ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO MAXISPERIMENTAZIONE SCIENTIFICA PROG. BROCCA TEMA DI FISICA ANNO 2012 Svolgimento a cura di Massimo Macchioro

Transcript

1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO MAXISPERIMENTAZIONE SCIENTIFICA PROG. BROCCA TEMA DI FISICA ANNO 2012 Svolgimento a cura di Massimo Macchioro Il candidato svolga una relazione su uno solo dei seguenti due temi, a sua scelta, prestando particolare attenzione al corretto uso della terminologia scientifica, delle cifre significative e delle unità di misura nella presentazione dei risultati numerici. Primo tema Con la storica memoria dal titolo Teoria della legge di distribuzione dell energia dello spettro normale presentata all Accademia delle Scienze di Berlino il 14 dicembre 1900, Max Planck introdusse il concetto di quantizzazione dell energia, presentando una formula matematica che forniva risultati coerenti con i dati sperimentali ricavati dall analisi dello spettro del corpo nero. Prendendo spunto dai risultati teorici di Planck, Einstein riuscì a spiegare il fenomeno dell effetto fotoelettrico che appariva incomprensibile utilizzando la teoria elettromagnetica di Maxwell. Il candidato spieghi: a) che cosa s intende per corpo nero e descriva sinteticamente le deduzioni teoriche di Planck; b) la differenza tra la produzione e la propagazione di un onda elettromagnetica secondo la teoria quantistica di Planck e la successiva ipotesi dei fotoni avanzata da Einstein; c) il fenomeno dell effetto fotoelettrico, come oggi lo conosciamo grazie ad Einstein, descrivendone almeno un applicazione. Risolva, infine, il seguente problema. Sopra una lastra di metallo fotosensibile incide un onda elettromagnetica con lunghezza d onda λ = 200 nm e sugli elettroni estratti per effetto fotoelettrico agisce un campo magnetico caratterizzato da un vettore induzione magnetica di modulo B = T, perpendicolare alla loro direzione di propagazione. Risentendo l effetto del campo magnetico, gli elettroni si muovono su una traiettoria circolare con un raggio massimo di 20 cm. Il candidato calcoli in ev il lavoro di estrazione da questo metallo ed esprima poi la sua opinione sulla possibilità di ottenere l effetto fotoelettrico utilizzando con lo stesso metallo un onda elettromagnetica con lunghezza d onda λ = 400 nm. Si trascurino gli effetti relativistici. Si ricordano i seguenti valori: Velocità della luce: c = 2, m/s; Costante di Planck: h = 6, J s; Massa a riposo dell elettrone: m e = 9, kg; Carica dell elettrone: e = 1, C. 1

2 1. Il candidato spieghi che cosa s intende per corpo nero e descriva sinteticamente le deduzioni teoriche di Planck Per corpo nero si intende un corpo in grado di assorbire tutta l energia che riceve. Il modello di corpo nero ideale è costituito da una cavità provvista di un piccolo foro: la radiazione che entra nella cavità attraverso questo foro ha una probabilità nulla di uscire da essa prima di essere assorbita dalle pareti del corpo. Dato che un buon assorbitore è anche un ottimo emettitore, possiamo affermare che un corpo nero alla temperatura T emette radiazione la cui intensità può essere calcolata utilizzando la legge di Stefan Boltzmann: dove I (intensità) è, per definizione, la potenza emessa per unità di superficie: T è la temperatura assoluta e σ = 5, W/(m 2 K 4 ) è una costante. Gli studi sperimentali sulla radiazione di corpo nero avevano portato a una caratteristica curva dell energia emessa in funzione delle lunghezza d onda della radiazione emessa e della temperatura 2

