Analisi Matematica 1 Foglio 1 Lunedì 3 ottobre. f(x) = log x 2 6x + 5.

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1 Analisi Matematica Foglio Lunedì 3 ottobre Esercizio. Trovare il dominio naturale della funzione f data da ( ) f(x) = log x 2 6x + 5. Esercizio 2. Dire quali tra le seguenti funzioni sono iniettive :. f(x) = x x (x R ), 2. g(x) = x 3 2 (x R). Esercizio 3. Sia f :] π 2, π 2 [ R la funzione data da f(x) = (tan x)3 (cos x) 2. sin x. Mostrare che f(x) = tan(x) sin(x) per ogni x ] π 2, π 2 [. 2. Mostrare che f è pari, cioè f( x) = f(x) per ogni x ] π 2, π 2 [. 3. Determinare se f è iniettiva. Esercizio 4. Ammettiamo che le seguenti funzioni siano iniettive. Determinare le loro funzioni inverse.. f data da f(x) = x+ 2x+. 2. g data da g(x) = 2x Esercizio 5. Scrivere la composizione f g e la composizione g f con i rispettivi domini.. f(x) = x 2, g(x) = 2x f(x) = x, g(x) = x f(x) = log(x 4), g(x) = x 2 +.

2 Esercizio. Calcolare Analisi Matematica Foglio 2 Lunedì ottobre n ( ) n ( ) k per ogni n N. k k= Esercizio 2. Mostrare che per ogni n N e ogni k N ( ) ( ) n k k = n, k n e ne dedurre n ( ) n k k k= = n 2 n. Esercizio 3. Provare che, per ogni n N, n ( ) n. k = n 2 n, k k= n ( ) n 2. k 2 = n(n + ) 2 n 2. k k= (Traccia : introdurre la funzione f : R R definita da f(x) = ( + x) n e calcolare la sua derivata) n n Esercizio 4. Calcolare (2k + 3) e (k + ) 2 per ogni n N. k= k= Esercizio 5. Provare che n! 2 n ( n N). Esercizio 6. Provare che ( + x) n + nx ( n N, x ). Esercizio 7. Sia (F n ) n la successione di Fibonacci definita da F = F 2 =, e F n = F n + F n 2 per ogni n 3. Trovare un maggiorante di { Fn 2 n ; n N }.

3 Analisi Matematica Foglio 3 Lunedì 7 ottobre Esercizio. Siano (u n ) n e (v n ) n due successioni di numeri reali che convergono rispettivamente a l e l con l < l. Mostrare che esiste N N tale che u n < v n per ogni n N. Esercizio 2. Mostrare che una successione (u n ) n Z N è convergente se e solo se è stazionaria, cioè esiste N tale che u n = u N per ogni n N. Esercizio 3. Sia (u n ) n una successione di numeri reali non nulli tale che u n+ u n. n + Determinare il ite di (u n ) n. Soluzione Per definizione della convergenza, esiste N tale che u n+ u n per ogni n N. 2 Quindi u n+ 2 u n per ogni n N. Usando questa disuguaglianza k volte troviamo u N+k 2 u N+k 4 u N+k k u N per ogni k. Si deduce (teorema del confronto) e finalmente u N+k =, k + u n = u N+k =. n + k +

4 Esercizio 4. Siano (u n ) n e (v n ) n due successioni di numeri reali tali che Provare che (u n ) n e (v n ) n convergono a. Soluzione Usando l identità (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 scriviamo u 2 n + u n v n + v 2 n n +. ( u 2 n + u n v n + vn 2 = Siccome il quadrato di un numero reale è positivo viene ( u n + v n 2 ) 2 + 3v 2 n 4 u n + v n 2 3v2 n 4 ) 2 + 3v 2 n 4.. Il membro di sinistra tende a quando n va a l infinito. Il teorema del confronto da dunque (la funzione radice quadrato è continua) n + v2 n =, v n =. n + Per simmetria lo stesso argomento vale per (u n ) n cioè u n =. n + Esercizio 5. Sia a R e sia (u n ) n la successione definita da u n = a n per ogni n N. Studiare la convergenza di (u n ) n al variare di a, e determinare il suo ite eventuale. Esercizio 6. Determinare il ite della successione (u n ) n definita da. u n = n + per ogni n 2, n 2. u n = n + n2 per ogni n, + n + n2 3. u n = 3n ( 2) n 5 n per ogni n. + ( 4) n

