Proprietà metriche di R. Funzioni da R in R. Funzioni continue da R in R. Limiti di funzioni da R in R.

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1 Università di Trieste - Facoltà d'ingegneria Corsi di Laurea in Ingegneria Chimica, Elettrica, Elettronica, dei Materiali Programma del corso di Analisi Matematica I Anno Accademico Prof. Pierpaolo Omari *Elementi di logica. Proposizioni. Operazioni logiche: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione. Proprietà delle operazioni logiche. Predicati. Quantificatori. Regole di negazione. *Elementi di teoria degli insiemi. Concetto di insieme. Elementi e appartenenza. Inclusione. Operazioni fra insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare e relative proprietà. Ripartizioni. Applicazioni fra insiemi e loro proprietà: suriezioni, iniezioni, biiezioni; immagine e controimmagine; applicazione identica e di inclusione; restrizioni e prolungamenti; composizione; inversione. Successioni e sottosuccessioni. Insieme prodotto. Relazioni binarie. Grafico di una relazione e di un applicazione. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Relazioni d'ordine. Insiemi numerici. Proprietà algebriche dei numeri reali: R è un corpo commutativo. Proprietà d'ordine dei numeri reali: R è un corpo ordinato. Equazioni e disequazioni. L'insieme N dei numeri naturali. Principio di induzione e definizione per ricorrenza. L'insieme Z dei numeri interi relativi. L'insieme Q dei numeri razionali. La retta reale. Insufficienza dei numeri razionali. Proprietà di continuità dei numeri reali: classi separate e contigue e proprietà di Dedekind. Limitazioni inferiori e superiori. Massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore e proprietà caratteristiche. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Radice n-esima in R. Valore assoluto e sue proprietà. Intervalli in R. Proprietà di Archimede. Densità di Q in R. Teorema di Cantor sugli intervalli incapsulati. Rappresentazione in base 10 di un numero reale, in particolare la rappresentazione dei numeri naturali e dei numeri razionali (cenno di dim.). Parte intera di un numero reale. Approssimazioni per eccesso e per difetto di un numero reale. Potenza con esponente naturale, intero, razionale, reale e relative proprietà. Il numero e di Nepero. L'insieme C dei numeri complessi. Proprietà algebriche. Coniugio e modulo. Rappresentazione polare. Radici n-esime. Insiemi equipotenti e cardinalità. Insiemi finiti e infiniti. Insiemi numerabili. Cardinalità di N, Z, Q, R, C. Elementi di calcolo combinatorio. Permutazioni. Disposizioni e combinazioni semplici. Formula di Newton. Proprietà dei coefficienti binomiali. Formula di Leibniz.

