CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica ROBOTICA MOBILE. Ing. Cristian Secchi

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1 CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica ROBOTICA MOBILE Ing. Tel Dalla Robotica Fissa a quella mobile A partire dagli anni 6, compaiono i primi robot industriali Utilizzati per sostituire l uomo in compiti pericolosi o semplici e ripetitii Si trattaa di compiti da solgere in loco Gli ambienti di laoro iniziarono ad essere modellati in base alle esigenze di controllo dei robot Controllo di Robot -- Pag.

2 Dalla Robotica Fissa a quella mobile Robotica Fissa Robotica Mobile Imita la funzionalità degli arti umani superiori Imita la locomozione degli animali e le relatie funzionalità Definizione: Un robot mobile è una macchina automatica in grado di muoersi nell ambiente che la circonda. Controllo di Robot -- 3 Possibili Applicazioni Applicazioni Indoor Pulizia di ambienti estesi Robotica di serizio per musei, negozi, ecc... Soreglianza interna di edifici Stoccaggio merci in magazzini automatizzati... Applicazioni Outdoor Applicazioni militari Sminamento Esplorazione spaziale e subacquea Protezione Ciile e soreglianza boschia Agricoltura automatizzata Controllo di Robot -- 4 Pag.

3 Cenni storici Primi robot mobili a partire dal 94 Razzi V - V rozzo autopilota inerziale Teletan Goliath Filoguidato Motori Elettrici Carro telecontrollato 5 m di distanza Controllo di Robot -- 5 Uso industriale: Automatic Guided Vehicles AGV Usato per la gestione di fine linea di produzione. Porta i pallet di prodotto stoccato dal magazzino alle baie di carico camion. In un impianto possono circolare più di 3 AGV contemporaneamente. Elettric8 AGV Controllo di Robot -- 6 Pag. 3

4 Esempi Uso Ospedaliero: HELPMATE Usato negli ospedali per trasporto di medicinali e di logistica Si muoe autonomamente Naiga tramite una telecamera e usa come riferimento le lampade sul soffitto Domestico: Roomba Aspirapolere per applicazioni domestiche Grazie ad algoritmi di path planning pulisce la stanza senza bisogno di impostare mappe Controllo di Robot -- 7 Esempi Robot Sottomarini Utilizzati per archeologia sottomarina Recupero relitti Titanic Ispezione strutture Monitoraggio acque Applicazione Spaziali Realizzati a partire dal 965 Altamente autonomi In grado di laorare senza superisione Dotati di alta ridondanza dei sensori Controllo di Robot -- 8 Pag. 4

5 Esempi Robot Agricoli attesi circa per il 5 Robot mobili concepiti per operazioni agricole: Ambienti strutturati frutteti ad hoc asti campi di cereali Controllo di Robot -- 9 Esempi Robot Pioneer Siluppato dalla Stanford Uniersit Scelto per esplorare il sarcofago di Chernobl Robot Modulare. Consente di montare: braccio robotico telecamera scanner laser Controllo di Robot -- Pag. 5

6 Principi di Locomozione I concetti che si troano in natura sono difficili da riprodurre ingegneristicamente La maggior parte dei sistemi ingegneristici usano le ruote o i cingoli Il rotolamento è il principio di locomozione più efficiente, ma non si troa in natura la natura non ha mai inentato la ruota! Tuttaia, la camminata di un bipede è icina al rotolamento Controllo di Robot -- Principi di Locomozione Camminata Bipede Approssima il rotolamento Rotolamento di un poligono con lato pari al passo della persona Più il passo è corto, meglio il rotolamento iene approssimato I robot che camminano si possono adattare meglio a un ambiente ariabile sono più lenti su superficie piatte sono fortemente sora-attuati I robot con ruote sono più eloci su superfici piatte sono poco adattabili Controllo di Robot -- Pag. 6

7 Principi di Locomozione Controllo di Robot -- 3 Locomotion! Controllo di Robot -- 4 Pag. 7

8 Robot con Ruote Wheeled Mobile Robots - WMR Le ruote sono la soluzione più appropriata per molte applicazioni Tre ruote sono sufficienti per garantire la stabilità del robot Quante/Quali ruote usare e come disporle dipende dallapplicazione Controllo di Robot -- 5 Tipi di ruote Ruota Fissa Ruota Centrata Orientabile Ruota Scentrata e Orientabile Ruota Castor Ruota Sedese:proprietà omnidirezionali Controllo di Robot -- 6 Pag. 8

9 Swedish Wheels Si basano sull idea di poter sfruttare l attrito anche trasersalmente alla direzione di moto della ruota Controllo di Robot -- 7 Possibili Configurazioni Due Ruote Tre Ruote Controllo di Robot -- 8 Pag. 9

10 Lego-Segwa Controllo di Robot -- 9 Possibili Configurazioni Quattro Ruote Sei Ruote Controllo di Robot -- Pag.

11 Esempio 6 ruote: NASA Athlete Controllo di Robot -- Spazio delle Configurazioni E caratterizzato dal numero di parametri che serono a localizzare la configurazione del robot E l analogo dello spazio di giunto per un robot mobile Dipende dalla struttura del robot mobile Esempio: Uniciclo Esempio: Biciclo Controllo di Robot -- Pag.

12 Vincoli Si dice incolo una qualunque condizione imposta ad un sistema materiale che impedisce di assumere una generica posizione e/o atto di moto Un sistema materiale si dice soggetto a incoli olonomi se tra le coordinate del sistema esistono dei legami espressi da relazioni finite incoli di posizione oppure se tra le coordinate del sistema esistono dei legami espressi da relazioni differenziabili integrabili finite. Un incolo si dice anolonomo se la relazione differenziale tra le coordinate non è riducibile a forma finita. Controllo di Robot -- 3 Vincoli Anolonomi Ipotesi semplificatia: Ogni ruota rotola senza strisciamento cioè senza slittare nè longitudinalmente nè lateralmente Ogni ruota introduce un incolo anolonomo nel sistema in quanto non consente una traslazione normale alla direzione di rotolamento Le ruote limitano la mobilità istantanea del robot senza però, in genere, precludere la possibilità di raggiungere configurazioni arbitrari es.: Parcheggio parallelo di un automobile. Controllo di Robot -- 4 Pag.

