Geometria BAER Canale I Esercizi 11
|
|
- Stefano Elia
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. Scrivere la matrice delle seguenti trasformazioni ortogonali del piano (a Proiezione ortogonale sulla retta x + y = 0 (b Rotazione di π/4 seguita da riflessione nella retta x + y = 0 (c Riflessione nella retta x + y = 0 seguita da rotazione di π/4 ( Soluzione: a I vettori di norma sulla retta x + y = 0 sono ±. Quindi, se denotiamo con p la ( ( ( proiezione, abbiamo p(e = e, =. Nello stesso modo calcoliamo p(e e troviamo ( la matrice canonica di p, data da A =. ( / Potevamo anche calcolare / (/, / = A. Infine si può osservare che p si diagonalizza e ha autovalori 0, con autospazi rispettivamente ( la retta ( per 0 / perpendicolare a x + y = 0 e la retta x + y = 0. Prendendo come base di R i vettori / /, /, ( 0 la matrice di p rispetto a questa base è, la matrice rispetto alla base canonica dunque è 0 0 ( ( ( / / / / 0 / / 0 0 / / = A. b Poichè se r è la riflessione su x + y = 0, p la proiezione ( ortogonale sulla stessa retta abbiamo v + 0 r(v = p(v, la matrice cercata sarà B = A I =. La matrice della rotazione è R = 0 ( ( / / / / / /, dunque la matrice cercata è BR = / /. ( / / c è la matrice RB = / /. Esercizio. Si scriva la matrice canonica (a Della rotazione con asse la retta per l origine con vettore direttore (,, Soluzione: Una base ortonormale del piano ortogonale alla retta è data dai vettori u = (/ (,, 0 t, u = (( 6(,, t, un versore della retta è u = (/ (,, t. rispetto a questa base, la matrice della rotazione è cos θ sin θ 0 D = sin θ cos θ La matrice di passaggio dalla base canonica alla base degli u i è 6 T = Dunque se A è la matrice canonica dobbiamo avere D = T AT = T t AT ossia A = T DT t.
2 (b Della riflessione nel piano π : x y z = 0 Soluzione: Rispetto alla base B = {(/ (,, t, (/ (,, 0 t, (/ 6(,, t } la matrice D è diagonale con il primo elemento della diagonale uguale a, gli altri due uguali a. Avremo quindi che la matrice canonica è A = T DT t dove T è la matrice di passaggio dalla base canonica alla base B. Esercizio. Si trovino le formule del cambiamento di riferimento del piano dal sistema R al sistema R in cui l origine O ha coordinate (, 7 rispetto a R e gli assi sono ruotati di π/6. Si scrivano anche le formule del cambiamento di riferimento da R a R. Soluzione: La matrice della rotazione è dunque le formule del cambiamento sono dove c = (, 7 t. B = ( ( x y = B t x y 7 ( x ( y B c = x y 0 Esercizio 4. Si trovino le formule del cambiamento di riferimento dello spazio in cui gli assi si trasformano mediante un antirotazione (l asse ortogonale al piano della rotazione cambia verso di π/ con asse la retta per l origine di parametri direttori (,, e le coordinate della nuova origine sono (0,,. Soluzione: Per prima cosa scriviamo la matrice canonica A dell antirotazione: il piano della rotazione ha equazione x + y + z = 0 e una base ortonormale è data dai vettori u = (,, 0 t, u = 6 (,, t. Aggiungendo il versore u = R rispetto alla quale la matrice dell antirotazione è (,, t dell asse dell antirotazione otteniamo una base ortonormale B di 0 D = Se B è la matrice di passaggio dalla base canonica alla base B avremo (ricordando che B è ortogonale D = B t AB, dunque 0 0 A = BDB t = Le formule richieste sono dunque con c = (0,, t x x y = A t y z z x ( x y A c z = y 0 z Esercizio. Si consideri il cambiamento di riferimento X 0 x Y = 0 y 0 0
