune tr l circonferenz e l prbol considerimo il seguente sistem: Sostituendo nell second equzione e svolgendo i clcoli si ottiene l equzione risolvente: Spendo che tle equzione deve vere tr le sue soluzioni e (scisse dei punti M ed N), pplichimo due volte l regol di Ruffini e si ottiene ( )( )( 6 6) 0. Il discriminnte del polinomio 6 6 è e quindi non vi sono ulteriori soluzioni. In conclusione, gli unici punti in comune tr l prbol p e l circonferenz k sono M ed N. p' Clcolimo or le ree delle regioni in cui il cerchio delimitto d k è diviso dll prbol p. Per semplificre i clcoli pplichimo 6 N' l trslzione di equzioni: A k' M' 6 M 4 V' A p N 4 V C A b k Figur. 6 che port il centro dell circonferenz nell origine. Dunque k viene trsformt nell circonferenz di equzione 6; mentre l prbol p viene trsformt in quell di equzione 4 6 (figur ). Figur. Poiché l semicirconferenz che contiene N h equzione 6, l re A si clcol secondo il seguente integrle: A d d d e ponendo sen t, cioè 6 sen t si ottiene: sen t 6 cos tdt cos tdt cos t dt sen t t 9. 0 Inoltre l re del cerchio delimitto d k è 6. Quindi si trov che A 6 A 9(4). 4 Znichelli Editore, 007

5 PRBLEMA ) Entrmbe le funzioni sono di tipo polinomile e hnno come cmpo di esistenz l insieme dei numeri reli. Studimo prim l funzione f () 6. Poiché f () ( ), l funzione è positiv se 0 0, negtiv se e il suo grfico intersec gli ssi nei punti (0; 0) e (; 0). Clcolimo i limiti per : lim 6. Verifichimo se l funzione f mmette sintoti obliqui: lim ) lim Ne segue che non vi sono sintoti obliqui. Studimo or l derivt prim. f'() 0 f () 4 ( ). Lo schem dell figur 4 ne rissume il segno. L funzione h perciò un minimo nel punto (0; 0) e un mssi- f() min m Figur 4. mo in A ;. L derivt second è f () 4 4. Ess è positiv per, negtiv per e null in. Pertnto l funzione h un unico flesso in F ; 4 e h l concvità rivolt verso l lto solo per. Nell figur 5 è rppresentto il grfico di f. 4 F A = + 6 Figur 5. Studimo or l funzione g() 6 ( 6 ). Il suo cmpo di esistenz è l sse rele; è positiv per 0, negtiv se 0 e intersec gli ssi solo nell origine. Inoltre risult: lim g() lim 6. Verifichimo se l funzione mmette sintoti obliqui: 6 lim g( ) lim. Ne segue che non vi sono sintoti obliqui. Studimo or l derivt prim: g () 4 4 ( ). 5 Znichelli Editore, 007

6 Ess si nnull solo per ; diversmente è sempre positiv. L funzione g è quindi crescente. Inoltre g () 4, che è positiv per, negtiv per e null per. In conclusione il punto A ; corrisponde un flesso con tngen- A = 6 + te orizzontle e l funzione h l concvità rivolt verso l lto solo per. Il grfico dell funzione g è riportto in figur 6. b) Come già emerso dllo studio delle due funzioni, entrmbi i grfici hnno in comune, oltre ll origine, nche il punto A ;. Verifichimo lgebricmente che non vi sono ltri punti in comune, risolvendo il seguente sistem: ( ) Dunque e A sono gli unici punti di intersezione tr le due curve (figur 7). Trccito il segmento A, si prende un punto P su tle segmento e si trcci l prllel ll sse pssnte per il punto. = 6 + A Figur 6. L rett A P ; 4 h equzione 4. Quindi per un vlore [0; ]. Per lo stesso S P = + 6 vlore di, si h R ; 6 ed R S ; 6. Ne segue che l lunghezz del segmento RS vle: RS 6 6 () (), essendo [0; ]. Cerchimo il mssimo dell funzione ( ) nell intervllo [0; ]. L derivt prim è 4 e lo schem seguente ne rissume il segno (figur ). L funzione h un mssimo per. Quindi il punto P cer- cto h coordinte P ; 9. ' Figur m Figur. 6 Znichelli Editore, 007