13 Vincoli Anolonomi t cos + t n sin + n π cos π sin Il disco rotola senza strisciare sul piano, la elocità normale al erso di rotolamento è nulla: n t cos t sin d tan d sin cos d sin d cos Vincolo sulla mobilità Controllo di Robot -- 5 Vincoli Anolonomi Per ogni ruota è possibile scriere il incolo anolonomo in termini di coordinate generalizzate q come Impossibile isualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riaiare il computer e aprire di nuoo il file. Se iene isualizzata di nuoo la rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuoo. a q q Per N ruote i incoli possono essere riscritti come A q q Vincolo Pfaffiano I incoli anolonomi non comportano una riduzione dello spazio delle configurazioni ma comportano un riduzione della mobilità istantanea del robot Controllo di Robot -- 6 Pag. 3

14 Vincoli Anolonomi A q q Limitazione della elocità q er A q Le elocità ammissibili possono essere generate da una matrice Gq tale che: ImGq KerAq q C Modello cinematico tipico di un robot mobile con incoli anolonomi q G q Ingresso cinematico Controllo di Robot -- 7 Modello cinematico di un WMR q G q Rappresenta le direzioni di moto ammissibili nello spazio delle configurazioni Lega gli ingressi in elocità nello spazio operatio con le deriate delle configurazioni Enecessario per affrontare le problematiche principali della robotica mobile Pianificazioni di traiettoria Controllo Localizzazione. Controllo di Robot -- 8 Pag. 4

15 Modello cinematico dell Uniciclo Un uniciclo è un eicolo aente una sola ruota orientabile cos sin Configurazione: q Vincolo: sin cos [sin, cos,] q In forma Pfaffiana: A q q A q [sin, cos,] modello cinematico: cos Ker A q span sin, Im G q cos G q sin Controllo di Robot -- 9 Modello Cinematico dell Uniciclo cos cos q + sin ω sin ω Modello cinematico dell uniciclo cos sin ω Gli ingressi e ω hanno un chiaro significato fisico:. è la elocità lineare del punto di contatto tra la ruota e il suolo ed è pari al prodotto tra elocità di rotazione della ruota attorno al suo asse orizzontale e il raggio della stessa.ω è la elocità angolare del robot, pari alla elocità di rotazione della ruota intorno all asse erticale Agendo su e ω è possibile ariare la configurazione del robot Controllo di Robot -- 3 Pag. 5

16 Modello cinematico dell Uniciclo L uniciclo propriamente detto ha grai problemi di bilanciamento in condizioni statiche In pratica si ricorre a strutture cinematicamente equialenti ma più stabili da un punto di ista meccanico. Le strutture più utilizzate sono l uniciclo a trazione differenziale differential drie e quello a trazione sincronizzata Controllo di Robot -- 3 Uniciclo differential drie Ha due ruote fisse coassiali e attuate indipendentemente e una ruota castor solitamente di dimensioni ridotte il cui scopo è di mantenere il robot in equilibrio statico q[,,]., sono le coordinate del punto medio dell asse delle ruote e è l orientamento del robot Kephera III La ruota castor è passia e le due ruote sono attuate indipendentemente. Il robot trasla se ω R ω L e ruota sul posto se ω R -ω L E la realizzazione più diffusa dell uniciclo Pioneer Sentinel Controllo di Robot -- 3 Pag. 6

17 Pag. 7 Controllo di Robot Uniciclo differential drie La elocità del punto medio dell asse delle ruote e la elocità angolare del robot ω sono legate in maniera biunioca alle elocità angolare delle ruote dalla seguente relazione: + d r r L R L R ω ω ω ω ω ω R elocità della ruota destra ω L elocità della ruota destra r raggio delle ruote d distanza tra i centri delle ruote Dato un ingresso cinematico [, ω] T da imporre all uniciclo è sempre possibile troare una coppia [ω R, ω L ] T che lo riproducono Controllo di Robot Uniciclo differential drie L R L R d r r r d r r r d r d r r r q ω ω ω ω sin cos sin cos sin cos L R d r d r r r ω ω ω / / / / E possibile troare il modello cinematico dell uniciclo differential drie con le elocità angolari delle ruote come ingresso:

18 Uniciclo a trazione sincronizzata Ha tre ruote orientabili e allineate che sono comandate in modo solidale da due soli motori attraerso un accoppiamento meccanico es.: catena, cinghia di trasmissione. Un motore impone la rotazione delle ruote attorno al loro asse orizzontale e, quindi, determina la trazione al robot. L altro motore impone la rotazione delle ruote attorno al loro asse erticale e, quindi, determina l orientamento del robot Questo tipo di robot è cinematicamente equialente all uniciclo. Il punto di coordinate, può rappresentare un punto qualsiasi del robot mentre rappresenta l orientamento del eicolo. Gli ingressi cinematici dell uniciclo ideale sono gli stessi dell uniciclo a trazione differenziale. Controllo di Robot Modello cinematico del Biciclo Un biciclo è un eicolo aente una ruota orientabile e una ruota fissa disposte come in figura. Configurazione: q ϕ, r, r C Centro di istantanea rotazione Consideriamo il caso in cui il biciclo è a trazione anteriore. Controllo di Robot Pag. 8

19 Modello cinematico del Biciclo Il sistema è soggetto a due incoli di puro rotolamento, uno per ogni ruota. f sin + ϕ cos + ϕ sin cos f f, f è la posizione cartesiana del punto di contatto della ruota anteriore f e f non fanno parte della configurazione del biciclo perché dipendono da, e f + l cos + l sin Il incolo introdotto dalla ruota anteriore è: f f sin + ϕ cos + ϕ f sin + ϕ cos + ϕ l cosϕ Controllo di Robot Modello cinematico del Biciclo I incoli cinematici del biciclo sono sin + ϕ cos + ϕ l cosϕ sin cos sin A q sin + ϕ cos cos + ϕ l cosϕ cos cosϕ sin cos Ker A q span ϕ, Im G q sinϕ l Controllo di Robot Pag. 9

20 Modello cinematico del Biciclo elocità lineare di trazione ω la elocità angolare cos cosϕ cos cosϕ sin cosϕ + sin cosϕ q ω ϕ sin sinϕ l l ω Controllo di Robot Modello cinematico del Biciclo Il biciclo propriamente detto ha grai problemi di bilanciamento in condizioni statiche In pratica si ricorre a strutture cinematicamente equialenti ma più stabili da un punto di ista meccanico. Le strutture più utilizzate sono la struttura a triciclo e l automobile. Controllo di Robot -- 4 Pag.