3 Si trovi l equazione della retta x + y = 0 nel nuovo riferimento. Soluzione: La trasformazione inversa è x 0 X y = 0 Y 0 0 sostituendo (X + ( Y + = X Y 4 = 0. Si può anche osservare che l equazione della retta si scrive come prodotto di matrici (,, (x, y, t = 0, dunque se T è la matrice della trasformazione inversa abbiamo (,, T (X, Y, t = 0, quindi i coefficienti della nuova equazione sono (,, T = (,, 4. Esercizio 6. (a Con un disegno ci si convinca che se T è la riflessione in una retta r del piano passante per l origine e p la proiezione ortogonale sulla stessa retta allora si ha per ogni vettore del piano applicato nell origine v abbiamo v + T ( v = p( v Soluzione: Un disegno che mostra come due punti simmetrici rispetto ad una retta abbiano la stessa proiezione sulla retta (b Ora si dimostri formalmente quanto visto sopra (Suggerimento: Se la retta fa angolo θ con l asse delle ascisse si prenda come riferimento il vettore unitario parallelo alla retta e il vettore unitario perpendicolare u = (cos θ, sin θ, u = ( sin θ, cos θ. Soluzione: Se denotiamo con (x, y le coordinate di v, rispetto al riferimento suggerito v ha coordinate (x cos θ + y sin θ, x sin θ + y cos θ. Sempre rispetto a questa base la matrice della riflessione è diagonale con, sulla diagonale, mentre la matrice della proiezione ortogonale è diagonale con, 0 sulla diagonale. Dunque in coordinate abbiamo T ( v = (x cos θ + y sin θ, x sin θ y cos θ e p(t ( v = p(x cos θ+y sin θ, x sin θ y cos θ = (x cos θ+y sin θ, 0 = p(x cos θ+y sin θ, x sin θ+y cos θ = p( v D altra parte v + T ( v ha coordinate (x cos θ + y sin θ, 0. (c Si mostri che se 0 u R n, r = L[u], allora la matrice canonica della proiezione ortogonale su r è uu t (questo è più un esercizio sui prodotti scalari e le proiezioni. Soluzione: Possiamo assumere che u sia di norma uno, allora se v è un altro vettore (uu t v = u(u t v = u u, v = u, v u = p r (v (d Si usi quanto visto per scrivere la matrice canonica della riflessione nella retta r : x y = 0 come P I, dove P è la matrice canonica della proiezione, e si verifichi il risultato. Soluzione: Un vettore unitario della retta è il vettore (,. Usando il punto precedente, o calcolando le immagini dei vettori della base canonica, la matrice P dunque è la matrice ( La matrice P I è ( 4 Questa matrice è ortogonale, il determinante è dunque la matrice rappresenta una riflessione. La retta che viene riflessa è l autospazio E( = Ker ((P I + I = Ker (P = L[(, ] dunque la retta in cui si riflette è proprio r. 4 4 Esercizio 7. Data la matrice ortogonale 0 0 M =
4 si dica che tipo di trasformazione ortogonale (rotazione, riflessione, antirotazione rappresenta, e la si descriva (se è una rotazione o un antirotazione, trovare asse e angolo, se riflessione trovare il piano in cui si riflette. Soluzione: il determinante è dunque si tratta di una rotazione. L autospazio associato a è generato dal vettore (,, t, che dunque è l asse della rotazione. Un vettore del piano ortogonale all asse è (, 0, t la cui immagine è (,, 0 t. I due vettori hanno norma e il loro prodotto scalare è, dunque l angolo è arccos = π, dunque abbiamo una rotazione di π nel piano x + y + z = 0. Esercizio 8. Nello spazio, possiamo definire una riflessione in una retta r, che denotiamo T r, come nel piano, ossia se P R, T r (P = P, se invece P / r, allora T r (P = Q, dove Q è il simmetrico di P rispetto a r, ossia l unico punto diverso da P sulla retta perpendicolare a r passante per P tale che d(p, r = d(q, r. (a Sia r la retta per l origine con parametri direttori (,,. Si scriva la matrice canonica di T r (Suggerimento: si usi l esercizio, adattando il risultato allo spazio. Soluzione: Come nel piano, se p r è la proiezione ortogonale su r abbiamo che la riflessione T r verifica T r (v + v = p r (v v R. Un versore di r è u = / 6(,, t e possiamo calcolare la matrice canonica P di p r nel seguente modo: P = uu t = 4 6 La matrice di T r è P I (I matrice identità. (b Abbiamo visto che ogni trasformazione ortogonale dello spazio è una riflessione, una rotazione o un antirotazione. Se r passa per l origine T r è una trasformazione ortogonale; che tipo di trasformazione è? Soluzione: La retta r è invariante, dunque qualsiasi vettore di r è un autovettore associato all autovalore. Sul piano per l origine perpendicolare a r, ogni punto va