Mercato dei titoli a reddito fisso (bozza)

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1 Mercato dei titoli a reddito fisso (bozza) Mario A. Maggi a.a. 2008/2009 Indice 1 Introduzione 1 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso Titoli di puro sconto (zero coupon) Obbligazioni (coupon bond) Obbligazioni a rimborso progressivo Sensibilità dei valori al tasso di interesse Immunizzazione Struttura per scadenza dei tassi di interesse Tassi a pronti Tassi a termine Valutazione titoli indicizzati (paragrafo incompleto) Immunizzazione e struttura per scadenza Esercizi 33 1 Introduzione Queste dispense costituiscono una breve introduzione agli strumenti e alle tecniche per valutare e gestire titoli a reddito fisso. Il mercato dei titoli a reddito fisso fornisce anche le informazioni necessarie per ricavare i tassi di valutazione di mercato riferiti a periodi di impiego diversi, la cosiddetta struttura per scadenza dei tassi di interesse. Il tasso di interesse è una grandezza che riflette le preferenze intertemporali degli individui. Per il postulato di impazienza, (come appreso nel corso di Microeconomia) un agente economico preferisce il consumo immediato di un 1

2 2 2. Valutazione dei titoli a reddito fisso determinato bene, al suo consumo posticipato. Per questa ragione, per indurre un consumatore a posticipare, almeno in parte, i propri consumi occorre un premio : a fronte della rinuncia al consumo presente, si offre un consumo differito, ma superiore in quantità. Questa può essere una spiegazione plausibile dell esistenza dell interesse. Per studiare il tasso, o meglio i tassi di interesse, sarebbe utile trovare un mercato in cui gli agenti contrattano proprio sulla base dei tassi di interesse. Ebbene, questo mercato esiste: si tratta del mercato dei titoli a reddito fisso. Su questo mercato vengono fissati i prezzi di titoli che promettono determinati pagamenti in date future. Semplificando, si possono considerare solo due categorie di titoli: i titoli di puro sconto (detti anche a capitalizzazione integrale o zero coupon bond) e quelli con cedole (coupon bond). I titoli indicizzati prevedono flussi di cassa legati all evoluzione di variabili economiche e finanziarie, per esempio il tasso di inflazione, il tasso ufficiale di sconto, il tasso dei BOT a un anno, ecc.. Mi occuperò di loro nel paragrafo 4.3. Un titolo di puro sconto ha una struttura molto semplice: a fronte del pagamento del prezzo di acquisto, promette il versamento di una certa somma, il valore nominale o facciale, alla data di scadenza (maturity). Vengono detti di puro sconto, perché al momento dell acquisto si paga un prezzo (inferiore al valore nominale) pari al valore attualizzato (scontato) dell incasso futuro. Tali titoli si chiamano anche zero coupon, perché durante la loro vita non prevedono l incasso di nessuna cedola (coupon). I BOT (buoni ordinari del tesoro) italiani sono un esempio tipico di titoli di puro sconto. Un titolo con cedole (coupon bond) a fronte del pagamento del prezzo di acquisto, promette il pagamento di determinate somme (le cedole) a date stabilite; inoltre, alla scadenza finale è previsto il rimborso del valore nominale (a cui eventualmente si aggiunge un premio di rimborso). I BTP (buoni del tesoro poliennali) italiani e molte obbligazioni sono titoli di questo tipo. 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso In generale un titolo a reddito fisso A è un titolo di credito che dà al possessore il diritto di incassare le somme a k alle date t k. Presento ora un po di termini tecnici riguardanti i titoli a reddito fisso. L importo scritto sul titolo viene detto valore nominale o facciale. I titoli possono essere di vario taglio, intendendo per taglio la dimensione in termini di valore nominale di un singolo titolo. Di solito il taglio di un titolo è multiplo del taglio base, ad esempio 2 000e. Per ragioni pratiche, ci si riferisce comunemente ad un taglio fittizio di e di valore nominale per il calcolo del prezzo (valore o corso) del titolo. Il corso di un titolo è proprio il prezzo di e di valore nominale. Se il titolo prevede delle cedole, cioè corrisponde pe- Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

3 2. Valutazione dei titoli a reddito fisso 3 riodicamente degli interessi, queste sono calcolate sul valore nominale in base al tasso nominale, o cedolare. Ogni cedola è esigibile a partire dalla relativa scadenza (giorno di godimento), prestampata sulla cedola. Quando si incassa una cedola, si dice anche che la cedola è staccata. Il valore di emissione (prezzo o corso di emissione) è il prezzo al quale ciascun titolo viene emesso, cioè l importo che il creditore (sottoscrittore) versa al debitore (emittente). A seconda che il valore di emissione sia uguale, superiore o inferiore al valore nominale si parla, rispettivamente, di emissione alla pari, sopra la pari, sotto la pari. La differenza (valore di emissione valore nominale) quando positiva [negativa] rappresenta il sovrapprezzo [o premio] di emissione per il sottoscrittore, l aggio [o disaggio] di emissione per l emittente. L emittente deve detrarre dal ricavo lordo di emissione le spese di emissione (quali spese notarili, di registrazione, di stampa dei titoli, di intermediazione e commissioni bancarie) ottenendo il ricavo netto di emissione. Il sottoscrittore che acquista il titolo alla sua emissione calcolerà il costo lordo dell obbligazione aggiungendo al prezzo di emissione le spese di sottoscrizione (quali spese e commissioni bancarie, oneri fiscali, rateo di interessi di emissione). Il valore di rimborso (capitale o prezzo di rimborso) è l importo che l emittente versa ai possessori di ogni titolo al momento del rimborso. A seconda che tale importo sia uguale, superiore o inferiore al valore nominale si parla di rimborso alla pari, sopra la pari, sotto la pari; quando positivo, lo scarto tra i due valori viene detto premio di rimborso(il caso di rimborso sotto la pari è rarissimo). Il valore di rimborso può essere fissato all atto dell emissione (costante o meno), oppure indicizzato. Le spese di rimborso sono le spese derivanti dal rimborso del prestito, quali ad esempio le spese di tesoreria. Oltre che al momento dell emissione, cioè sul mercato primario, i titoli possono essere contrattati in qualsiasi altro momento della loro vita sul mercato dei titoli a reddito fisso che costituisce perciò il loro mercato secondario. Definizione 2.1 Il valore di mercato di un titolo è pari al valore attuale alla data t di valutazione, calcolato al tasso di valutazione di mercato, della rendita descritta dai flussi di cassa futuri rispetto a t previsti dal titolo. Ponendo per semplicità la data di valutazione t 0 = 0, si tratta del valore al tasso di mercato y della rendita descritta dai flussi di cassa previsti dal titolo alle date successive a t. Per cui, indicati con a 1,a 2,...,a n i flussi di cassa previsti rispettivamente alle date t 1,t 2,...,t n e, posto v = 1, il valore V 1 + y del titolo è V = a 1 v t 1 + a 2 v t a n v tn. M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

