formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale.

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1 ) Mostrare che i 3 vettori v=, u=, w= 3 formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale. ) Sia f : R 4 R 4 la seguente applicazione lineare f([x, y, z, t] T )=[x+y-z+t, x-y+z+t, x-z, y+t] T. Dimostrare che f ammette λ= come autovalore. 3) Sia data la funzione lineare T: R 4 R definita da: T: [x,y,z,w] T [x+y-z+w,z+w] T. a) Calcolare le dimensioni di N(T) e di Im(T). b) Determinare una base ortonormale B di N(T). c) Completare la base B a una base ortonormale di R 4. 4) Dire per quali valori di k la matrice A= k k 3 3 è diagonalizzabile. Per tali valori trovare una matrice diagonale D a cui A sia simile e una matrice P tale che P - AP=D. 5) Trovare i valori del parametro reale h per cui la matrice + = h A è simile alla matrice B=diag(,,), dire se per tali valori A è ortogonalmente simile a B e, in caso positivo, determinare una matrice ortogonale U tale che U T AU=D. 6) Dire se le due matrici A=, B=, possono essere associate ad una stessa applicazione lineare (rispetto a basi diverse). 7) Determinare i valori reali di h per cui la matrice A= h è ortogonalmente diagonalizzabile. Per tali valori di h riconoscere la conica di equazione X T AX= ove X T =[x,y,].

2 a 8) Si consideri la matrice A= a b. Determinare i valori di a,b per cui A è b a ortogonalmente diagonalizzabile e per tali valori trovare la matrice diagonale D a cui A è simile 3 e una matrice ortogonale U per cui U T AU=D. Dire se A è simile alla matrice B= 5. 9) Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita dalle condizioni seguenti - [; ; ] T è autovettore per f relativo all autovalore ; - [; ; ] T appartiene al nucleo di f; - f([; ; ] T ) = [; ; ] T. () Scrivere la matrice M B B (f) rispetto alla base B = {[; ; ] T, [; ; ] T, [; ; ] T }. () Trovare gli autovalori di f. (3) Trovare una base per ogni autospazio. (4) Stabilire se f è diagonalizzabile, motivando la risposta. ) Sia T : R 3 R 3 l' endomorfismo associato alla matrice M B B (T) = 3 rispetto alla base B = ([; ; ] T ; [; ; ] T ; [; ; ] T ) di R 3. Calcolare gli autovalori di T; una base per ogni suo autospazio, e, se possibile, una matrice P invertibile tale che P - AP sia una matrice diagonale. ) Siano date le matrici: 3 3 h h A = h h e B= 3 + h dipendenti dal parametro reale h: () Posto h = -; determinare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di A: () Per quali h la matrice A è diagonalizzabile? (3) Per quali h le due matrici A e B sono simili? ) Si considerino i sottospazi U, V di R 4 generati nella maniera seguente U = L([,,,] T, [,,,] T ); V = L([,-,,-] T, [-,,,] T ): () Dotato R 4 del prodotto scalare canonico, determinare il sottospazio U ortogonale ad U, ed una sua base ortonormale. () Giustificare poi la seguente affermazione Esistono vettori non nulli di U ortogonali a tutti i vettori di V. 3) Si consideri la matrice M= a a a b b (con a,b parametri reali)