7 c) Considerimo due punti generici pprtenenti rispettivmente i grfici delle funzioni f e g con ugule sciss R. Il coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico di f in è f () 4. Mentre il coefficiente ngolre dell rett tngente l grfico di g in è g () 4 4. Tli tngenti sono prllele se i loro coefficienti ngolri sono uguli: Per si ottiene il punto A intersezione dei due grfici e per si ritrovno i punti R ed S. d) L regione delimitt dlle due curve è evidenzit in figur 7. L su re vle: Are (g() f ())d d ( 4 4)d QUESTINARI Un funzione f, definit in un dominio D, è continu in 0 D qundo, comunque si scelg un numero rele positivo ε, si può determinre un intorno I di 0 tle che risulti f () f ( 0 ) ε per ogni I D. In prticolre, se 0 è un punto isolto del dominio llor f è continu in 0. Se 0 è un punto di ccumulzione, tle definizione è equivlente richiedere l esistenz di lim f () e che 0 tle limite si ugule l vlore f ( 0 ). Interpretndo geometricmente tle definizione possimo dire che un funzione è continu in ogni punto di un intervllo se, nel disegnre il suo grfico, non stcchimo mi l penn dl foglio. Un funzione f si dice invece discontinu in 0 se non è continu in tle punto. I csi di discontinuità di un funzione in un punto interno del dominio possono essere di diverso tipo: ) uno dei due limiti (destro o sinistro) è infinito e l ltro (sinistro o destro) è finito e coincide con f ( 0 ); per esempio, lim f () e lim f () f ( 0 0 ) (figur 9); questo tipo di discontinuità si dice di second specie; 0 b) il limite destro e il limite sinistro sono finiti e uguli m non coincidono con f ( 0 ), ovvero lim f () 0 lim f () l f ( 0 ) (figur 9b); questo tipo di discontinuità si dice di terz specie Figur 9. b 7 Znichelli Editore, 007

8 Considerimo il sistem di riferimento con origine nel vertice dell prbol, sse coincidente con l sse di simmetri dell prbol e sse tngente nel vertice, come mostrto in figur 0. L prbol p h equzione, con numero rele positivo mentre le coordinte dei punti M ed N sono M( k; k ) ed N(k; k ), con k 0. L re dell regione delimitt dll prbol p e dll rett MN è: A k (k )d k k k k M M' = = k N N' k k k k 4 k. Figur 0. Mentre l re del rettngolo MNN M è A MNN M k k k. Pertnto vle: 4 A k AMN. k N M Si ABC il tringolo isoscele l cui rotzione intorno ll ltezz riferit ll bse gener un cono circolre retto (figur ). Si k il vlore costnte del suo perimetro e l lunghezz dell bse. Ne segue che il lto obliquo misur k. L ltezz del cono è perciò: h C h l k Il volume del cono vle: 4 k k. V A bse h k k k k. 4 Per mssimizzre il volume clcolimo l derivt prim dell funzione k k nel dominio 0; k (l bse del tringolo non può superre il semiperimetro): k k k k (k k) k 5k. k k k k k k Tle derivt è null per 0 e k e lo schem seguente (figur ) ne rissume il segno. 5 Il vlore mssimo del volume del cono si ottiene per k. In 5 questo cso il lto obliquo del tringolo risult: A B Figur. k 5 k l 0 k. Pertnto il rpporto fr il lto del tringolo e l su bse vle: l 0 k 4. 5 k ' k 5 m k Figur. Znichelli Editore, 007

9 4 Nell figur sono rppresentte l iperbole, le tngenti ess nei punti A ; e B ; ( 0) e l regione pin d esse limitt nel cso prticolre di. sservimo che se, llor A B e l re in questione risult null. Ci limiteremo l cso di 0 in qunto per 0 l regione pin delimitt che si ottiene è simmetric e congruente l cso di positivo. Il coefficiente ngolre dell tngente ll iperbole di t = B > A s equzione nel punto A è (), mentre il coefficiente ngolre dell tngente in B è Figur.. L tngente t in A h dunque equzione: t ( ) t, mentre l tngente s in B è invece: s s. Clcolimo l sciss del punto di intersezione tr t ed s considerndo il sistem seguente: ( 4 ) ( ). Pertnto l re cerct vle: Are ( ) d d 5 log log Per definizione l derivt dell funzione f () log è: f () lim f ( h ) f () log ( h) log () lim h 0 h h h 0. log. Utilizzndo l proprietà dei logritmi, log log log, possimo scrivere: log log h h f () lim lim. h 0 h h 0 h 9 Znichelli Editore, 007