nel suo simmetrico rispetto all origine, dunque ogni vettore viene cambiato di verso e la trasformazione è meno l identità, ossia una rotazione di π. Dunque la trasformazione è una rotazionne di π con asse r. Esercizio 9. Data la matrice A = / / / / /6 / + ( / / / ( / /6 Si trovi una matrice Q ed un angolo θ tale che 0 0 Q t AQ = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Soluzione: A I ha rango, quindi la matrice rappresenta una rotazione. L asse è E( = Ker (A I = L[(,, ] quindi la rotazione avviene sul piano π : x + y + z = 0. Calcolando il coseno dell angolo di un vettore appartenente a π (ad esempio (, 0, t con la sua immagine troviamo /, quindi θ = π/. Una matrice Q con la proprietà richiesta si ottiene prendere una base di R composta da /(,, (o il suo opposto e una base ortonormale di π. Esercizio 0.
5 (a Si mostri che una rotazione di angolo θ del piano di centro l origine puó essere scritta come la composizione di due riflessioni Soluzione: Disegnando alcuni casi particolari ci si convince che una buona ipotesi sia che la prima riflessione sia quella nella retta che fa angolo θ/ con l asse delle ascisse, e la seconda sia quella nel (nuovo asse delle ascisse, infatti ( ( ( 0 cos θ sin θ cos θ sin θ = 0 sin θ cos θ sin θ cos θ (b Si mostri che una traslazione nel piano può essere scritta come composizione di due riflessioni. (Suggerimento: si può assumere senza perdere generalità che il vettore della traslazione giaccia sull asse delle ascisse. Soluzione: Scriviamo il vettore della traslazione come (a, 0. Procedendo come nell esempio sulle note fatto in classe, la riflessione nella retta x = a è rappresentata dalla matrice 0 a A = Moltiplicando questa matrice per la matrice della riflessione nel (nuovo asse delle ordinate (che è la matrice che si ottiene dall identità moltiplicando la prima riga per si ottiene la matrice della traslazione per il vettore (a, 0 t. Dunque ogni isometria del piano si può scrivere come prodotto di riflessioni. Esercizio. Si scriva la matrice di ordine che rappresenta una rotazione del piano di angolo θ con centro nel punto (a, b Soluzione: Sia P il punto di coordinate (a, b. Con un cambiamento di riferimento X = x a, Y = y b, il punto P è la nuova origine e possiamo scrivere la solita matrice della traslazione; per avere la formula nelle coordinate di partenza facciamo il cambiamento di riferimento inverso. In formule 0 a cos θ sin θ 0 0 a cos θ sin θ a cos θ + b sin θ + a 0 b sin θ cos θ 0 0 b = sin θ cos θ a sin θ b cos θ + b Dalla matrice si vede che una rotazione con centro un punto diverso dall origine si può scrivere come la composizione di una rotazione nell origine e una traslazione. Il punto (x, y viene mandato dalla rotazione di angolo θ con centro (a, b nel punto ( x cos θ y sin θ a cos θ + b sin θ + a x sin θ + y cos θ a sin θ b cos θ + b Esercizio. Si scriva la matrice di ordine 4 che rappresenta nello spazio la riflessione nel piano di equazione π : x y + z = Soluzione: Una base ortonormale del piano π 0 : x y + z = 0 è data dai vettori u = (/ (,, 0 t, u = (/ 6(,,, un versore normale del piano è u = (/ (,,. Allora nel riferimento dello spazio dove l origine è il punto O di coordinate (0,, 0 (che appartiene a π e i vettori sono i vettori applicati in O equipollenti agli u i la matrice della riflessione in π è la matrice R =