5 Esercizio 7. Determinare (usando disuguaglianze) il ite della successione (u n ) n definita da. u n = sin n per ogni n 2, n 2. u n = n cos(n) n n 2 per ogni n 2, + ( ) n 3. u n = n! per ogni n, nn 4. u n = en per ogni n. n! Soluzione. Dalla disuguaglianza viene sin x ( x R) u n n ( n 2). Concludiamo col teorema del confronto che 2. Abbiamo (disuguaglianza triangolare) u n =. n + cos(x) cos(x) + 2 ( x R). Si deduce u n 2n n 2 + ( ) n, 2n n 2. Troviamo n + 2n n 2 = Concludiamo col teorema del confronto che n + 2 n n =. u n =. n + 3. Abbiamo n! n n = n 2 n 3 n n n n. Passando al ite e applicando il teorema del confronto otteniamo n! n + n n =.

6 4. Scriviamo Da < e 3 < viene en n! Il teorema del confronto implica = e e 2 e 3 e n e e ( e ) n ( e ) n 2 =. n + 3 e n n + n! =.

7 Esercizio. Calcolare i seguenti iti : ( ). x sin, x x x cos(e x ) 2. x x 2 +, 3. x + ex sin x, 4. x + Analisi Matematica Foglio 4 Lunedì 24 ottobre + x x, (Traccia : utilizzare l identità (a + b)(a b) = a 2 b 2 a, b R) x Esercizio 2. Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuita della funzione f : R R data da f(x) = sin x. Indichiamo con y la parte intera di un numero reale y, cioè y è il più grande numero intero inferiore o uguale a y : y = sup(n Z ; n y). Esercizio 3. Determinare k R in modo che la funzione f(x) = x 2 + 2x x x + k x <, sia continua su R. Esercizio 4. Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione data da f(x) = log( + x2 ) 3 sin x. Esercizio 5. Siano f, g : I R due funzioni continue su un intervallo I. Mostrare che sup(f, g) è una funzione continua su I. Soluzione Fissiamo x I e mostriamo che sup(f, g) è continua in x. Per simplificare, supponiamo che sup(f(x ), g(x )) = f(x ). Sia ɛ >. Siccome f e g sono continue esiste η > tale che per ogni x I f(x) f(x ) < ɛ x x < η = e. g(x) g(x ) < ɛ

8 Se sup(f(x), g(x)) = f(x) allora Se sup(f(x), g(x)) = g(x) allora ma abbiamo dunque sup(f(x), g(x)) sup(f(x ), g(x )) = f(x) f(x ) < ɛ. sup(f(x), g(x)) sup(f(x ), g(x )) = g(x) f(x ), f(x ) ɛ f(x) g(x) g(x ) + ɛ f(x ) + ɛ g(x) f(x ) < ɛ. Questo vale per ogni ɛ >, quindi mostra che sup(f, g) è continua in x. Altra soluzione Fissiamo x I e mostriamo che sup(f, g) è continua in x. Caso. Supponiamo f(x ) > g(x ), allora per continuità esiste η > tale che per ogni x I f(x) f(x ) < f(x ) g(x ) 2 x x < η = e. g(x) g(x ) < f(x ) g(x ) 2 Questo implica che sup(f, g) = f sull intervallo ]x η, x +η[. Si deduce che f è continua su ]x η, x +η[ dunque in x. Lo stesso argomento funziona se g(x ) < f(x ). Caso 2. Supponiamo f(x ) = g(x ). Per ogni ɛ > esiste η > tale che per ogni x I f(x) f(x ) < ɛ x x < η = e. g(x) g(x ) < ɛ Chiaramente quindi sup(f(x), g(x)) sup(f(x ), g(x )) = f(x) f(x ) o g(x) g(x ) sup(f(x), g(x)) sup(f(x ), g(x )) < ɛ.