3 Ogni curva corrisponde a una diversa temperatura, si nota la presenza di un valore caratteristico di λ al quale corrisponde la massima energia emessa. Al variare della temperatura, questo valore varia secondo la legge dello spostamento di Wien: dove la costante ha il valore di 2, m K. Questa legge, in pratica, afferma che la lunghezza d onda di picco è inversamente proporzionale alla temperatura assoluta. Nella figura è evidente lo spostamento verso sinistra del picco dell energia. La forma caratteristica di questa curva non era spiegabile in termini di Fisica classica, infatti la previsione teorica non spiegava la presenza della λ di picco, anzi ipotizzava addirittura valori infinitamente grandi dell energia emessa in corrispondenza ai valori di λ della radiazione ultravioletta. Per risolvere il problema, Planck avanzò un ipotesi rivoluzionaria: considerando la cavità del corpo nero come costituita da un numero enorme di cariche oscillanti, ciascuna dotata di una propria frequenza di risonanza, e quindi in grado di scambiare energia solo per valori multipli interi di essa, ipotizzò che la radiazione poteva scambiare energia con questi oscillatori solo per valori discreti, secondo la legge: Pertanto, pur essendo continua l energia trasportata dalla radiazione, risulta quantizzata l energia scambiata. In questa legge, f è la frequenza della radiazione, mentre h è una costante caratteristica, detta costante di Planck: La quantità costituisce il quanto di energia, cioè quel valore minimo e non frazionabile di energia scambiata dal singolo oscillatore. 2. Il candidato spieghi la differenza tra la produzione e la propagazione di un onda elettromagnetica secondo la teoria quantistica di Planck e la successiva ipotesi dei fotoni avanzata da Einstein Nonostante l ipotesi quantistica, per Planck la produzione e la propagazione delle onde elettromagnetiche avviene secondo quanto previsto dalla teoria elettromagnetica di Maxwell. Per generare un onda elettromagnetica è necessario accelerare le cariche, ciò può essere ottenuto sia mediante opportuni circuiti oscillanti collegati a un antenna a dipolo (onde radio TV, microonde), si mediante oscillazioni atomiche (infrarosso), transizioni degli elettroni (visibile, ultravioletto), decelerazioni di elettroni contro un bersaglio (raggi X), transizioni nucleari (raggi γ). La propagazione delle onde, invece, avviene secondo quanto previsto dalla III e IV equazione di Maxwell, secondo le quali i campi elettrici e magnetici non stazionari prodotti dalle cariche oscillanti sono in grado l uno di rigenerare l altro e di viaggiare nel vuoto alla velocità 3

4 dove e sono rispettivamente la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del vuoto. Pertanto possiamo concludere che secondo Planck l aspetto quantistico della radiazione emerge unicamente negli scambi di energia con la materia. Secondo Einstein, invece, è la radiazione in stessa ad avere una natura corpuscolare. Per spiegare l effetto fotoelettrico, Einstein suppose che la radiazione fosse costituita da un gran numero di quanti di energia, detti fotoni, ciascuno dotato di energia hf. I fotoni sono prodotti sempre dall accelerazione delle cariche, per esempio nella transizione tra due livelli energetici di un elettrone si produce un fotone di frequenza: I fotoni sono concepiti come particelle aventi velocità nel vuoto pari a c, dotati di quantità di moto e privi di massa. Quest ultima proprietà può essere dedotta dalla relazione relativistica ricordando che per la teoria elettromagnetica di Maxwell, essa risulta vera solo se m 0 = Il candidato spieghi il fenomeno dell effetto fotoelettrico, come oggi lo conosciamo grazie ad Einstein, descrivendone almeno un applicazione L effetto fotoelettrico consiste nell emissione di elettroni da parte di un metallo, quando viene investito da radiazione elettromagnetica di opportuna frequenza. Gli elettroni liberi del metallo prossimi alla sua superficie, in condizioni normali, non hanno l energia sufficiente per superare la piccola barriera di potenziale che ne impedisce l emissione. Tuttavia se essi assorbono una piccola quantità di energia, in genere di pochi ev, pari al cosiddetto lavoro di estrazione, essi abbandonano la superficie del metallo. Questa energia può essere fornita mediante riscaldamento (effetto termoelettronico) o mediante radiazione elettromagnetica (effetto fotoelettrico). Sperimentalmente, l effetto fotoelettrico può essere studiato ponendo in un tubo a vuoto due elettrodi, di cui uno ricoperto del metallo che si vuole studiare. Si collegano gli elettrodi a una sorgente di f.e.m. variabile, in modo da variare la d.d.p. tra gli elettrodi, e a un microamperometro per misurare la corrente. 4