6 La matrice del cambiamento di riferimento è la matrice / / 6 / 0 T = / / 6 / 0 / 6 / Dunque, denotando X, x i vettori nelle nuove e vecchie coordinate, rispetto alle coordinate X la riflessione è data da RX, quindi poichè X = T x la matrice nelle coordinate x è T RT. Esercizio. Nel piano, si consideri la circonferenza γ di equazione x + y x 6y + 6 = 0. (a Si trovino centro e raggio di γ. Soluzione: L equazione si scrive (x + (y 4 = 0 quindi il centro è (, e il raggio è. (b Sia P il punto di intersezione di γ con la retta r : x y = 0 più vicino all origine. Si scriva l equazione della retta s per l origine parallela alla tangente a γ in P. Soluzione: La retta passa per il centro, quindi contiene un diametro di γ. Dunque la tangente in P è perpendicolare al diametro e la parallela per O è s : x y = 0. Non serve, comunque P ( /, /. (c Si scriva la matrice canonica della proiezione su r Soluzione: Un vettore direttore di r normalizzato è u t = 0 (,, abbiamo che e = e, u u + v = ( ( 0 +v con v appartenente alla retta per l origine perpendicolare a r; analogamente e = 0 + ( ( w, quindi le proiezioni su r dei vettori della base canonica sono 0, 0. 9
Geometria BAER Canale A-K Esercizi 11
Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi Esercizio. Scrivere la matrice delle seguenti trasformazioni ortogonali del piano (a Proiezione ortogonale sulla retta x + y = (b Rotazione di π/4 seguita da riflessione
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. x = 0 x = Date le rette r : y = t e s : y = t, si verifichi che sono sghembe e si scrivano le equazioni z = t z = t parametriche di una retta r ortogonale ed
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 8
Geometria BAER Canale A-K Esercizi 8 Esercizio. Si consideri il sottospazio U = L v =, v, v 3 =. (a) Si trovino le equazioni cartesiane ed una base ortonormale di U. (b) Si trovi una base ortonormale di
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Alcuni di questi esercizi forse sono un po difficili visto che abbiamo fatto questa parte un po in fretta, ma si può sempre provare. Esercizio. Si scrivano le equazioni
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 10
Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 10
Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi Esercizio 1. Data la retta r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di
DettagliCorso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni
Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione
DettagliIsometrie e cambiamenti di riferimento
Isometrie e cambiamenti di riferimento Isometrie Le isometrie sono trasformazioni del piano o dello spazio che conservano angoli e distanze. Esempi sono le rotazioni del piano, le riflessioni in una retta
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 11
Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 8
Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi 8 Esercizio Si consideri il sottospazio (a) Si trovi una base ortonormale di U (b) Si trovi una base ortonormale di U U = L v =, v, v 3 = (c) Si scriva la matrice
Dettagli1 Distanza di un punto da una retta (nel piano)
Esercizi 26/10/2007 1 Distanza di un punto da una retta (nel piano) Sia r = {ax + by + c = 0} una retta. Sia P = (p 1, p 2 ) R 2 un punto che non sta sulla retta r. Vogliamo vedere se si può parlare di
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 9
Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi 9 Esercizio 1. Si considerino i punti del piano A (1, 1), B (4, 1), C ( 1/2, 2) (a) Si determini se i punti A, B, C sono allineati e, in caso affermativo, si
DettagliGEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012
GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma
DettagliH precedente. Procedendo come sopra, si costruisce la matrice del cambiamento di base
Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 9/1 Commenti ad alcuni esercizi 17 Diagonalizzazione di matrici simmetriche Coniche Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 17 Diagonalizzazione
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
Dettaglix1 + 1 x T p. x 2
Geometria e Algebra Trasformazioni del piano Soluzioni Siano p e q i Trovare le formule per la traslazione T p ii Calcolare T p T p iii Calcolare T p T p iv Calcolare T q T p T p T q Sol i Si ha ii iii
Dettagli(i) Determinare l equazione cartesiana dell unica circonferenza C passante per i tre punti dati.