3 a. dire se per a=,b= la matrice M è diagonalizzabile, in caso affermativo scrivere una matrice diagonale a cui risulta simile e una matrice che la diagonalizza, b. determinare tutti i valori di a,b per cui M è ortogonalmente diagonalizzabile, c. determinare a,b in modo che i vettori,, siano autovettori di M, per i valori trovati di a,b, M è diagonalizzabile? E anche ortogonalmente diagonalizzabile? In caso di risposta affermativa trovare una matrice ortogonale che diagonalizzi M. 4) Sia f : R 3 R 3 l' endomorfismo definito come f([x; y; z] T ) = [; 3x + 3y + z;-x - y + z] T () Calcolare gli autovalori di f e stabilire se l'endomorfismo f è diagonalizzabile. () Determinare una base per ogni autospazio di f, e, se esiste, un vettore di Im(f) che non sia autovettore. 5) Si consideri l endomorfismo T : R 3 R 3 definito come T([x, y, z] T ) = [x y z; x + y + z; x + y + z] T Si calcolino il polinomio caratteristico di T; gli autovalori di T; ed una base per ogni suo autospazio. Stabilire infine se A è diagonalizzabile, ed in caso affermativo, determinare una matrice invertibile P per cui P - AP sia una matrice diagonale. 6) Si consideri l endomorfismo T : R 3 R 3 definito come T([x, y, z] T ) = [5x + y z, x + y + 4z, x + 4y + z] T essendo R 3 dotato del prodotto scalare canonico. () Verificare che T è un endomorfismo simmetrico. () Dopo aver verificato che [,, ] T e autovettore per T; calcolare gli autovalori di T ed una base per ogni suo autospazio. (3) Detta A una matrice simmetrica associata a T; esibire una matrice ortogonale P che diagonalizza ortogonalmente A. 7) Sia f : R 3 R l'applicazione lineare data da f([x,y,z] T )=[x+3y-z, 3x+y+3z] T Sia U il piano di equazione x - y =. Determinare la proiezione ortogonale della retta ker f sul piano U. 8) Sia dato il sottospazio U = L([; ; ] T ; [; ; ] T ) di R 3 (a) Scrivere l endomorfismo f di R 3 che rappresenta la simmetria ortogonale rispetto ad U; calcolando la matrice P ad esso associata rispetto alla base canonica. (b) Verificare che P è una matrice sia ortogonale, sia simmetrica, e determinare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di f: 9) Riconoscere la conica di equazione x +4xy+4y -x= e portarla in forma canonica. ) Riconoscere la conica: x -kxy+y -4x= al variare di k e per k= portarla in forma canonica. ) Riconoscere al variare del parametro a la conica di equazione ax +(a-4)xy+y -=. Per a=- scrivere la sua equazione canonica.

4 ) Sia data la conica C di equazione x +3xy-y +x+y-=. a) Riconoscere C e scriverne la forma canonica. b) Determinarne eventuali centro, assi, vertici, asintoti. c) Scrivere l equazione di una direttrice di C (ridotta in forma canonica). 3) Nel piano euclideo, sia fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale Oxy: () Scrivere l'equazione dell'ellisse γ avente centro nel punto C(; ) e semiassi paralleli agli assi cartesiani, di lunghezze a = e b =. () Scrivere l' equazione dell' ellisse Γ ottenuta ruotando γ in maniera che il semiasse maggiore appartenga alla retta r : x -y + =. 4) Si consideri la seguente matrice, dipendente dai parametri reali h; k k k h M(h,k)= k h h + 3h h + () Stabilire per quali valori dei parametri esistono coniche aventi M(h; k) come matrice associata, e verificare che esse formano un fascio F. () Classificare le coniche di F. (3) Stabilire quando il punto P(;) appartiene alla conica. 5) Si consideri la conica Γ di equazione x xy + x y =. () Classificare Γ, trovarne una forma canonica e l equazione del relativo cambio di riferimento. () Dopo aver verificato che tutte le rette parallele all asse x tagliano Γ in punti reali, determinare la parallela che taglia su Γ la corda di lunghezza minima. 6) Nel piano euclideo sia dato il fascio di coniche di equazione C k : kx + ( k)xy + ky x y + k =. () Posto k = 3, classificare la conica C 3 e determinarne una sua equazione canonica. Calcolare quindi le coordinate del suo centro e gli assi, oppure calcolare il cambio di riferimento che la riporta in forma canonica. () Determinare i valori di k per cui C k è una conica degenere e le coordinate dei punti base del fascio. (3) Calcolare poi i valori di k per cui C k è un' iperbole equilatera, e quelli per cui essa è una circonferenza. 7) Determinare il parametro h in modo che i due piani π :x-hy+z=3 e π : hx-y+hz-4= sino perpendicolari e per tale valore scrivere le equazioni parametriche di una retta per l origine parallela ad entrambi i piani. 8) Nello spazio euclideo siano date le rette r ed s di equazioni parametriche r : x = t, y = +t, z =, e s : x = t, y =, z = t. () Discutere la loro posizione reciproca e determinare l' angolo che esse formano. () Determinare l' equazione cartesiana del piano contenente r e parallelo ad s, e determinare la distanza tra r ed s. (3) Determinare il massimo angolo formato da un piano contenente r e la retta s. Calcolare quindi l' equazione del piano contenente r che soddisfa tale condizione. 9) Nello spazio euclideo R 3, si considerino i punti A(; 4; ), B(3; ; ), C(; ; ). () Determinare l'equazione del piano assiale del segmento AB, e quella del piano

