Appello di Settembre (II)

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1 Appello di Settembre (II) 8 Settembre 22 Fondamenti di Automatica Ingegneria Gestionale Prof. Bruno Picasso Esercizio Sia dato il seguente sistema dinamico: { ẋ(t) = u(t)sin ( x(t) ) + u 3 (t) y(t) = e x(t).. Classificare tale sistema (È lineare/nonlineare? Qual è l ordine? Etc...) 2. Determinare l ingresso costante u(t) ū in corrispondenza del quale ȳ = è l uscita di equilibrio. Scrivere l espressione del sistema linearizzato attorno alla corrispondente coppia di equilibrio ( x, ū). 3. Per il sistema linearizzato determinato al punto precedente, calcolare la funzione di trasferimento G(s) dall ingresso δu(t) all uscita δy(t). Calcolare poi il movimento dell uscita δy(t) in corrispondenza dello stato iniziale δx() = 2 e dell ingresso δu(t) = e 2t, t. 4. Scrivere i comandi Matlab che occorrono per definire la forma di stato del sistema linearizzato. Esercizio 2 Sia dato il sistema dinamico descritto mediante lo schema a blocchi in Figura.. Calcolare la funzione di trasferimento T yw (s) dall ingresso w(t) all uscita y(t) e dire se il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. 2. Posto w(t) = sca(t), calcolare lim t + y F (t) e lim t + y F (t). 3. Posto w(t) = e t, t, calcolare l uscita di regime y R (t). w - 2 s y s+2 s+ s Figura : Schema a blocchi del sistema considerato nell Esercizio 2.

2 db deg 2 2 Diagramma di Bode Modulo 2 2 Pulsazione [rad/s] (a) Diagramma di Bode Fase 2 2 Pulsazione [rad/s] (b) Figura 2: Con riferimento all Esercizio 3, diagrammi di Bode reali e asintotici di G(s). y o - k G(s) y Figura 3: Sistema retroazionato considerato nell Esercizio 3.4. Esercizio 3 In Figura 2 sono rappresentati i diagrammi di Bode della funzione di trasferimento G(s) di un sistema lineare Σ G a tempo continuo di ordine 2.. Scrivere l espressione di G(s) e specificarne il grado relativo. 2. Si dica, motivandolo, se è possibile applicare il Teorema della risposta armonica al sistema Σ G. Quindi, sulla base dei diagrammi in Figura 2 (cioè, senza fare conti), scrivere l espressione dell uscita di regime del sistema in corrispondenza dell ingresso u(t) = sin(.8t). 3. Tracciare il diagramma di Nyquist di G(s). 4. Si consideri adesso il sistema retroazionato come in Figura 3. Determinare un valore di k R tale che il sistema è asintoticamente stabile ed un k R tale che il sistema non è asintoticamente stabile. 2

3 y o - G(z) H(z) y Figura 4: Sistema retroazionato considerato nell Esercizio 4. Esercizio 4 Si consideri il sistema dinamico a tempo discreto rappresentato in Figura 4, dove G(z) = z α z e H(z) = 2 z 2 sono le funzioni di trasferimento di due sistemi Σ G e Σ H di ordine, e α R è un parametro costante.. Determinare l insieme dei valori di α tali che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. 2. Posto α = 2 e y o (k) = sca(k), determinare y F (), y F () e y F (2). 3. Posto α = 2, determinare l insieme P dei poli e l insieme A degli autovalori del sistema retroazionato. Si dica inoltre se tale sistema è asintoticamente stabile, semplicemente stabile oppure instabile. 3