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Edile/Architettura Esercizi per il corso di GEOMETRIA - a.a. 7/8 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore: Dott. M. Paganin FOGLIO - Esercizi
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliESERCIZI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE (II PARTE) In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente.
ESERCIZI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE (II PARTE) versione: 24 maggio 27 In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente Autovettori e autovalori Esercizio Trova gli
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi Esercizio. ( ) Data la matrice, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = 0 e tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y 0. ( ) ( ) ( ) x y x + z y + w Soluzione:
DettagliEsercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nel piano Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi Correzione 1. Scrivere le equazioni parametriche delle rette r e s di equazioni cartesiane r : 2x y + = 0
DettagliGeometria e Topologia I 22 Giugno 2005 (U1-10, 9:00 11:00) [PROVA PARZIALE]1/8
Geometria e Topologia I 22 Giugno 2005 (U-0, 9:00 :00) [PROVA PARZIALE]/8 Correzione 0 () In A 3 (R) siano dati i tre punti A =, B = 0, C =. 0 (a) A B e C sono allineati? Dipendenti? (b) Dimostrare che
DettagliSoluzioni dello scritto di Geometria del 28 Maggio 2009
Soluzioni dello scritto di Geometria del 8 Maggio 9 1) Trovare le equazioni del sottospazio V(w, x, y, z) R 4 generato dalle quaterne c 1 = (,,, 1) e c = (, 1, 1, ). ) Trovare una base per OGNI autospazio
DettagliEsercitazioni del Marzo di Geometria A
Esercitazioni del -5 Marzo di Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica AA 07/08 Matteo Bonini matteobonini@unitnit Esercizio Si consideri la matrice 0 A 0 0 0 0 (i Scrivere
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos
DettagliVETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE
DettagliCorso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VII: soluzioni
Corso di Geometria, a.a. 2009-2010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VII: soluzioni 12 novembre 2009 1 Geometria dello spazio Esercizio 1 Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2
DettagliAUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI
AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 10 aprile 01 Esercizio 1 Sia E 3 lo spazio euclideo tridimensionale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate
Dettagli1 Esercizi 22. , ossia s : x y = 4. Verifichiamo che il nuovo sistema è equiverso: = 1 ( ) 1 1. ) 2 (1 + 1) = 1 2 = 1 > 0, dunque equiverso.