5 Illuminando la placca metallica, si possono notare due fatti inspiegabili per la Fisica classica: il primo è la presenza di una frequenza minima della radiazione, detta frequenza di soglia, al di sotto della quale non vengono emessi elettroni neanche per fasci molto intensi; il secondo può essere evidenziato, una volta ottenuta l emissione di elettroni con radiazione di frequenza superiore a quella di soglia, studiando la relazione tra tensione e corrente, e ripetendo la prova con fasci di diversa intensità. Si ottiene il seguente grafico: Ponendo la placca metallica a un potenziale minore dell altro elettrodo (ΔV > 0), gli elettroni vengono accelerati provocando un aumento della corrente, fino ad arrivare a un valore di saturazione, corrispondente al fatto che tutti gli elettroni emessi nell unità di tempo raggiungono l elettrodo positivo. La corrente di saturazione aumenta all aumentare dell intensità, e ciò è spiegabile ammettendo che fasci più intensi determinino l emissione di un maggior numero di elettroni nell unità di tempo. Invertendo le polarità degli elettrodi (ΔV < 0), gli elettroni vengono invece respinti fino ad annullare la corrente. La d.d.p. per la quale la corrente si annulla è detta potenziale d arresto. In questa situazione, anche gli elettroni dotati di maggior energia cinetica non riescono a raggiungere l elettrodo negativo, per cui è facile ottenere la relazione tra energia cinetica massima degli elettroni e potenziale d arresto: 5

6 Dal grafico tensionecorrente appare evidente il fatto non spiegabile classicamente: fissato il metallo e la frequenza della radiazione, il potenziale d arresto dovrebbe aumentare, in valore assoluto, col crescere dell intensità del fascio, ciò perché a maggior intensità dovrebbe corrispondere una maggiore energia ceduta agli elettroni, e quindi, per la relazione precedente, un maggior potenziale d arresto. Il grafico, invece, evidenzia un potenziale d arresto sempre uguale a qualunque intensità. Questi fatti non spiegabili classicamente furono brillantemente spiegati da Einstein nel 1905 con il modello a fotoni della radiazione elettromagnetica, in base al quale, come esposto precedentemente, la radiazione viene pensata come quantizzata. Secondo la spiegazione di Einstein, l estrazione di elettroni avviene grazie all interazione tra i singoli fotoni e gli elettroni. Un fotone riesce a strappare un elettrone dalla superficie del metallo se la sua energia hf è almeno uguale al lavoro di estrazione W 0 : avendo indicato con f 0 la frequenza di soglia. Quindi, in accordo con le evidenze sperimentali, se la radiazione elettromagnetica non possiede una frequenza almeno uguale a quella di soglia, neanche fasci di grande intensità possono generare l emissione di elettroni. I valori di f 0 corrispondono alla radiazione visibile per alcuni metalli, ultravioletta per altri. L indipendenza dell energia cinetica massima degli elettroni dall intensità del fascio fu spiegata da Einstein imponendo che essa fosse uguale alla differenza tra l energia del fotone e il lavoro di estrazione: l energia cinetica massima cresce linearmente al crescere della frequenza della radiazione ( è una costante) ed è indipendente dall intensità. Un fascio più intenso, pertanto, è costituito da un maggior numero di fotoni ed è in grado di estrarre un maggior numero di elettroni (viene confermato, quindi, il crescere della corrente di saturazione al crescere dell intensità), ma non influisce sull energia degli stessi. Introducendo il potenziale d arresto, la relazione precedente diventa: Graficamente, questa legge ha significato solo per f f 0 è rappresentata da una semiretta di coefficiente angolare, mentre il termine noto rappresenta il potenziale di estrazione. Si nota che per metalli differenti le semirette che rappresentano il potenziale d arresto in funzione della frequenza della radiazione hanno tutte la stessa pendenza e, pertanto, saranno parallele tra loro; ciò in quanto il coefficiente angolare dipende unicamente da due costanti, cioè la costante di Planck e la carica dell elettrone. La conferma sperimentale a questa previsione del modello a fotoni di Einstein avvenne nel 1916 per opera di Millikan, che eseguendo misure per diversi metalli ottenne una serie di semirette parallele. 6