4 Soluzioni SOLUZIONE ESERCIZIO..- Si tratta di un sistema a tempo continuo, non lineare, di ordine, SISO, strettamente proprio..2- Il sistema di equazioni che definisce gli equilibri di un sistema dinamico { ẋ(t) = f ( x(t), u(t) ) y(t) = g ( x(t), u(t) ) è { f( x, ū) = ȳ = g( x, ū). Nel caso considerato, essendo ȳ =, esso assume la seguente forma: { ūsin( x) + ū 3 = = e x. () (2) Dall equazione (2) si ricava x = che, sostituito nell equazione (), fornisce ū 3 =, da cui ū =. Posto δx(t) = x(t) x = x(t), δu(t) = u(t) ū = u(t) e δy(t) = y(t) ȳ = y(t), il sistema linearizzato prende la forma { δx(t) = df df dx ( x, ū)δx(t) + du ( x, ū)δu(t) δy(t) = dg dg dx ( x, ū)δx(t) + du ( x, ū)δu(t). df dx Si ha: x = e ū =, (x, u) = u cos(x); df du (x, u) = sin(x) + 3u2 ; dg { δx(t) = δx(t) + 3 δu(t) δy(t) = δx(t). dx (x, u) = ex e dg du (x, u) =, cosicché, sostituendo.3- Si ha G(s) = 3 s+. Il movimento libero dell uscita è dato da δy L (t) = 2e t, t. Per il calcolo del movimento forzato δy F (t) si può procedere in modo standard avvalendosi dei metodi basati sulla Trasformata di Laplace. La trasformata del segale d ingresso è U(s) = s+2, quindi la trasformata del segnale δy F è Y F (s) = G(s) U(s) = e quindi δy F (t) = L [ Y F (s) ] = 3e t 3e 2t, t. Infine,.4- Una possibile soluzione è la seguente: >> A=-; >> B=3; >> C=; >> D=; >> Sistema=ss(A,B,C,D) 3 (s + )(s + 2) = 3 s + 3 s + 2 δy(t) = δy L (t) + δy F (t) = e t 3e 2t, t. 4

5 w - G (s) G 2 (s) y Figura 5: Rielaborazione dello schema a blocchi del sistema considerato nell Esercizio 2. SOLUZIONE ESERCIZIO Il sistema in Figura è equivalente a quello in Figura 5, dove G (s) = 2 + s = 2s + s e G 2 (s) = s + (s + 2)(s ). Posto L(s) = G (s)g 2 (s) = (2s+)(s+) s(s+2)(s ), si ha quindi T yw (s) = = = 2s+ G (s) + L(s) = s + (2s+)(s+) 2s+ s (s 3 +s 2 2s)+(2s 2 +3s+) s(s+2)(s ) (2s + )(s + 2)(s ) s 3 + 3s 2 + s + s(s+2)(s ). = = Poiché sia nel calcolo di G (s) che in quello di L(s) non sono avvenute cancellazioni, allora numeratore e denominatore di T yw (s) non hanno fattori in comune, il sistema non ha parti nascoste e l analisi di asintotica stabilità può essere conclusa studiando il denominatore di T yw (s). A tal fine, costruiamo la tabella di Routh-Hurwitz associata al polinomio p cl (s) = s 3 + 3s 2 + s + : 3 2/3 da cui, essendo la prima colonna ben definita e con elementi tutti dello stesso segno, consegue che le radici di p cl (s) sono tutte a parte Reale negativa, ossia che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. In alternativa, si può analizzare l asintotica stabilità del sistema retroazionato per mezzo del Criterio di Nyquist. In questo esempio, tuttavia, tale approccio risulta laborioso in quanto, per il conteggio del numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist di L(s) attorno al punto -, è necessario calcolare il punto d intersezione fra il diagramma ed il semi-asse Reale negativo (ossia, il punto A in Figura 6). Ad ogni modo, come si vede dalla Figura 6, il diagramma di Nyquist di L(s) compie un giro in senso anti-orario attorno al punto (N=) e, poiché L(s) ha un polo a parte Reale positiva (P=), il Criterio di Nyquist permette di concludere che il sistema retroazionato considerato è asintoticamente stabile. Dunque, ricordando che in una funzione di trasferimento numeratore e denominatore non hanno fattori in comune, l espressione data per T yw(s) è esattamente la funzione di trasferimento richiesta. Si noti anche che, poiché è nota la fattorizzazione del numeratore di T yw(s), un modo alternativo per verificare che tale numeratore non ha fattori in comune con il denominatore consiste nel verificare che il denominatore non si annulla in corrispondenza delle radici del numeratore. In effetti, posto p cl (s) = s 3 + 3s 2 + s +, si ha p cl ( /2) = 9/8, p cl ( 2) = 3 e p cl () = 6. 5