Esercizi. Nel sistema di riferimento RC = RC(O, i, j ) consideriamo la retta r di equazione x + y = orientata nel verso delle x decrescenti e sia A(3, ) un punto del piano. Determinare un sistema di riferimento
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 9
Geometria BAER Canale A-K Esercizi 9 Esercizio Sia (V,, ) uno spazio metrico Si mostri che se U V, v V, p U la proiezione ortogonale su U, allora v p U (v) U Soluzione: Il vettore v si scrive in modo unico
DettagliPROVA SCRITTA DI GEOMETRIA (C.L. Fisica)
19 Dicembre 2003! k k k$ 1) Data la matrice A= # 0 k 1& " 0 1 1% a) Dire per quali valori del parametro k la matrice è invertibile, discutere il sistema AX = b,! x$! 1$ dove X= # y& mentre b == # 1&. "
Dettagli1 Esercizi di ripasso 4
Esercizi di ripasso 4. Determinare k in modo che il piano kx + 2y 6z + = 0 sia parallelo al piano x + y z + = 0. Soluzione. La condizione di parallelismo richiede che ( ) k 2 6 rg = Ne segue che k = e
DettagliX = x + 1. X = x + 1
CONICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ 3 : x + y + y + 0 = 0; γ 4 : x + y
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliATTENZIONE: : giustificate le vostre argomentazioni! Geometria Canale 3. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A.
Geometria Canale. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A. Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio 1 7 2 6 6 4 6+1 5 6+2 Totale 1+ ATTENZIONE:
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Corso integrato di Analisi 1 (Geometria e Algebra Lineare) 3 settembre 2009 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Corso integrato di Analisi (Geometria e Algebra Lineare) settembre 009 Tema A Tempo a disposizione: ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio
DettagliEsercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile-Architettura e dell Edilizia SPAZI EUCLIDEI. TRASFORMAZIONI. ORIENTAZIONI. FORMULE DI GEOMETRIA IN R. Docente:
DettagliGEOMETRIA Nome... COGNOME...
GEOMETRIA Nome... COGNOME... 17 Gennaio 217 Ingegneria... Matricola... In caso di esito sufficiente, desidero sostenere la prova orale: [ ] in questo appello (con inizio oggi alle ore 15: in aula Magna
DettagliProva scritta di Geometria 1 Docente: Giovanni Cerulli Irelli 15 Febbraio 2017
Prova scritta di Geometria Docente: Giovanni Cerulli Irelli 5 Febbraio 7 Esercizio. Si considerino i due sottospazi π e π di R dati dalle seguenti equazioni: π : x y + z = ; π : x + y z =.. Trovare una
DettagliErrata corrige. p. 10 riga 5 del secondo paragrafo: misurare
Errata corrige p. 9 esercizio 5. Modificare testo dell esercizio come segue: Dati una retta r e un punto P, esistono infiniti piani per P paralleli a r: si tratta dei piani che contengono la retta s per
DettagliConiche - risposte 1.9
Coniche - risposte. CAMBI DI COORDINATE ) ) cosπ/) sinπ/). a. Rotazione di π/, la matrice di rotazione è = sinπ/) cosπ/) ) ) ) X = Y X = Quindi le formule sono: cioè: Y = X e inversamente Y = = Y X = b.
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura IV Appello del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, /9/ NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi
DettagliCorso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni
Corso di Geometria, a.a. 2009-2010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni 5 novembre 2009 1 Geometria del piano e prodotto scalare Richiami. Il prodotto scalare di due vettori del piano v,
DettagliSFERA ) Stabilire la mutua posizione delle sfere seguenti: S 1 : x 2 + y 2 + z 2 4x + 2y + 4z = 0 e
SFERA 14.01.2009 10) Studiare la mutua posizione delle sfere: S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 10x 2y 18z + 82 = 0 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 2y 10z + 26 = 0 C 1 = ( 5, 1, 9) R 1 = 5 C 2 = ( 1, 1, 5) R 2 =
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile/Architettura Primo Appello del corso di Geometria 2 Docente F. Flamini, Roma, 22/02/2007 SVOLGIMENTO COMPITO I APPELLO
DettagliGeometria BAER Test di autovalutazione del 31/10/18
Geometria BAER Test di autovalutazione del 3//8 LEGGERE ATTENTAMENTE PRIMA DI ANDARE ALL INIZIO DEL TEST ALLA PAGINA SUCCESSIVA. NON LEGGERE LE DOMANDE PRIMA DI INIZIARE IL TEST Il test NON É VALUTATO
Dettagli11 settembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliGeometria 2. Università degli Studi di Trento Corso di Laurea in Matematica A.A. 2011/ luglio 2012
Geometria Università degli Studi di Trento Corso di Laurea in Matematica A.A. 011/01 0 luglio 01 Si svolgano i seguenti esercizi. Esercizio 1. Sia E il -spazio euclideo dotato del riferimento cartesiano
