Complementi ed esercizi di Idrodinamica I parte. 1. Proprietà fisiche dei fluidi

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1 Comlementi ed esercizi di Idrodinamica I arte.. Prorietà fisiche dei fluidi. Densità e modulo di elasticità a comressione cubica. Come è noto la densità di massa ρ misura la massa contenuta nell unità di volume e viene misurata in kg/m. Nei fluidi la densità di massa diende dalla ressione e dalla temeratura: ( T, ) ρ ρ () essendo T, ressione e temeratura. La () è nota come equazione di stato del fluido. Nel caso dei liquidi la densità diminuisce all aumentare della temeratura. L acqua costituisce un eccezione in quanto resenta un massimo a 77 K (4 C). Per l acqua a ressione atmosferica vale la seguente formula emirica: ( T T T ) ρ ρ () 0 5 in cui la temeratura deve essere esressa in gradi centigradi e ρ kg m è la densità a 0 C. Nel camo di temerature 0<T<40 C, nel quale risultano comrese le condizioni iù frequenti delle ratiche alicazioni, le variazioni della densità sono contenute entro lo 0.8% e erciò ossono essere trascurate, assumendo un unico valore della densità ari a 000 kg/m. Nello stesso camo di temerature, valgono condizioni analoghe anche er gli altri liquidi comunemente usati nella ratica, er i quali si assume un unico valore della densità, riortato nella tabella sottostante Nei liquidi la densità diende dalla ressione assai debolmente. Il modulo di elasticità a comressione cubica ε:

2 ρ ρ ε () definito come la ressione necessaria a rodurre un incremento relativo unitario della densità, 9 ε n 0 Pa N m, essendo n un numero di oche assume infatti valori di ordine di grandezza ( ) 9 unità. Per l acqua, alla temeratura di 8 K, si ha: ε. 0 0 Pa ( N m ) 0000atm. La relazione () uò essere scritta facendo comarire al osto della densità il volume di liquido V considerato. tal roosito si osservi che la massa di liquido M è data dalla esressione: M ρv (4) ed è invariabile; dunque le variazioni di massa sono nulle: M ρ V ( ρv ) V ρ + ρ V 0 (5) ρ V Sostituendo nella () la variazione relativa di densità ottenuta dalla (5) in funzione della variazione relativa di volume, si ottiene: V (6) V ε Dato l elevato valore di ε, i liquidi variano ochissimo la loro densità anche a fronte di notevoli aumenti di ressione: er questo motivo vengono ritenuti incomrimibili. Il modulo di elasticità a comressione cubica è raticamente indiendente dalla ressione er tutti i liquidi, mentre varia arezzabilmente con la temeratura, il cui aumento comorta in generale un innalzamento del valore di ε. Per l acqua il modulo aumenta di circa il 0% quando la temeratura assa da 7 K a 0 K. Facendo tendere l incremento di ressione a zero nella () si ottiene la seguente equazione differenziale: d ρ d (7) ρ ε che ermette di determinare la diendenza della densità dalla ressione. Integrandola si ottiene: ( ) ε 0 ρ ρ e (8) in cui evidentemente ρ 0 è il valore della densità in corrisondenza alla ressione 0. 0 Esercizio.. Un volume di liquido si riduce dello 0.04% quando la sua ressione viene aumentata di 50 N/cm. Determinare il modulo di elasticità a comressione cubica ammettendo che questo sia costante al variare della ressione. Per risolvere l esercizio è sufficiente alicare la formula (6), risolvendo in funzione di ε:

3 ε V V Prima di inserire i valori numerici è erò bene osservare che: V a) una riduzione dello 0.04% è ari alla variazione relativa: ; V b) un incremento di ressione di 50 N/cm è ari a Pa (N/m ): bisogna ricordarsi semre di convertire i dati nelle unità di misura del SI. Il valore numerico di ε è dunque ari a: ε Esercizio.. Determinare l incremento di ressione necessario a rodurre un aumento relativo della densità dell acqua a 8 K ari al 5%. In questo caso conviene alicare la formula (), risolvendo in funzione dell incremento di ressione: ρ 9 8 ε Pa 00atm ρ. Tensione suerficiale. La suerficie di searazione tra due fluidi non miscibili o tra un fluido e un solido si comorta come se fosse una membrana elastica in stato uniforme di tensione. Immaginiamo di tagliare tale membrana lungo un segmento di linea di lunghezza L: er mantenere uniti i lembi del taglio, che tenderebbero a seararsi, è necessario alicare una forza, distribuita uniformemente sul segmento di lunghezza L, detta tensione suerficiale τ, agente in direzione erendicolare alla linea del taglio, tangente alla suerficie di searazione e avente verso orientato in modo tale da riunire i lembi del taglio, come illustrato nella figura sotto riortata. 9 Pa τ τ L La tensione suerficiale si misura in N/m ed è funzione della coia di materiali che definiscono la suerficie di searazione oltre che della temeratura. La tabella riortata iù avanti fornisce i valori della tensione suerficiale di alcuni liquidi a contatto con l aria alla temeratura di 9 K; er questi liquidi la tensione suerficiale varia oco al variare del gas, mentre si hanno variazioni imortanti al variare della temeratura. In articolare la tensione suerficiale diminuisce all aumentare della temeratura.

4 La tensione suerficiale è resonsabile del fatto che iccole orzioni di liquido comletamente immerse in un aeriforme assumano forma seudo-sferica (gocce). Tale forma infatti è l unica in grado ermettere l equilibrio della forza risultante dalla distribuzione di tensione suerficiale sulla suerficie di searazione con le altre forze in gioco. Liquido Tensione suerficiale [N/m] cqua 0.07 Mercurio Benzene 0.09 Olio d oliva 0.9 La tensione suerficiale fa sentire i suoi effetti quando la curvatura della suerficie di searazione è sufficientemente marcata, erché in tal caso si verifica un arezzabile salto di ressione attraverso la suerficie stessa. Per comrendere quest ultima affermazione, si immagini una suerficie di searazione avente la forma di calotta sferica: e i - e i θ τ τ θ θ R La tensione suerficiale agente lungo il bordo della suerficie di searazione, avente la forma di una circonferenza, ha una risultante agente nella direzione dell asse verticale a tratto e unto e orientata verso il basso. Di conseguenza dovrà esistere una forza di modulo uguale e verso contrario a questa e dovuta ad un salto di ressione esistente tra le facce della suerficie di searazione, tale da far mantenere alla suerficie la forma a calotta sferica. Il salto di ressione è definito come la differenza tra la ressione interna i e la ressione esterna e alla calotta sferica. Nel disegno la ressione interna è evidentemente maggiore di quella esterna. La comonente della tensione suerficiale lungo l asse verticale è ari a: τ sin ( θ ) (9) La forza risultante F è ari al rodotto della (9) er la lunghezza della circonferenza di bordo della calotta: ( θ ) πr sin( θ ) F τ sin (0) La comonente lungo la verticale della forza causata dal salto di ressione agente sulla calotta sferica: ( ( )) F π Rsin θ ()