10 Moltiplichimo e dividimo il denomintore h per : f () lim. h 0 h Ricordndo il limite notevole lim log ) log e, risult lim 0 ( h 0 f () log. log h log h h log e e quindi: 6 Il discriminnte dell equzione k k 0 è k 4k. Esso è positivo o nullo se k 0 k 4. In questo cso le rdici dell equzione sono, k k 4k. Clcolimo i limiti di tli rdici per k, supponendo per questo k 0: lim k k 4k lim k k k k 4k k k 4k lim k k 4k lim k Inoltre vle: 4k lim k 4 k k lim k k 4k lim k k k. 4 k 4 k. k k (k 4k) (k k 4k) 7 Si dice che l è limite sinistro dell funzione f () per che tende d, e si scrive lim f () l, se per ogni ε 0 esiste un numero 0 tle che f () l ε per ogni ] ; [. Dimostrimo che lim 0, verificndo per quli vlori di vle ε, ovvero: ε ε Tle sistem è equivlente ll unione dei seguenti sistemi: ε ε ε ε 0. ε ε ε Assumendo ε piccolo picere, si può considerre ε : il primo sistem non h pertnto soluzioni. Risult llor ε 0. Perciò vle l condizione di definizione di limite sinistro scegliendo ε, per cui preso un qulsisi ε 0 vle f () () ε per ogni ] ε; 0[. Si dice invece che l è limite destro dell funzione f () per che tende d, e si scrive lim f () l, se per ogni ε 0 esiste un numero 0 tle che f () l ε per ogni ]; [. 0 Znichelli Editore, 007

11 Dimostrimo che lim ε ε 0, verificndo per quli vlori di risult Tle sistem è equivlente ll unione dei seguenti sistemi: ε ε ε ε ε 0 ε ε ε, cioè: Assumendo ε piccolo picere, si può considerre ε : il secondo sistem non h pertnto soluzioni. Risult llor 0 ε. Le soluzioni del primo sistem sono i vlori di ]0; ε[. Perciò vle l condizione di definizione di limite destro scegliendo ε, per cui preso un qulsisi ε 0 vle f () ε per ogni ]0; ε[. 9 0 L equzione k k si può scrivere nell form k( ) 0. Ess è sempre verifict per ogni k rele se vle: Le curve pssno quindi tutte per il punto di coordinte ( ; ). Poiché l estrzione del Lotto vviene senz reimbussolmento l ordine dei numeri nelle cinquine estrtte non cont e quindi possimo utilizzre le combinzioni. Se fissimo un terno, le cinquine che lo contengono sono tutte le possibili combinzioni dei rimnenti 7 numeri presi due ll volt e quindi C 7, 74. Le combinzioni semplici di n elementi k ll volt sono tutti i possibili sottoinsiemi di k elementi distinti che si possono formre prtire dgli n elementi di prtenz. Questi gruppi quindi si distinguono solo per gli elementi e non per il loro ordine. Le disposizioni di n elementi k ll volt sono invece tutti i possibili gruppi di k elementi distinti che si possono formre prtire dgli n elementi di prtenz; questi gruppi si distinguono si per gli elementi che per l ordine. Per ottenere le disposizioni prtire dlle combinzioni dobbimo considerre che per ogni sottoinsieme delle combinzioni esistono k! gruppi che si ottengono permutndo gli elementi dello stesso sottoinsieme. n,k Pertnto vle D n,k C n,k k! d cui C n,k D. k! Znichelli Editore, 007

12 Per esercitrti ncor sugli rgomenti trttti nel Svolgi il Problem Problem 9 pg. L 49 Problem 6 pg. L 40 Esercizio 9 pg. W Problem Esercizio 70 pg. V 65 Problem pg. W 6 Problem pg. W Quesito pg. W 77 Quesito Quesito pg. U 07 Quesito Esercizio 0 pg. W Quesito Quesito pg. W 75 Esercizio pg. V Quesito 4 Esercizio pg. W Esercizio 5 pg. W 0 Esercizio 55 pg. W Quesito 5 Esercizio 46 pg. V 45 Quesito 6 Esercizio pg. U 65 Esercizio 9 pg. U 7 Quesito 7 Quesito 7 pg. U 9 Esercizio 7 pg. U 90 Quesito Problem 7 pg. U 09 (punto ) Quesito pg. W 69 Quesito 9 Esercizio pg. 7 Esercizio 5 pg. 7 Quesito 0 Quesito pg. 40 Quesito pg. 40 Quesito 6 pg. 40 Znichelli Editore, 007

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