6 Asse Immaginario Diagramma polare/nyquist A Asse Reale.5 Figura 6: Con riferimento all Esercizio 2, diagramma di Nyquist di L(s) = (2s+)(s+) s(s+2)(s ) (il diagramma va completato chiudendolo con una semi-circonferenza all infinito che si percorre in senso orario, dunque che giace nella parte sinistra del piano Complesso). Si noti invece che non è possibile applicare il Criterio di Bode a causa della presenza di un polo instabile nella funzione di anello L(s) Si ha Y F (s) = T yw (s)w(s) = (2s+)(s+2)(s ) (s 3 +3s 2 +s+)s : poiché si tratta di una funzione razionale strettamente propria, si può applicare il Teorema del valore iniziale. Quindi, lim y F(t) = lim s Y (2s + )(s + 2)(s ) F(s) = lim t + s s s 3 + 3s 2 = 2. + s + Poiché il sistema è asintoticamente stabile, in risposta ad un ingresso a scalino si ha lim y F(t) = T yw () = 2. t L uscita di regime di un sistema lineare asintoticamente stabile in risposta ad un ingresso esponenziale w(t) = e λt (λ, t ) è data da y R (t) = T yw (λ) e λt, t. Nel caso richiesto λ = e quindi y R (t) = T yw () e t, t. Si tratta dunque di un esempio in cui si manifesta la proprietà bloccante degli zeri. SOLUZIONE ESERCIZIO Il grado relativo di G(s) è in quanto, per ω +, il diagramma di Bode del modulo di G(s) ha pendenza - (cioè, diminuisce di 2 db per decade). Per determinare l espressione di G(s), si consideri dapprima il diagramma di Bode asintotico del modulo di G(s): poiché il sistema è di ordine 2, le due diminuzioni di pendenza del diagramma, che avvengono alle pulsazioni ω =.2 rad/s e ω 2 = 5 rad/s, individuano le pulsazioni naturali degli unici due poli del sistema (in particolare, si tratta di due poli Reali); inoltre, l aumento di pendenza che avviene alla pulsazione ω = rad/s, individua uno zero del sistema (si tratta di uno zero singolo e Reale in quanto il diagramma passa da pendenza - a pendenza ). Per determinare il segno dei poli e degli zeri, si analizza il diagramma di Bode asintotico della fase: entrambi i poli sono a parte Reale negativa in quanto, sia in corrispondenza di ω che di ω 2, la fase diminuisce di 9 ; anche lo zero è a parte Reale negativa perché, in corrispondenza di ω, la fase aumenta di 9. 6

7 Asse Immaginario Diagramma polare/nyquist Asse Reale 2 +s Figura 7: Con riferimento all Esercizio 3, diagramma di Nyquist di G(s) = ( ). )(+ 5 s +5s Infine, il guadagno di G(s) è positivo in quanto lim ω + ( G(jω) ) = e vale ( G() db = 2 db ). Riassumendo, + ω G(s) = s ( + ω s )( + ω 2 s ) = + s ( )( + 5s + 5 s) Poiché i poli di G(s) sono a parte Reale negativa, il sistema è asintoticamente stabile e si può dunque applicare il Teorema della risposta armonica. Da esso segue che y R (t) = G(.8j) sin (.8t + ( G(.8j) )) : dai diagrammi di Bode reali di G(s) riportati in Figura 2, si vede che G(.8j) db db ; e ( G(.8j) ) 45 π 4 rad cosicché y R (t) ( sin.8t π ) Il diagramma di Nyquist richiesto può essere facilmente dedotto dai diagrammi di Bode di G(s) ed è riportato in Figura Si può, ad esempio, impiegare il Criterio di Nyquist: poiché G(s) non ha poli a parte Reale positiva (P=), il sistema retroazionato rappresentato in Figura 3 è asintoticamente stabile se e solo se il diagramma di Nyquist di G(s) non compie giri attorno al punto /k (cosicché N=). Risulta allora evidente che qualunque valore di k > è tale che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile e.g., k = e che l asintotica stabilità è persa per qualunque valore di k tale che < k < (in tal caso, infatti, N= ) e.g., k =. Osservazione: applicando il Criterio di Nyquist, è facile vedere che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile se e solo se k >. SOLUZIONE ESERCIZIO Si ha L(z) = G(z)H(z) = 2(z α) z(z 2), quindi il polinomio caratteristico del sistema retroazionato è p cl (z) = z(z 2) + 2(z α) = z 2 2α. Le radici di p cl (z), ossia gli autovalori del sistema retroazionato, sono le radici Complesse di 2α ed esse 7