5 deve bilanciare la (0). Eguagliando la (0) e la () si ottiene l esressione del salto di ressione in funzione della tensione suerficiale: τ () R Definita la quantità /R curvatura della suerficie sferica, si vede immediatamente dalla () che il salto di ressione indotto dalla tensione suerficiale è tanto maggiore quanto maggiore è la curvatura ossia quanto iù iccolo è il raggio di curvatura. Si uò dimostrare, sotto oortune iotesi, che er una suerficie qualsiasi si definisce curvatura della suerficie in un determinato unto la quantità: R + R () in cui R, R sono i raggi di curvatura rinciali, relativi a due circonferenze definite su due iani erendicolari e arossimanti la suerficie di searazione nell intorno di un unto. Di conseguenza la () si modifica nella (di cui la () è un caso articolare): + τ R R (4) Nel contatto con una suerficie solida, la suerficie di searazione liquido aeriforme si comorta come un velo che aderisce alla suerficie solida. Nella figura sotto riortata vengono illustrati due casi tiici. β d/ R β h β h ρ ρ β ρ ρ d/ Si tratta delle sezioni di due tubi cilindrici circolari di diametro d immersi in un contenitore aerto di dimensioni rilevanti risetto al diametro dei tubi e contenente liquido di data densità ρ. La suerficie di searazione forma al contatto con la suerficie esterna ed interna del tubo un angolo ari a β. Nel caso illustrato a sinistra (ad es. acqua) β è minore di 90 e il liquido bagna la suerficie

6 del tubo. Nel caso a destra (ad es. mercurio) β è maggiore di 90 e il liquido non bagna la suerficie del tubo. La differenza di quota h riscontrata tra l esterno e l interno del tubo è definita risalita caillare e la sua esressione in funzione della densità del liquido, della tensione suerficiale, del diametro del tubo e dell angolo β si ottiene con la seguente semlice considerazione: il salto di ressione esistente tra le facce della suerficie di searazione deve necessariamente eguagliare il eso, er unità di suerficie, della colonnina liquida di altezza h: ρgh (5) D altra arte il salto di ressione è anche dato dalla (), in cui il raggio di curvatura venga esresso tramite la: Di conseguenza si ha: R d cos (6) ( β ) 4τ h cos ( β ) (7) ρgd Si osservi che se β è minore di 90, h è ositivo e si ha effettivamente una soraelevazione del livello di liquido nel tubo risetto a quello nel contenitore, mentre se β è maggiore di 90, h è negativo e si ha un abbassamento del livello di liquido nel tubo risetto a quello nel contenitore. In resenza di aria a ressione atmosferica e a temeratura ordinaria ( 9 K), l angolo di contatto dell acqua e della maggior arte dei liquidi organici con il vetro è rossimo allo zero: β0, mentre er il mercurio e il kerosene nelle stesse condizioni è ari risettivamente a β0, β6. Esercizio.. Determinare la ressione i all interno di una goccia d acqua del raggio R0.05 mm alla temeratura di 9 K, quando la ressione esterna è ari a quella normale atmosferica: e 07 Pa. Per risolvere l esercizio si deve rima alicare la formula () er calcolare il salto di ressione, assumendo er la tensione suerficiale il valore riortato in tabella: τ0.07 N/m. Si ha dunque: τ 0.07 Pa R Il raggio della sfera è stato esresso in metri. Per valutare la ressione interna si ricordi la definizione del salto di ressione, come differenza tra la ressione interna e quella esterna: i e i e Pa Esercizio.. Determinare, a 9 K, la risalita caillare dell acqua in un tubo di vetro del diametro d4 mm e del mercurio in un tubo di vetro del diametro d mm. Si alica direttamente la formula (7) che fornisce il risultato:

7 4τ h cos ρgd 4τ h cos ρgd ( β ) cos( 0 ) m ( β ) cos( 0 ) m Si vede come la risalita assuma un valore tutt altro che trascurabile, se osto a confronto con il diametro dei tubi.. Idrostatica. Piano dei carichi idrostatici assoluti e relativi. La formula () del II caitolo: + z ζ cost ρg ( 8) esrime il fatto che in un liquido (fluido incomrimibile) in quiete risetto ad un sistema di riferimento in cui agisce la sola forza eso la quota iezometrica resta costante. h*-h atm /ρg atm h* ( a - atm )/ ρg atm b h z b -z a a z a z b ρ z0 Tramite la (8), nota la ressione in un unto della massa liquida, si uò calcolare la ressione in qualsiasi altro unto. Infatti, suosto di conoscere la ressione nel unto a quota z b, la ressione nel unto a quota z a è data da: ρg ρg a b + za + zb a b + ρ { g ( z ) b za 44 Peso ffondamento secifico (9) ossia dalla somma del valore di riferimento b e del rodotto del eso secifico del liquido er l affondamento del unto osto a quota z a risetto a quello osto a quota z b. La ressione aumenta linearmente con l affondamento, come mostrato nel disegno sora riortato, ed il coefficiente di roorzionalità è ari al eso secifico. La ressione in un unto è semre esressa risetto ad un valore di riferimento, come nella formula (9). Si suonga di esrimere la ressione nel unto