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA INDUSTRIALE 27 GENNAIO 2014
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA INDUSTRIALE 27 GENNAIO 2014 DOCENTE: MATTEO LONGO Rispondere alle domande di Teoria in modo esauriente e completo. Svolgere il maggior numero di esercizi
DettagliEsercitazioni di Geometria A: spazi euclidei
Esercitazioni di Geometria A: spazi euclidei 9-10 marzo 2016 Esercizio 1 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K = R e si consideri una base B = {e 1, e 2, e 3 }. Si consideri la matrice a coefficienti
DettagliEsercitazioni del Aprile di Geometria A
Esercitazioni del 4-6-7-8 Aprile di Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 7/8 Matteo Bonini matteo.bonini@unitn.it Esercizio Si considerino in E 3 (R) i piani
DettagliSoluzioni della prova scritta di Geometria 1 del 27 giugno 2019 (versione I)
Soluzioni della prova scritta di Geometria 1 del 7 giugno 019 (versione I) Esercizio 1. Sia R 4 lo spazio quadridimensionale standard munito del prodotto scalare standard con coordinate canoniche (x 1,
DettagliCdL in Ingegneria Informatica - Ingegneria Elettronica (P-Z) Ingegneria delle Telecomunicazioni
CdL in Ingegneria Informatica - Ingegneria Elettronica (P-Z) Ingegneria delle Telecomunicazioni Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 9 Gennaio 3 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall
Dettagli(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.
1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Compito A Corso del Prof.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. 202-203 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 8-02-3 Compito A Corso del Prof. Manlio BORDONI Esercizio. Sia W il sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura IV Appello corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 3/7/ NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi
DettagliUniversità degli Studi di Catania CdL in Ingegneria Civile e Ambientale
CdL in ngegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del 26 gennaio 2018 Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. 1) Siano
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (nuovo programma) 2 settembre 2013 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (nuovo programma) settembre 013 Tema A Tempo a disposizione: ore e mezza Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Corsi dei Proff. M. BORDONI, A.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. - PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL -- Corsi dei Proff. M. BORDONI, A. FOSCHI Esercizio. E data l applicazione lineare L : R 4 R 3 definita dalla matrice A = 3
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire
Dettagli13 febbraio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
febbraio 0 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 0-0 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati
DettagliCambiamenti di riferimento nel piano
Cambiamenti di riferimento nel piano Stefano Capparelli November, 2013 Abstract Illustriamo con alcuni esempi il cambiamento di coordinate 1 Cambiamento di base Siano date due basi ortonormali ordinate
Dettagli1 Cambiamenti di riferimento nel piano
1 Cambiamenti di riferimento nel piano Siano date due basi ortonormali ordinate di V : B = ( i, j) e B = ( i, j ) e supponiamo che i = a i + b j j = c i + d j allora per un generico vettore v V abbiamo
DettagliGeometria BIAR Esercizi 2
Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si
Dettagli2x 2 + 4x 2y + 1 = 2(x 2 + 2x + 1 1) 2y + 1 = 2(x + 1) 2 2(y ) = 0.
CONICHE E QUADRICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ : x + y + y + 0 = 0; γ
Dettagli(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()
DettagliESAMI A.A ANDREA RATTO
ESAMI AA 2014-15 ANDREA RATTO Sommario In questo file presentiamo le prove d esame relative al Corso di Geometria e Algebra per Ingegneria Ambientale e Civile (aa2014-15) Si noti che, durante tutte le
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P
DettagliEsame di Geometria e Algebra Lineare
Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Fissato un sistema di riferimento
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliGeometria I. Soluzioni della prova scritta del 19 settembre 2016
Geometria I Soluzioni della prova scritta del 9 settembre 6 Esercizio Consideriamo una forma bilineare simmetrica g : V V R su uno spazio vettoriale reale V di dimensione finita, una sua base B e la matrice
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (II PARTE) In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente.
