Lezione 6. Sistemi di equazioni lineari Parabola

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Valeria Venturini
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1 Lezione 6 Sistemi di equazioni lineari Parabola

2 Altro metodo per trovare l equazione di una retta che passa per due punti dati Siano A e B due punti di coordinate rispettivamente A = (x A, y A ) e B = (x B, y B ). La retta che passa per questi due punti può essere trovata mediante la formula y y A = y B y A x x x B x A A Oppure imponendo che entrambi i punti A e B appartengano alla retta r di equazione A r ovvero si deve risolvere il sistema ቊ B r y = mx + q ቊy A = mx A + q y B = mx B + q

3 Esempio Trovare l equazione della retta passante per i punti A = 1,3 e B = (0,2) 1. Uso la formula y 3 = 2 3 x 1 y = x 1 y = x Uso la formula y 2 = 2 3 x 0 y = 2 + 1x y = x Uso il sistema per imporre che A r: y = mx + q e che B r: y = mx + q 3 = m 1 + q ቊ 2 = m 0 + q ቊ3 = m + q 2 = q ቊ 3 = m + 2 q = 2 ቊ 3 2 = m q = 2 y = 1 x + 2 y = x + 2 ቊ m = 1 q = 2

4 Sistemi di equazioni lineari Date le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 quanti punti hanno in comune? Per rispondere devo risolvere il sistema ax + by + c = 0 ቊ a x + b y + c = 0 e trovare i punti (x, y) che sodisfano entrambe le equazioni. Si possono verificare 3 situazioni: 1. il sistema non ha soluzione se le rette sono parallele 2. Il sistema ha una sola soluzione se le rette sono incidenti 3. Il sistema ha infinite soluzioni se le rette sono coincidenti

5 Esercizi Determina gli eventuali punti d intersezione delle rette di equazioni y = 3x + 1 e 2x + y = 2. Determina gli eventuali punti d intersezione delle rette di equazioni y = 3x + 1 e 3x + y = 2. Determina gli eventuali punti d intersezione delle rette di equazioni y = 3x + 1 e 6x + 2y = 2. Dopo aver trovato l equazione della retta r passante per A = (1,2) e parallela alla retta di equazione 2x + y = 1, determina gli eventuali punti di intersezione della retta r con la retta di equazione 2y x = 0. Dopo aver trovato l equazione della retta r passante per A = (0,0) e perpendicolare alla retta di equazione 2x 3y = 1, determina gli eventuali punti di intersezione della retta r con la retta di equazione 2y x = 0.

6 Parabola L equazione della parabola è y = ax 2 + bx + c. Se a > 0 la parabola ha la concavità verso l alto Se a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso Proprietà della parabola: Ha un vertice di ascissa x V = b 2a Ha un asse di simmetria che passa per il vertice

Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado ax 2 + bx + c 0 Intersezione tra la parabola di equazione y = ax 2 + bx + c e l asse

7 Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado ax 2 + bx + c 0 Intersezione tra la parabola di equazione y = ax 2 + bx + c e l asse delle x di equazione y = 0 ቊ y = ax2 + bx + c y = 0 x 1,2 = b± Δ 2a se Δ > 0 x 1 x 2 e la parabola interseca l asse delle x in due punti: x 1, 0 e (x 2, 0) a > 0 a < 0

il polinomio ax 2 + bx + c positivo linea tratteggiata per gli x R che

8 Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado ax 2 + bx + c 0 Convenzione: linea continua per gli x R che rendono il polinomio ax 2 + bx + c positivo linea tratteggiata per gli x R che rendono il polinomio ax 2 + bx + c negativo Se a > 0 e Δ > 0 Se a < 0 e Δ > 0

9 Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado ax 2 + bx + c 0 se Δ = 0 x 1 = x 2 e la parabola interseca l asse delle x in un punto: x 1, 0 Se a > 0 Se a < 0

10 Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado ax 2 + bx + c 0 se Δ < 0 x 1, x 2 e la parabola non interseca l asse delle x in alcun punto Se a > 0 Se a < 0

11 Esercizi Siano A = x R: x e B = x R: 4 + 3x > 3 x Si determini A B, A B, A B, B A Siano A = x R: x2 2 4x 2 0 e B = x R: > 0 3 x 3 x Si determini A B, A B, A B, B A Siano A = x R: x2 2 4x 2 = 0 e B = x R: < 0 3 x 3 x Si determini A B, A B, A B, B A Siano A = x R: x2 2 4x 2 < 0 e B = x R: 0 3 x 3 x Si determini A B, A B, A B, B A 11

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