7 potenziale d arresto Matematicamente.it metallo A metallo B f 0A f 0B frequenza Tra le applicazioni tecnologiche dell effetto fotoelettrico, la più importante è la cellula fotoelettrica. Essa è costituita da un involucro sotto vuoto nel quale sono disposti 2 elettrodi collegati a una batteria: il catodo, collegato al polo negativo, rivestito di una sostanza fotosensibile, e l anodo, collegato al polo positivo. Illuminando il catodo, esso emette elettroni per effetto fotoelettrico e si genera così una corrente nel circuito. Se però un oggetto si interpone tra la sorgente luminosa e il catodo, quest ultimo non emette più elettroni e la corrente si interrompe. Questo semplice dispositivo è usato, per esempio, nei cancelli ad apertura automatizzata, nei quali il passaggio di una persona ne blocca la chiusura, e negli impianti d allarme, nei quali l interruzione del raggio luminoso provoca un segnale acustico. Il candidato risolva, infine, il seguente problema. Sopra una lastra di metallo fotosensibile incide un onda elettromagnetica con lunghezza d onda λ = 200 nm e sugli elettroni estratti per effetto fotoelettrico agisce un campo magnetico caratterizzato da un vettore induzione magnetica di modulo B = T, perpendicolare alla loro direzione di propagazione. Risentendo l effetto del campo magnetico, gli elettroni si muovono su una traiettoria circolare con un raggio massimo di 20 cm. Il candidato calcoli in ev il lavoro di estrazione da questo metallo ed esprima poi la sua opinione sulla possibilità di ottenere l effetto fotoelettrico utilizzando con lo stesso metallo un onda elettromagnetica con lunghezza d onda λ = 400 nm. Si trascurino gli effetti relativistici. Si ricordano i seguenti valori: Velocità della luce: c = 2, m/s; Costante di Planck: h = 6, J s; Massa a riposo dell elettrone: m e = 9, kg; Carica dell elettrone: e = 1, C. 7

8 Nota la lunghezza d onda della radiazione incidente ricaviamo la corrispondente frequenza: Conoscendo il raggio della traiettoria circolare imposta agli elettroni dal campo magnetico, è possibile risalire alla velocità massima degli stessi. Infatti è noto che quando una carica entra perpendicolarmente in un campo magnetico, la forza di Lorentz: risulta perpendicolare alla velocità iniziale delle cariche e avrà pertanto un azione centripeta, rendendo circolare uniforme il moto delle cariche. Uguagliando il modulo della forza di Lorentz a quello della forza centripeta: con pochi passaggi si ottiene l espressione della velocità massima: nella quale q e m sono rispettivamente la carica e la massa dell elettrone. Sostituendo gli opportuni valori si ottiene: notiamo che, essendo, appare plausibile trascurare qualunque effetto relativistico. Sfruttando la legge dell effetto fotoelettrico: possiamo ricavare il lavoro di estrazione W 0 : trasformiamo, come da richiesta, questo risultato in ev, ricordando che 1 ev = 1, J: 8