21 Il triciclo e l automobile Triciclo Due ruote fisse sull asse posteriore e una ruota orientabile in posizione anteriore Le ruote fisse sono controllate da un unico motore che determina la trazione. Un altro motore controlla l orientamento della ruota anteriore che determina lo sterzo Automobile Car-lie Due ruote fisse sull asse posteriore e due ruote orientabili sull asse anteriore. Il sistema è controllato da due motori. Uno determina la trazione anteriore o posteriore e l altro lo sterzo. Controllo di Robot -- 4 Il triciclo e l automobile Sia il triciclo che l automobile hanno lo stesso modello cinematico del biciclo. Il punto di coordinate, è il punto medio dell asse posteriore, è l orientamento del eicolo ϕ è l angolo di sterzo e ω sono rispettiamente la elocità di trazione e la elocità di sterzo Controllo di Robot -- 4 Pag.

22 Uniciclo e Biciclo La struttura cinematica a uniciclo e a biciclo sono le più utilizzate e diffuse nelle applicazioni in particolare quelle industriali Altre strutture cinematiche sono utilizzate per applicazioni particolari I modelli cinematici di strutture più complesse si ottengono tenendo in considerazione i incoli introdotti da ciascuna ruota. Controllo di Robot Compiti di Moto Elementare Parcheggio Inseguimento di Cammini Path Following Inseguimento di Traiettorie Controllo di Robot Pag.

23 Schema di principio di un robot mobile Attuatori Att : Motori DC con riduttori End-Effector : attrezzo, pinza, mano Sensori: Propriocettii encoder, giroscopi, Eterocettii bumbers, rangefinders infrarossi, ultrasuoni, laser, isione mono, stereo, Controllo: Alto liello Basso liello Controllo di Robot Schema di Controllo a basso liello Controllori PI ad alto guadagno controllano i motori del robot affinchè il robot si muoa secondo il profilo di elocità desiderato Il controllo a basso liello si occupa solamente di controllare gli attuatori del robot secondo le istruzioni del controllo ad alto liello Se i guadagni sono abbastanza alti, il controllo di basso liello rende il robot un sistema puramente cinematico Controllo di Robot Pag. 3

24 Schema di Controllo ad alto liello A seconda il della configurazione di setpoint, il controllo ad alto liello dee decidere che elocità imporre al robot Dal punto di ista del controllo ad alto liello il robot è un sistema puramente cinematico, con ingressi in elocità Il controllo di alto liello si occupa di decidere il moimento mentre quello a basso liello si occupa di controllare i motori affinché tale moimento sia attuato Controllo di Robot Controllo di WMR Il progetto del controllo di basso liello è semplice in quanto si riduce al progetto di un PI per un motore elettrico sistema lineare non risente dei incoli introdotti dalle ruote La pianificazione della traiettoria da seguire Fornisce il setpoint al controllo ad alto liello Dee tenere in considerazione i incoli sulla mobilità del robot Il progetto del controllo ad alto liello richiede di considerare considerare il modello cinematico di un robot dee tenere in considerazione i incoli introdotti dalle ruote E complesso perché dee controllare un sistema non lineare Controllo di Robot Pag. 4

25 Pianificazione E il problema di determinare una traiettoria nello spazio delle configurazioni per portare il robot da una certa configurazione iniziale ad una certa configurazione finale ammissibili cioè compatibili con i incoli cinematici del robot Ogni punto della traiettoria DEVE essere compatibile con i incoli cinematici del robot Esempio: Uniciclo TRAIETTORIA INAMMISSIBILE Il robot non potrà mai inseguire il riferimento perché esso non è compatibile con i incoli cinematici Controllo di Robot Pianificazione Pianificazione: Troare una traiettoria ammissibile qt per t in [t i,t f ] che porti il robot da una configurazione iniziale qt i q i a una configurazione finale qt f q f in assenza di ostacoli Una traiettoria può essere decomposta in un cammino qs e una legge oraria sst s sl Legge oraria: come ado dal punto di distanza zero dall inizio della cura al punto di distanza L dall inizio della cura. Cammino: Qual è la configurazione corrispondente al parametro s nella cura? Il cammino rappresenta la forma geometrica della cura parametrizzata da s mentre la legge oraria mi rappresenta il modo in cui la cura è percorsa. Controllo di Robot -- 5 Pag. 5

26 Pianificazione Separazione spazio temporale della traiettoria: q dq dt dq s q' s ds Affinché la traiettoria sia ammissibile per un WMR, essa dee soddisfare i incoli anolonomi del robot per cui: A q q A q q' s s > Un cammino ammissibile sarà dato da A q q' q ' G q u~ Condizione di ammissibilità geometrica del cammino Il cammino geometrico si troa determinando gli ingressi geometrici ũ. Una olta troato il cammino geometrico ammissibile, occorrerà scegliere una legge oraria st, oero la elocità a cui il cammino è percorso, per determinare completamente la traiettoria. Controllo di Robot -- 5 Pianificazione Una olta troato l ingresso geometrico ũ e determinata la legge oraria s t, qual è l ingresso cinematico da applicare al robot per farlo muoere lungo la traiettoria desiderata? q ' s G q u ~ s q G q u u? dq s G q u ~ s s ds q G q u ~ s s u t u~ s s Controllo di Robot -- 5 Pag. 6

27 Esempio Per un uniciclo i incoli anolonomi implicano la seguente condizione di ammissibilità per il cammino geometrico [sin, cos,] q' 'sin 'cos La condizione esprime il fatto che la elocità cartesiana dee essere orientata lungo la direzione del moto. I cammini ammissibili per l uniciclo sono dati da: ' cos ~ ' sin ~ ' ~ ω Una olta determinati gli ingressi geometrici, gli ingressi cinematici sono dati da t s ~ ω t ~ ωs Controllo di Robot Pianificazione tramite differential flatness Un sistema dinamico non lineare f + g u possiede la proprietà di differential flatness o piattezza differenziale se esiste un insieme di ariabili misurabili, dette uscite flat o piatte, tali che lo stato e l ingresso u possono essere espressi algebricamente in funzione di e di un certo numero delle sue deriate,,,..., u u,,,..., r r Una olta determinata una traiettoria nel tempo, risultano determinate anche la traiettoria dello stato e dell ingresso u Controllo di Robot Pag. 7