9 Analisi Matematica Foglio 5 Lunedì 7 novembre Esercizio. Sia f : R R la funzione definita da f(x) = e x 2x 2 2. Mostrare che f si annulla sugli intervalli ], [, ], 2] e ]2, 3[. Esercizio 2. Sia f : R R una funzione continua tale che f = e + f = +. Mostrare che f si annula in almeno un punto di R. Esercizio 3. Sia P (x) = x n + a n x n a x + a un polinomio a coefficienti reali di grado n dispari. Mostrare che f si annulla in almeno un punto di R. Esercizio 4. Sia f : [, ] [, ] continua. Mostrare che f fissa un punto di [, ]. Esercizio 5. Siano f : I R e g : I R (I R intervallo) due funzioni continue tali che Mostrare che f = g o f = g. x I, f(x) = g(x). Esercizio 6. Siano f : [a, b] R continua e p, q R +. Mostrare che esiste c [a, b] tale che pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c). Esercizio 7. Sia f : R R una funziona continua e periodica. Mostrare che f è itata. Soluzione : Sia T > tale che Allora abbiamo Della decomposizione f(x + T ) = f(x) x R. f([nt, (n + )T ]) = f([, T ]) n N R = [nt, (n + )T ], n N si deduce f(r) = n N f([nt, (n + )T ]), f(r) = f([, T ]). Siccome f è continua l immagine f([, T ]) è un intervallo chiuso e itato. Quindi f(r) = f([, T ]) è un intervallo chiuso e itato, dunque f è itata.

10 Esercizio 8. Siano f : R R itata e g : R R continua. Mostrare che f g e g f sono itate. Soluzione : Visto che f è itata, esiste A > tale che Allora abbiamo cioè f g è itata. Da un altra parte f(r) [ A, A]. (f g)(r) = f(g(r)) f(r) [ A, A]. (g f)(r) = g(f(r)) g([ A, A]), e g([ A, A]) è un intervallo chiuso e itato poiché g è continua su [ A, A]. Si conclude che g f è itata. Esercizio 9. Studiare la successione (u n ) n definita da u e u n+ = + ln u n per ogni n N. Soluzione : Introduciamo la funzione f : [, + [ [, + [ definita da Si vede facilmente che f(x) = + ln x x. f(x) < x x >. () Infatti f() = e la funzione x f(x) x è strettamente decrescente su ], + [ visto che la sua derivata d dx f(x) x = x è negativa sur ], + [. Viene di () che la successione (u n ) n è decrescente e itata, dunque converge verso un ite l. Prendendo il ite a sinistra e a destra dell equazione u n+ = f(u n ) otteniamo l = f(l), dato che f è continua. L unica soluzione di questa equazione è l =, dunque il ite di (u n ) n è. Esercizio. Determinare il ite della successione (u n ) n definita da u > e u n+ = ln( + u n ) per ogni n N.

