NUMERI INTERI E POTENZE

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1 Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 1 Obiettivo NUMERI INTERI E POTENZE In questa lezione richiameremo alcune proprietà dei numeri interi, e impareremo a operare con le potenze. Ricordiamo che l'insieme dei numeri interi relativi, o, semplicemente, numeri interi si indica con il simbolo e contiene i numeri: I numeri a sinistra del numero zero sono detti negativi e hanno segno, mentre i numeri a destra dello zero sono detti positivi e hanno segno. Due numeri come e, oppure come e, ecc. si dicono opposti, perché hanno segno diverso ma stesso valore assoluto. Dato che i numeri positivi nelle operazioni si "comportano" esattamente come i numeri naturali, di solito per indicare un numero positivo si omette il segno (ad esempio si scrive invece di, ecc.). Possiamo dunque considerare l'insieme come un'estensione (o "ampliamento") dell'insieme dei numeri naturali. Richiamo sulle operazioni con i numeri interi Nell'insieme dei numeri interi, in quanto estensione dell'insieme dei numeri naturali, è sempre possibile sommare e moltiplicare numeri tra loro. Ricordiamo che sia per la somma e per il prodotto, per ogni coppia di numeri valgono le proprietà associativa e commutativa: Proprietà Somma Prodotto Associativa Commutativa La proprietà distributiva, invece, riguarda somma e prodotto insieme. Per vale, infatti: Contrariamente a quanto avviene con i numeri naturali, invece, nei numeri interi anche la sottrazione è sempre possibile. Ad esempio, l'operazione non è possibile nei naturali, mentre negli interi ha come risultato. La divisione invece, analogamente ai naturali, è possibile soltanto quando il dividendo è multiplo del divisore. Ad esempio, mentre non è possibile negli interi. Così come accade per i numeri naturali, i numeri e godono di proprietà specifiche: 0 è l'elemento neutro della somma: se aggiungiamo 0 a qualsiasi numero il risultato sarà il numero stesso è l'elemento neutro del prodotto: se moltiplichiamo qualsiasi numero per il risultato sarà il numero stesso Inoltre, il numero ha anche una proprietà specifica anche relativamente al prodotto: 0 è l'elemento nullificatore (o assorbente) del prodotto: se moltiplichiamo qualsiasi numero per il risultato sarà In questa lezione supponiamo che siano già note dalla scuola media le regole per operare con i numeri interi. Per un rapido ripasso, prova a svolgere le seguenti operazioni e controlla il risultato (per le somme e le sottrazioni può essere utile rappresentare i numeri sulla retta).

2 Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 2 (Esempi guidati) Esegui le seguenti operazioni: Sottrarre equivale a sommare Si parte da e ci si sposta di unità verso destra Zero è l'elemento neutro della somma La somma di due numeri opposti è sempre zero La somma di due numeri opposti è sempre zero Il prodotto di due numeri con segno diverso ha segno negativo Uno è l'elemento neutro del prodotto

3 Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 3 Moltiplicare un numero per equivale a cambiare il suo segno Il prodotto di due numeri con lo stesso segno ha segno positivo Qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero Il quoziente di due numeri con lo stesso segno ha segno positivo Il quoziente di due numeri con segno diverso ha segno negativo non è multiplo di, l'operazione non è possibile in Potenza di numeri interi Dato che il prodotto tra numeri interi gode della proprietà associativa è possibile dare un significato univoco a prodotti in cui compaiono più di due fattori. Ad esempio: Il risultato di questa moltiplicazione è e, per la proprietà associativa, non dipende dall'ordine in cui si eseguono le singole moltiplicazioni. Un caso particolare, molto importante è quello in cui un prodotto contiene più volte lo stesso fattore. Ad esempio: oppure Sappiamo che prodotti di questo tipo vengono chiamati potenze: il fattore che si ripete viene chiamato base, mentre il numero di volte che si ripete viene chiamato esponente. Le potenze, come è noto, si possono indicare con la notazione, dove è la base ed è l'esponente. Quindi: ha base e esponente e si indica con ha base e esponente e si indica con È fondamentale fare attenzione alle parentesi nella potenza. Esse sono necessarie per indicare che la base è il numero negativo. Consideriamo invece l'espressione: In questa potenza la base (ossia il fattore che si ripete nel prodotto) non è il numero ma è il numero, mentre il segno meno indica che va cambiato il segno del risultato, ossia:

