Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria

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1 Esame di Metodi Matematici per l Igegeria Prof. M. Bramati Politecico di Milao, A.A. / Appello del Settembre Cogome: Nome N matr. o cod. persoa: Parte. Esercizi Esercizio. a. Calcolare il limite putuale della successioe di fuzioi f () = ( + ) ( + ) i R. Stabilire poi se tale limite è uiforme, giusti cado le proprie coclusioi. b. Calcolare il limite lim! giusti cado le proprie coclusioi. ( + ) ( + ) d; Esercizio. Si cosideri l equazioe itegrale f () + ( t) e ( t) f (t) dt = g () co g L (; +) assegata e f L (; +) icogita. Stabilire per quali R l equazioe ha ua e ua sola soluzioe i L (; +) per ogi g L (; +) assegata. (Si chiede di giusti care la risposta utilizzado il teorema delle cotrazioi, e o le trasformate itegrali, per chi le coosce). Esercizio 3. Risolvere esplicitamete mediate separazioe di variabili il seguete problema di Cauchy-Dirichlet per u equazioe di di usioe e trasporto sul segmeto: 8 < u t = u + u per [; L] ; t > u (; t) = u (L; t) = per t > : u (; ) = e si 3 L per [; L] : Esercizio 4. Si cosideri il seguete problema di Dirichlet sul quadrato Q = [ ; ] [ ; ]: ( + +y u (; y) +y u y (; y) + y y 4 +y u (; y) = f (; y) i Q 4 u =

2 Scrivere esplicitamete la formulazioe debole di questo problema (cioè: trovare u ello spazio... tale che valga l equazioe itegrale... per ogi :::). Quidi dimostrare, sfruttado opportuamete il Teorema di La-Milgram, che il problema ha ua e ua sola soluzioe per ogi f L (Q) : Si chiede di veri care esplicitamete che soo veri cate le ipotesi richieste, eseguedo esplicitamete le maggiorazioi co le costati corrette. Parte. Domade teoriche Domada. Dopo aver richiamato la de izioe di covergeza putuale e uiforme per ua successioe di fuzioi a valori reali, euciare e dimostrare il teorema sulla cotiuità del limite uiforme di fuzioi cotiue. Quidi dimostrare che lo spazio C (K) è di Baach, sotto opportue ipotesi su K. Domada. Dare la de izioe di fuzioale lieare cotiuo su uo spazio vettoriale ormato e duale di uo spazio vettoriale ormato. Fare esempi di fuzioali lieari cotiui su spazi di fuzioi. Euciare quidi il teorema che caratterizza il duale degli spazi L p () e il teorema che caratterizza il duale di uo spazio di Hilbert. Domada 3. Dare la de izioe di problema di Sturm-Liouville regolare ed euciare il risultato che riguarda i suoi autovalori e autofuzioi. Dimostrare l ortogoalità delle autofuzioi relative ad autovalori distiti.

3 Esame di Metodi Matematici per l Igegeria Prof. M. Bramati Politecico di Milao, A.A. / Svolgimeto Appello del Settembre Parte. Esercizi Esercizio. a. Calcolare il limite putuale della successioe di fuzioi f () = ( + ) ( + ) i R. Stabilire poi se tale limite è uiforme, giusti cado le proprie coclusioi. b. Calcolare il limite lim! giusti cado le proprie coclusioi. a. Per 6= e! si ha: f () ( + ) ( + ) d; ( + ) = + metre f () =. Perciò per! è f ()! f () = + per 6= per = Poiché le f soo cotiue e il limite f è discotiuo, la covergeza o può essere uiforme. b. Sappiamo che f ()! per q.o. R: + Vogliamo applicare il Teorema della covergeza domiata, cerchiamo pertato ua maggiorate itegrabile delle f idipedete da. Si ha: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = (per 6= ) + ( + ) =

