Fisica Generale I Misure di grandezze fisiche e incertezze di misura Lezione 3 Facoltà di Ingegneria Livio Lanceri

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1 Fsca Generale I Msure d grandezze fsche e ncertezze d msura Lezone 3 Facoltà d Ingegnera Lvo Lancer

2 Indce Abbamo mparato: Orgne e classfcazone delle ncertezze (error) d msura Rappresentazone delle ncertezze Stma delle ncertezze n msure drette non rpetute propagazone degl error n msure ndrette non rpetute Adesso: passamo alla descrzone delle msure drette rpetute Meda e devazone standard Devazone standard della meda all nterpretazone de rsultat n termn probablstc (prossma lezone) Probablta` e dstrbuzone d probablta` La dstrbuzone normale (Gauss) Intervall d confdenza e alle msure ndrette rpetute propagazone degl error rveduta e corretta

3 Msure drette rpetute La statstca c auta anals statstca degl error accdental

4 A proposto: statstca? I metod statstc Sono stat svluppat per descrvere dat emprc e sono usat da tutte le scenze (e tecnche) spermental Fanno uso d var strument matematc (anals, calcolo delle probablta`) Affrontano dvers problem: La descrzone sntetca de dat emprc dstrbuzon, mede, dsperson, correlazon Il confronto tra dat e teora o tra dvers nsem d dat Determnazone d parametr Test d potes ( decson), su parametr o dstrbuzon L nterpretazone probablstca de rsultat (dvers approcc: frequentsta, bayesano, ) o c lmteremo a consderazon molto semplc su alcun aspett descrttv (Mede e devazon standard, dstrb.gaussana, ntervall d confdenza) 4

5 Una msura fatta durante la lezone - Msure drette rpetute della lunghezza d un banco A. Usando fotocope d un rghello Campo d msura Costante d lettura c mm B. Con un regolo metallco Campo d msura Costante d lettura c mm metodo Indce operatore () A SS 7.6 A SS 7.5 A 3 LL 7. A 4 LL 7.7 A 5 SD 7.3 A 6 SD 7.6 A 7 GS.4 A 8 GM 7. A 9 LB 7.8 A LB 7.6 A LL 7.8 A LB. A 3 GS 7.6 A 4 LL 7.6 A 5 LL 7.8 B 69.8 B 69.8 B B B B B B B B

6 Msura: comment - Istogramma (a barre): Scala orzzontale: nclude tutt valor msurat (p.es.da 69. a. Intervall ( bn ): abbamo scelto cascuno., estremo nferore ncluso Scala vertcale: per ogn bn, barra proporzonale al numero d msure nell ntervallo corrspondente Errore sstematco Metodo B outler??? Error accdental Metodo A More 6

7 Msura: comment - Metodo A: Error accdental, maggor della costante d lettura del regolo: le operazon rudmental d msura con l regolo fotocopa, corto, ntroducono ad ogn passo pccole varazon casual: e l tpco caso n cu le msure rsultano avere una dstrbuzone gaussana (come vedremo) ; Errore sstematco: le msure dfferscono sensblmente da quelle esegute col regolo metallco (metodo B); una prma stma della dfferenza percentuale e` crca: ( )/69.8.7%, compatble con un problema d calbrazone dello strumento fotocopato (n effett: la fotocopa era stata eseguta con fattore d rduzone 98% ): non bsogna aspettars che uno strumento qualsas sa ga` perfettamente calbrato! outler : la msura numero 7 (operatore GS) e` sensblmente dstante dalle altre: possamo escluderla solo su questa base? La rsposta, n lnea generale, e` O. Commenteremo ulterormente possbl eccezon e crter d esclusone accettabl. In questo caso, data la dfferenza d crca 4 mm, e` probable che l operatore GS abba usato n un pao d occason l estremta` del regolo nvece dello zero : se questo fosse confermato, sarebbe preferble escludere entrambe le msure d GS. Metodo B: Tutt valor msurat sono ugual, entro la costante d lettura d mm, essendo l metodo pu` semplce e rproducble. 7

8 Meda e devazone standard msure d {,,,..., } Devazone Standard 3 Meda Varanza V ( ) ( ) Esempo operatore Indce () -m() (-m)^ -m'() (-m')^ SS SS LL LL SD SD GS GM LB LB LL LB GS LL LL m Var().4 sgma.4 V ( ) ( ) not(gs) m' Var().6 sgma'.5 8

9 9 Meda e devazone standard Perche usare la meda? E` quel partcolare numero che mnmzza la somma quadratca degl scart ( Prncpo de mnm quadrat ) Un modo alternatvo per calcolare n un solo cclo varanza e devazone standard: verfcare come eserczo che: (usato p.es per calcolare ncrementalmente la varanza durante una sequenza d presa dat: le due sommatore vengono accumulate evento per evento e sottratte alla fne) tale che : trovamo ),... ( msure date X ( ) ( ) ( )( ) X X X X X dx d X mnmo ( ) ) ( Var

10 Ancora devazone standard Attenzone: c sono motv teorc per modfcare la defnzone d devazone standard sosttuendo con (-): ( ) Le due defnzon sono equvalent per suffcentemente grande grande, ma la prma defnzone tende a sottostmare l ncertezza per pccolo. el nostro esempo (3) la dfferenza e` ga` poco rlevante (crca 4%): Prma def.: Seconda def.: mm mm

11 Devazone standard della meda Aumentando l numero d msure, la devazone standard calcolata dadatraccoltrmanestable, fluttuandoattornoad un valoreche descrve la dspersone delle sngole msure n modo sempre pu` precso costante Invece: la devazone standard della meda, che descrve la (mnore!) dspersone delle mede, dmnusce all aumentare d ( ) ( ) Verfchamolo su sequenze d dat (smulat con un generatore d numer casual) corrspondent a msure rpetute con crescente:

12 campon d msure: Campone n.: Campone n.6: More Etc : rgettare msure sulla base della devazone standard d poche msure e` percoloso! Verfca: stogramm delle mede e delle dev.standard Ved prossma pagna More Campone n. mm mm Campone n.6 mm mm

13 (mede e devaz. standard) campon d msure cascuno: Calcolamo volte la Meda e la Devazone Standard (per cascun campone) stogrammamo Meda Standard devaton La meda fluttua meno delle sngole msure: Dev.Standard: ma fluttua pareccho da un campone all altro! 3

14 ,, campon d msure: Campone n.: Campone n.: More Campone n. mm mm Etc mede, dev.standard: Prossma trasparenza More Campone n. mm mm 4

15 (mede e devaz. standard) campon d msure cascuno: Calcolamo volte la Meda e la Devazone Standard (per cascun campone) stogrammamo Meda Devazone Standard La meda fluttua meno delle sngole msure: Dev.Standard: Adesso fluttua d meno da un campone all altro! 5

16 ,, campon d msure: Campone n.: Etc Campone n. mm mm bn Meda (. bn) Meda (. bn) Devazone Standard More More mede, dev.standard:.5 Scala orzz. Allargata:

17 Conclusone In sntes: all aumentare d, nel nostro esempo (smulazone con valor ver not): la dspersone del valore medo dmnusce anche negl esperment real, Ma: attenzone agl error sstematc! Inutle aumentare ulterormente l numero d msure n un espermento, se gl error sstematc non possono essere rdott ad un lvello nferore! 7

18 In grafco: : Scala vertcale lneare Scala vertcale logartmca () () 8