9 Ricaviamo ora la frequenza della nuova radiazione incidente: ricaviamo la frequenza di soglia del metallo: la frequenza della nuova radiazione incidente è inferiore a quella di soglia, pertanto non si può avere emissione di elettroni. Nello svolgimento dei calcoli si sono considerati significativi gli zeri finali dei dati, sono stati eseguiti tutti gli arrotondamenti dei risultati secondo regola, e, secondo la prassi più consolidata, sono stati usati valori non arrotondati nei passaggi intermedi. 9

10 Secondo tema Il candidato, dopo aver spiegato il concetto di capacità elettrica e il funzionamento di un condensatore, ne descriva i processi di carica e di scarica attraverso un resistore trattando, in particolare, le relazioni matematiche che regolano tali processi e le trasformazioni energetiche in gioco. Risolva poi il problema che segue. Nel circuito riportato in figura l interruttore T può essere spostato nelle posizioni 1 e 2. Inizialmente T si trova nella posizione 1 e il sistema costituito dai tre condensatori di capacità C 1 = 10 μf, C 2 = 14 μf e C 3 = 8 μf è caricato da un generatore fino a raggiungere ai suoi capi la d.d.p. di 10 V. Successivamente, T è spostato nella posizione 2 e i condensatori si scaricano attraverso i tre resistori R 1, R 2, e R X. Conoscendo i valori delle resistenze R 1 = 3 MΩ e R 2 = 1 MΩ, il candidato calcoli il valore di R X in modo che la differenza di potenziale ΔV AB ai capi del sistema di resistori sia il 36,8% del suo valore massimo dopo 18 secondi dall inizio del processo di scarica. Calcoli, inoltre, l energia dissipata per effetto Joule dall insieme dei tre resistori e, in particolare, quella dissipata dal resistore R X. 10

11 Il candidato, dopo aver spiegato il concetto di capacità elettrica e il funzionamento di un condensatore, ne descriva i processi di carica e di scarica attraverso un resistore trattando, in particolare, le relazioni matematiche che regolano tali processi e le trasformazioni energetiche in gioco. Consideriamo un conduttore qualunque posto nel vuoto e supponiamo di caricarlo mediante un generatore o una macchina elettrostatica: si nota sperimentalmente che la carica distribuita sul conduttore e il potenziale che esso assume sono grandezze direttamente proporzionali. Il rapporto tra la carica e il potenziale, pertanto, costituisce una caratteristica intrinseca del conduttore che prende il nome di capacità elettrica: l unità di misura della capacità è il farad: definito come la capacità di un conduttore che, portato al potenziale di 1 V, assume una carica di 1 C. La capacità elettrica dipende essenzialmente dalla geometria del conduttore, infatti su un conduttore sferico di raggio R si ha: quindi la capacità è direttamente proporzionale al raggio. I valori delle capacità dei conduttori sono molto piccoli rispetto al farad, infatti, per esempio, una sfera metallica conduttrice di raggio 1 m ha capacità: pertanto è giustificato, nella pratica, l uso corrente dei sottomultipli del farad: pf = F nf = 10 9 F μf = 10 6 F Il principio di funzionamento di un condensatore risiede nel fatto che due conduttori avvicinati possiedono una capacità maggiore di quando sono lontani: infatti, considerando una lamina metallica con carica Q positiva e a potenziale V, ponendo parallelamente a essa e a una distanza d una seconda lamina identica inizialmente scarica, supponendo inoltre che questa seconda lamina sia collegata a terra, si può osservare il fenomeno dell induzione elettrostatica: 11

