Nelle ipotesi fatte (popolazione di dimensione infinita), il numero di chiamate offerte assume una distribuzione di Poisson.

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1 Esercizi n 1 Una centralina telefnica per piccl uffici (PBX) sddisfa le richieste di chiamata mediante l impieg di circuiti. Si assuma che le richieste di chiamata arrivin da una pplazine di utenti di dimensine infinita. Nell iptesi che arrivin alla centrale in media 6 chiamate/ra e che gni chiamata duri in media 8 minuti, determinare. il traffic ffert λ 6 chiamate/ra τ 8 minuti 8 λ τ 6.8 Erl 6 Osservazini vend suppst la pplazine di dimensine infinita, il dat λ frnit dal prblema fa riferiment alla richiesta di traffic che l intera pplazine infinita di utenti rivlge alla centrale. Se la λ frnita avesse fatt riferiment alla richiesta di traffic del singl utente, il prdtt λ τ cstituirebbe il traffic ffert dal singl utente, che a lezine è stat indicat cme i. Indicata cn M la dimensine della pplazine, in quest cas finita, il traffic cmplessivamente ffert sarebbe stat M i. In realtà, l assunzine riguard alla dimensine infinita della pplazine in piccli uffici nn è in genere adeguata ed è qui fatta unicamente per semplicità. In quest cas, esistn frmule alternative (Engset) che cnsentn si affrntare e rislvere il prblema precedente e che verrann viste più avanti nell ambit del crs. B. la distribuzine del numer di chiamate fferte Nelle iptesi fatte (pplazine di dimensine infinita), il numer di chiamate fferte assume una distribuzine di Pissn. In particlare P(k chiamate fferte) k k! e Di cnseguenza, la rispsta al quesit è.8 P( chiamate fferte) e e 44.93%.8 P(1 chiamata fferta) e.8 e 35.95% (.8).8 P( chiamate fferte) e e 14.38% 3 3 (.8).8 P(3 chiamate fferte) e e 3.83% 6 6 e csì via (si ricrdi che il numer di chiamate fferte può assumere tutti i valri interi cmpresi tra e ). C. la distribuzine del numer di chiamate smaltite

2 Le risrse che la centrale telefnica ha a dispsizine per smaltire le richieste di traffic che le giungn sn limitate: C. Per quest nn tutte le richieste (traffic ffert) ptrann essere sddisfatte e sl un numer limitat di richieste, al più pari a C, ptrann essere smaltite cntempraneamente (si parla, appunt, di traffic smaltit). Il numer di chiamate smaltite assume una distribuzine di Erlang. In particlare P(k chiamate smaltite) P(k chiamate fferte) / Di cnseguenza, la rispsta al quesit è C i P(i chiamate fferte) k e k! k k! C i C i e i i! i i! P( chiamate smaltite) P( chiamate fferte) /(P( chiamate fferte)+ P(1 chiamata fferta) P( chiamate fferte)) 47.16% P(1 chiamata smaltita) P(1 chiamata fferta) /(P( chiamate fferte)+ P(1 chiamata fferta) P( chiamate fferte)) 37.74% P( chiamate smaltite) P( chiamate fferte) /(P( chiamate fferte)+ P(1 chiamata fferta) P( chiamate fferte)) 15.1% Osservazini Piché il numer di chiamate che pssn essere cntempraneamente smaltite sddisfatte può assumere sl valri cmpresi tra e, la smma delle prbabilità appena calclate è banalmente pari a 1. Il grafic sttstante riprta le distribuzini del numer di chiamate fferte e smaltite. Mentre i valri delle prbabilità del numer di chiamate smaltite sn nulli per k >, i valri che le prbabilità del numer di chiamate assumn per k 5 sn mlt prssimi all zer e sembran nulli sl per mtivi di scala.,5,45,4,35,3,5,,15,1,5 ffered calls carried calls

3 Si può ntare cme la distribuzine del traffic smaltit (carried calls) sia prprzinale alla distribuzine del traffic ffert (ffered calls). Nel cas specific la cstante di prprzinalità, ciè ( C i D. la prbabilità di perdita P(i chiamate fferte)) -1, risulta Si parla di perdita nel mment in cui una richiesta di chiamata nn può essere accettata, il che accade nel mment in cui tutte le risrse della centrale telefnica, ssia i due circuiti, sn tutte ccupate. Pertant P(perdita) P( chiamate smaltite) 15,1%