4 4 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon) 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon) Nel caso di un titolo zero coupon, è previsto un solo incasso C al tempo t, per cui il suo valore è V (0,y) = Cv t. (2.1) Ad esempio un titolo zero coupon che pagherà 2 000e (valore nominale) fra un anno, se valutato al tasso annuo del 4%, ha un valore pari a V (0;0,04) = , ,08e. Come detto sopra, la quotazione di questo titolo appare nei listini riferita ad un taglio fittizio di, per cui avrà un corso di 1 1,04 96,154, che significa che e di valore nominale costano 96,154e; in questo modo è facile trovare il prezzo di un titolo dal valore nominale di 2 000e: 96, = 1 923,08e. 2.2 Obbligazioni (coupon bond) Un po, ma non molto, più complessa è la valutazione dei titoli obbligazionari che prevedono cedole. Considero un titolo dal valore nominale C che paga n cedole annue calcolate al tasso annuo cedolare i e che prevede a scadenza, dopo n anni dall emissione, il rimborso di R. Se R = C, si dice che il rimborso è alla pari, se invece è R > C o R < C, si dice, rispettivamente, sopra o sotto la pari. L importo di ogni cedola annuale è Ci. Il prezzo di emissione di questo titolo, calcolato al tasso annuo di valutazione y, che può essere diverso da i, è 1 V (0,y) = Cia n y + R (1 + y) n. (2.2) Se la valutazione viene fatta ad una data t successiva a quella di emissione, il principio non cambia: si calcola il valore attuale alla data t dei flussi di cassa 1 Ricordiamo la definizione di a n y: è il simbolo che indica il valore attuale, calcolato in capitalizzazione composta al tasso periodale y, di una rendita periodica, immediata, posticipata, con n rate costanti ed unitarie. La rendita considerata prevede quindi rate di importo 1, pagate alle date 1,2,..., n ed il tasso y è relativo al periodo che intercorre fra una rata e la successiva. Si può facilmente ricavare a n y = 1 (1+y)( 1) y. Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

5 2.2 Obbligazioni (coupon bond) 5 futuri. Il valore al momento t = (h + f) 0, con h intero e 0 f < 1, di un titolo emesso al momento 0 è perciò 2 V (t,y) = Ci che riscrivo in modo equivalente: V (t,y) = Ci (ä n h y ) (1 + y) (1 f) + R (1 + y) (n t), (1 + a n h 1 y ) (1 + y) (1 f) + R (1 + y) (n t). (2.3) Ovviamente se le cedole avessero una periodicità non annuale (spesso infatti sono semestrali), basterebbe nelle (2.2) e (2.3) misurare i tempi nell unità opportuna e usare il tasso effettivo equivalente riferito alla stessa unità di misura. Quando le cedole hanno frequenza infra-annuale, cioè ci sono k cedole all anno, nella pratica il tasso nominale i annuo va inteso come tasso nominale annuo convertibile (pagabile) k volte l anno, per cui il tasso effettivo da usare è i k e le cedole sono pari a C i. Quindi, un obbligazione con cedole semestrali al tasso annuo nominale 5%, prevede in realtà cedole semestrali al tasso k semestrale pari a 0,05 = 2,5%, cioè cedole di importo 0,025C. 2 Le (2.2) e (2.3), quando valutate per un titolo dal valore nominale di, forniscono rispettivamente il corso di emissione ed il corso tel quel, cioè il valore di mercato di e di valore nominale del titolo in oggetto. Quando il corso è pari a, si dice che il titolo è alla pari, quando invece è superiore o inferiore a, si dice, rispettivamente, sopra o sotto la pari. Nella figura 2.1 è rappresentato il corso tel quel di un obbligazione quinquennale emessa a t = 0, con cedole annue, tasso cedolare 4% annuo e rimborso alla pari. Tale corso è calcolato per t [0,5] al tasso del 3,5% annuo costante per tutto il periodo. Il grafico mostra che, all avvicinarsi delle date di godimento, il corso tel quel (il valore di mercato) dell obbligazione cresce in conseguenza all avvicinarsi dei ricavi futuri. Al contrario, in occasione del pagamento (detto stacco) delle cedole, il corso tel quel del titolo subisce un salto verso il basso pari all importo della cedola (in questo caso 4). Un valore che dipende dalla vicinanza della data di godimento può infastidire gli operatori di mercato. Infatti, sui listini ufficiali non compare il corso tel quel, ma il corso secco, cioè un corso depurato dal rateo (o dietimo) Cif di interessi maturati dall ultimo godimento, ma non ancora esigibili, cioè la porzione f già maturata della cedola, dove f è il rapporto fra il tempo trascorso dall ultimo godimento ed il tempo che separa due godimenti successivi. Il 2 L orribile simbolo ä n y indica il valore attuale di una rendita con le caratteristiche di quella descritta in nota 1, ma anticipata, per cui prevede quindi rate di importo 1, pagate alle date 0,,12,..., (n 1). Si può facilmente ricavare ä n y = (1 + y)a n y. M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