28 Pianificazione tramite differential flatness Per l uniciclo e il biciclo le coordinate cartesiane e sono uscite flat Modello geometrico dell uniciclo ' cos ~ ' sin ~ ' ~ ω l orientamento dipende dalla deriata prima delle uscite flat ', ' arctan ' / ' + π, Le due scelte possibili per dipendono dal fatto che lo stesso cammino può essere percorso a marcia aanti o a marcia indietro π. Se l orientamento iniziale del robot è assegnato, solo una di queste scelte è corretta. π Controllo di Robot Pianificazione tramite differential flatness Se un robot mobile ammette uscite piatte, queste possono essere utilizzate per risolere i problemi di pianificazione. Infatti, è possibile usare un qualsiasi schema di interpolazione per pianificare il cammino di tali uscite in modo da soddisfare le condizioni al contorno. L eoluzione delle altre ariabili associate e gli ingressi cinematici si potranno calcolare algebricamente a partire da s. Il cammino nello spazio delle configurazioni generato in tal modo soddisferà automaticamente i incoli anolonomi del robot. Controllo di Robot Pag. 8

29 Pianificazione tramite differential flatness Si consideri il problema di pianificare un cammino per l uniciclo che porti il robot da una configurazione iniziale q i i, i, i a una configurazione finale q f f, f, f. Suppongo di parametrizzare la cura con un parametro s[,]. e sono uscite flat! Pianifico la traiettoria sulle uscite flat! Una possibile pianificazione su e si può ottenere tramite un polinomio cubico 3 s s 3 s s f 3 s f 3 s i + α s i + α s s + β s s s + β s s i f Le condizioni al contorno i f su e sono soddisfatte Controllo di Robot Pianificazione tramite differential flatness Occorre che siano soddisfatte le condizioni al contorno anche sull orientamento che è legato a e. Deono allora essere soddisfatte le seguenti condizioni: i e f sono parametri liberi non nulli ma dello stesso ' i cosi ' f cos f segno. Rappresentano le ' i sin i ' f cos f elocità geometriche all istante iniziale e a quello finale e influenzano il tipo di cammino che si ottiene. Le condizioni al contorno su consentono di determinare i parametri α, α, β e β. Per esempio, se i f si ottiene: α cos f 3 α sin f 3 f f β cosi + 3i β sini + 3i Controllo di Robot Pag. 9

30 Pianificazione tramite differential flatness Una olta troata la traiettoria nello spazio delle configurazioni, quali sono gli ingressi geometrici e gli ingressi cinematici corrispondenti? Dal modello cinematico del robot si ottengono ~ s ± ' s ~ '' s ' s '' s ' s ω s ' s + ' s + ' s il segno della elocità lineare dipende dal senso di marcia Controllo di Robot Pianificazione dell Uniciclo - Algoritmo Require: q i i, i, i, q f f, f, f. Pianificare il cammino sulle uscita flat, 3 s s 3 s s f f s + α s s + β s s 3 i 3 s + α s s + β s s i. Imporre le condizioni al contorno per determinare i coefficienti α cos f 3 f α sin f 3 f β cosi + 3i β sini + 3i 3. Determinare gli ingressi geometric ~ s ± ' s + ' s ~ '' s ' s '' s ' s ω s ' s + ' s 4. Determinare la legge oraria e gli ingressi da applicare al robot t ~ s s ω t ~ ω s s Controllo di Robot -- 6 Pag. 3

31 Pianificazione tramite differential flatness q [ ] Parcheggio parallelo [ ] i q f Controllo di Robot -- 6 Pianificazione tramite differential flatness 7 π / 3 q [ ] [ ] i q f 5 Controllo di Robot -- 6 Pag. 3

32 Controllo del moto Data una traiettoria o una configurazione desiderata, costruire una legge di controllo che porti il robot a seguire la traiettoria o nella configurazione desiderata Il problema del controllo del moto di un robot mobile iene affrontato utilizzando il modello cinematico Si suppone che gli ingressi cinematici agiscano direttamente sulle ariabili di configurazione Nel caso dell uniciclo e del biciclo, gli ingressi di controllo sono e ω Questo è lecito perché nella maggior parte dei robot mobili non è possibile imporre direttamente la coppia motrice sulle ruote a causa di anelli di controllo a basso liello integrati nell architettura hardware o software. Considereremo principalmente il problema del controllo del robot a uniciclo. Controllo di Robot Controllo del moto Regolazione di configurazione: Il robot dee raggiungere una configurazione desiderata q d d, d, d T a partire da una configurazione iniziale q,, T. E il problema più difficile Inseguimento di traiettoria: Il robot dee riprodurre asintoticamente una traiettoria cartesiana desiderata d t, d t a partire da una configurazione iniziale q,, T che può essere o meno agganciata alla traiettoria Problema più semplice e di maggior interesse pratico Controllo di Robot Pag. 3

33 Inseguimento di traiettorie I-O SFL I-O SFL: Input-Output state feedbac linearization Dipende dal punto preso come riferimento del robot uscita del sistema, ossia al quale ogliamo assegnare il moto desiderato Il punto, del centro asse non può mai aere una elocità laterale rispetto all orientamento del eicolo cos sin ω P P P3 P4 Moimento istantaneo proibito Il sistema dee fermarsi e ruotare. Non è possibile percorrere una traiettoria discontinua a elocità costante Prendendo il centro asse, come uscita da controllare abbiamo dei incoli nella mobilità del robot. Controllo di Robot Inseguimento di traiettorie I-O SFL Si definisce come uscita da controllare un punto fuori dall asse delle ruote di coordinate B B + bcos + bsin b b, B B, Il punto B, B non ha più incoli cinematici e può muoersi, istantaneamente, anche lateralmente rispetto alla direzione di moto Posso definire due ingressi cinematici che determinano la elocità lungo l asse e lungo l asse del punto B Controllo di Robot Pag. 33

34 Pag. 34 Controllo di Robot Inseguimento di traiettorie I-O SFL ω ω ω ω ω + + cos sin cos sin cos sin b b b b B B ω ω T b b B B cos sin sin cos det b T La matrice T è sempre inertibile d d d d b b T ω cos sin sin cos d B d B Controllo di Robot Inseguimento di traiettorie I-O SFL Dalle relazioni precedenti si ricaa il seguente sistema lineare e disaccoppiato sui canali ingressi-uscite sin cos d d d B d B b La direzione e la direzione del punto B possono essere controllate indipendentemente l una dall altra tramite gli ingressi d e d Data una traiettoria des, des da inseguire, è possibile costruire troare d e d che garantiscono l inseguimento utilizzando queste semplici leggi lineari: B des des d B des des d + + e e des des + + e e e e e e