11 Soluzione : Siano f, g : R + R + le funzioni definite da f(x) = ln( + x) e g(x) = f(x) x ( x ). Queste funzioni sono continue e derivabili, più precisamente f (x) = + x e g (x) = + x = x < ( x ). + x Viene che g è strettamente decrescente su R + e soddisfa g() =. Quindi g(x) < per ogni x >, cioè f(x) < x ( x > ). Questo implica che (u n ) n è decrescente, dunque convergente poichè u n. Sia l il ite di (u n ) n, per continuita di f abbiamo l e f(l) = l. Questa equazione ha come unica soluzione, concludiamo che l =. Esercizio. Determinare i seguenti iti :. 2. (n!) 2n n + (2 n )! (n!) 2n n + (2 n )! Soluzione :. Abbiamo Usando il fatto che 4 = 2 2 viene per ogni n 4. Dunque (n!) 2n (2 n )! per ogni n 4. Si conclude che (n!) 2n (2 n )! = n! n! 2 n! 2 n. n! = n 2 2 (2 2) 2 = 2 n 2n 2n 2 2n 2 n = 2n 2 n 2 2 n (n!) 2n n + (2 n )! = Nel prodotto (n!) 2n ci sono 2n 2 fattori. Per n abbastanza grande abbiamo 2 n 2n 2 e ( 2n ) (2 n )! = [(kn + ) (kn + n)] (2n 2 + ) (2n 2 + 2) 2 n, Si conclude che e k= (n!) 2n (2n 2 + ) (2n 2 + 2) 2 n, (n!) 2n 2 n. 2 n (n!)2n (2 n )! (n!) 2n n + (2 n )! =.

12 Esercizio. sin(7x) Determinare il ite x 4x. Analisi Matematica Foglio 6 Lunedì 4 novembre Esercizio 2. Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x) = x 3 3x 2 + sull intervallo [ 2, 4]. Esercizio 3. Determinare i punti della curva d equazione y = 2x 3 + 3x 2 2x + in cui la retta tangente è orizzontale. Esercizio 4. Per ogni λ R, sia f λ : R R la funzione definita da f λ (x) = x + λ x Mostrare che le rette tangenti ai grafici delle funzioni f λ in x = sono parallele. 2. Mostrare che le rette tangenti ai grafici delle funzioni f λ in x = sono concorrenti. Esercizio 5. Calcolare la n esima derivata della funzione f(x) = xe x per ogni n N. Esercizio 6. Per le seguenti funzioni determinare il dominio di esistenza della derivata e la calcolare. x ( ) sin x x, x (x + ) 2 (cos x + 2) 4, x 2 xx, x ln x, x + 3. x Esercizio 7. Sia f : I R una funzione continua e iniettiva su un intervallo aperto I. Consideriamo un punto a I tale che f sia derivabile in a con f (a).. Mostrare che f è continua in f(a). (Potete ammettere questo se è troppo difficile) 2. Mostrare che f è derivabile in f(a) e stabilire la formula (f ) (f(a)) = f (a). 3. Calcolare la derivata della funzione arctan : R ], π 2 [. Soluzione :. Vogliamo mostrare che per ogni ɛ > esiste η > tale che Notiamo che l implicazione sopra è equivalente a ma questa implicazione è ovviamente equivalente a y f(a) η = f (y) a ɛ. y [f(a) η, f(a) + η] = y f([a ɛ, a + ɛ]), [f(a) η, f(a) + η] f([a ɛ, a + ɛ]).

13 Quindi dobbiamo mostrare che per ogni ɛ > esiste η > tale che [f(a) η, f(a) + η] f([a ɛ, a + ɛ]). Fissiamo ɛ >. Visto che f è continua l immagine f([a ɛ, a + ɛ]) è un intervallo contenendo f(a). Inoltre f(a) non è un estremo di questo intervallo, altrimenti f(a) sarebbe un estremo relativo di f e avremmo f (a) = (principio di Fermat). Concludiamo che esiste η > tale che 2. Vogliamo mostrare che Chiaramente Poniamo x = f (y), allora y = f(x) e [f(a) η, f(a) + η] f([a ɛ, a + ɛ]). f (y) f (f(a)) = y f(a) y f(a) f (a). f (y) f (f(a)) y f(a) = f (y) a y f(a). f (y) a y f(a) = x a f(x) f(a). Finalmente troviamo f (y) f (f(a)) x a = y f(a) y f(a) x a f(x) f(a) = f (a). L uguaglianza tra i due iti viene dal fatto che x a quando y f(a) (continuità di f in f(a)). 3. Dalla formula del 2. viene arctan (tan(x)) = tan (x) = + tan 2 (x) ( x ], π 2 [ ) Si deduce arctan (y) = + y 2 ( y R).