6 6 2.2 Obbligazioni (coupon bond) corsi t Figura 2.1: Corso tel quel di un obbligazione e rispettivo corso secco (tratteggiato); valutazioni a tasso costante. corso secco V s (t,y), calcolato al tasso y, al momento t = (h + f), con h intero e 0 f < 1, di un titolo emesso al momento 0 è ) V s (t,y) = Ci ((1 f) + a n h 1 y (1 + y) (1 f) + R (1 + y) (n t) = V (t,y) Cif (1 + y) (1 f) ; quindi il corso secco è pari al corso tel quel diminuito del rateo attualizzato a t. L importo Ci f va attualizzato perché la cedola sarà esigibile alla data di godimento t + (1 f). Nella figura 2.1 è rappresentato anche l andamento del corso secco dell obbligazione. Si nota che il corso secco non presenta salti. Inoltre, alle date di godimento, quando cioè f = 0, il corso tel quel ed il corso secco coincidono. All avvicinarsi delle date di godimento, è frequente trovare sul mercato titoli venduti ex-cedola, cioè privi della cedola in corso di maturazione, che verrà incassata dal venditore del titolo. Il corso ex-cedola si riferisce proprio ai titoli privi della cedola in prossima maturazione. Il valore ex-cedola V x (t,y) di un titolo è V x (t,y) = Cia n h 1 y (1 + y) (1 f) + R (1 + y) (n t) = V (t,y) Ci (1 + y) (1 f) = = V s (t,y) Ci (1 f)(1 + y) (1 f). Il corso ex-cedola è quindi pari al corso tel quel diminuito della cedola attualizzata, oppure, in modo equivalente, al corso secco diminuito del valore attuale della parte di cedola ancora da maturare. Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

7 2.2 Obbligazioni (coupon bond) 7 Spesso nella pratica si dice che il corso tel quel è pari al corso secco maggiorato del rateo di interessi maturati V (t,y) + Cif. In questo modo però si dimentica l attualizzazione del rateo, sopravvalutando il titolo di un ammontare ( 1 (1 + y) (1 f)). Di solito, al momento dell emissione, i titoli a reddito fisso vengono venduti pari a Cif per mezzo di un asta di collocamento. Lo scopo di questa procedura è quello di far emergere il valore di mercato (2.2). Immaginiamo, al contrario, una collocazione a prezzo fisso. Se il prezzo fosse troppo alto, cioè se il titolo avesse un rendimento inferiore al tasso di mercato, nessuno sarebbe disposto ad acquistarlo e l emittente non riuscirebbe a finanziarsi. Se invece il prezzo fosse troppo basso, cioè se il titolo avesse un rendimento superiore al tasso di mercato, i titoli andrebbero a ruba : l emittente riesce a finanziarsi, ma incassa dall emissione dei titoli meno di quanto potrebbe. Il vantaggio in questo caso lo avrebbero gli acquirenti dei titoli. Costoro potrebbero rivenderli immediatamente al prezzo di mercato (2.2) superiore a quello di emissione ottenendo un guadagno certo e non rischioso, quello che viene chiamato arbitraggio 3. Perciò l interesse dell emittente è quello di piazzare i titoli al prezzo di mercato. Tornerò sul concetto di arbitraggio nel paragrafo 4, qui vale già la pena osservare che quando sul mercato si trova una opportunità di arbitraggio, significa che qualche operatore (in questo caso l emittente) non si sta comportando in modo razionale. Inoltre, si può dimostrare che l assenza di opportunità di arbitraggio è una condizione necessaria per l equilibrio del mercato. Il tasso nominale dei titoli può non coincidere con il tasso di mercato per operazioni analoghe. Inoltre, nel determinare il prezzo di acquisto, gli operatori tengono conto di tutti i costi accessori e del trattamento fiscale degli interessi. Per cui indicando con S le commissioni d acquisto, con c la cedola al netto della ritenuta fiscale 4 e con R il rimborso al netto di oneri e spese le (2.2) e (2.3) diventano V (0,y) = c a n y + R (1 + y) n S, V (t,y) = c ( 1 + a n h 1 y ) (1 + y) (1 f) + R (1 + y) (n t) S. Dall altra parte l emittente si troverà di fronte ad un operazione che prevede spese di emissione e di rimborso. Indicando con N il numero di obbligazioni 3 Attenzione ai termini, non si tratta di speculazione. Nelle operazioni di arbitraggio si sfrutta una situazione di mercato per avere un guadagno certo, cioè senza rischio. Nelle speculazioni invece, l operazione è rischiosa: lo speculatore prende un rischio, non perché ama rischiare, ma perché nelle sue valutazioni l operazione prevede un compenso adeguato per il rischio preso. 4 Sarà con z tasso di ritenuta fiscale. c = Ci(1 z), M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