2 Proprietà metriche di R. Distanza euclidea in R. Intorni di un punto e proprietà relative. Intorni di +, di - e di. Punti di accumulazione. Punti isolati. Teorema di Bolzano- Weierstrass. Punti interni, esterni e di frontiera. Interno, chiusura e frontiera di un insieme e relative proprietà. Insiemi aperti e chiusi e relative proprietà. Successioni e sottosuccessioni. Successioni definite per ricorrenza. Il concetto di limite per una successione: motivazioni e definizione formale. Insiemi connessi e intervalli. Insiemi sequenzialmente compatti e insiemi chiusi e limitati (senza dim.). Funzioni da R in R. Funzioni e loro proprietà. Operazioni con le funzioni a valori reali. Parte positiva e negativa di una funzione, modulo, massimo e minimo. Funzioni monotone. Funzioni periodiche, pari, dispari. Proprietà delle principali funzioni elementari: funzioni razionali intere e fratte, polinomi e principio d'identità, fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali (senza dim.), funzioni trigonometriche e loro inverse, funzione esponenziale e funzione logaritmo (proprietà algebriche e topologiche), funzione potenza, funzioni iperboliche. Funzioni continue da R in R. Motivazioni. Continuità in un punto. Definizioni equivalenti. Funzioni discontinue. Continuità della restrizione e della composta. Caratterizzazione della continuità con le successioni. Continuità su un insieme. Teorema di compattezza. Teorema di Weierstrass. Teorema di connessione e sue conseguenze: teorema degli zeri, metodo di bisezione e applicazioni alla soluzione di equazioni. Proprietà delle funzioni continue : teorema della permanenza del segno, teorema di limitatezza locale, continuità della somma, del prodotto, della combinazione lineare, della reciproca e del quoziente. Continuità dell'inversa di una funzione monotona definita su un intervallo. Continuità delle principali funzioni elementari. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine (senza dim.). Limiti di funzioni da R in R. Motivazioni. Definizione di limite. Teorema di unicità. Limite della restrizione. Caratterizzazione dei limiti con le successioni. Limite della funzione composta e applicazioni. Limite destro e sinistro, limite infinito e all'infinito. Teoremi sui limiti: permanenza del segno, limite della somma, del prodotto, della reciproca. Teorema sul limite delle funzioni monotone. Discontinuità delle funzioni monotone. Limiti notevoli. Calcolo differenziale per funzioni da R in R. Motivazioni. Rapporto incrementale. Derivata. Derivata destra e sinistra. Derivate di ordine superiore. Derivata della somma, del prodotto, della combinazione lineare, della reciproca e del quoziente. Gli spazi C k (I) e C (I) e l'applicazione di derivazione. Derivabilità e continuità. Approssimante lineare e differenziale. Retta secante e retta tangente. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa (senza dim.). Derivate delle principali funzioni elementari. Proprietà locali

3 del primo ordine: crescenza e decrescenza locale, massimi e minimi relativi. Condizioni sulla derivata. Punti di estremo e punti critici: teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange e conseguenze. Relazioni tra crescenza locale e globale (senza dim.). Teoremi di de L'Hospital (dim. nel caso 0/0). Forme indeterminate. Teorema sul limite della derivata. Proprietà locali del secondo ordine: concavità e convessità locali. Funzioni concave e convesse su un intervallo. Relazioni reciproche (senza dim.). Punti di flesso. Condizioni sulle derivate successive. Test della derivata seconda per l'esistenza di estremi. Confronto locale di funzioni da R in R. Motivazioni. Infiniti e infinitesimi. Infiniti equivalenti e ordini di infinito. Ordinamento tra ordini di infinito. Infiniti reali, soprareali, sottoreali e infrareali. Operazioni tra ordini di infinito. Lo stesso per gli infinitesimi. Approssimazione locale di funzioni da R in R. Motivazioni. Lemma di Lagrange (senza dim.). Lemma di Peano e applicazioni alla valutazione dell'ordine di infinitesimo. Teorema di Taylor. Resto nella forma di Peano e di Lagrange. Sviluppi delle principali funzioni elementari. Applicazioni all'approssimazione numerica locale e globale di una funzione. Teoria dell'integrazione per funzioni da R in R. Motivazioni. Decomposizioni e proprietà relative. Somme inferiori e superiori e proprietà relative. Integrale di Riemann-Darboux di una funzione limitata su un intervallo compatto. Interpretazione geometrica. Formulazione equivalente dell'integrabilità. Integrabilità delle funzioni continue e monotone. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia e additività rispetto al dominio. Integrabilità del valore assoluto di una funzione, del prodotto di due funzioni e della restrizione. Teorema della media integrale. Integrale orientato. Regola di Chasles. Funzioni localmente integrabili su un intervallo. Funzione integrale e sua continuità. Teorema fondamentale del calcolo. Primitiva di una funzione. Teorema di Torricelli. Regole d'integrazione per parti e per sostituzione. Integrale indefinito. Regole d'integrazione indefinita. Integrazione indefinita delle funzioni razionali con il metodo di Hermite (senza dim.) e applicazioni all'integrazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti. Definizione di integrale in senso generalizzato di una funzione localmente integrabile. Gli argomenti contrassegnati con l asterisco * sono stati svolti in modo sistematico e dettagliato nel precorso (del cui programma si allega una copia) e poi richiamati durante il corso all occorrenza. BIBLIOGRAFIA