14 Analisi Matematica Foglio 7 Lunedì 2 novembre Esercizio. Sia a >, e sia f : [, a] R una funzione derivabile tale che f() = f(a) = e f () =.. Mostrare che la derivata di x f(x)/x si annula in un punto c ], a[. 2. Mostrare che la tangente al grafico di f in (c, f(c)) passa per l origine. Soluzione.. Sia g : [, a] R la funzione definita da g(x) = f(x) x se x ], a] e g() =. Questa funzione e derivabile su ], a] e continua su [, a] visto che f(x) g(x) = x + x + x = f(x) f() = f () =. x + x Notiamo che g() = g(a) =. Secondo il teorema di Rolle esiste c ], a[ tale che f (c) =. 2. L equazione della tangente al grafico di f in (c, f(c)) è La derivata di g è data da y = f (c) x + (f(c) cf (c)). g (x) = xf (x) f(x) x 2 x ], a]. Quindi g (c) = è equivalente a cf (c) f(c) =. Troviamo che l equazione della tangente è y = f (c) x. Si vede che la tangente passa per l origine. Nota : la funzione g(x) = f(x) x da il coefficiente angolare della retta che passa tra l origine e (x, f(x)). Esercizio 2. (Regola di de L Hôpital) Siano f, g : [a, b] R due funzioni derivabili. Supponiamo che g (x) x [a, b].. Mostrare che g(a) g(b). 2. Mostrare che esiste c ]a, b[ tale che f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c).

15 Soluzione.. Supponiamo che g(a) = g(b), allora secondo il teorema di Rolle esiste c ]a, b[ tale che g (c) =, contraddizione. Quindi g(a) g(b). 2. Sia h : [a, b] R la funzione definita da h(x) = (f(b) f(a)) g(x) (g(b) g(a)) f(x) x [a, b]. Questa funzione è derivabile su [a, b] e h(a) = h(b) =. Secondo il teorema di Rolle esiste c ]a, b[ tale che cioè h (c) =, (f(b) f(a)) g (c) (g(b) g(a)) f (c) =, (f(b) f(a)) g (c) = (g(b) g(a)) f (c), f(b) f(a) = f (c) g(b) g(a) g (c). Esercizio 3. Siano α, β R. Lo scopo dell esercizio è quello di stabilire i seguenti iti notevoli x + xα e βx = x + eβx e x + xα (ln x) β = Supponiamo β >, e consideriamo la funzione f :], + [ R data da f(x) = x α e β 2 x x >.. Mostrare che esiste A > tale che f sia crescente su [A, + [. 2. Mostrare che x + xα e βx = + usando. 3. Concludere. x + xα. Esercizio 4. Discutere il comportamento delle seguenti serie e calcolarne la somma. n 2 n + 3 n 5 n, (ln α) n, n n ( + α) n (α > ). Esercizio 5. Verificare che le seguenti serie non convergono : n n e n, n ( ) n n2 n 2n 2 +, n sin n, n n n n.

16 Esercizio. Calcolare il polinomio di Taylor. di grado 3 di f(x) = e x cos x in, Analisi Matematica Foglio 8 Lunedì 2 dicembre 2. di grado 4 di f(x) = (ln( + x)) 2 in, 3. di grado 4 di f(x) = in, cos x 4. di grado 4 di f(x) = ln(cos 2 (x)) in. Esercizio 2. Calcolare il polinomio di Taylor di grado 2 in della funzione f nei casi seguenti :. f(x) = x, 2. f(x) = e x, Esercizio 3. Determinare i seguenti iti : e x2 cos x. x x 2, ln( + x) sin x 2., x x cos x x 2 3. x x 4, 4. x + x x + x ln x. Esercizio 4. Sia f : R R la funzione data da f(x) = + x + x 2 per ogni x R.. Calcolare il polinomio di Taylor di grado 2 di f in. 2. Determinare l equazione della retta tangente al grafico di f in (, f()). Qual è la posizione del grafico rispetto alla retta tangente? 3. Determinare l equazione della retta asintotica al grafico di f in +. Qual è la posizione del grafico rispetto alla retta asintotica? Esercizio 5. Calcolare gli seguenti integrali :. 2 dt t 2 2. dt /2 + t 2, 3. dt t 2, 2π 4. cos 2 (t)dt 5. 2 ln t dt 6. + t 2 dt.