8 8 2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo emesse e con Q le spese di emissione, l incasso effettivo derivante dall emissione dei titoli è NV (0,y) Q. Inoltre, occorre considerare anche le spese accessorie Q c e Q R, rispettivamente, per il pagamento delle cedole e per il rimborso finale. Quindi, il tasso a cui l emittente effettivamente si finanzia è il tasso x che soddisfa la seguente equazione N V (0,y) Q = (NCi + Q c ) a n x + ( NR + Q R) (1 + x) n. È facile dedurre che x > y, cioè l emittente si finanzia ad un tasso effettivo superiore al tasso di mercato. 2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo Se una società si finanzia emettendo obbligazioni come visto nel paragrafo precedente, si trova di fronte all ammortamento di un prestito con pagamento periodico degli interessi e rimborso finale del capitale. Può capitare che l emittente abbia l esigenza di un prestito con rimborso progressivo (di tipo francese, uniforme o altro). In questo caso alle date previste dovrà pagare le cedole a tutti i titoli in circolazione e rimborserà una parte dei titoli in circolazione. Spesso la scelta dei titoli da rimborsare alla data k {1,2,...,n} è effettuata mediante estrazione a sorte di N k obbligazioni (ovviamente con N 1 + N N n = N). In questo caso ogni obbligazione dà diritto a flussi di cassa futuri aleatori: l incasso delle cedole future dipende dalla data di estrazione del titolo, data alla quale si avrà anche il rimborso del capitale. Perciò posso rappresentare cedole e capitale di rimborso per mezzo di variabili aleatorie. La k-esima cedola prevede quindi: un incasso pari al suo ammontare se il titolo non è stato rimborsato prima di k; un incasso nullo in caso contrario. Ad ogni data k il capitale di rimborso prevede: un incasso pari al suo ammontare se il titolo è estratto in quel momento; un incasso nullo in caso contrario. Per calcolare il valore di un titolo, calcolo il valore attuale al tasso di mercato dei valori medi dei pagamenti previsti per ogni data. Esempio 2.2 Considero un prestito obbligazionario triennale costituito da 300 obbligazioni ciascuna con valore nominale 1 000e. Sono previste cedole annue calcolate al tasso cedolare del 3%. Ogni anno si estraggono a sorte obbligazioni che vengono rimborsate pagando un valore di rimborso pari a 1 050e. Il tasso di mercato per operazioni analoghe è il 3% annuo. Calcolo il corso di emissione di un obbligazione. Chi sottoscrive un obbligazione al momento dell emissione: dopo un anno: Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

9 2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo 9 incasserà sicuramente la cedola pari a 30 e, cioè con probabilità 1: valor medio dell incasso 30e; incasserà il valore di rimborso 1 050e se il suo titolo sarà estratto in quel momento, cioè con probabilità 1, 0e in caso contrario: valor medio 3 dell incasso = 350e; dopo due anni: incasserà la seconda cedola di importo 30e se il suo titolo non è stato estratto all anno 1, cioè con probabilità 2, 0e in caso contrario: valor 3 medio dell incasso = 20e; incasserà il valore di rimborso 1 050e se il suo titolo sarà estratto in quel momento, cioè con probabilità 1, 0e in caso contrario: valor medio 3 dell incasso = 350e; dopo tre anni: incasserà la terza cedola di importo 30e se il suo titolo non è stato estratto in precedenza, cioè con probabilità 1, 0e in caso contrario: valor 3 medio dell incasso = 10e; incasserà il valore di rimborso 1 050e se il suo titolo sarà estratto in quel momento, cioè con probabilità 1, 0e in caso contrario: valor medio 3 dell incasso = 350e. Posso così calcolare il valore di emissione del titolo come il valore attuale, al tasso di mercato, dei valori medi degli incassi futuri V (0, 3%) = ( ) (1,03) 1 +( ) (1,03) 2 +( ) (1,03) ,14e. In modo equivalente, posso considerare il valore del titolo come il valor medio del valore di tre titoli: uno rimborsato sicuramente il primo anno, uno il secondo ed uno il terzo, ciascuno considerato con probabilità pari alla probabilità che un titolo venga estratto, rispettivamente, al primo, al secondo, al terzo anno (che in questo caso sono tutte pari a 1 ). Quindi 3 V (0, 3%) = ( ) (1,03) 1 1 [ a (1,03) 2] 1 3 [ + 30a (1,03) 3] ,14e. M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

10 10 3. Sensibilità dei valori al tasso di interesse Proviamo ora a calcolare il tasso interno di rendimento di un investimento nell obbligazione considerata. Anche per questo abbiamo 3 casi possibili, ognuno con probabilità 1 3 : 1. obbligazione rimborsata dopo un anno, tasso interno x 1 tale che 1 047,14 = ( ) (1 + x 1 ) ( 1), x 1 3,!14%; 2. obbligazione rimborsata dopo due anni, tasso interno x 2 tale che 1 047,14 = 30a 2 x (1 + x 1 ) ( 2), x 2 3%; 3. obbligazione rimborsata dopo tre anni, tasso interno x 3 tale che 1 047,14 = 30a 3 x (1 + x 1 ) ( 3), x 2 2,95%; 3 Sensibilità dei valori al tasso di interesse Considero un generico titolo a reddito fisso A che dà il diritto di incassare le somme a k alle date t k. Nei paragrafi precedenti si sono visti titoli dalla struttura semplice come i titoli zero coupon e i titoli a cedola fissa. Per i primi ho solo il capitale a 1 pari al valore nominale, con t 1 la scadenza del titolo. Per i secondi a k = Ci, t k = k, k = 1,...,(n 1) e a n = R + Ci, t n = n. Per semplicità pongo ora il tempo di valutazione t pari a 0 (non la data di emissione come sopra), caso al quale posso sempre ricondurmi ridefinendo opportunamente tutte le date coinvolte. Il valore al momento t = 0 del titolo A è pari al valore attuale, calcolato al tasso di mercato y, dei flussi di cassa futuri V A (y) = n k=1 a k (1 + y) t k, (3.1) oppure, in modo equivalente, posso esprimere il valore (3.1) in funzione del corrispondente tasso istantaneo δ = ln (1 + y): V A (δ) = n k=1 a ke δt k. (3.2) Si noti l abiuso di notazione nelle (3.1) e (3.2). Per la precisione dovrebbe essere, rispettivamente, Vy A (y) e Vδ A (δ), ma diventerebbe più pesante. Una caratteristica tipica dei titoli a reddito fisso (con pagamenti certi) sta nel fatto che il loro valore dipende solo dai tassi di interesse, essendo fissi flussi e scadenze future. È interessante capire come varia il valore di A al variare del tasso di valutazione. Infatti, se si considerano due titoli zero coupon entrambi dal valore nominale 1 000e e con scadenze, rispettivamente, 1 anno e 2 anni, Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