4 Essedo + itegrabile, si può applicare il teorema della covergeza domiata e cocludere che lim! ( + ) ( + ) d = Il limite cercato è quidi : Esercizio. Si cosideri l equazioe itegrale f () + + d = [arcta ]+ = : ( t) e ( t) f (t) dt = g () co g L (; +) assegata e f L (; +) icogita. Stabilire per quali > l equazioe ha ua e ua sola soluzioe i L (; +) per ogi g L (; +) assegata. (Si chiede di giusti care la risposta utilizzado il teorema delle cotrazioi, e o le trasformate itegrali, per chi le coosce). De iamo l operatore t T : L (; +)! L (; +) T f () = ( t) e ( t) f (t) dt: L operatore T è evidetemete lieare. Mostriamo che è cotiuo sugli spazi idicati. Si ha: ( t) e ( t) f (t) dt d ( t) e ( t) jf (t)j dtd = jf (t)j ( t) e ( t) d dt = jf (t)j ue u du dt = kfk L (;+) ue u du ; quidi l operatore è lieare cotiuo per ogi >. Ora l equazioe itegrale si può scrivere come: f + T f = g f = g T f e ua soluzioe dell equazioe itegrale equivale a u puto sso dell operatore K : L (; +)! L (; +) K : f 7! g T f: Vediamo per quali K risulta ua cotrazioe. Poiché kk f K f k L (;+) = kt f T f k L (;+) kt k kf f k L (;+) 4

5 è su ciete garatire che sia kt k <, il che per il calcolo precedete è vero se risulta ue u du < : Calcoliamo quidi questo itegrale: ue ue u u + du = + e u du = e u + = < purché sia > : Quidi l equazioe ha ua e ua sola soluzioe per > : Esercizio 3. Risolvere esplicitamete mediate separazioe di variabili il seguete problema di Cauchy-Dirichlet per u equazioe di di usioe e trasporto sul segmeto: 8 < u t = u + u per [; L] ; t > u (; t) = u (L; t) = per t > : u (; ) = e si 3 L per [; L] : Cerchiamo u (; t) = X () T (t) : L equazioe diveta: T X = T X + T X T T (t) = X + X () X da cui T T = X + X = X per qualche costate. Si deve avere quidi: X () + X () = X () per (; L) X () = X (L) = T (t) = T (t) per t > : Risolviamo: X + X X = i (; L) X () = X (L) = che porta: co + < ; p X () = e si j + j p j + jl = = L 5

6 e quidi u (; t) = c e h i ( L ) + t e si L : Cerchiamo ora la soluzioe X u (; t) = c e = h i ( L ) + t e si L che soddis u (; ) = e si 3 L : A ché sia: X e si = si dovrà avere: 3 L = c e si L c 3 = ; c = per 6= 3; e i de itiva la soluzioe cercata è: h i u (; t) = e ( 3 L ) + t 3 e si L : Esercizio 4. Si cosideri il seguete problema di Dirichlet sul quadrato Q = [ ; ] [ ; ]: ( + +y u (; y) +y u y (; y) + y y 4 +y u (; y) = f (; y) i Q 4 u = Scrivere esplicitamete la formulazioe debole di questo problema (cioè: trovare u ello spazio... tale che valga l equazioe itegrale... per ogi :::). Quidi dimostrare, sfruttado opportuamete il Teorema di La-Milgram, che il problema ha ua e ua sola soluzioe per ogi f L (Q) : Si chiede di veri care esplicitamete che soo veri cate le ipotesi richieste, eseguedo esplicitamete le maggiorazioi co le costati corrette. Formulazioe debole del problema: determiare u H (Q) per cui si abbia: Z Z + + y u (; y) (; y) + Q Z Z = Q f (; y) (; y) ddy per ogi H (Q) : + y u y (; y) y (; y) + y 4 u (; y) (; y) ddy + y4 () Ipotesi da veri care:. I coe cieti della parte pricipale devoo essere misurabili ed essezialmete limitati. 6

7 Soo misurabili perché cotiui trae i u puto; soo essezialmete limitati perché + y = (i polari) cos # si # = si # :. Coercività: + + y + + y + : () Vero perché: + + y + y = ; = (per la maggiorazioe precedete), quidi la () vale co = =: 3. Codizioe di sego del coe ciete del termie di ordie zero: y 4 + y 4, ovvio. Pertato il Lemma di La Milgram implica che la forma bilieare data dal primo membro della () è cotiua e coerciva su H (Q), perciò il problema ella sua formulazioe debole è be posto. 7