4 Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 4 Quindi, confrontando le due scritture e i due risultati, si ha: Le due scritture e indicano, quindi, operazioni diverse e anche il risultato è diverso (in particolare i due risultati sono opposti). Nel caso seguente, invece, anche se le due scritture indicano operazioni diverse, il risultato è lo stesso: Quindi l'uguaglianza è falsa, mentre l'uguaglianza è vera. Da cosa dipende questa difformità? Per rispondere dobbiamo chiederci: In una potenza con base negativa qual è il segno del risultato? Il segno del risultato dipende dall'esponente, secondo la regola: esponente pari segno positivo esponente dispari segno negativo Infatti, in un prodotto con un numero pari di fattori, tutti negativi, si possono raggruppare a due a due i fattori ottenendo tutti risultati positivi da moltiplicare tra loro: Invece in un prodotto con un numero dispari di fattori, tutti negativi, raggruppando a due a due i fattori rimane comunque un fattore negativo "isolato" che determina il segno negativo del risultato: Ovviamente nella pratica non occorre fare questi raggruppamenti. Utilizzando le proprietà generali viste, infatti, possiamo calcolare rapidamente il risultato di una potenza con base negativa. Vediamo qualche esempio: Calcoliamo: Dato che l'esponente è dispari, sappiamo che il risultato sarà negativo, per cui possiamo portare il segno meno fuori dalla parentesi Prima calcoliamo e poi cambiamo il segno Il risultato è Calcoliamo:

5 Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 5 Dato che l'esponente è pari, sappiamo che il risultato sarà positivo, per cui possiamo cambiare il segno della base Calcoliamo Il risultato è In una potenza con base negativa se l'esponente è un numero pari il risultato è positivo, se è un numero dispari il risultato è negativo. Di conseguenza: - Se è un numero pari si ha: (la base può essere cambiata di segno) - Se è un numero dispari si ha: (il segno meno può essere portato fuori dalle parentesi) (Test di comprensione) Indica se ciascuna delle seguenti uguaglianze è vera o falsa: A. [V] [F] B. [V] [F] C. [V] [F] D. [V] [F] E. [V] [F] Proprietà delle potenze e numeri interi Le stesse proprietà delle potenze dei numeri naturali valgono anche per i numeri interi. Indicando con e numeri interi (sia positivi che negativi) e con e numeri naturali, valgono, infatti, le seguenti cinque proprietà: 1. Prodotto di potenze con la stessa base In generale: 2. Quoziente di potenze con la stessa base In generale: (con e ) 3. Potenza di potenza In generale: 4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente In generale: 5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente In generale: (con e multiplo di )

6 Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 6 In sostanza, le cinque proprietà delle potenze corrispondono ai cinque casi in cui il risultato di un'operazione tra potenze è ancora una potenza. Ricordiamo, inoltre, che, grazie alle proprietà delle potenze si può dare un significato anche alle potenze con esponente e esponente : un numero elevato alla è uguale al numero stesso: ad esempio: elevando un qualsiasi numero positivo o negativo (ma diverso da zero) alla zero si ottiene come risultato : ad esempio. Nell'eseguire un'operazione tra potenze è sempre opportuno verificare se è possibile applicare una delle cinque proprietà: di solito, infatti, questo semplifica i calcoli. Vediamo qualche esempio: Non è possibile applicare direttamente la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base perché le due potenze hanno basi diverse ( e ). Dato che la prima potenza è con esponente pari possiamo cambiare segno alla base. Adesso possiamo applicare la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base Non è possibile applicare direttamente la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base perché nel divisore c'è un segno meno davanti alla potenza. Dato che, possiamo riscrivere il divisore sotto forma di potenza Adesso possiamo applicare la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base Non è possibile applicare direttamente la proprietà della potenza di potenza perché nelle parentesi c'è un segno meno davanti alla potenza Dato che è un esponente dispari possiamo portare il segno meno fuori dalla parentesi Adesso possiamo applicare la proprietà della potenza di potenza

7 Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 7 Non è possibile applicare direttamente la proprietà della potenza di potenza perché nelle parentesi c'è un segno meno davanti alla potenza Dato che è un esponente pari possiamo cambiare il segno all'interno della parentesi Adesso possiamo applicare la proprietà della potenza di potenza Non è possibile applicare direttamente la proprietà del prodotto di potenze con stesso esponente perché nelle parentesi c'è un segno meno davanti alla potenza. Dato che, possiamo riscrivere il fattore sotto forma di potenza Adesso possiamo applicare la proprietà del prodotto di potenze con stesso esponente