11 3. Sensibilità dei valori al tasso di interesse 11 è facile notare che se il tasso di valutazione passa dal 3% al 3,5%, il secondo titolo subisce una diminuzione di valore più forte: V 1 (3%) = ,03 970,87 V 1 (3,5%) = ,18, variazione 0,48%; 1,035 V 2 (3%) = (1,03) 2 942,60 V 2 (3,5%) = ,51, variazione 0,96%. (1,035) Appare così che un indicatore della sensibilità di un titolo a variazioni nel tasso di interesse debba in qualche modo essere legato alla durata residua del titolo. Usando lo sviluppo in serie di Taylor di primo ordine (con resto di Peano), si può esprimere la variazione nella funzione derivabile f (x) conseguente da una variazione x in x come f(x) = f (x + x) f (x) = f (x) x + o( x), o( x) dove o( x) è un infinitesimo di ordine superiore a x, cioè lim x 0 x = 0. Perciò se approssimo la variazione in f trascurando il termine o( x) commetto un errore piccolo per variazioni x piccole : f (x + x) f (x) f (x) x. Per applicare questa approssimazione alle (3.1) e (3.2) calcolo le derivate necessarie d dy V A (y) = d dy [ n ] a k (1 + y) t k = n a k ( t k ) (1 + y) tk 1 = k=1 k=1 = (1 + y) 1 n t ka k (1 + y) t k, k=1 d dδ V A (δ) = d [ n ] dδ a ke δt k = n a k ( t k )e δt k = n t ka k e δt k, k=1 k=1 k=1 (3.3) per cui si ha V A (y + y) V A (y) [ (1 + y) 1 n ] t ka k (1 + y) t k y = k=1 ( n ) = (1 + y) 1 V A k=1 (y) t ka k (1 + y) t k V A y, (y) V A (δ + δ) V A (δ) [ n ] ( n t ka k e δt k δ = V A k=1 (δ) t ka k e δt k k=1 V A (δ) (3.4) Le espressioni fra parentesi tonde ) δ. n k=1 a kt k (1 + y) t k V A (y) = n k=1 a kt k (1 + y) t k n k=1 a k (1 + y) t k e n k=1 a kt k e δt k V A (δ) = n k=1 a kt k e δt k n k=1 a ke δt k M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

12 12 3. Sensibilità dei valori al tasso di interesse hanno ovviamente uguale valore in quanto δ = ln (i + y) (cioè (1 + y) t k = e δt k). Esse possono essere lette come la media delle scadenze dei flussi di cassa di A ponderate con pesi pari ai valori attuali dei flussi di cassa. Si tratta perciò della durata media finanziaria o duration del titolo A calcolata al tasso y o al tasso istantaneo corrispondente δ: dur(a,y) = dur(a,δ) = n k=1 a kt k (1 + y) t k n k=1 a k (1 + y) t k n k=1 a kt k e δt k n k=1 a ke δt k. = Siccome l espressione (3.4) in termini di tasso istantaneo δ è più agevole della corrispondente in termini di tasso y, nel seguito mi occuperò di questa. La (3.4) può essere riscritta come V A (δ + δ) V A (δ) V A (δ) dur(a,δ) δ, (3.5) con l ovvia interpretazione: la variazione relativa del valore del titolo A conseguente ad una (piccola) variazione nel tasso istantaneo δ è approssimativamente proporzionale alla variazione δ nel tasso istantaneo; la costante di proporzionalità è data dalla duration dur(a,δ) (cambiata di segno). Ecco allora che si è trovato un indicatore della sensibilità del valore di un titolo a variazioni nel tasso di mercato. Come era emerso dall esempio all inizio di questo paragrafo, questo indicatore è legato alla durata del titolo. Più precisamente si tratta appunto della sua durata media finanziaria. Un titolo ha un valore tanto più sensibile al tasso di mercato, quanto più ha una duration lunga. Per un titolo zero coupon la duration coincide con la durata residua, e solo in questo caso non dipende dal tasso di valutazione. Tornando al semplice esempio dei due titoli zero coupon (valore nominale 1 000e, scadenze, 1 anno e 2 anni), quindi dalle duration rispettivamente di 1 e 2 anni, è chiaro ora perché le variazione relativa del secondo titolo è (approssimativamente) doppia rispetto a quella del primo. In questo caso si può notare anche quanto l approssimazione sia accurata: V 1 (3,5%) V 1 (3%) = 966,18 970,87 = 4,69e, ( V 1 (3,5%) V 1 (3%) V 1 (3%) 1 ) 0,005 = 1,03 ( = 970,87 1 ) 0,005 4,71e; 1,03 Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