4 G. Anichini, G. Conti, Calcolo 1 Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna, G. Prodi, Analisi Matematica, Boringhieri, Torino, M. Dolcher, Elementi di Analisi Matematica, Lint, Trieste, R.A. Adams, Calcolo differenziale 1 e 2Casa Editrice Ambrosiana, Milano, Dispense disponibili in rete. Trieste, Programma del precorso Anno Accademico Dott. M. Brundu, Dott. S. Maset, Prof. M. Reni, Prof. G. Sacchiero Logica. Proposizioni, operazioni logiche di negazione, congiunzione e disgiunzione (inclusiva e esclusiva), equivalenza logica, proprieta' delle operazioni logiche, implicazione, implicazione contronominale, dimostrazioni per assurdo, contraddizioni, tautologie, doppia implicazione, predicati,quantificatori,proprieta'dei quantificatori, precisazioni sulla relazione di uguaglianza. Teoria degli insiemi. Elementi, insiemi, appartenenza, uguaglianza di insiemi, insieme universo, insieme vuoto, insiemi singoli, i due modi di descrivere gli insiemi: mediante elencazione degli elementi e mediante una proprieta', diagrammi di Venn, relazione di inclusione, insieme delle parti, operazioni insiemistiche di complemento, relazione di inclusione, insieme delle parti, operazioni insiemistiche di complemento, intersezione e unione, proprieta' delle operazioni insiemistiche, legame tra operazioni logiche e operazioni insiemistiche, altre operazioni insiemistiche: differenza e differenza simmetrica. Prodotto cartesiano: n-uple, prodotto cartesiano, grafico di un predicato, identicazione di un predicato con il proprio grafico. Relazioni: rappresentazione di una relazione mediante diagramma cartesiano e mediante diagramma a frecce, inversa di una relazione, dominio e codominio di

5 una relazione. Funzioni: funzioni come particolari relazioni, immagine e contro-immagine di un insieme secondo una funzione, funzione identita' di un insieme, funzioni invertibili (o iniettive), restrizione di una funzione ad un insieme, inversione forzata, funzioni suriettive e biettive, corrispondenza biunivoca tra insiemi, composizione di funzioni e proprieta'. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza.insieme quoziente modulo una relazione di equivalenza. Strutture algebriche. Nozione di operazione. Proprieta' associativa e commutativa. Elemento neutro. Nozione di inverso (opposto) di un elemento. Esempi in N e Z e nell'insieme delle rotazioni di un triangolo. Nozione di gruppo ed esempi: rotazioni di poligoni regolari. Nozione di anello. Classi di resto modulo p: La relazione di equivalenza della congruenza. Insieme quoziente Z_p. Operazioni di somma e prodotto in Z_p. Semplici equazioni risolte in Z_p. Tabelle delle operazioni: non tutti gli elementi in Z_p sono invertibili (solo se p e' un numero primo). Numeri razionali: Costruzione di Q come quoziente di Z x Z*. Operazioni in Q: struttura di anello. Nozione di campo: verifica che Q e' un campo. Idea intuitiva del campo reale. Campo complesso:operazioni in C. C e' un campo. Piano di Gauss. Forma trigonometrica di un numero complesso: modulo e argomento. Elevamento a potenza. Formula di De Moivre. Estrazione di radice. Rappresentazione nel piano di Gauss delle radici i-esime. Coniugio e proprieta'. Esercizi sui numeri complessi. Polinomi. Radice di un polinomio. Molteplicita'. Decomposizione. Teorema di Ruffini. Teorema fondamentale dell'algebra. Campi algebricamente chiusi. Polinomi complessi a coefficienti reali. Introduzione alla dimostrazione di un Teorema. Principio di non-contraddizione. Principio di invarianza. Principio del massimo-minimo. Principio del contenitore. Cenno al principio di induzione. Esempi di dimostrazione di Teoremi elementari (es. la radice quadrata di due non e' un numero razionale).

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