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (II PARTE) versione: 4 maggio 26 In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente Autovettori e autovalori Esercizio Trova gli autovalori
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (nuovo programma) 28 aprile 2014 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (nuovo programma 8 aprile 04 Tema A Tempo a disposizione: ore e mezza. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio
DettagliCorso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1. Prova scritta del 15 settmbre 2011 Versione 1
Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria Prova scritta del 5 settmbre 20 Versione Esercizio Sia S(R 22 lo spazio vettoriale reale delle matrici simmetriche di ordine 3. a. Verificare che ponendo
Dettagli(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.
Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici
DettagliSullo svolgimento di una delle quattro versioni della prova scritta di Geometria analitica e algebra lineare del giorno 11 febbraio 2013.
Sullo svolgimento di una delle quattro versioni della prova scritta di Geometria analitica e algebra lineare del giorno febbraio 0 x + y + z = 0 Stabilire se le due rette r, di equazioni cartesiane ed
DettagliPROVA SCRITTA DEL 10 LUGLIO 2008 e SOLUZIONI. Per ognuno dei seguenti quiz indicare l unica risposta corretta tra le quattro proposte.
Geometria B1-02efe Geometria - 13bcg PROVA SCRITTA DEL 10 LUGLIO 2008 e SOLUZIONI Per ognuno dei seguenti quiz indicare l unica risposta corretta tra le quattro proposte. Esercizio 1. Sia u, v, w vettori
DettagliCorso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1. Prova scritta del 7 settembre 2015
Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 Prova scritta del 7 settembre 215 Cognome Nome Numero di matricola Voto ATTENZIONE. Riportare lo svolgimento completo degli esercizi. corretti, non
Dettagli10 luglio Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
10 luglio 014 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 01-014 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
Dettagliformano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale.
) Mostrare che i 3 vettori v=, u=, w= 3 formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale. ) Sia f : R 4 R 4 la seguente applicazione
DettagliGeometria analitica - Esercizi 6
Geometria analitica - Esercizi 6 1. Si studi la conica di equazione 4 5 x2 + 24 5 xy + 11 5 y2 + 5x + 10y + 89 16 = 0, e se ne disegni il grafico. 2. Si studi dal punto di vista affine (senza determinare
DettagliPossiamo scrivere le tre precedenti espressioni in un'unica equazione matriciale:
A1. Considerazioni sul cambio di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Sia xyz un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di origine O e di riferimento cartesiano pure di origine O. un secondo
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura Appello Geometria (VO) a.a. 013/14 Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere
DettagliProva scritta di Geometria 1 Docente: Giovanni Cerulli Irelli 20 Gennaio 2017
Prova scritta di Geometria Docente: Giovanni Cerulli Irelli Gennaio 7 Esercizio. Si considerino i seguenti tre punti dello spazio euclideo: P :=, Q :=, R :=.. Dimostrare che P, Q ed R non sono collineari.
DettagliGeometria BAER A.A. Canale I Foglio esercizi 4
Geometria BAER A.A. Canale I Foglio esercizi 4 Esercizio. Si trovino basi degli spazi delle soluzioni dei seguenti sistemi lineari Soluzione: Sol(S ) = L[ x + 3x x 3 + 5x 4 = S : x + 3x x 3 + x 4 = S x
Dettagli8 luglio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
8 luglio 015 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 014-015 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (vecchio programma) 2 settembre 2013 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (vecchio programma) settembre 013 Tema A Tempo a disposizione: ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio
Dettagli