13 3.1 Immunizzazione 13 V 2 (3,5%) V 2 (3%) = 933,51 942,60 = 9,09e, ( V 2 (3,5%) V 2 (3%) V 2 (3%) 2 ) 0,005 = 1,03 ( = 942,60 2 ) 0,005 9,15e. 1,03 Per titoli più complessi la duration è appunto una durata media, essa dipende dal tasso di valutazione e dalla distribuzione dei flussi di cassa nel tempo. Si consideri per esempio il caso di titoli con cedole: il titolo A prevede 3 cedole annue di importo 60e ed un rimborso finale al termine del terzo anno di 1 000e; il titolo B prevede 3 cedole annue di importo 30e ed un rimborso finale al termine del terzo anno di 1 000e. Il tasso istantaneo di mercato è δ = 3,5%, e le duration sono dur(a,δ = 3,5%) = 1 60e 0, e 2 0, e 3 0,035 60e 0, e 2 0, e 3 0,035 2,839157, cioè 2 anni e 0, giorni circa; dur(b,δ = 3,5%) = 1 30e 0, e 2 0, e 3 0,035 30e 0, e 2 0, e 3 0,035 2,912719, cioè 2 anni e 0, giorni circa. Quanto sopra indica che un titolo con una cedola più piccola (rispetto al capitale di rimborso) è più sensibile a variazioni nel tasso di mercato di un titolo con cedola più alta. 3.1 Immunizzazione Calcolo ora la derivata seconda del valore V A (δ) di un titolo a reddito fisso rispetto al tasso istantaneo δ di valutazione d 2 dδ 2V A (δ) = d ( n ) dδ t ka k e δt k = ( n ) n (t k) 2 a k e δt k = V A k=1 (δ) (t k) 2 a k e δt k k=1 k=1 V A ; (δ) (3.6) l espressione fra parentesi viene detta duration di secondo ordine o convexity conv (A,δ). Fra breve sarà chiaro il suo ruolo. Se si considera un portafoglio, cioè un operazione finanziaria che consiste nell acquisto di diversi titoli in quantità determinate, è facile calcolare la sua duration: la duration di un portafoglio è pari alla media delle duration dei titoli che lo compongono, con pesi dati dai valori attuali dei vari titoli. Per esempio M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

14 Immunizzazione un portafoglio che chiamo x, composto da due titoli, A e B, ha duration calcolata al tasso istantaneo δ è dur(x,δ) = dur(a,δ) V A (δ) + dur(b,δ) V B (δ) V A (δ) + V B. (δ) Nello stesso modo, un portafoglio y composto dall acquisto del titolo A e dall emissione (indebitamento o vendita allo scoperto) del titolo B ha duration dur(y,δ) = dur(a,δ) V A (δ) + dur(b,δ) [ V B (δ) ] V A (δ) + [ V B. (δ)] Lo stesso vale per la convexity conv (x,δ) = conv (A,δ) V A (δ) + conv (B,δ) V B (δ) V A (δ) + V B. (δ) Per un portafoglio x la (3.3) diventa d dδ V x (δ) = V x (δ) dur(δ) (3.7) e la (3.6) d 2 dδ 2V x (δ) = V x (δ) conv (δ). (3.8) Naturalmente, il valore di mercato V x (δ) di un portafoglio x è pari alla somma dei valori di mercato dei titoli che lo compongono V x (δ) = V A (δ) + V B (δ). In modo equivalente, il valore di mercato di un portafoglio è pari al valore attuale al tasso di mercato dei flussi di cassa futuri previsti dal portafoglio V x (δ) = n k=1 (a k + b k ) e δt k. Un portafoglio x si dice immunizzato se, a seguito di piccole variazioni nel tasso di mercato, il suo valore V x (δ) non subisce diminuzioni. In termini più formali, un portafoglio è immunizzato se il suo valore di mercato V x (δ) è un minimo almeno locale rispetto a δ. Teorema 3.1 (di Redington) Sia δ il tasso istantaneo di mercato; sia il portafoglio x composto da flussi di sole entrate future A (per esempio l acquisto di un titolo) e da flussi di sole uscite future B (per esempio un emissione o una vendita allo scoperto). Se valgono le seguenti condizioni V A (δ) = V B (δ), dur(a,δ) = dur(b,δ), conv (A,δ) > conv (B,δ), Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

15 3.1 Immunizzazione 15 allora il portafoglio x è localmente immunizzato contro variazioni nel tasso istantaneo di valutazione. Tale risultato è valido anche se si effettuano i calcoli in capitalizzazione composta al tasso annuo y = e δ 1 corrispondente al tasso istantaneo δ. La dimostrazione è facile. Infatti, un portafoglio x è immunizzato se il suo valore di mercato V x (δ) = V A (δ)+v B (δ) è un minimo locale rispetto a δ. Le condizioni del teorema 3.1 di Redington, insieme alle (3.7) e (3.8), implicano che V x (δ) = 0, d dδ V x (δ) = dur(a,δ) V A (δ) + dur(b,δ) V B (δ) = 0, d 2 dδ 2V x (δ) = conv (A,δ) V A (δ) + conv (B,δ) V B (δ) > 0; le ultime due (derivata prima nulla e seconda positiva) garantiscono che si tratta di un minimo locale rispetto al tasso δ per la funzione del valore. Esempio 3.2 Si supponga di dover pagare con certezza la somma di e fra 2 anni e 6 mesi. Oggi voglio impiegare del denaro in modo da poter far fronte al pagamento mettendomi altresì al riparo da eventuali cambiamenti nel tasso annuo di interesse di mercato pari a i = 3,5%. Se trovassi sul mercato un titolo zero coupon con 2 anni e 6 mesi di vita residua, potrei comprarne per un valore nominale di e raggiungendo lo scopo: oggi investo (1,035) 2, ,73e, fra 2 anni e 6 mesi avrò certamente a disposizione i e che mi servono indipendentemente da variazioni nel tasso di interesse. Se, come di solito accade, non esiste un titolo zero coupon con la scadenza opportuna, posso sfruttare i risultati del teorema 3.1 di Redington. Si supponga che sul mercato siano trattati un titolo H zero coupon con vita residua di un anno e un titolo K con vita residua 3 anni, cedole annue calcolate al 5%, rimborso alla pari. Acquistando quantità opportune di questi due titoli mi garantisco certe entrate future con le quali far fronte all uscita prevista. Calcolo i corsi tel quel di mercato, le duration e le convexity dei due M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