8 osto a quota z a risetto alla ressione atmosferica atm, definita come il eso della colonna d aria a livello del mare su una suerficie di un centimetro quadrato ed equivalente al eso di una massa di.0 kg su una suerficie di un centimetro quadrato, ossia a 07 Pa o N/m. Detta h la quota del unto aartenente alla massa liquida in cui si ha ressione atmosferica, si ha dalla (9): a atm ( h z ) + ρ g (0) a Facendo riferimento al disegno sora riortato, si vede come il unto aartenente al liquido, in cui si ha ressione atmosferica, si trovi nel tubo collegato al serbatoio ed aerto all altra estremità. Risolvendo la (0) risetto ad h si ottiene: ρg a atm h + z a () La formula () fornisce la quota del unto in cui la ressione nella massa liquida è ari alla ressione atmosferica: tale quota individua il iano dei carichi idrostatici relativi. Nel disegno il iano dei carichi idrostatici relativi coincide con la quota raggiunta dalla suerficie del liquido nel a atm tubo, ari alla somma della quota z a del unto di artenza e del segmento. Se nella ρg formula () si one ari a zero la ressione atmosferica, si ottiene la quota del unto in cui la ressione assoluta nella massa liquida è ari a zero: tale quota individua il iano dei carichi idrostatici assoluti: a h * + za () ρ g Si vede chiaramente che la differenza tra la osizione del iano dei carichi relativi e assoluti è ari a: atm h* h () ρg Ossia il iano dei carichi assoluti si trova semre al di sora del iano dei carichi relativi, ad una atm distanza da esso ari a:. Tale distanza diende evidentemente dal tio di liquido in ρ g considerazione: se si tratta di acqua, essendo il eso secifico ari a 980 N/m, si ha: h*-h0. m, se si tratta di mercurio, essendo il eso secifico ari a 87 N/m, si ha: h*-h0.76 m. La differenza a atm, che aare nella (), è detta ressione relativa. Nelle normali alicazioni dell Idrodinamica è la ressione relativa ad essere resa in considerazione. D ora in avanti si indicherà con il simbolo la ressione relativa alla atmosferica e con il simbolo * la ressione assoluta. Pressione relativa e ressione assoluta sono legate dalla formula: * (4) atm Poiché il minimo valore che la ressione assoluta uò raggiungere in un fluido è il valore nullo, il minimo valore della ressione relativa è ari a: atm (5)

9 La ressione (relativa o assoluta) in una massa liquida in quiete uò essere agevolmente calcolata, nota la osizione del iano dei carichi (relativo od assoluto). Prendendo in considerazione la (0), detta h la quota del iano dei carichi idrostatici relativi risetto al iano a quota z0, si ha che la ressione relativa in un unto qualsiasi, osto a quota z, è data da: ( h ) * atm ρ g z (6) ffondamento del unto risetto al iano dei carichi idrostatici relativi. Ossia dal rodotto dell affondamento del unto risetto al iano dei carichi idrostatici relativi er il eso secifico. Esercizio.. Il reciiente in figura contiene un liquido di eso secifico l indicazione del manometro semlice a mercurio ( ρ m g metallico. Sono note le distanze: h 8 m, h m. ρ g 87 N m 885 N m. Determinare ) ed n del manometro Gli strumenti dei misura della ressione vengono detti manometri. I manometri semlici sono dei tubi collegati ad una estremità alla massa liquida di cui si vuole determinare la ressione ed aerti all altra estremità, in modo da essere in condizioni di ressione atmosferica. Sono riemiti dello stesso liquido di cui si vuole misurare la ressione, in tal caso sono detti iezometri, o di un altro liquido, detto manometrico, avente determinate caratteristiche fisiche. Nel caso sotto illustrato il liquido manometrico deve essere iù esante del liquido di lavoro. Il dislivello raggiunto dal liquido manometrico è roorzionale alla ressione del liquido di lavoro. I manometri metallici sono invece dei tubi di metallo, collegati ad una estremità al serbatoio, iegati a sirale e chiusi all altra estremità, che si riemiono del liquido di lavoro. La ressione raggiunta da questo fa svolgere la sirale, rovocando la rotazione di un indice su un quadrante graduato e consentendo così la determinazione della ressione. Il manometro metallico fornisce il valore della ressione relativa in corrisondenza della quota del centro geometrico del quadrante dello strumento. atm atm h h ρ θ θ m ρ m g S ρ m z0 n n

10 Per quanto riguarda l esercizio, osserviamo innanzitutto che il serbatoio è aerto e che il iano dei carichi idrostatici relativi coincide con la suerficie libera, sulla quale la ressione assoluta è ari alla ressione atmosferica e la ressione relativa è nulla. Poichè la ressione relativa di un unto nel liquido uò essere calcolata come rodotto del eso secifico er l affondamento del unto risetto al iano dei carichi idrostatici relativi (formula (6)) si ha: n ρ gh Pa Per determinare il dislivello del liquido manometrico, si tenga resente che il iano orizzontale S, assante er la suerficie di searazione tra il liquido manometrico e il liquido di lavoro, è un iano isobaro. Di conseguenza, calcolando la ressione su tale iano a artire dal iano dei carichi idrostatici relativi del liquido di lavoro e del liquido manometrico (assante er la suerficie libera di quest ultimo, all estremità aerta del tubo), si deve ottenere lo stesso risultato: ρ gh ρg 885 ρmg h 0. 86m ρ g 87 m In figura è riortato anche il diagramma delle ressioni. Quest ultimo riorta in ascisse le ressioni e in ordinate gli affondamenti, crescenti verso il basso. Si nota come il diagramma delle ressioni del liquido di lavoro è meno inclinato risetto alla verticale del diagramma delle ressioni del liquido manometrico. L inclinazione θ risetto alla verticale aumenta con il eso secifico del liquido e diende dalle scale di raresentazione delle ressioni e delle lunghezze. Infatti nel diagramma il generico affondamento h viene raresentato dal segmento di H cm, con una scala ari a σ h m/cm, mentre la ressione viene raresentata tramite un segmento di d cm, con una scala ari a σ Pa/cm. Poiché si deve avere: ρ gh σ d ρgσ H Si ricava la seguente esressione er la tangente dell angolo θ: d σ H tan ( θ ) ρg H σ Dunque si vede come l angolo θ aumenti all aumentare del eso secifico. Esercizio.. Calcolare la differenza di ressione esistente tra i centri dei serbatoi cilindrici, B, illustrati in figura, e la differenza tra le quote dei iani dei carichi idrostatici relativi dei serbatoi suddetti. I reciienti contengono un liquido di eso secifico ρ g 980 N m. L indicazione del manometro differenziale a mercurio ( ρ g 87 N m ) è ari a.5 m. m Il manometro differenziale misura la differenza di ressione esistente tra due unti ed è costituito da un tubo iegato ad U, riemito di liquido manometrico, le cui estremità sono collegate ai due unti di misura. Si hanno due disosizioni: ad U e ad U rovescia. Nel rimo caso il eso secifico del liquido manometrico deve essere maggiore del eso secifico del liquido di lavoro, nel secondo caso il eso secifico del liquido manometrico deve essere minore del eso secifico del liquido di lavoro. H

