Prova parziale di Geometria e Topologia I - 19 giu 2007 (U1-01, 10:30 12:30) 1/6. Cognome:... Nome:... Matricola:...

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1 Prova parziale di Geometria e Topologia I - 19 giu 2007 (U1-01, 10:30 12:30) 1/6 Cognome: Nome: Matricola: (Dare una dimostrazione rigorosa, dettagliata, chiara ed esauriente di tutte le risposte.) (1) Una omotetia con centro Q e ragione q R è una mappa f : A 2 (R) A 2 (R) definita da P Q + q(p Q). Siano A, B, C tre punti nel piano affine A 2 (R) e l una retta di A 2 (R). Quali delle seguenti affermazioni sono vere? (Dimostrare quelle vere, fornire controesempi per quelle false.) (a) Se la retta l non passa per A, B, C, allora incontra due dei lati del triangolo ABC, oppure nessuno. (b) Supponiamo che la retta l passi per un punto A del lato AC e per un punto B del lato BC. La retta l è parallela al lato AB se e soltanto se il triangolo ABC è immagine del triangolo A B C mediante una omotetia. (c) Date due costanti q A e q B, la composizione delle omotetie di centro A e ragione q A e di centro B e ragione q B è una traslazione. Soluzione: Supponiamo che l non passi per A, B e C e che incontri almeno uno dei lati in un punto Q. Supponiamo che Q AB. Deve essere A B (altrimenti Q = A = B), e quindi esiste un sistema di riferimento affine che contiene i due punto A e B. Nel sistema di riferimento si ha A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (a, b) per certi a, b R. Allora Q = (q, 0), con q (0, 1). I tre punti sono allineati se e solo se b = 0, e la proposizione è facilmente verificabile in questo caso. Altrimenti, possiamo considerare il riferimento affine formato dai punti A, B e C, in cui a = 0, b = 1. Se l è parallela a uno dei lati, per il teorema di Talete la proposizione è vera. Altrimenti, dato che in particolare non è parallela a BC, supponiamo che l incontri la retta per BC, che ha equazione parametrica [ ] [ ] [ ] x 1 1 = + h y 0 1 in un certo punto di coordinate (1 h, h),

2 Prova parziale di Geometria e Topologia I - 19 giu 2007 (U1-01, 10:30 12:30) 2/6 per un certo h R. Allora il punto sulla retta AC della retta l è quello (di coordinate (0, k) per un certo k R) tale che sono allineati, cioè Con qualche conto si deduce che quindi (q, 0), (0, k), (1 h, h) q 0 1 h det 0 k h = qh qk qh k + kh = 0 = k = q 1 + h. qx Per ogni q (0, 1), la funzione f q (x) = è monotona decrescente (calcolare la derivata!), ha un asintoto verticale in x = 1 q > 0 e tende a q se x ±. q 1 + x Inoltre f q (1) = 1. Quindi f q (x) (0, 1) se e solo se x (0, 1), cioè l incontra BC (cioè h (0, 1) ) se e solo se l non incontra AC (cioè k (0, 1)). Punto (b): la retta l è parallela a AB se e solo se B A = q(b A) per un certo q. L omotetia (che necessariamente ha centro in C) esiste se e solo se esiste q tale che A = C + q(a C), B = C + q(b C). Esistono certamente q A e q B compresi tra 0 e 1 tali che A = C + q A (A C), B = C + q B (B C). Quindi e l è parallela a AB se e solo se B A = q B (B C) q A (A C), q B (B C) q A (A C) = q(b A) = q(b C) q(a C) per un q R. Ma B C e A C sono linearmente indipendenti, e quindi questo accade solo se q B = q = q A, cioè se e soltanto se è possibile definire l omotetia. Per il (c): in generale la composizione di due omotetie non è una traslazione: basta prendere due omotetie con lo stesso centro. Una traslazione non banale non ha punti fissati, mentre ogni omotetia fissa il centro. Se i centri A e B sono diversi, può essere che la composizione sia una traslazione: P A + q A (P A) = P B + q B (P B) = B + q B (A + q A (P A) B) = B + q B (A B) + q B q A (P A) = P + (B P + q B A q B B + q B q A P q B q A A)

3 Prova parziale di Geometria e Topologia I - 19 giu 2007 (U1-01, 10:30 12:30) 3/6 e basta che sia q A q B = 1 per avere la traslazione P P + (1 q A )(B A). /// (2) In E 3, si consideri il piano p passante per i tre punti A = (1, 2, 0), B = (2, 0, 1) e C = (0, 1, 2). (a) Scrivere l equazione cartesiana e parametrica del piano. (b) Calcolarne la distanza dall origine e dal punto (1, 2, 3). (c) Determinare le proiezioni su piano p dei punti (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Soluzione: L equazione parametrica è 1 + s t 2 2 s t, s + 2 t l equazione cartesiana è x + y + z = 3. La distanza dall origine e dal punto (1, 2, 3) è 3. Le proiezioni su p dei punti (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) sono 1/3(5, 2, 2) e le sue permutazioni cicliche (perché?). /// (3) Sia r la retta di E 2 passante per (1, 0) e (0, 2). Si scrivano le equazioni delle seguenti isometrie: (a) Riflessione attorno a r. (b) Le traslazioni che mandano r in sé. (c) Le rotazioni che mandano r in sé. (d) Descrivere, se possibile, il gruppo di tutte le isometrie che mandano r in sé, e il suo sottogruppo di tutte le isometrie che mandano ogni punto di r in sé.