16 Immunizzazione titoli V H = (1,035) 1 96,618 V K = 5a (1,035) 3 = 5 1 (1,035) 3 0,035 dur(h) = 1 dur(k) = 1 5(1,035) (1,035) (1,035) 3 104,202 conv (H) = 1 2 = 1 conv (K) = 12 5(1,035) (1,035) (1,035) 3 104,202 + (1,035) 3 104,202 2,862 8,405 Indicando con h la quantità di valore nominale acquistata del titolo H e con k quella di K, le entrate future, che chiamo A come nel teorema 3.1, hanno valore di mercato duration e convexity pari a V A = h V H K + kv = 0,96618h + 1,04202k H dur(h) hv dur(a) = + dur(k)k V K 0,96618h + 2,862 1,04202k V A = 0,96618h + 1,04202k conv (A) = H V K conv (H)hV + conv (K) k 0,96618h + 8,405 1,04202k V A = 0,96618h + 1,04202k Le uscite future, che chiamo B come nel teorema 3.1, e fra 2 anni e 6 mesi, hanno valore attuale (negativo perché è un uscita), duration e convexity pari a V B = (1,035) 2, ,73, dur(b) = 2,5, conv (B) = 6,25. Ora per soddisfare le condizioni del teorema 3.1 deve valere cioè V A = V B 0,96618h + 1,04202k = ,73 0,96618h + 2,862 1,04202k dur(a) = dur(b) = 2,5 0,96618h + 1,04202k 0,96618h + 8,405 1,04202k conv (A) > conv (B) > 6,25 0,96618h + 1,04202k 0,96618h + 1,04202k = ,73 0,96618h + 2,862 1,04202k = 2, ,73 0,96618h + 8,405 1,04202k > 6, ,73 Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

17 3.1 Immunizzazione 17 Le prime due equazioni formano un sistema lineare, la cui soluzione è e verifica l ultima disequazione h 5 539,13, k ,68 0, ,13 + 8,405 1, , ,73 6,965 > 6,25. Riassumendo, l acquisto di 5 539,13e di valore nominale di titolo zero coupon con un anno di vita residua (spendendo 0, ,13 = 5 351,80e) e di ,68e di valore nominale di titolo con durata residua 3 anni con cedole al 5% e rimborso alla pari (spendendo 1, ,68 = ,94e), permettono di immunizzare un uscita di e prevista fra 2 anni e 6 mesi. Il risultato del teorema 3.1 merita alcuni commenti, esso non contiene nulla di miracoloso. L esempio appena visto può essere utile per capire le ipotesi del teorema. L uscita prevista fra 2 anni e 6 mesi è coperta mediante l acquisto di due titoli, uno con duration inferiore a 2,5, l altro con duration superiore. Nel complesso si producono così dei flussi di cassa in entrata collocati in date precedenti e successive (ma non uguali) alla data dell uscita, che chiamo t. L ipotesi implicita è che le entrate precedenti a t possano essere reinvestite al tasso di mercato; inoltre i titoli posseduti a t possono essere venduti al loro valore attuale calcolato al tasso di mercato. Per questo a seguito di un aumento [diminuzione] del tasso di mercato le entrate precedenti a t possono essere impiegate a condizioni più [meno] vantaggiose, mentre il valore a t delle entrate successive diminuisce [aumenta]. In una situazione di immunizzazione queste variazioni di valore, almeno per variazioni piccole del tasso di mercato, si compensano, anzi gli aumenti di valore superano le diminuzioni. Attenzione però che il portafoglio è immunizzato contro variazioni piccole del tasso, quindi, come tutti i risultati locali, il teorema 3.1 va usato con le opportune cautele. Inoltre, una volta avvenuta una variazione del tasso di mercato, cambiano i valori, le duration e le convexity dei titoli del portafoglio. È quindi necessario ribilanciare la composizione del portafoglio per immunizzarlo contro ulteriori variazioni nel tasso. Infatti, se nell esempio precedente il tasso subisse un aumento di mezzo punto percentuale si avrebbe V B ,06, dur(b) = 2,5, conv (B) = 6,25; V H 96,154, dur(h) = 1, conv (H) = 1; V K 102,775, dur(k) = 2,861, conv (K) 8,401. e le quantità h = 5 539,13 e k = ,68 non soddisfano più le prime due condizioni del teorema 3.1: V A = 0, ,13 + 1, , ,34 V B = ,06, dur(a) = 0, ,13 + 2,861 1, ,68 2,529 dur(b) = 2, ,06 M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