11 Per determinare la differenza di ressione esistente tra i centri dei serbatoi, B è sufficiente esrimere la ressione relativa nel iano orizzontale di searazione S, artendo sia dal serbatoio che dal serbatoio B ed eguagliando le esressioni così ottenute: B + ρg ( h + ) + ρgh + ρ g m B ( ρ g ρg) ( ) Pa m Nel centro del serbatoio vi è dunque una ressione maggiore che nel centro del serbatoio B, come eraltro era intuibile osservando la disosizione del liquido manometrico. Per calcolare la differenza δ tra le quote dei iani dei carichi idrostatici relativi è sufficiente esrimere la ressione relativa nel iano orizzontale di searazione S, artendo sia dal iano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio che dal iano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio B ed eguagliando le esressioni così ottenute: ρg ρg ( δ + h + h + ) ( h + h ) + ρ g m ρmg ρg δ.5 8.8m ρg 980.c.i.r. δ h B.c.i.r.B θ h P ρ P B ρ θ θ m S ρ m Sulla destra della figura si riorta il diagramma delle ressioni. Esercizio.. Calcolare la differenza di ressione esistente tra i centri dei serbatoi cilindrici, B, illustrati in figura. I liquidi contenuti nei reciienti hanno eso secifico ρ g 980 N m, ρg 470 N m. Il liquido manometrico ha eso secifico: ( ρ m g 85 N m ). L indicazione del manometro differenziale vale 0.5m. Le distanze sono ari a: h m, h m. In questo caso il manometro differenziale si resenta nella disosizione ad U rovescia e di conseguenza il eso secifico del liquido manometrico è minimo risetto a quello degli altri liquidi.

12 Per calcolare la differenza di ressioni si dovrà esrimere la ressione sul iano S, a artire dal serbatoio e dal serbatoio B, facendo comarire le ressioni nei centri dei serbatoi, eguagliando le due esressioni e ricavando la differenza di ressione cercata: B ρ gh ρ g ρ g m ( h h ) ρ g B ρ gh + ρ g ρ g m ( h h ) ρ g 5Pa Sulla destra della figura si riorta il diagramma delle ressioni dove si evidenzia il fatto che il iano dei carichi del liquido manometrico, osto all intersezione della retta a tratto e unto in grassetto con la verticale, si trova notevolmente iù in alto dei iani dei carichi dei due serbatoi..c.i.r.m θ θ m.c.i.r.b.c.i.r. δ h ρ m S θ h h B ρ P B ρ P E interessante calcolare la distanza tra i iani dei carichi dei due serbatoi, rocedendo come nel recedente esercizio: è sufficiente esrimere la ressione relativa nel iano orizzontale di searazione S, artendo sia dal iano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio che dal iano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio B ed eguagliando le esressioni così ricavate: ρg ρg ( h + ) ( δ + h) ρ g m ρg ρmg ρg ρg δ h ρ g ρ g

13 La formula così ottenuta differisce da quella recedente, valida nel caso di manometro differenziale ad U con liquidi dello stesso eso secifico nei serbatoi. Considerando la resenza di due liquidi differenti non è ossibile calcolare la distanza tra i iani dei carichi dei due serbatoi δ, a meno di non assegnare anche la distanza h tra il iano di searazione S e il iano dei carichi di uno dei due serbatoi. Se erò si considerano due liquidi uguali ( ρ ρ ρ ), nella formula sora ricavata si annulla il secondo termine a secondo membro, dunque non è iù necessario assegnare la distanza h er calcolare il δ, la cui esressione ritorna uguale a quella del manometro ad U con liquidi uguali: ρg ρ δ mg ρg salvo il fatto che la differenza tra il eso secifico del liquido di lavoro e il eso secifico del liquido manometrico è invertita risetto a quella del manometro differenziale ad U. Esercizio..4 In un reciiente chiuso si trovano sovraosti tre strati di uguale sessore h (hm) di mercurio, acqua e benzina, aventi eso secifico risettivamente ari a: ρ g 87 N m, ρ g 9806 N m, ρg 7845 N m. Sora il liquido di eso secifico minore vi è inoltre uno strato d aria ρ a g.0 N m Nota la quota h m (h m. m) raggiunta dal mercurio nel iezometro, si determinino le quote dei iani dei carichi dei tre liquidi risetto al fondo e la ressione vigente nello strato d aria. Per la stabilità dell equilibrio, strati di liquidi immiscibili in quiete sovraosti in un serbatoio si disongono in modo tale che gli strati iù esanti occuino via via le arti iù rofonde del serbatoio. In teoria uno strato di liquido esante uò trovarsi in equilibrio al di sora di uno leggero, ma basta una lieve erturbazione erché il sistema si orti nello stato in cui il liquido leggero si trova al di sora di quello esante. S ρ a ρ h θ S ρ h h m θ S ρ h θ Dalla conoscenza della quota del mercurio nel iezometro, coincidente con la quota del iano dei carichi del mercurio risetto al fondo, si risale immediatamente alla ressione sul fondo: z0

14 La ressione sul iano di searazione S è data da: F ρ ghm Pa S ρ ghm ρgh Pa Tale ressione è anche la ressione dei unti aartenenti allo strato d acqua. Il iano dei carichi dell acqua risetto al iano di searazione S è erciò dato dalla: S ρghm ρgh h S. 7m ρ g ρ g 980 E dunque il iano dei carichi dell acqua dista dal fondo di: ρghm ρgh h + h + ρ g 980 La ressione sul iano di searazione S è data da: S S ρ gh Pa.7m Il iano dei carichi della benzina risetto al iano di searazione S è erciò dato dalla: S S ρ gh 6764 h S. 4m ρ g ρ g 7845 E dunque il iano dei carichi della benzina dista dal fondo di: h ρgh h + ρ g 7845 S 4.4m La ressione nello strato d aria è ari a quella che si ha sul iano di searazione benzina-aria S : S S ρ gh Pa La ressione nello strato d aria varia arossimativamente come negli strati liquidi sottostanti, tuttavia, stante il iccolo eso secifico dell aria e la ridotta estensione dello strato, uò essere assunta costante all interno di esso. Questo fatto è messo in luce dal diagramma delle ressioni, in cui il segmento che comete all aria è verticale. Si noti altresì come nel diagramma delle ressioni gli angoli formati dalle rette dei singoli strati con la verticale vadano decrescendo verso l alto: θ <θ <θ, in corrisondenza del fatto che gli strati a densità crescente sono osti via via verso il basso.. Sinte idrostatiche su suerfici iane. Si consideri una suerficie iana immersa in un liquido in quiete. Sia α l angolo formato dal iano dei carichi idrostatici relativi e il iano contenente la suerficie. Si definisce retta di sonda y