4 Esercizi n In un call center signrine si ccupan di rispndere alle chiamate in arriv. Se mediamente arrivan al call center 1 chiamate/ra e una chiamata dura mediamente 9 minuti,. determinare la prbabilità che un utente, chiamand il call center, trvi la linea ccupata nche se l esercizi nn l ammette esplicitamente, la dimensine della pplazine da cui prvengn le richieste di chiamate, in quest cas gli utenti del call center, si suppne infinita. Le risrse che il sistema, in quest cas il call center, ha per sddisfare le richieste di chiamate, cincidn invece cn le signrine. Pertant λ 1 chiamate/ra τ 9 minuti C La prbabilità che un utente trvi la linea ccupata cincide cn la prbabilità di perdita del sistema call center, ssia cn la prbabilità che entrambe le signrine sian impegnate in cnversazini cn utenti. In altre parle, la prbabilità di trvare la linea ccupata cincide cn la prbabilità che il numer di chiamate smaltite sia pari a C. P(linea ccupata)p( chiamate smaltite)!! 1 + 1!! dve rappresenta il traffic ffert, che ccrre calclare. 9 λ τ Erl P(linea ccupata) ( ) ( 1.5) 31.3% B. determinare il traffic smaltit Tra traffic ffert, traffic smaltit e traffic perdut esiste una relazine che può essere sintetizzata mediante il seguente diagramma

5 Dal diagramma appare evidente cme, del traffic ffert vada perduta, mentre la restante frazine ( B(, C) ) smaltita. Di cnseguenza, ( 1 B(, C) ) ( 1 P( ccupat) ) ( 1.313) s una frazine pari a B(, C) 1 riesca ad essere effettivamente Erl Osservazini Si nti che quand si parla di traffic ffert, perdut smaltit si fa riferiment a valri medi. Per rendersi cnt di ciò, si può calclare il valre medi della distribuzine del numer di chiamate smaltite. In particlare, risulta E(numer chiamate smaltite) i i P(i chiamate smaltite) ( 1.5) ( 1.5) ( 1.5) ( 1.5) Cme ci si pteva aspettare, il valre medi del numer di chiamate smaltite cincide prpri cl traffic smaltit. C. determinare quante signrine si devn impiegare, se si vule ttenere una prbabilità di trvare la linea ccupata inferire al 5% La prbabilità di trvare la linea del call center ccupata cincide cn la prbabilità di perdita del sistema, che dipende da due parametri, il traffic ffert e il numer di risrse C, secnd una legge che va stt il nme di Erlang B. P perdita B (, C) C C! C i i i! Per rappresentare graficamente la prbabilità di perdita, si fissa il valre di C e si riprta l andament della prbabilità di perdita al variare del traffic ffert in crrispndenza

6 del fissat valre di C. Il grafic sttstante riprta l andament della prbabilità di perdita in funzine del traffic ffert quand il numer di risrse C è fissat ai valri,3,4,5. Dalle curve si può vedere cme, fissat il traffic ffert, per diminuire la prbabilità di perdita ccrre aumentare il numer di risrse C. Si può a quest punt prcedere per tentativi, cnsiderand inizialmente quale prbabilità di perdita si avrebbe se si impiegasser C 3 signrine. P perdita ! +! + 3 3! % La prbabilità di perdita è ancra superire al 5%. Si ripete allra il calcl cn C 4 signrine. P perdita ! +! 3 3! + 4 4! % Cn C 4 signrine si riesce pertant ad ttenere una prbabilità di perdita inferire al 5%.

7 D. vlend mantenere C signrine ed ttenere una prbabilità di perdita del 1%, determinare di quant le signrine dvrann essere più svelte nel rispndere alle richieste degli utenti del call center Fissati C e la prbabilità di perdita, l unica quantità incgnita nella frmula Erlang B rimane il traffic ffert. Facend riferiment alle curve del precedente grafic, ciò equivale a cnsiderare la curva crrispndente a C (curva rssa) e a leggere per quale valre dell ascissa l rdinata assume il valre.1. Dal punt di vista analitic, il prblema equivale a rislvere la seguente equazine.1!! !!.1 1+!.45! Erl Si può a quest punt determinare la nuva durata media delle cnversazine cme τ re 6min 3.57 min 3min+.57 6sec 3 min e 34 sec λ 1 1 Le signrine dvrann essere pertant mlt più svelte, vist che la durata media delle cnversazini deve abbassarsi da 9 minuti a 3 minuti e 34 secndi.