18 18 4. Struttura per scadenza dei tassi di interesse Come se non bastasse, c è un altra ipotesi implicita nei calcoli ora visti: i titoli possono essere acquistati in qualsiasi quantità. In realtà però ci sono i tagli base che complicano la situazione. 4 Struttura per scadenza dei tassi di interesse Il valore di un titolo è il valore attuale dei pagamenti futuri promessi dal titolo. Naturalmente se esiste una qualche incertezza sull entità del pagamento futuro, questa si rifletterà sul prezzo del titolo. Per esempio un obbligazione emessa da una società particolarmente dissestata o un titolo di stato di un paese dalle finanze pubbliche preoccupanti sarà meno appetibile di un titolo con le stesse caratteristiche, cioè che promette gli stessi flussi di cassa, emesso, per esempio, dallo stato italiano. Il suo valore sarà quindi inferiore, questo perché il titolo di stato italiano pagherà sicuramente (o per lo meno con una probabilità giudicata dagli agenti prossima a 1) quanto promesso, mentre i pagamenti del titolo della società scalcinata o del paese dissestato sono aleatori e dipendono dal fallimento o meno dell emittente (evento a cui gli agenti attribuiscono probabilità non trascurabile). Per quanto detto, i titoli i cui prezzi dipendono solo dai tassi di interesse sono quelli senza rischio di fallimento, cioè quelli che pagheranno sicuramente cedole e capitale di rimborso. In questo paragrafo mi occupo proprio dei titoli non rischiosi, tipicamente titoli di stato. Ora lo scopo non è valutare questi titoli (come nel paragrafo 2), ma capire quali tassi sono stati usati per determinare i prezzi quotati sul mercato. In altre parole, l obbiettivo è la determinazione dei tassi di valutazione di mercato, sotto l ipotesi che il mercato assegni ai titoli a reddito fisso il valore attuale dei pagamenti futuri. Sul mercato dei titoli a reddito fisso si possono vendere e acquistare titoli trattati pagando il prezzo corrispondente. In questo caso al momento della contrattazione viene pattuito il prezzo pagato immediatamente, e viene consegnato il titolo: si tratta di un contratto a pronti (o spot). Se prevedo di incassare 5 000e fra un anno e desidero impiegare questi soldi una volta incassati per l acquisto di BOT a 6 mesi (o, più in generale, con 6 mesi di vita residua) ho due possibilità. La prima è quella di aspettare un anno e di acquistare i BOT fra un anno al prezzo che avranno in quel momento. In questo modo però non conosco il prezzo di acquisto futuro. La seconda possibilità è quella di accordarmi fin d ora sul prezzo a cui acquistare BOT a 6 mesi fra un anno. In quest ultimo caso stipulo un contratto a termine (o forward). Al momento della stipula di un contratto a termine non avviene nessun trasferimento, né monetario né di titoli; si fissa oggi il prezzo a cui ci si impegna a scambiare un titolo ad una data futura. Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

19 4.1 Tassi a pronti Tassi a pronti Sul mercato dei titoli a reddito fisso, in ogni momento, posso rilevare i prezzi dei titoli. Se sono trattati titoli zero coupon, il loro valore deve essere pari al valore attuale del valore a scadenza del titolo, ma quale tasso è nascosto nel prezzo di mercato? Per la (2.1), il valore, che qui chiamo P (0,t), al momento 0 di un titolo zero coupon con vita residua t e valore nominale C è P (0,t) = Cv t, per cui P (0,t) C = v t = 1 (1 + h(0,t)) t = e δ(0,t)t. Questo significa che posso leggere nei prezzi di mercato i fattori di attualizzazione, da cui ricavare il tasso annuo di mercato h(0,t) per un impiego che inizia oggi e termina fra t anni h(0,t) = ( )1 c t 1 P (0,t) e il corrispondente tasso istantaneo δ (0,t) = 1 ( ) c t ln = 1 ( ) P (0,t) P (0,t) t ln. c I tassi appena trovati, sono i tassi, rispettivamente annuo e istantaneo, effettivi di rendimento dell investimento nel titolo. Naturalmente sono quotati titoli con diverse durate residue, per ognuno dei quali è possibile calcolare il tasso implicito. Immagino di trovare sul mercato titoli zero coupon A t 1, A t 2,..., A tn tutti con lo stesso valore nominale C, ma con diverse durate residue 0 < t t < t 2 < < t n. Indico i loro prezzi di mercato P (0,t 1 ), P (0,t 2 ),..., P (0,t n ). È ovvio che il prezzo di un titolo sarà tanto più basso quanto più è lontana la data di incasso del valore nominale (postulato di impazienza): P (0,0) = C > P (0,t 1 ) > P (0,t 2 ) > > P (0,t n ). Da questi prezzi posso ricavare i tassi a pronti (o spot) di mercato annui e istantanei h(0,t i ) = ( ) 1 C t i 1 P (0,t i ) δ (0,t i ) = 1 ( ) P (0,ti ) ln t i C riferiti ad impieghi con durate diverse. Le funzioni h(0,t) e δ (0,t) che associano il tasso annuo e istantaneo alla durata dell impiego forniscono la cosiddetta struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti. Quando h(0,t i ) = h e δ (0,t i ) = δ per ogni scadenza t i si dice che la struttura per scadenza al tempo 0 è piatta. Si parla spesso di curva dei tassi a pronti e si usa M.A. Maggi Materiale didattico gratuito a.a

20 Tassi a pronti t Figura 4.1: Esempio di struttura per scadenza di tassi di interesse. rappresentare la struttura per scadenza su un grafico come quello in figura 4.1 (dopo un eventuale interpolazione dei tassi ottenuti dai titoli quotati). Esempio 4.1 I corsi tel quel di titoli zero coupon con durate rispettivamente di 6 mesi un anno e 18 mesi sono: 98,533, 96,805, 94,833. Questi corsi rappresentano il prezzo di acquisto di e di valore nominale di titoli zero coupon. Da questi prezzi si possono ricavare i tassi annui di mercato ( ) 1 0,5 h(0, 0,5) = 1 3%, 98,533 ( ) 1 h(0, 1) = 1 3,30%, 96,805 ( ) 1 1,5 h(0, 1,5) = 1 3,60% 94,833 e i corrispondenti tassi istantanei δ (0, 0,5) = 1 ( ) 98,533 0,5 ln 2,96%, ( ) 96,805 δ (0, 1) = ln 3,25%, δ (0, 1,5) = 1 ( ) 94,833 1,5 ln 3,54%. In questo caso la struttura per scadenza non è piatta, ma crescente: impieghi per durate maggiori hanno un tasso di rendimento superiore. Materiale didattico gratuito a.a M.A. Maggi

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