12 lamine a grande distanza lamine avvicinate a una distanza d La seconda lamina assume la stessa carica della prima, ma con segno contrario. Immaginando il sistema delle due lamine come isolato, possiamo affermare che, mentre la carica Q della prima lamina non è variata, il campo elettrico della lamina negativa abbassa il potenziale della prima: si ha pertanto una nuova capacità: ma, essendo V < V si ha C > C. Il sistema illustrato si chiama condensatore piano. Le lamine metalliche che lo costituiscono vengono chiamate armature. La capacità di un condensatore è definita come il rapporto tra la carica di un armatura e la differenza di potenziale tra di esse: solitamente si pone uguale a 0 il potenziale dell armatura positiva. Si dimostra facilmente che anche la capacità del condensatore dipende dalla sua geometria, infatti, detta A l area di un armatura, d la loro distanza, σ la densità di carica di un armatura, e ricordando che il campo elettrico all interno del condensatore ha modulo σ/ε 0, si ha che: 12

13 la capacità è pertanto direttamente proporzionale all area e inversamente proporzionale alla distanza. La capacità di un condensatore può essere aumentata interponendo tra le armature un dielettrico: infatti, subendo il fenomeno della polarizzazione, esso abbassa il campo elettrico all interno del conduttore e, di conseguenza, la d.d.p. tra le armature: E vuoto E pol E tot il campo di polarizzazione è sempre discorde al campo nel vuoto, per cui E tot < E vuoto. Essendo il sistema isolato, la carica delle armature non varia, per cui la capacità diventa: ma ΔV < ΔV C mat > C vuoto. Detta ε r la costante dielettrica relativa del materiale interposto, si dimostra che il fatto che ε r > 1 per ogni materiale conferma l aumento della capacità. Un altro modo per variare la capacità è quello di collegare due o più condensatori in modo da formare una rete di condensatori. I due tipi fondamentali di collegamento sono: collegamento in serie, quando sulle armature del condensatore è posta la stessa carica: C 1 C 2 V A V B Q Q in questo caso la capacità equivalente si ottiene con la regola: 13

14 che nel caso di soli due condensatori si riduce a: collegamento in parallelo, quando i condensatori sono sottoposti alla stessa d.d.p. C 1 Q 1 V A V B Q 2 in questo caso la capacità equivalente è la somma delle capacità dei singoli condensatori: C 2 Quando viene caricato, il condensatore si comporta da vero e proprio contenitore di energia elettrostatica: si dimostra, infatti, che l energia immagazzinata in un condensatore è uguale al lavoro compiuto dal generatore per trasportare la carica Q sulle armature, applicando il calcolo integrale si perviene alla seguente formula dell energia: che può essere riscritta nelle forme alternative oppure Per quanto detto, appare importante analizzare attentamente il processo di carica di un condensatore. Il circuito di carica è composto essenzialmente da un generatore ideale di corrente continua, una resistenza R e un condensatore C, per cui è solitamente chiamato circuito RC. 14

15 R V C Alla chiusura dell interruttore, la corrente iniziale porta una prima quantità di carica sull armatura positiva, mentre l altra per induzione si carica negativamente. Negli istanti successivi, l aumento della carica e del potenziale di C abbassa la d.d.p. tra la batteria e il condensatore, per cui la corrente diminuisce e, di conseguenza, diminuisce anche l apporto di nuova carica sulle armature. Il processo termina quando, essendosi portato il condensatore alla stessa V della batteria, diventa nulla la corrente sulle armature avremo la carica massima. La descrizione matematica del processo si ha scrivendo l equazione del circuito, ricavabile facilmente dal 2 principio di Kirchhoff: essendo si ha: l equazione differenziale così ottenuta ha per soluzione: derivando si ottiene l espressione della corrente: dove Le rispettive rappresentazioni grafiche sono: 15

