( ) = gdt = g dt = gt +

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1 Gave lanicato veso l alto (1/3) Vogliamo studiae il moto di un copo lanciato veso l alto con una ceta velocità iniziale v =, soggetto unicamente alla foza di attazione gavitazionale teeste (si tascua l attito dell aia). Se poniamo la quota di patenza uguale a zeo, le condizioni iniziali sono quindi = 5ms 1 Poiché l unica foza agente sul copo è l attazione gavitazionale teeste P = mg applicando il secondo pincipio otteniamo: P = m P ovveo m / g = m / = g Integando ispetto al tempo otteniamo la velocità del gave: t ( ) = gdt = g dt = gt + Un ulteioe integazione ci dà l espessione dello spazio pecoso dal gave: = ( gt + )dt = g tdt + dt = 1 2 gt 2 + t + = 1 2 gt2 + t dove si è posto coeentemente con le condizioni iniziali.

2 Gave lanicato veso l alto (2/3) Ci chiediamo oa quanto tempo impiega il gave dopo a aggiungee la massima altezza e qual è la quota aggiunta. Quando il gave aggiunge la quota massima esso si fema pe un istante pima di invetie il veso delmoto e icadee veso tea; l istante t M in cui ciò avviene è quindi quello in cui ( t M ), cioè: gt M + Risolvendo ispetto a t e sostituendo i valoi pe e g otteniamo: t M = g = 5ms s 9.8ms La quota massima aggiunta si ottiene inseendo il tempo t M tovato nell espessione dello spazio pecoso: ( t M ) = M = 1 2 gt 2 M + t M = ms 2.26s 2 + 5ms 1.51s = P = 1.28m m =1.27m Ci chiediamo infine quanto tempo impiega il gave pe tonae al punto di patenza e con quale velocità aggiunge il suolo; imponiamo quindi che sia t ( ) : 1 2 gt 2 + t t 1 2 gt

3 Gave lanicato veso l alto (3/3) Le due soluzioni di questa equazione di secondo gado coispondono una all istante iniziale e l alta all istante cecato in cui il gave tona alla quota di patenza: t 1 t 2 = 2 g P Il tempo t 2 è esattamente due volte il tempo, tovato pecedentemente, che il gave impiega pe aggiungee la quota massima. Il moto pesenta quindi delle simmetie evidenziate anche dalla velocità aggiunta dal gave nell istante in cui aggiunge la quota iniziale: ( t 2 ) = gt 2 + = / g 2 g / + = 2 + = che è uguale in modulo alla velocità impessa all istante iniziale ma dietta nel veso opposto (da qui il segno negativo).

4 Gittata di un poiettile (1/3) v ϑ Consideiamo un poiettile lanciato con una ceta velocità iniziale v che foma un angolo ϑ con il veso positivo dell asse delle ascisse. Come nel caso del gave lanciato veso l alto anche pe il poiettile suppoemo che sia soggetto unicamente alla foza di attazione gavitazionale teeste e quindi tascueemo l attito dell aia. Ci poponiamo di deteminae l angolo ϑ MAX pe il quale il poiettile ha gittata massima. Poniamo come condizioni iniziali che le coodinate del punto di patenza coincidano con l oigine del nosto sistema di ifeimento catesiano: Le componenti ed della velocità iniziale sono date dalle poiezioni del vettoe v sugli assi coodinati: v v = v cosϑ = v sinϑ Le foze agenti sul poiettile si iducono, con le noste ipotesi, alla sola foza di attazione gavitazionale. Sciviamo quindi la seconda legge della dinamica pe le due componenti del moto: m m = mg L acceleazione lungo la diezione oizzontale è quindi nulla mente quella lungo la diezione veticale è pai all acceleazione di gavità: = g

5 Gittata di un poiettile (2/3) v ϑ MAX Integando ispetto al tempo queste due equazioni otteniamo le componenti ed della velocità del poiettile: ( ) = ( t) t ( ) = t dt = dt + v = v ( t) dt = g dt = gt + v Un ulteioe integazione ispetto al tempo ci dà le equazioni paametiche della taiettoia del poiettile: ( t) = ( t) dt = v dt = v t + = v t ( t) = ( t) dt = ( gt + v )dt = 1 2 gt 2 + v t + = 1 2 gt 2 + v t Pe deteminae la distanza aggiunta dal poiettile ispetto al punto di patenza possiamo ad esempio calcolae il tempo necessaio affinché il poiettile aggiunga nuovamente la quota inziale: ( t) 1 2 gt2 + v t t 1 2 gt + v La seconda soluzione dell ultima equazione ci dà il tempo cecato: t 1, t 2 = 2v g

6 Gittata di un poiettile (3/3) v ϑ MAX La distanza aggiunta dal poiettile si ottiene inseendo il tempo appena tovato nell equazione paametica del moto pe la componente oizzontale: 2v ( t 2 ) = v t 2 = v g = 2v 2 g cosϑ sinϑ Fissato il modulo della velocità iniziale v, la distanza dipende solo dall angolo ϑ. Deivando quindi questa funzione ( ϑ ) ispetto a ϑ ed uguagliando a zeo icaviamo il valoe dell angolo ϑ MAX pe il quale la distanza aggiunta è massima: d dϑ = 2 g v 2 d cosϑ sinϑ dϑ ( ) = 2 g v 2 ( sin 2 ϑ + cos 2 ϑ )dϑ Rielaboando l espessione compesa nelle paentesi e icodando dalla tigonometia che sin 2 ϑ + cos 2 ϑ =1 otteniamo: 1+ 2cos 2 ϑ MAX cos 2 ϑ MAX = 1 2 cosϑ MAX = 2 2 pe cui l angolo pe il quale il poiettile aggiunge la massima distanza dal punto di patenza è: ϑ MAX = π 4 = 45