35 Inseguimento di traiettorie I-O SFL Una olta troati d e d, si troano gli ingressi cinematici da dare in ingresso all uniciclo per ottenere il moimento desiderato del punto B tramite T ω d d cos sin b sin cos b d d Controllo di Robot Inseguimento di traiettorie I-O SFL Il punto, arrotonda l angolo io. L arrotondamento può essere reso piccolo a piacere scegliendo b abbastanza piccolo P P P P3 P3 P4 P4 P d d d d d d d d P P P3 P4 Controllo di Robot -- 7 Pag. 35

36 IO-SFL per l Uniciclo - Algoritmo Require: q des t des t, des t, des t. scegliere il punto fuori dall asse B, B +bcos,+bsin definendo b. while True 3. Determinare d te d t tramite t d d t t + t + t t 4. Determinare t e ωt tramite des des des des B t B t t T ω t t 5. Applicare gli ingressi 6. end while d d t cos t t sin t b sin t cos t b d d t t Controllo di Robot -- 7 Esempio Controllo di Robot -- 7 Pag. 36

37 Naigazione Spesso un robot si troa a doersi muoere in un ambiente in cui sono presenti ostacoli fissi o mobili. Il robot, tramite la conoscenza dell ambiente e/o tramite l utilizzo dei sensori a bordo dee riconoscere doe sono gli ostacoli ed eitarli al fine di naigare in maniera sicura cioè senza collisioni all interno dello spazio di laoro. Naigazione: Data una configurazione di partenza e una di arrio note, è il problema di troare una percorso libero da collisioni che porti il robot dalla configurazione di partenza a quella di arrio q goal q start Controllo di Robot Bug Algorithms Gli algoritmi bug si basano sulla possibilità del robot di percepire, tramite opportuni sensori eterocettii bumpers, range finders, la presenza di un ostacolo quando i sono molto icini o addirittura quando lo stanno toccando. Idea di base: Muoere il robot in linea retta erso l obiettio. Quando si incontra un ostacolo, lo si circumnaiga fino a quando non è possibile muoersi in linea retta erso l obiettio. Si assume che il robot sia un punto es.: no controllo sull orientamento per uniciclo dotato di un sensore di contatto. Si assume inoltre che il robot sia in grado di conoscere la sua posizione, oltre a quella della configurazione di partenza e di quella obiettio. Controllo di Robot Pag. 37

38 Bug Si definisca come m-line il segmento che collega un punto a q goal Il robot ha due tipi di comportamento tra i quali commuta: motion to goal: A partire da un leae point, il robot si muoe lungo la m- line che connette il leae point al goal finchè non raggiunge il goal o incontra un ostacolo. Se il robot incontra un ostacolo, il punto di contatto iene detto hit point e il comportamento del robot commuta al boundar following. boundar following: a partire da un hit point, il robot circumnaiga l ostacolo finchè non ritorna all hit point. Poi determina il punto più icino al goal lungo il perimetro dell ostacolo e si sposta lungo il perimetro fino a raggiungere quel punto, detto leae point e il comportamento del robot commuta al motion to goal. Controllo di Robot Bug L q i leae point i-esimo q q L start i Inizializzazione H q i hit point i-esimo All inizio il sistema si troa in un leae point Controllo di Robot Pag. 38

39 Bug Se la linea che collega il leae point i-esimo con il goal intereseca l ostacolo i-esimo, allora non esiste nessun percorso che consenta di raggiungere il goal. In tal caso l algoritmo lo segnala Controllo di Robot Bug Algorithm Input: Un robot con un sensore di contatto Output: Un percorso fino a q goal o una conclusione che tale percorso non esiste : i; q L q start ; : while Foreer do : repeat 3: Da q L i-, muoiti erso q goal. 4: until q goal è raggiunto or si tocca un ostacolo a q H i 5: if Il goal è raggiunto then 6: Eit. 7: end if 8: repeat 9: Segui il bordo dell ostacolo. : until q goal è raggiunto or ci si ritroa a q H i : Determina il punto q L i sul perimetro che è alla minima distanza dal goal. : ai a q L. i 3: if la m-line che passa da q L i interseca l ostacolo su cui si troa ql i then 4: Concludi che q goal non è raggiungibile e eit. 5: end if 6: ii+ 6: end while Controllo di Robot Pag. 39

40 Bug Come per il Bug anche il Bug commuta tra due comportamenti: il motion to goal e il boundar following Per il Bug, la m-line è fissa ed è il segmento di linea che connette q start a q goal motion to goal: A partire da un leae point, il robot si muoe lungo la m- line che connette q start a q goal finchè non raggiunge il goal o incontra un ostacolo. Se il robot incontra un ostacolo, il punto di contatto iene detto hit point e il comportamento del robot commuta al boundar following. boundar following: a partire da un hit point, il robot circumnaiga l ostacolo finchè non raggiunge un punto sulla m-line, detto leae point e il comportamento del robot commuta al motion to goal. Controllo di Robot Bug L q i leae point i-esimo q q L goal i Inizializzazione H q i hit point i-esimo All inizio il sistema si troa in un leae point Controllo di Robot -- 8 Pag. 4

41 Bug Se durante il boundar following il robot incontra di nuoo il punto da cui è partito sulla m-line allora non esiste nessun percorso che consenta di raggiungere il goal. In tal caso l algoritmo lo segnala Controllo di Robot -- 8 Bug Algorithm Input: Un robot con sensore di contatto Output: Un percorso fino a q goal o una conclusione che tale percorso non esiste : i; q L q start ; : while True do : repeat 3: Da q L i-, muoiti erso q goal lungo la m-line. 4: until q goal è stato raggunto or si tocca un ostacolo allhit point q H. i 5: Gira a sinistra o a destra. 6: repeat 7: Segui il bordo dellostacolo 8: until 9: q goal è raggiunto or : q H i è raggiunto di nuoo or : la m-line è raggiunta di nuoo a un punto m tale che : m q H i il robot non ha raggiunto l hit point, 3: dm, q goal < dm, q H i il robot è più icino, e 4: Se il robot si muoe erso il goal, non entra in contatto con lostacolo. 5: Si pongta q L i+ m 6: ii+ 7: end while Controllo di Robot -- 8 Pag. 4

42 Bug o Bug? A prima ista sembra che Bug sia meglio di Bug in quanto esso non comporta una circumnaigazione completa degli ostacoli. Tuttaia, questo non è sempre ero e dipende dal tipo di ostacoli Bug è meglio di Bug Bug è meglio di Bug Controllo di Robot Bug o Bug? Bug fa una ricerca esaustia e troa il leae point migliore. Questo richiede che il robot percorra tutto il perimetro dell ostacolo Bug usa un approccio opportunistico. Quando troa un leae point che è migliore di quelli che ha isto prima, lo sceglie approccio greed Quando gli ostacoli sono semplici, tipicamente Bug è migliore di Bug Nel caso in cui gli ostacoli siano complessi, Bug è migliore di Bug Controllo di Robot Pag. 4