15 la retta intersezione tra il iano dei carichi idrostatici relativi e il iano contenente la suerficie. Si definisce retta di massima endenza x la retta ad essa erendicolare, aartenente al iano della suerficie. La sinta elementare ds agente sulla suerficie, dovuta alla distribuzione di ressione idrostatica, è data dalla esressione: ds ρghnd (7) In cui: d è una orzione elementare della suerficie ; h è l affondamento del centro di figura della suerficie elementare d; n è il versore normale alla suerficie. Poiché la suerficie è iana, il versore ad essa normale ha direzione costante al variare del unto reso in considerazione sulla suerficie. La sinta risultante, dovuta alla distribuzione idrostatica, si ottiene sommando tutti i contributi elementari (7): S ρ g hd n ρgh n (8) Per ottenere la (8) si è tenuto conto della costanza del versore normale e del eso secifico. L integrale hdè il momento statico della sezione calcolato risetto al iano dei carichi: come è noto è ari al rodotto dell affondamento del centro di figura della suerficie risetto al iano dei carichi er l area della suerficie. In base alla figura sotto riortata, che illustra la geometria resa in considerazione, la (8) uò anche essere esressa come: ( α ) n S ρgh n ρgx sin (9) Retta di sonda y Piano dei carichi O r x h n P r n h n d Piano contenente la suerficie Retta di massima endenza x La (9) si uò dunque sintetizzare nella regola seguente:

16 la sinta su una suerficie iana è ari al rodotto della ressione calcolata nel centro di figura della suerficie er l area della suerficie. Il verso e la direzione della sinta sono concordi al verso e alla direzione del versore normale al iano contenente la suerficie iana. La sinta idrostatica S su una suerficie iana non è, in generale, alicata al centro di figura ma è alicata in un unto, detto centro di sinta, la cui determinazione viene effettuata imonendo l equivalenza del momento della sinta. In altre arole si deve imorre la condizione che il momento della sinta S eguagli la somma dei momenti delle sinte elementari. Considerato il sistema di riferimento Oxy illustrato nella figura sora riortata, sia r il vettore osizione di un unto generico P sulla suerficie iana, di comonenti x, y. Il momento della sinta idrostatica elementare relativa al unto P è dato da: r ds ρghr nd ρghydi ρghxdj ρgxysin α di ρgx sin α d (0) vendo sfruttato la relazione h xsin( α ) ( ) ( ) j ed essendo i, j i versori degli assi x, y risettivamente. Sommando i momenti elementari (0) e tenendo conto degli elementi costanti, si ha: M r S ( ) i ( ) d ρ g sin α xyd ρg sin α x d j () Il momento risultante deve essere uguale al momento della sinta S, alicata nel centro di sinta, di coordinate x, y incognite: ( α ) y i ρgx sin( α ) x j M r S ρgx sin () Eguagliando le esressioni () e () er comonenti, si ottengono le esressioni delle coordinate del centro di sinta: y x xyd I xy x x x d I yy x x () Gli integrali che aaiono nella () diendono esclusivamente dalla geometria della suerficie. Il rimo integrale è detto momento di inerzia misto della figura ( I xy ) ed è nullo er suerfici che ammettano come asse di simmetria una retta arallela all asse x (è il caso raresentato nella figura sora riortata). Il secondo integrale è il momento d inerzia della figura risetto all asse y ( I yy ) e gode della rorietà (teorema di Huygens-Steiner) che in un sistema di riferimento con origine nel centro di figura uò essere esresso dalla: I yy I + x (4) yy Ossia dalla somma del momento d inerzia della figura risetto ad un asse arallelo all asse y e assante er il centro di figura ( I yy ) e del rodotto dell area della suerficie er il quadrato della

17 distanza tra il nuovo asse y (assante er il centro di figura) e il vecchio asse y (la retta di sonda). Grazie alla (4) la coordinata x del centro di figura uò essere esressa dalla: x I yy x (5) x + Dalla (5) si ossono trarre alcune interessanti conclusioni. Innanzitutto ei yy semre non nulle e ositive. Viceversa x sono grandezze uò assumere sia valori ositivi che negativi, a seconda che il centro di figura si trovi al di sotto o al di sora del iano dei carichi. In queste due eventualità la formula (5) funziona regolarmente, trovandosi la coordinata x semre iù distante dall origine risetto alla coordinata x : infatti i due contributi della formula (5) hanno lo stesso segno. Se erò la coordinata x si annulla, la qual cosa si verifica quando il iano dei carichi assa er il centro di figura, secondo la formula (5) la coordinata x tende ad assumere un valore infinito. In questo caso singolare la sinta S si annulla e la suerficie è sottoosta all azione di una sola coia. y y Piano dei carichi x B y x C x Infatti, come si vede dalla figura sora riortata, nei casi delle suerfici e C, la distribuzione di ressione relativa è revalentemente negativa o ositiva, e genera ertanto una sinta non nulla alicata in. Nel caso della suerficie B invece la arte di suerficie sottoosta a ressione relativa ositiva è esattamente uguale a quella sottoosta a ressione relativa negativa, di conseguenza la sinta si annulla, ma nel comlesso la suerficie è sollecitata a ruotare attorno all asse y, a causa dell azione di una coia di modulo: M ( α ) ρg sin (6) I yy ll aumentare della coordinata del centro di figura x, diminuisce il secondo termine a secondo membro della (5) e di conseguenza la coordinata del centro di sinta x tende a coincidere con quella del centro di figura.

18 Esercizio.. La aratia iana, quadrata, di lato a.5 m, forma un angolo α5 con l orizzontale, è incernierata in e aoggiata in B ed è a contatto con acqua: ρg980 Nm -. Il unto è affondato di h m risetto alla suerficie libera. Trascurando il eso rorio della aratia, determinare la forza F B che si scarica sull aoggio B e il momento M necessario er arire la aratia. Determiniamo innanzitutto la sinta S esercitata dall acqua sulla aratia tramite la formula (9): a.5 S ρ gh n ρg h + sin α 4545 ( ) a n sin( 5 ).5 n n N Il modulo è ari a 4545 N, il verso e la direzione coincidono con quelli della n (vedi figura). h O h n Pρgh B a α x Il unto di alicazione si calcola con la (5) ricordando che il momento d inerzia I yy di un quadrato di lato a è ari a: I x x yy 4 4 a.5.6m h a + sin sin x ( α ) ( 5 ) I + x yy m 5.m Le distanze del centro di figura e del centro di sinta si intendono misurate risetto all origine O. Per calcolare la forza F B è necessario imorre l equilibrio della aratia alla rotazione risetto al unto. ssunto ositivo il verso antiorario, si ha: a + x x a FBa S x x FB S N a.5 La forza F B è diretta come la S e ha verso oosto. Infine il momento necessario all aertura della aratia ha modulo ari a:

19 a FBa S + x x 0946Nm e verso orario. Esercizio.. La aratia iana triangolare C è incernierata lungo il lato orizzontale. Determinare il eso P da alicare in B affinchè la aratia sia in equilibrio sotto l azione della sinta dell acqua. Dati:.5 m, H.8 m, h. m, b m, ρg980 Nm - y O b P h H n C x x Come si vede dalla figura, non tutta la aratia è immersa: la suerficie libera infatti interseca il iano della aratia nella retta ' '. Il iano della aratia inoltre è erendicolare al iano dei carichi (α90 ). La arte di aratia che lavora è dunque quella coincidente con il triangolo C, di altezza h e base ' '. Determiniamo innanzitutto la base a ' '. Dalla similitudine dei triangoli C e C, si ha: a h H a h H m. 8 Determiniamo oi la sinta S esercitata dall acqua sulla aratia tramite la formula (9), ricordando che in un triangolo il centro di figura è situato ad una distanza dalla base ari ad / dell altezza: h ah S ρ gh n ρg n 980 n 9n N n è erendicolare al iano della figura, orientata da sinistra verso destra. Determiniamo ora la coordinata x del centro di sinta con la (5) ricordando che il momento ah d inerzia I yy della arte di aratia triangolare C, di base a ed altezza h, è dato da : 6

20 I yy h h h x x m x 6 La coordinata x del centro di sinta si trova in h/. Per determinare il eso P è ora necessario imorre l equilibrio alla rotazione della aratia attorno al unto O: Pb S x + H h b. ( x + H h) P S 9 N Esercizio.. In un tubo circolare di diametro D.5 m, ad asse orizzontale, è inserita una valvola a farfalla, incernierata risetto ad un asse orizzontale O assante er il diametro. sinistra della valvola il tubo è comletamente riemito d acqua (ρg980 Nm - ) in ressione, a destra il tubo è riemito d acqua er metà e sulla suerficie libera vige la ressione atmosferica. Determinare il momento occorrente a mantenere la valvola in osizione verticale di chiusura, noto che il livello d acqua nel iezometro è ari a 0.8m. atm h x x D In questo caso la sinta S deve essere determinata da entrambi i lati della aratia. La sinta agente sul lato è normale alla suerficie della valvola ed è orientata da sinistra verso destra. La sinta agente sul lato è normale alla suerficie della valvola ed è orientata da destra verso sinistra. licando la formula (9) su entrambi i lati si ha dunque: O n -n B x atm x h x D πd. 5 π. 5 S ρ gh n ρg + n n 6870n 4 4 N Per il lato bisogna ricordare che il centro di figura di un semicerchio è osto ad una distanza dal D diametro ari a: : π D πd. 5 π. 5 S ρ gh n ρg n 980 n 759n π 8 π 8 N

21 Bisogna ora determinare le coordinate del centro di sinta x su entrambi i lati, alicando la (5). Ricordiamo a tal roosito che i momenti di inerzia I yy del cerchio e del semicerchio sono dati 4 πd π 4 risettivamente da:, D π x x x x 4 4 I yy D πd. 5 π m x D πd. 5 π π 4 π 4 D. 5 I yy D 8 8π π m x π D πd π. 5 π. 5 π 8 π 8 Noti i unti di alicazione delle forze è ora ossibile imorre l equilibrio alla rotazione della valvola attorno ad O e determinare così il momento necessario a tenere chiusa la valvola in osizione verticale: M + S M S ( x x) Sx 0 x S ( x x ) ( ) 04Nm vendo assunto ositivo il verso di rotazione antiorario, risulta che il momento necessario a tener chiusa la valvola deve avere verso di rotazione oraria.. Sinte idrostatiche su suerfici curve. Per calcolare la sinta idrostatica agente su una suerficie curva si alica l equazione globale dell idrostatica: ndσ, G Π + G 0 ; Π ρgkdv (7) σ in cui la suerficie di contorno σ del volume di controllo V deve contenere la suerficie. Vediamo concretamente come si rocede attraverso la considerazione di alcuni casi ratici. Esercizio.. Calcolare la sinta idrostatica esercitata dal liquido sulla calotta semisferica e sulla valvola conica del serbatoio illustrato in figura. Dati: ρg980 Nm -, ρ m g87nm -, Dm, d0.6m, a0.5m, α60, 0.5m, hm Consideriamo darima la calotta semisferica C. L alicazione dell equazione globale uò essere schematizzata in assi ben distinti.. Scelta del volume di controllo Il volume di controllo deve essere scelto in modo tale che la suerficie di contorno contenga la suerficie curva sulla quale si deve calcolare la sinta. In altre arole, la suerficie del volume di controllo deve essere costituita, in arte o del tutto, dalla suerficie curva su cui si deve calcolare la sinta ed eventualmente da suerfici ausiliarie iane, di forma semlice, reali o virtuali. Nel caso V

22 della calotta C, si sceglie senz altro come volume di controllo V il volume della calotta. Di conseguenza la suerficie del volume di controllo risulta comosta dalla suerficie semisferica e dalla base della calotta, ossia dalla suerficie ausiliaria a iana tracciata idealmente all interno del liquido.. licazione dell equazione globale al volume di controllo Definito il volume di controllo e la suerficie di questo, è ossibile alicare l equazione globale al volume di liquido in esso contenuto, esrimendo l integrale di suerficie come la somma dell integrale calcolato sulla suerficie curva e dell integrale calcolato sulla suerficie ausiliaria iana: Π + G 0 ndσ ρgkdv nd + nd u ρgkdv σ V V u Sinta sulla suerficie curva Sinta sulla suerficie ausiliaria iana Risultante della forza di coro: eso del liquido contenuto nel volume di controllo L ultima equazione uò essere risolta risetto all oosto dell integrale calcolato sulla suerficie curva: nd nd ρ gkdv u La sinta S esercitata dal liquido sulla suerficie curva coincide con il termine a rimo membro. Infatti i termini dell equazione globale raresentano forze alicate al liquido. In articolare l integrale calcolato sulla suerficie curva è la forza esercitata sul liquido dalla suerficie curva ma noi stiamo cercando S ossia la forza esercitata dal liquido sulla suerficie curva, dunque esattamente l oosto dell integrale calcolato sulla suerficie curva. Possiamo erciò scrivere: u S Π + G au in cui Π au è la sinta esercitata dalla suerficie ausiliaria iana sul liquido contenuto all interno del volume di controllo e G è il eso del liquido contenuto all interno del volume di controllo. V 0