8 sono di modulo strettamente minore di se e solo se 2α <, ossia 2 < α < 2. In alternativa, si può applicare la trasformazione bilineare z = +s s al polinomio p cl(z). Si ha ( ) + s p cl = ( 2α)s2 + 2( + 2α)s + ( 2α) s ( s) 2 : imponendo che il polinomio a numeratore abbia grado 2 ( ossia, uguale al grado di p cl (z) ) e sia un polinomio con tutte le radici a parte Reale negativa, si ottengono i valori di α cercati. In tal caso, essendo il numeratore di grado 2, si può applicare la regola di Cartesio e si ha l asintotica stabilità se e solo se (S) : { 2α > + 2α > oppure (S2) : { 2α < + 2α <. Il sistema (S2) non ammette soluzioni, mentre la soluzione del sistema (S) è 2 < α < Per α = 2, la funzione di anello è L(z) = 2 z e la funzione di trasferimento dall ingresso yo (k) all uscita y(k) è T yy o(z) = G(z) z 2 + L(z) = z + 2 = z 2 z + 2. z Inoltre Y o (z) = z z, cosicchè Y F (z) = T yy o(z)y o (z) = Eseguendo la lunga divisione si ottiene: ossia, Y F (z) = 3z + 5z 2 +, da cui In alternativa, dall espressione (z 2)z (z + 2)(z ) = z2 2z z 2 + z 2. z 2 2z z 2 + z 2 z 2 +z 2 3z + 5z 2 + 3z +2 3z 3 +6z 5 6z y F () =, y F () = 3, y F (2) = 5. Y F (z) = T yy o(z)y o (z) = z 2 z + 2 Y o (z), si ottiene (z + 2)Y F (z) = (z 2)Y o (z) 8

9 e, mediante anti-trasformata Z, y F (k + ) + 2y F (k) = y o (k + ) 2y o (k), ossia y F (k) = 2y F (k ) + y o (k) 2y o (k ). Da cui, per k =, y F () = 2y F ( ) + y o () 2y o ( ) = + = per k =, y F () = 2y F () + y o () 2y o () = = 3 per k = 2, y F (2) = 2y F () + y o (2) 2y o () = = 5. (z 2)z (z+2)(z ) Un altra soluzione consiste nell eseguire l anti-trasformata Z di Y F (z) = (previa opportuna scomposizione di Heaviside) così da calcolare l espressione analitica di y F (k) e successivamente valutarla per k =,, Dall espressione data sopra per la funzione di trasferimento T yy o(z) del sistema, si deduce che l insieme dei poli del sistema retroazionato è P = { 2}. L ordine del sistema retroazionato è pari a 2, ossia è uguale alla somma degli ordini dei sotto-sistemi Σ G e Σ H : si ha dunque una parte nascosta. L autovalore nascosto è quello associato al fattore z 2 che si è cancellato nel calcolo della funzione di anello L(z). Quindi l insieme degli autovalori del sistema retroazionato è A = { 2, +2}. Il sistema, avendo due autovalori di modulo maggiore di, è instabile. 9