43 Tangent Bug E un miglioramento del Bug. Proposto in: Kamon I., Rilin E., Rimon, E., A new range-sensor based globall conergent naigation algorithm for mobile robots, IEEE International Conference on Robotics and Automation, 996 disponibile all indirizzo tp&arnumber5384&isnumber85 accessibile solo dagli indirizzi IP UNIMORE. Controllo di Robot Naigazione attraerso funzioni Potenziali Gli algoritmi bug sono indicati solamente per robot mobili che si muoono sul piano e non si considera l intera ariabile delle configurazioni Attraerso la pianificazione basata su campi potenziali è possibile pianificare il moto anche per sistemi con ariabili di configurazione di dimensione eleata. Come gli algoritmi bug, consentono di generare il percorso incrementalmente, cambiandolo man mano che un ostacolo è percepito Controllo di Robot Pag. 43

44 Naigazione attraerso funzioni Potenziali U : R m R Funzione potenziale U U U q q q q qn T Gradiente di U La funzione potenziale può essere interpretata come una funzione energia sullo spazio delle configurazioni e il gradiente di U rappresenta la forza indotta dalla presenza del potenziale. Il gradiente in una punto q punta erso la direzione in cui U cresce. Controllo di Robot Naigazione attraerso funzioni Potenziali T U q q q q + q [ q ] U q q Controllo di Robot Pag. 44

45 Naigazione attraerso funzioni Potenziali L approccio delle funzioni potenziali guida il robot come se fosse una particella immersa in un campo potenziale dato dai gradienti di sariate funzioni potenziali. Alla configurazione obiettio è associata una funzione potenziale che genera un gradiente che attira la particella mentre ad ogni ostacolo è associato una funzione potenziale che genera un gradiente che respinge le particelle. La combinazione dei due gradienti produce un percorso libero da collisioni erso la configurazione obiettio. Controllo di Robot Naigazione attraerso funzioni Potenziali Le funzioni potenziali possono essere iste come dei paesaggi in cui il robot è immerso e lungo i quali si muoe spostandosi da un punto in alto a un punto più in basso. Il robot segue un percorso in discesa, seguendo il gradiente negato della funzione potenziale. Questa tecnica di moimento si chiama discesa del gradiente gradient descent. Uq q t U q Il robot termina quando raggiunge una configurazione q* nella quale il gradiente si annulla. Questo punto può essere un minimo, un massimo o un punto di sella. Per come erranno disegnati i potenziali, q* sarà un minimo locale q Controllo di Robot -- 9 Pag. 45

46 Naigazione attraerso funzioni Potenziali Come si costruisce la funzione potenziale che genera il cammino da q start a q goal eitando gli ostacoli? q U att Potenziale attrattio. Ha il minimo in corrispondenza di q goal.il suo ruolo è di attirare il robot erso l obiettio. U rep q n obs i U rep i q Potenziale repulsio. E dato dalla somma dei potenziali repulsii per ogni ostacolo. Ha il ruolo di allontanare il robot dagli ostacoli presenti nell ambiente U q U q U q q t U q att + rep Controllo di Robot -- 9 Il potenziale attrattio Il potenziale Uatt dee essere monotonicamente crescente al crescere della distanza da q goal. In tal modo il robot, tramite gradien descent, iene attirato alla configurazione obiettio q goal. Ciò equiale a dire che q goal è una configurazione di minimo isolata e che il sistema non ha punti critici. Indicando con dq,q goal la distanza tra q e q goal, una possibile scelta è: ad U att q, q goal U att a d q, q goal a q q goal Quando il robot è lontano dall obiettio, i si aicina elocemente la forza che lo attrae è grande mentre quando il robot è icino all obiettio, i si aicina dolcemente la forza che lo attrae è piccola Controllo di Robot -- 9 Pag. 46

47 Il potenziale attrattio Controllo di Robot Il potenziale repulsio E composto da una somma di potenziali repulsii, ciascuno associato a un ostacolo. Il termine i-esimo dee essere tale da generare una forza repulsia tanto più grande quanto più il robot è icino all ostacolo i- esimo. Inoltre, esso non dee generare nessuna forza se il robot è sufficientemente lontano dall ostacolo ostacolo i-esimo. Una possibile scelta è: U rep ri q d i i * q Q d q Q* d q > Q* Q*distanza oltre la quale il robot ignora l ostacolo d i qdistanza tra il robot e l ostacolo i esimo. n obs numero di ostacoli i i U rep q n obs i U rep i q Controllo di Robot Pag. 47

48 Il potenziale repulsio *,!U repi q +, -, # ri Q * " & %!d i q d i q Q * $ d i q' d i q > Q * Se d i q a a zero allora il gradiente a a infinito! U rep q n obs i U rep i q Controllo di Robot L algoritmo di discesa del gradiente q t U U att U rep Input: Un modo di calcolare il gradiente U q in un punto q Output: Una sequenza di punti {q, q,..., qi} : q q start : i 3: while U qi do 4: qi + qi - iu qi 5: i i + 6: end while Il alore ai determina la lunghezza del passo con cui il robot scende lungo il gradiente di U. Se ai è piccolo, l algoritmo è accurato ma computazionalmente pesante mentre se ai è grande l algoritmo è più eloce ma meno accurato. La scelta di ai dipende dal tipo di applicazione. Controllo di Robot Pag. 48

49 Minimi Locali E possibile che l algoritmo di discesa del gradiente si fermi in un minimo locale Il potenziale attrattio e quello repulsio si controbilanciano!! Controllo di Robot Minimi Locali Esistono approcci per risolere il problema dei minimi locali: Wae front planners:j. Barraquand, B. Langlois, J.C. Latombe, Numerical potential field techniques for robot path planning, IEEE Transactions on Man and Cbernetics,99 disponibile a tp&arnumber4846&isnumber399 da un indirizzo IP UNIMORE Naigation Functions. Si eda il libro Principles of Robot Motion dispobilile in biblioteca Controllo di Robot Pag. 49