16 Q Q max t i i max t L analisi delle curve ottenute ci dice che, in senso strettamente matematico, la carica massima e l azzeramento della corrente si ottengono solo per tempi infinitamente lunghi. Nella realtà, però, dopo un certo Δt la carica raggiunge un valore identificabile con quello massimo. Ciò può essere evidenziato introducendo la costante di tempo del circuito: riscriviamo le leggi della carica e della corrente in funzione di : ponendo nelle 2 formule t = τ, si può definire τ come il tempo necessario affinché la corrente si riduca a 1/e del valore iniziale, ovvero come il tempo necessario affinché la carica raggiunga un valore pari a del valore massimo. In termini pratici, essendo, rappresenta il tempo necessario affinché la corrente si riduca al 36,8% circa del valore iniziale e, nel contempo, affinché la carica 16

17 raggiunga il 63,2% del valore iniziale. Dalle formule deduciamo che, trascorsi alcuni, la differenza tra il valore massimo della carica e quello raggiunto diventa trascurabile, ad esempio dopo 5 si ha: la carica è pertanto oltre il 99% del valore massimo, mentre la corrente è inferiore all 1% del valore iniziale. Nelle situazioni più comuni l ordine di grandezza di varia da poche frazioni di secondo ad alcune decine di secondi, per esempio per un condensatore da 10 μf che si carica attraverso una resistenza di 1 kω si ha: mentre considerando lo stesso condensatore con R = 1 MΩ la costante di tempo diventa uguale a 10 s. Pertanto possiamo concludere che la situazione finale di carica massima e corrente nulla si raggiunge in tempi relativamente brevi. Analizziamo ora il processo di carica attraverso considerazioni energetiche. Dato che nell intero processo il generatore trasporta una carica totale Q max a potenziale costante V, possiamo dire che il lavoro totale compiuto dal generatore è dato dal prodotto di questa carica per il potenziale: sappiamo però che termine della carica il condensatore ha accumulato un energia pari a pertanto solo metà dell energia fornita dal generatore viene trasformata in energia elettrostatica nel condensatore. L altra metà dell energia viene, pertanto, dissipata per effetto Joule nella resistenza, e ciò indipendentemente dal valore della resistenza stessa. Un condensatore carico, se opportunamente isolato, può conservare l energia accumulata per un tempo indefinito, comportandosi come un vero e proprio contenitore di carica e di energia. Quando però il condensatore carico viene collegato a una resistenza, si assiste al fenomeno della scarica del condensatore. Il circuito di scarica è anch esso un RC privo, però, di generatore. C R Alla chiusura dell interruttore, la d.d.p. tra le armature provocherà una corrente uscente dall armatura positiva che attraverserà la resistenza. Col passare del tempo questa corrente abbasserà sempre di più la carica e la d.d.p. tra le armature, diventando a sua volta sempre più piccola. La situazione finale vedrà quindi il condensatore scarico e la corrente nulla. 17

18 L analisi matematica del processo si può ottenere ancora una volta applicando il 2 principio di Kirchhoff: essendo è si ottiene l equazione differenziale che ha per soluzione mentre l espressione della corrente, come nel caso della carica, sarà Il grafico della corrente sarà identico al precedente, mentre per la carica avremo Q Q max t Anche in questo caso, matematicamente, la situazione finale con carica e corrente nulle si ottiene per tempi infinitamente lunghi però, con lo stesso ragionamento di prima e considerando la costante di tempo τ = RC si può affermare che dopo circa 5τ carica e corrente sono praticamente nulle. Per ciò che riguarda le trasformazioni dell energia, notiamo che nella scarica di un condensatore tutta l energia elettrostatica viene dissipata per effetto Joule nella resistenza. Se la costante di tempo è particolarmente piccola, questa dissipazione dell energia può aumentare notevolmente la temperatura della resistenza fino a farla diventare incandescente. Questo fenomeno è sfruttato nella pratica nel flash della macchina fotografica. 18