4 Prova parziale di Geometria e Topologia I - 19 giu 2007 (U1-01, 10:30 12:30) 4/6 Soluzione: a) L equazione parametrica della retta r è [ ] [ ] [ ] x 1 1 = + t. y 0 2 Quindi la proiezione di un punto P = ( x, ȳ) su r è ] [ ]] [ 1 [ ] 1 ȳ 0 proj r (P ) = = 1 [[ ] [ Allora il punto riflesso è ] ȳ [ ] 1 2 ]] [ ] 1 2 P = proj r (P ) + (proj r (P ) P ) = 2 [[ ] [ ] ]] ] ȳ ȳ = 2 [ ] [ [ ] [ ]] ] ȳ [ ] [ ] ] 8/5 3/5 4/5 = +. 4/5 4/5 3/5 ȳ b) Sia A = (1, 0) e B = (0, 2). Una traslazione che manda r in sé deve mandare A in un punto A della retta, e quindi le traslazioni sono tutte e sole quelle che si scrivono come P P + c(b A) per un certo c R, e quindi si scrivono come [ ] [ ] x x + c y y [ 1 2 c) Se una rotazione R (non banale) manda la retta r in sé, allora il centro della rotazione deve essere sulla retta. Infatti, per assurdo, supponiamo che una rotazione non banale con centro in C r mandi r in sé. Sia Q il punto di r con distanza minima da C (cioè la proiezione ortogonale di C su r), e Q la sua immagine mediante la rotazione. Dato che una rotazione conserva le distanze, la distanza di Q da C è uguale alla distanza di Q da C, e quindi deve essere Q = Q, visto che il punto con distanza minima è unico. Quindi la rotazione R fissa i due punti distinti C e Q, e questo è assurdo perché rotazioni non banali fissano solo il centro di rotazione. Ora, supponiamo che C sia sulla retta r. Un punto P r ].

5 Prova parziale di Geometria e Topologia I - 19 giu 2007 (U1-01, 10:30 12:30) 5/6 deve andare in un altro punto P di r tale che P C = k(p C) (dato che C, P e P sono allineati) e P C 2 = P C 2 (dato che una rotazione è una isometria). Quindi k = 1 (altrimenti la rotazione è banale) e la rotazione è di angolo π. Scriviamo la rotazione di angolo π attorno a un punto C: è la riflessione rispetto a C, quindi si scrive come P C + (C P ). Dato che C = (1 t, 2t) per un certo t R, la rotazione si scrive come [ ] [ ] [ ] x 1 t x 2 y 2t y d) Le isometrie che mandano r in sé contengono la riflessione a), le traslazioni b) e le rotazioni c), piú tutte le loro composizioni. Ce ne sono altre? Supponiamo che f : E 2 E 2 sia una isometria che manda r in sé. Sia A = f(a) r. Allora la composizione P f(p ) f(p ) (A A) è una isometria f che manda A in f(a) A + A = A. La matrice associata M è ortogonale (dato che è una isometria). Se det(m) = 1 (cioè se M SO(2)), allora f è una rotazione attorno ad A di angolo π. Se det(m) = 1, allora f è una riflessione lungo una retta: può essere la riflessione lungo r o lungo la retta r ortogonale a r passante per A. Se G è quindi il gruppo generato dalle riflessioni lungo le due rette r e r (gruppo con 4 elementi), necessariamente f è un elemento del gruppo G. Ne segue che il gruppo cercato ha per elementi le isometrie P g A (P ) + c(b A), dove g A G e c R. L unico elemento che manda ogni punto di r in sé è la riflessione lungo r, ed è un sottogruppo del gruppo di tutte le isometrie. Esercizio: dimostrare che è un gruppo. /// (4) In P 3 (R) con coordinate omogenee [x 0 : x 1 : x 2 : x 3 ], sia Q il punto [0 : 1 : 1 : 1], H e H i piani H = {x 1 = 0} e H = {x 2 = 0}. (a) Si scriva, in coordinate affini (rispetto a opportune carte) la proiezione prospettica f da H a H con centro in Q. (b) Si consideri in H (con coordinate proiettive [x 0 : x 2 : x 3 ]) la retta di equazione x 2 = x 3. Qual è la sua immagine in H? (c) Si consideri in H la conica di equazione x 0 x 2 = x 2 3. Qual è la sua immagine in H?

6 Prova parziale di Geometria e Topologia I - 19 giu 2007 (U1-01, 10:30 12:30) 6/6 Soluzione: Si consideri il piano all infinito x 0 = 0, e le coorispondenti coordinate affini (x, y, z) di A 3 (R) P 3 (R). a) Siano (y, z) le coordinate affini della parte affine di H (che è il piano yz) e (x, z) la coordinate affini della parte affine di H (che è il piano xz). Se P = (0, y, z) è un punto di H, la retta per P e Q ha punti 0 1 y + t 1, z 1 e passa per H se y + t = 0. La proiezione prospettica è quindi 0 x y y 0 = 0. z z z y Ora, da x = y e z = z y deduciamo che y = x e z = z x, e quindi: b) l equazione dell immagine della retta y = z in H è x = z x z = 0. c) Analogamente, l equazione dell immagine della conica di equazione y = z 2 (è una parabola) è x = (z x ) 2 z 2 + x 2 2z x + x = 0. ///