50 Altri algoritmi di naigazione Esistono altre tecniche di naigazione per certi ersi più complete ed efficienti di quelle illustrate sinora: Roadmaps Cell Decomposition Sampling based algorithms Si consulti il seguente testo disponibile in biblioteca per una trattazione esaustia: Choset, Lnch, Hutchinson, Kantor, Burgard, Karai, Thrun, Principle of Robot Motion- Theor, algorithms and Implementations, MIT Press 5 Controllo di Robot Controllo del Moto Altre problematiche interessanti Pianificazione in presenza di incoli cinematici elocità limitata Cammini a tempo minimo Sistemi multi robot Controllo di Robot -- Pag. 5

51 SLAM Simultaneous Localization and Mapping Per poter seguire una traiettoria desiderata un robot mobile dee conoscere la propria configurazione Per poter eseguire una strategia di naigazione non banale, un robot dee conoscere una mappa dell ambiente circostante Ogni controllore in retroazione richiede la conoscenza dello stato del robot posizione assoluta In generale, per rendere eramente autonomo un robot mobile, è necessario che esso sia in grado di localizzarsi e di costruire una mappa dell ambiente circostante Controllo di Robot -- SLAM Simultaneous Localization and Mapping Lo SLAM cerca una risposta alla domanda: E possibili usare un eicolo che parte da. una posizione iniziale ignota, in un. ambiente ignoto, per 3. costruire incrementalmente una mappa dell ambiente, e 4. allo stesso tempo usare la mappa per determinare la posizione del robot? Controllo di Robot -- Pag. 5

52 Origini: la localizzazione odometrica Odometria L odometria è la tecnica per stimare la posizione di un eicolo su ruote basandosi su informazioni proenienti da sensori che misurano lo spazio percorso da alcune delle ruote e l angolo di sterzo se presente. Gli encoder incrementali sulle ruote ne misurano la rotazione, ma non l assetto del robot in un sistema di riferimento fisso assoluto Se una ruota slitta, l encoder rilea uno spostamento che non è coerente con il cambio di assetto del robot Controllo di Robot -- 3 Localizzazione odometrica: l uniciclo cos sin ω Supponiamo comandi costanti durante ogni interallo di campionamento generalmente erificato se controllo digitale Se all istant T siano noti la configurazione q del robot i comandi e ω che saranno applicati nell interallo [,+ il periodo di campionamento T è possibile utilizzare il modello cinematico del robot per determinare q+ Controllo di Robot -- 4 Pag. 5

53 Localizzazione odometrica: l uniciclo Discretizzando il modello con il metodo di Eulero si ottiene! + + T cos! # " + + T sin! # $! +!+T" E molto semplice ma i sono alcuni errori nella localizzazione si considera come costante in [,+ non è detto che i alori comandati e ω siano quelli realmente applicati non idealità del sistema di attuazione errori douti allo slittamento delle ruote errori di calibrazione d e r errori introdotti dal sistema di trazione La localizzazione odometrica produce un dato inaffidabile e caratterizzato da un errore non deterministica significatio e che sia accumula durante il moto del robot Controllo di Robot -- 5 Uso della sola odometria GPS for reference Odometr Controllo di Robot -- 6 Pag. 53

54 Sensori Eterocettii Per compensare gli errori introdotti dall odometria e per costruire una mappa dell ambiente circostante si utilizzano sensori eterocettii, solidali al robot e capaci di misurare la posizione del robot rispetto all ambiente esterno I sensori eterocettii più utilizzati sono gli scanner laser, le telecamere monoscopiche o stereoscopiche e il GPS outdoor o indoor e, per semplici applicazioni, il sonar Controllo di Robot -- 7 Lo Scanner Laser Un fascio di raggi è emesso con un certo passo angolare e ciascun fascio restituisce la distanza dell ostacolo che colpisce. Per ogni fascio iene restituita l informazione di range distanza e bearing angolo di emissione del fascio laser Sono misurate le coordinate polari di ciascun elemento dell ambiente in un sistema di riferimento solidale al robot Controllo di Robot -- 8 Pag. 54

55 Il problema della localizzazione Data una mappa m di punti di riferimento la cui posizione è nota a priori Misurare la posizione relatia dei punti di riferimento es.: range e bearing Determinare la posizione del eicolo basandosi sulla misura un filtro è necessario perché le misure sono tipicamente rumorose La posizione dei landmar iene utilizzata per ridurre l incertezza nella posizione del robot : posizione del eicolo all stante u : l ingresso di controllo applicato all stante - e tenuto costanto nell interallo [-, + : misura del landmar pressa allistante - X : storia delle posizioni {,.., } U : storia degli ingressi di controllo {u,,u } Cristian m: insieme Secchi dei landmar Controllo di Robot -- 9 Il problema del mapping Date le posizioni del eicolo X Misurare la posizione relatia dei punti di riferimento es.: range e bearing Determinare la mappa basandosi sulla misura un filtro è necessario perché le misure sono tipicamente rumorose La posizione del eicolo iene usata per ridurre l incertezza nel rileamento dei landmar,j X : storia delle posizioni {,.., } m i : posizine del landmar i m: insieme dei landmar -,i,i Controllo di Robot -- Pag. 55

56 Il problema dello SLAM Dalla conoscenza delle misure Y Determinare la posizione del eicolo X Costruire la mappa m delle posizioni dei landmar : posizione del eicolo all stante u : l ingresso di controllo applicato all stante - e tenuto costanto nell interallo [-, : misura del landmar pressa allistante X : storia delle posizioni {,.., } U : storia degli ingressi di controllo {u,,u } Y : storia delle misure {,, } m: insieme dei landmar Controllo di Robot -- SLAM La localizzazione e il mapping sono problemi correlati due quantità incerte deono essere inferite tramite una sola misura Una soluzione può essere ottenuta solo se i problemi di localizzazione e mapping sono considerati insieme L incertezza nella posizione si correla con l incertezza della mappa! Controllo di Robot -- Pag. 56

57 SLAM - Setting Un eicolo con un modello cinematico noto si muoe in un ambiente popolato di landmar fissi modello del processo Il eicolo è dotato di un sensore che può misurare la posizione relatia tra ciascun landmar e il eicolo stesso modello dell osserazione Controllo di Robot -- 3 Modello del processo Supponiamo, per ora, che il modello cinematico del robot sia un sistema lineare descritto da: A + u w + doe A è la matrice di transizione dello stato u è il ettore degli ingressi w è un ettore aleatorio gaussiano con media nulla e matrice di coarianza Q che modella l incertezza del modello L equazione di transizione dello stato per il landmar i-esimo è data da: p p i i Controllo di Robot -- 4 Pag. 57