17 Analisi Matematica Foglio 8 (Soluzioni) Lunedì 2 dicembre Esercizio.. e x cos x = + x x3 3 + o(x3 ) in, 2. (ln( + x)) 2 = x 2 x x4 + o(x 4 ) in, 3. cos x = + x x4 + o(x 4 ) in. 4. ln(cos 2 (x)) = x 2 x4 6 + o(x4 ) in, Esercizio 2.. x = + 2 (x ) 8 (x )2 + o((x ) 2 ) in, 2. e x = e + e 2 (x ) + o((x )2 ). Esercizio 3. e x2 cos x. x x 2 = 3 2, ln( + x) sin x 2. =, x x cos x x 2 3. x x 4 = 6, 4. x + x x + x ln x = 2. Esercizio 4. Sia f : R R la funzione data da. f(x) = + x x2 + o(x 2 ) in. f(x) = + x + x 2 per ogni x R. 2. La retta d equazione y = ax + b è tangente al grafico di f in (, f()) se e solo se f(x) (ax + b) = o(x) in. Quindi l equazione della retta tangente è data dal polinomio di Taylor di grado, cioè y = x 2 +. Abbiamo f(x) ( x 2 + ) = 3 8 x2 + o(x 2 ) e il grafico di f è sopra la retta tangente all intorno di. 3. Abbiamo f(x) = x x + o( x ) quindi la retta d equazione y = x + 2 è asintotica al grafico di f in +. Il grafico è sopra la retta asintotica all intorno di +. Esercizio π 4 3. π 6 4. π 5. 2 ln

18 Esercizio. Calcolare gli integrali Analisi Matematica Foglio 9 Lunedì 9 dicembre. t 2 dt, 2. t 2 2 t 2 ln t dt, 3. dt. t Esercizio 2.. Mostrare che 2. Ne dedurre π/2 cos t cos t + sin t dt = dt t 2 + t. π/2 sin t cos t + sin t dt = π 4, Esercizio 3. Calcolare ln( + t 2 ) dt. Esercizio 4. Calcolare per ogni n N I n = + t n e t dt. Esercizio 5. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri : dt ( t) t, 2. ln( + t) t 3/2 dt, ln(t)e t dt, 3. ln( + t 2 ) + t 2 dt, ln t t 2 + dt ( ) sin t 2 dt Esercizio 6. Poniamo per ogni n :. Mostrare che per ogni n S n = n k= k. n + 2( n + n) n. 2. Ne dedurre il ite della successione (S n ) n. 3. Poniamo u n = S n 2 n per ogni n. Mostrare che (u n ) n converge. 4. Provare che S n = 2 n + o( n) quando n tende a Ottenere la stessa formula S n = 2 n + o( n) usando integrali.

19 Esercizio 7. Poniamo per ogni n :. Usando integrali mostrare e ne dedurre quando n tende a Sia S n = n k= k ln(n + ) S n + ln n ( n ), S n = ln n + o(ln n) u n = S n ln n ( n ). Mostrare che (u n ) n è decrescente e converge a un ite che si chiama la costante γ di Eulero. Soluzione esercizio :. π/4 2. π/ ln Soluzione esercizio 2 : 2. π/4. Soluzione esercizio 3 : ln π/2. Soluzione esercizio 4 : I n = n!. Soluzione esercizio 5 :. diverge 2. converge 3. converge 4. converge 5. converge 6. converge.