19 Il candidato risolva poi il problema che segue. Nel circuito riportato in figura l interruttore T può essere spostato nelle posizioni 1 e 2. Inizialmente T si trova nella posizione 1 e il sistema costituito dai tre condensatori di capacità C 1 = 10 μf, C 2 = 14 μf e C 3 = 8 μf è caricato da un generatore fino a raggiungere ai suoi capi la d.d.p. di 10 V. Successivamente, T è spostato nella posizione 2 e i condensatori si scaricano attraverso i tre resistori R 1, R 2, e R X. Conoscendo i valori delle resistenze R 1 = 3 MΩ e R 2 = 1 MΩ, il candidato calcoli il valore di R X in modo che la differenza di potenziale ΔV AB ai capi del sistema di resistori sia il 36,8% del suo valore massimo dopo 18 secondi dall inizio del processo di scarica. Calcoli, inoltre, l energia dissipata per effetto Joule dall insieme dei tre resistori e, in particolare, quella dissipata dal resistore R X. Il circuito proposto è l unione di un circuito di carica, privo di resistenza, e di uno di scarica. Spostando opportunamente l interruttore, è possibile caricare i condensatori della rete e successivamente scaricarli sulla rete di resistori. Esso può essere facilmente ricondotto a un usuale RC calcolando la capacità e la resistenza equivalente delle 2 reti presenti. Nella rete di condensatori notiamo che C 3 è in serie con il parallelo C 1 C 2, per cui, applicando le note regole, si ottiene: per il parallelo C 1 C 2 la capacità complessiva per l intera rete Per la rete di resistori notiamo che R 2 è in serie con il parallelo formato da R 1 e R x, per cui possiamo scrivere 19

20 Quando l interruttore è posizionato in 1, il generatore carica il condensatore equivalente istantaneamente, essendo il circuito di carica idealmente privo di resistenza. Sapendo che V = 10 V, possiamo calcolare l energia accumulata nel condensatore equivalente: Quando l interruttore viene spostato nella posizione 2, ha luogo il processo di scarica. La differenza di potenziale ΔV AB ai capi della rete di resistori è facilmente deducibile dalla 1ª legge di Ohm: per quanto esposto in precedenza, τ è il tempo necessario affinché la corrente, ma anche la d.d.p. ai capi di R, diventi il 36,8% del valore massimo, per cui possiamo identificare il valore del tempo di 18 s proprio con la costante di tempo τ. Ricordando che τ = RC, per formula inversa abbiamo: che è il primo dei risultati richiesti. Dalla conoscenza di R x possiamo ricavare la resistenza equivalente della rete: Per ciò che riguarda l energia dissipata nella rete di resistori, riprendendo quando detto in precedenza possiamo affermare che essa è uguale all energia inizialmente immagazzinata nella rete di condensatori, cioè J. L energia dissipata nei singoli resistori può essere calcolata tenendo conto che: per resistori in serie, essendo attraversati dalla stessa corrente e tenendo conto che E = R i 2 Δt, essa è direttamente proporzionale alla resistenza; per resistori in parallelo, essendo sottoposti alla stessa d.d.p. e tenendo conto che, essa è inversamente proporzionale alla resistenza. Sapendo che R eq = 3 MΩ, possiamo ricavare la resistenza del parallelo: Le due resistenze R 1/x e R 2 sono in serie e una doppia dell altra (R 1/x = 2R 2 ), per cui anche le energia dissipate sono l una doppia dell altra e hanno per somma l energia dissipata totale: ciò significa che in R 1/x verranno dissipati i 2/3 del totale, mentre in R 2 1/3 del totale: A questo punto, notiamo che le resistenze del parallelo sono anch esse una il doppio dell altra (R x = 2R 1 ), quindi avremo, per l inversa proporzionalità tra energia e resistenza, che l energia dissipata in R x è la metà di quella dissipata in R 1 e corrisponderà a 1/3 dell energia dissipata nel parallelo, mentre in R 1 verranno dissipati i restanti 2/3: 20

21 Tutti i risultati ottenuti sono stati espressi con una sola cifra significativa, tenendo conto del modo con cui sono stati espressi i dati e avendo applicato gli usuali criteri di arrotondamento. 21