58 Pag. 58 Controllo di Robot -- 5 Modello del processo E possibile raggruppare la dinamica del robot e la dinamica dei landmar in un unico modello del processo Lo stato del processo è dato da Il modello del processo p descritto da: doe I pi e pi sono rispettiamente la matrice identità e la matrice nulla di ordine p i T T N T T p p w u A w u p p I I A p p N N N p p p p N p p N Controllo di Robot -- 6 Modello dell Osserazione Supponiamo, per ora, che i sensori che osserano i landmar siano lineari. Il modello dell osserazione del i-esimo landmar è dato da: doe: i è un ettore aleatorio gaussiano con media nulla e matrice di coarianza R che modella l incertezza della misura C i è la matrice di osserazione cioè la matrice di uscita che mette in relazione lo stato del processo con la misura relatia del landmar i e può essere scritta come: Il modello dell osserazione può essere pertanto riscritto come C i i i + i i C p C A A p C i p i i misura del landmar relatia alla posizione del eicolo

59 SLAM Determinare la posizione del robot e quella dei landmar equiale a stimare lo stato del processo in base alle misure Sia la dinamica del processo che quella delle misure è caratterizzata da un incertezza gaussiana Il Filtro di Kalman risole il problema! E consente di risolerlo online! Controllo di Robot -- 7 Il Filtro di Kalman Predizione Stato Predetto Coarianza Predetta Aggiornamento Innoazione Coarianza Innoazione Guadagno di Kalman Aggiornamento dello stato Aggiornamento Coarianza ˆ Aˆ + u Σ AΣ A T + Q e Cˆ S CΣ C T + R T K Σ C S ˆ ˆ + K e Σ I K C Σ Controllo di Robot -- 8 Pag. 59

60 Il filtro di Kalman Predizione Predizione dello stato ˆ Aˆ + u Predizione della coarianza Σ AΣ A T + Q Aggiornamento ˆ Σ Calcolo il guadagno di Kalman T T K Σ C CΣ C + R Aggiorno la stima con la misura ˆ ˆ + K e 3 Aggiorno la coariaza Σ I K C Σ Controllo di Robot -- 9 Filtro di Kalman Esteso Etended Kalman Filter EKF Il filtro di Kalman può essere utilizzato solo se il modello del processo e il modello dell osserazione sono sistemi lineari Il modello cinematico di un robot mobile es.: uniciclo, automobile sono nonlineari Il modello dell osserazione spesso è nonlineare es.: utilizzando scanner laser Il Filtro di Kalman Esteso EKF permettere di superare l ipotesi di linearità sul processo e sulla misura Controllo di Robot -- Pag. 6

61 EKF Il processo e le misure sono in realtà descriibili da funzioni nonlineari: f, u + w h + doe w e sono ettori aleatori di media nulla che descriono l incertezza di processo e di misura e le cui matrici di coarianza sono rispettiamente Q e R Controllo di Robot -- EKF L idea che sta alla base dell EKF è quella di approssimare il sistema il cui stato è da stimare linearizzandolo intorno allo stato stimato. Data la stima dello stato all istante -, si linearizza il sistema intorno a quello stato e poi si stima lo stato all istante. Ad ogni istante si laora su un sistema lineare e, quindi, è possibile utilizzare il filtro di Kalman per la stima dello stato Ad ogni istante, il sistema lineare che si considera è dierso perché si linearizza intorno a diersi punti di equilibrio f f, u f ˆ, u + ˆ, u ˆ f ˆ, u + F ˆ h h h ˆ + ˆ h ˆ + H ˆ ˆ Controllo di Robot -- Pag. 6

62 L algoritmo EKF Predizione Stato Predetto ˆ f ˆ, u Coarianza Predetta Aggiornamento Innoazione Coarianza Innoazione Guadagno di Kalman Aggiornamento dello stato Aggiornamento Coarianza Σ F Σ F T + Q e h ˆ S H Σ H T + R T K Σ H S ˆ ˆ + K e Σ I K H Σ Controllo di Robot -- 3 EKF Localizzazione cos sin ω Modello non lineare! Un robot di tipo differential drie dee seguire una traiettoria circolare predefinita. L inseguimento di traiettoria è implementato tramite IO-SFL ed è quindi necessario una misura della posizione del robot per costruire l azione di controllo. Il modello cinematico del robot è affetto da una incertezza di processo. La posizione del robot è misurata da una telecamera e la misura è affetta da un incertezza. Controllo di Robot -- 4 Pag. 6

63 Pag. 63 Controllo di Robot -- 5 Modello del processo ω cos cos sin cos w T w T w T ω.. b T sin cos b b B B + + B des des d B des des d + + d d b b ω cos sin sin cos 3 co Q w w w Controllo di Robot -- 6 Modello dell Osserazione co R Tramite l uscita ho un accesso diretto allo stato. L uscita è però caratterizzata da un incertezza

64 Risultati Il robot si perde e la traiettoria reale blu è diersa da quella desiderata nero. I cerchi rossi indicano le letture del sensore. Controllo di Robot -- 7 EKF Utilizzando un EKF è possibile costruire una stima dello stato robusta rispetto alle incertezze Il modello del robot è non lineare e quindi deo costruire i Jacobiani del modello del processo e del modello dell osserazione ad ogni step Controllo di Robot -- 8 Pag. 64

65 Pag. 65 Controllo di Robot -- 9 EKF Predizione Considero il modello del processo senza rumore costruisco il Jacobiano di f calcolato in sin cos, T T T u f ω, ˆ u, ˆ cos sin u T T f f f f f f f f f F Controllo di Robot -- 3 EKF Predizione Predico lo stato utilizzando il modello e aggiorno la coarianza, ˆ ˆ u f Q F F T + Σ Σ

66 Pag. 66 Controllo di Robot -- 3 EKF Aggiornamento Costruisco il Jacobiano della funzione di uscita Costruisco l innoazione e la sua coarianza + h ˆ h h h h h h h h h H ˆ h e R H H S T + Σ Controllo di Robot -- 3 EKF Aggiornamento Costruisco il guadagno di Kalman e aggiorno la stima e la sua coarianza Σ S H K T ˆ ˆ e K + Σ Σ H K I

67 Risultati Il robot blu segue la traiettoria desiderata nero e la stima della posizione del robot erde è accurata La stima iniziale è molto incerta ma il filtro di Kalman la rende sempre più accurata. Controllo di Robot CONTROLLO DI ROBOT INDUSTRIALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica ROBOTICA MOBILE Ing. Tel Pag. 67

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