23 . Calcolo dei vari termini Si devono ora materialmente calcolare i termini sora descritti. Il calcolo del termine G è immediato: D G ρ gkdv ρgvk ρg π k 980 π k 694kN 8 8 V Il calcolo di Π au è iù articolato, ma in definitiva si tratta di calcolare la sinta su una suerficie iana e di attribuirgli il giusto verso. Poiché è la sinta esercitata dalla suerficie ausiliaria iana sul liquido contenuto all interno del volume di controllo, Π au ha direzione normale alla suerficie ausiliaria iana e verso orientato verso l interno del volume di controllo, se la ressione relativa del centro di figura è ositiva. Il verso di Π au è invece orientato verso l esterno del volume di controllo, se la ressione relativa del centro di figura è negativa. Nel caso in esame dunque la direzione di Π au coincide con i. Il modulo di Π au si calcola con la formula (9), ossia calcolando la ressione nel centro di figura della figura iana e moltilicandola er l area di questa. La ressione, secondo quanto indicato in figura, è fornita dalla: ρ mg + ρgh Pa la ressione è negativa: ciò vuol dire che la ressione assoluta nel centro di figura della suerficie ausiliaria è minore della ressione atmosferica esterna al serbatoio. Nel disegno il centro di figura si trova al di sora del iano dei carichi. Il modulo della sinta vale: Π au π D 4 0 π La sinta in modulo, direzione e verso è dunque data da: ( i) 759 ( i) i Π Π 759 au au Dunque ha verso orientato da sinistra verso destra: oichè il liquido nel serbatoio è in deressione la calotta sferica viene remuta dall esterno. Una volta calcolati i vari termini si uò infine esrimere il risultato: S Π + G 759i 694k au Si noti che la sinta S non ha comonente nella direzione individuata dal versore j: questo fatto è conseguenza della simmetria della suerficie semisferica risetto al iano xz.

24 z k j ds ds z ds x ds y y i ds ds z ds y x ds x Di conseguenza le comonenti delle sinte elementari nella direzione individuata dal versore j hanno modulo uguale e verso oosto e dunque si bilanciano recirocamente. Il risultato finale è che la comonente nella direzione individuata dal versore j è nulla. licando l equazione globale si ottiene il risultato finale senza dover tener conto dei dettagli intermedi. E erò buona norma controllare semre la consistenza del calcolo. 4. Determinazione del centro di sinta Nel caso delle suerfici curve la determinazione del centro di sinta è in generale un roblema assai comlesso. Nel caso in esame tuttavia la forma semisferica della suerficie semlifica notevolmente il rocedimento. Infatti la sinta elementare generica ds nd, agente sulla suerficie semisferica, è normale ad essa e dunque assa er il centro O. S ds O θ ds Di conseguenza anche la sinta risultante S assa er il centro e la sua retta d azione è inclinata sull orizzontale di un angolo θ dato dalla: S k 694 θ arctan arctan 44 S i 759 ossia dato dall arco tangente del raorto tra la comonente verticale e quella orizzontale. In questo caso dunque la sinta S ha retta d azione inclinata di 44 gradi sull orizzontale e il centro di sinta, aartenente alla calotta sferica, è osto al di sora del iano diametrale ad una distanza da questo ari a:

25 D sin θ 04 ( ). m lichiamo ora l equazione globale al calcolo della sinta sulla valvola conica, riercorrendo i assi recedentemente descritti.. Scelta del volume di controllo Scegliamo come volume di controllo la arte di cono immersa nel liquido. La suerficie del volume di controllo è quindi definita dalla suerficie laterale del cono e dalla suerficie ausiliaria iana circolare avente diametro d. In questo caso il volume di controllo effettivamente non contiene liquido: il cono sarà infatti costituito da qualche materiale metallico. Tuttavia è ossibile sostituire idealmente il cono reale con un cono virtuale, costituito da liquido in equilibrio con l ambiente liquido circostante. licazione dell equazione globale al volume di controllo Definito il volume di controllo e la suerficie di questo, è ossibile alicare l equazione globale al volume di liquido in esso contenuto, esrimendo l integrale di suerficie come la somma dell integrale calcolato sulla suerficie curva e dell integrale calcolato sulla suerficie ausiliaria iana: Π + G 0 ndσ ρgkdv nd + nd u ρgkdv σ V V u Sinta sulla suerficie curva Sinta sulla suerficie ausiliaria iana Risultante della forza di coro: eso del liquido contenuto nel volume di controllo L ultima equazione uò essere risolta risetto all integrale calcolato sulla suerficie curva: nd ndu ρ gkdv u V La sinta S esercitata dal liquido sulla suerficie curva coincide con il termine a rimo membro. Infatti i termini dell equazione globale raresentano forze alicate al liquido. In articolare l integrale calcolato sulla suerficie curva è la forza esercitata sul liquido virtuale dall ambiente esterno attraverso la suerficie curva e oiché noi stiamo cercando S, ossia la forza esercitata sulla suerficie curva dal liquido esterno ad essa, l integrale calcolato sulla suerficie curva coincide esattamente con S. Possiamo erciò scrivere: S Πau in cui Π au è la sinta esercitata dalla suerficie ausiliaria iana sul liquido contenuto all interno del volume di controllo e G è il eso del liquido contenuto all interno del volume di controllo.. Calcolo dei vari termini Si devono ora materialmente calcolare i termini sora descritti. Il calcolo del termine G è d 0.6 immediato, tenendo resente che l altezza del cono è data da: h c 0. 5m α tan( 0 ) tan G 0