5 assiale del segmento AC. Dedurre le equazioni del luogo dei punti dello spazio equidistanti da A;B;C. () Determinare l'equazione del piano p contenente i punti A;B;C. Scrivere le coordinate del centro della circonferenza del piano p passante per A;B;C. (3) Determinare le coordinate del centro della sfera di raggio minimo passante per A;B;C. 3) Si considerino la superficie sferica di equazione x +y +z xy+z =, e il piano di equazione yz =. Sia γ la circonferenza di equazioni x +y +z -x-y+z=. y-z= i) Verificare che γ è una curva a punti reali. Determinare il centro e il raggio di γ. 3) Sia data la sfera σ : x + y + z = 4: x = 3 t (a) Si determini un piano π contenente la retta r : y = 3 tangente a σ. Determinare poi z = t un punto A di σ in modo che σ sia la sfera di raggio minimo passante per A e tangente a π (b) Sia α il piano di equazione y z =. Calcolare la proiezione della circonferenza Γ = σ α dal punto V (; ; ); sul piano xy. (c) Dopo aver verificato che Γ è una conica, classificarla, determinarne un equazione canonica e determinare il cambio di riferimento che la porta in forma canonica. =3+4 3) Nello spazio euclideo R 3 siano date la retta r di equazioni parametriche =43 = ed il piano α : 3x + 4y =. () Determinare la mutua posizione di r ed α e la loro distanza. () Calcolare l'equazione della sfera S, tangente ad α in O(; ; ), e tangente ad r. 33) Siano dati il punto A(; ;-) e la retta r : x = +t; y = ; z = t; t R. () Determinare l' equazione della sfera S di centro A e che interseca r lungo una corda BC di lunghezza 4/ 5 () Scrivere l' equazione del piano α che taglia su S una circonferenza avente BC come diametro. 34) Nello spazio euclideo R 3 siano dati i piani α: x + y = e β : x + y z =. () Calcolare l angolo θ tra α e β. () Calcolare l equazione del piano β, simmetrico di β rispetto ad α. (3) Determinare il luogo dei centri delle sfere che tagliano i tre piani α,β,β secondo circonferenze di uguale raggio. 35) Nello spazio euclideo siano dati il punto F(,, ) ed il piano α : x y =. Determinare l' equazione del luogo S formato dai punti P che verificano la condizione d(p, F) = d(p, α). () Calcolare l' equazione cartesiana di S, e verificare che S è una quadrica. () Classificare S, calcolare una sua equazione canonica, e specificare se è una quadrica di rotazione.

6 (3) Determinare un piano che incontra S lungo una circonferenza, e l' equazione dell'eventuale asse di rotazione della quadrica. = 33) Siano date le rette r : =+ = t R, s: + = + = () Discutere la loro mutua posizione. () Verificare che i punti P che verificano la condizione d(p; r) = d(p; s) giacciono su una quadrica S. (3) Classificare la quadrica S. 36) Sia data la quadrica Q di equazione x +y +4z -x=. a) Riconoscere Q e scriverne la forma canonica. b) Scrivere l equazione del cilindro avente come direttrice la curva C' intersezione di Q con il piano di equazione z= e generatrici parallele all asse z. c) Detta C" l intersezione di Q con il piano z=, scrivere l equazione della superficie di rotazione ottenuta ruotando C" intorno all asse x; è una quadrica? 37) Nello spazio euclideo R 3 si consideri il piano π di equazione x + y + z - =, e la quadrica Ω di equazione x - z + y =. () Scrivere l'equazione cartesiana del cilindro S avente generatrici parallele all'asse z, e direttrice data dalla conica γ intersezione tra π e Ω. () Classificare la conica sezione di S con il piano xy, ridurla a forma canonica e determinare il cambio di riferimento che la riduce a forma canonica. (3) Dimostrare che la matrice associata alla parte quadratica di S ammette autovalore nullo, e determinare il relativo autospazio. 38) Sia F(x, y, λ) il fascio di coniche dato da F(x, y, λ): x -(λ + )xy - λ y - λ x - λ y =. () Calcolare i valori del parametro λ per cui le coniche del fascio sono degeneri, e quelli per cui la conica è una circonferenza. Detta γ tale circonferenza, trovarne centro e raggio. () Scrivere l'equazione cartesiana del cilindro che proietta la conica di equazione F(x,y,) =z = parallelamente alla retta r dello spazio R 3 avente equazioni x = y = z -. Stabilire poi se, intersecando tale cilindro con un piano, si possono ottenere ellissi. 39) Sia T l endomorfismo di R 3 tale che T([,, ] T ) = [,, ] T, T([,, ] T ) = [4,, ] T, T([,,] T ) =[,, ] T. i) L endomorfismo T è simmetrico? ii) Detta M la matrice che rappresenta T rispetto alla base canonica, sia Q la quadrica di equazione x T Mx =. Riconoscere Q e porla in forma canonica. iii) Q è una quadrica di rotazione?

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