26 d 0.6 G ρ gkdv ρgvk ρg π hck 980 π 0.5k 48k N 4 4 V Π au è la sinta esercitata sul liquido virtuale attraverso la suerficie iana orizzontale, circolare, di diametro d ed è data da: Π au k La direzione della sinta ausiliaria coincide con quella della normale entrante, il verso diende dal segno della ressione relativa nel centro di figura. In questo caso infatti la ressione nel centro di figura di questa vale: D ρ mg ρg h + a e ertanto la sinta vale: πd π 0.6 Π au k k ( ) Pa ( 607) k k N Una volta calcolati i vari termini si uò infine esrimere il risultato: S Π G 748k + 48k 6957k au N Si noti che la sinta S non ha comonenti orizzontali: questo fatto è conseguenza della simmetria assiale della suerficie conica. Si noti anche che nel caso di coro immerso e di alicazione della equazione globale con riemimento virtuale il eso del volume di liquido interviene con il segno oosto: in altre arole il coro riceve una sinta dal basso verso l alto ari (in modulo) al eso del liquido contenuto nel volume del coro (rinciio di rchimede). 4. Determinazione del centro di sinta Nel caso in esame la retta d azione della sinta, er ovvii motivi di simmetria, coincide con l asse del cono. La sinta è inoltre comlessivamente rivolta verso il basso: tende cioè a schiacciare la valvola conica contro il serbatoio, conseguenza del fatto che il serbatoio è comlessivamente in deressione (il iano dei carichi, facendo riferimento allo schema rinciale, è situato al di sotto del iano diametrale) e dunque è remuto dall ambiente esterno a ressione atmosferica. Esercizio.. Determinare la sinta che i liquidi contenuti nel serbatoio in figura esercitano sulle suerfici cilindriche C, lunghe L. Dati: Lm, ρ g 490 N m, ρ g 7845 N m, ρ g 980 N m, 0. m, n0.88 bar, h.,, h 0.,, r 0., r 0.. Osserviamo innanzitutto che: m.0 bar atm 07 Pa ertanto tramite la seguente roorzione il valore 0.88 bar viene convertito in Pascal:

27 n n Pa Poichè la suerficie C è cilindrica, il roblema uò essere studiato nel iano individuato dagli assi xz, i cui versori sono i, k. La resenza di due liquidi searati dal setto con le suerfici cilindriche renderà necessario il calcolo della sinta rima da un lato e oi dall altro. Procediamo quindi searatamente nei due lati, alicando l equazione globale dell idrostatica, seguendo i assi indicati nell esercizio recedente. Lato. Scelta del volume di controllo Il setto forma in realtà due semicilindri:, ai quali si deve alicare searatamente l equazione globale. Il semicilindro è infatti riemito effettivamente del liquido, mentre il semicilindro sorge nel lato. La scelta iù intuitiva e iù semlice è quindi quella di rendere come volumi di controllo er il lato i due semicilindri,, chiusi da due suerfici ausiliarie, iane, rettangolari, di altezza risettivamente ari a r, r e base L.. licazione dell equazione globale al volume di controllo Per quanto aena visto, l equazione globale si alicherà con riemimento reale al semicilindro e con riemimento virtuale al semicilindro. Perciò, ricordando i risultati ottenuti nell esercizio recedente: S S Π au Π au + G G In cui le forze a secondo membro sono alicate alle masse liquide contenute nei volumi di controllo.. Calcolo dei vari termini l solito il calcolo dei esi G non one alcun roblema:

28 G G ρ gv ρ gv πr k ρg πr k ρg π 0. Lk 7845 π 0. Lk 7845 k 09k N k 49k N Il calcolo dei termini Π au consiste nel calcolare le sinte sulle suerfici iane rettangolari ausiliarie. Si devono erciò reliminarmente determinare le ressioni nei centri di figura di tali suerfici ausiliarie: au au n + ρgh Pa + ρ g Pa au Π au ( r + r ) Possiamo ora calcolare i termini ricordandoci che, se la ressione (relativa) è ositiva, essi sono orientati verso l interno del volume di controllo e sono normali alle suerfici ausiliarie: Π Π au au Riunendo i risultati: au au au au ( i) r L( i) ( i) i au 58468i N r Li i 40548i N au S S Π au Π au + G G 58468i 09k 40548i + 49k 4. Determinazione del centro di sinta Vale il ragionamento fatto er la calotta sferica nell esercizio recedente: la sinta risultante S assa er il centro del semicilindro e la sua retta d azione è inclinata sull orizzontale di un angolo θ dato dalla: θ θ S arctan S S arctan S k 09 arctan i k arctan i ' Nel caso del semicilindro la retta d azione della sinta interseca la suerficie cilindrica nel unto osto al di sotto del iano diametrale di una quota ari a: ( ) 0. sin( ) 0. m r sin θ 006 Nel caso del semicilindro la retta d azione della sinta interseca la suerficie cilindrica nel unto osto al di sotto del iano diametrale di una quota ari a: ( ) 0. sin( 0 4' ) 0. m r sin θ 00

29 S θ B C S θ Lato. Scelta del volume di controllo Nel lato il semicilindro è riemito effettivamente del liquido, mentre il semicilindro sorge nel lato. Quindi, anche nel lato, la scelta iù intuitiva e iù semlice è quella di rendere come volumi di controllo i due semicilindri,, chiusi da due suerfici ausiliarie, iane, rettangolari, di altezza risettivamente ari a r, r e base L.. licazione dell equazione globale al volume di controllo Per quanto aena visto, nel lato l equazione globale si alicherà con riemimento reale al semicilindro e con riemimento virtuale al semicilindro : S S Π Π au au G + G In cui le forze a secondo membro sono alicate alle masse liquide contenute nei volumi di controllo.. Calcolo dei vari termini Per il calcolo dei esi G si ha: G G ρ gv ρ gv πr k ρg πr k ρg π 0. Lk 980 π 0. Lk 980 k 87k N k 66k N Per determinare le ressioni nei centri di figura delle suerfici ausiliarie, si calcola innanzitutto la ressione nel unto D: D n + ρ gh Pa

30 Successivamente si calcola ressione nel unto E: E D + ρ mg Pa e infine si calcolano le ressioni nei centri di figura delle suerfici ausiliarie: au au E + ρ g au + ρ ( h h ) ( ) g( r + r ) Pa 9840Pa Possiamo ora calcolare i termini Π au ricordandoci che, se la ressione (relativa) è ositiva, essi sono orientati verso l interno del volume di controllo e sono normali alle suerfici ausiliarie: Π Π au au Riunendo i risultati: au au au au ( i) r L( i) ( i) i au 59058i N r Li i 44i N au S S Π Π au au G + G 59058i + 87k N 44i 66k N 4. Determinazione del centro di sinta La sinta risultante S assa er il centro del semicilindro e la sua retta d azione è inclinata sull orizzontale di un angolo θ dato dalla: θ θ S arctan S S arctan S k 87 arctan ' i k 66 arctan 0 5' i 44 Nel caso del semicilindro la retta d azione della sinta interseca la suerficie cilindrica nel unto osto al di sotto del iano diametrale di una quota ari a: ( ) 0. sin( ' ) 0. m r sin θ 007 Nel caso del semicilindro la retta d azione della sinta interseca la suerficie cilindrica nel unto osto al di sotto del iano diametrale di una quota ari a: ( ) 0. sin( 0 5' ) 0. m r sin θ 00

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