8 Esercizi n 3 In un call center 44 signrine si ccupan di rispndere alle chiamate in arriv. Se le chiamate al call center prvengn da una pplazine di 3 utenti e mediamente gni utente effettua 1 chiamata gni 5 girni della durata media di 9 minuti,. determinare la prbabilità di trvare la linea ccupata Occrre innanzitutt determinare il traffic ffert. Si nti a tal prpsit che il prblema frnisce la dimensine M della pplazine; quest nn cmprmette l assunzine di distribuzine pissniana del traffic ffert, dat che questa apprssimazine può cnsiderarsi mlt buna già a partire da una pplazine cstituita da 3 unità. Inltre i dati λ 1 chiamata/5 girni e τ 9 minuti fann riferiment al singl utente. Quest significa che il lr prdtt cincide cl traffic ffert dal singl utente e che, per determinare il traffic ffert in ttale, basta mltiplicare il traffic ffert dal singl utente per la dimensine M della pplazine. In altre parle 1 i λ τ 9.15 Erl 1.5 merl M Erl i Determinat, è pssibile determinare la prbabilità di trvare la linea ccupata (tutte e 44 le signrine cntempraneamente impegnate) applicand la frmula Erlang B sulla prbabilità di perdita. Il prblema è cstituit dal fatt che nel cas in questine ccrrerebbe applicare la frmula P perdita B (, C) ! i i i! il che implicherebbe il dvere calclare i 45 addendi della smmatria a denminatre. E in questi casi che le tabelle entran in gic. Dp avere individuat, infatti, dalla tabella Erlang B (diretta) la riga crrispndente a C 44 e la clnna crrispndente ad 4 Erl, è sufficiente leggere il valre all incrci tra la riga e la clnna in questine. Quest valre rappresenta infatti la prbabilità di perdita crrispndente ai particlari valri di C ed in questine. Si ricava csì P perdita % B. a parità di traffic ffert, determinare il numer di signrine che cnsente di avere una prbabilità di trvare la linea ccupata inferire all 1% Per rislvere il quesit si utilizza la stessa tabella. Fissata la clnna crrispndente ad un traffic ffert 4 Erl, si può ntare cme la prbabilità di perdita diminuisca al crescere del numer di risrse C. In particlare, il più piccl valre di C cui crrispnde una prbabilità di perdita inferire all 1% è 53. Il call center dvrà pertant impiegare 53 signrine se si vule che la prbabilità di trvare la linea ccupata sia inferire all 1%. In realtà, se si fsse utilizzat un calclatre esatt, dispnibile ad esempi n line

9 (http://ict.ewi.tudelft.nl/~frits/erlang.htm), si sarebbe trvat C Piché però nn ha sens cnsiderare un numer di risrse (signrine nel cas del prblema) nn inter, l apprssimazine va fatta all inter superire, vist che C 5. 4 garantisce una prbabilità di perdita esattamente pari all 1% e si vule perare in regime di prbabilità di perdita inferire all 1%. Osservazini Per rislvere il precedente quesit, anche l altr tip di tabella (inversa) avrebbe ptut essere usata. Scrrend la clnna relativa ad un valre di prbabilità di perdita dell 1%, si può ntare cme il traffic ffert aumenta all aumentare del numer di risrse C e si trva che C 53 srgenti sn in grad di srreggere un traffic ffert superire a 4 Erl (4.619).

10 Esercizi n 4 Si cnsideri il prblema del blcc delle chiamate nel quale gli utenti di telefnia mbile pssn a vlte incappare. In particlare, si faccia riferiment ad una regine circlare di raggi pari ad 1 Km, caratterizzata da una densità di utenti pari a 8 utenti/km. Si iptizzi inltre che gli utenti pssan essere distinti sulla base del lr md di usare il cellulare in due categrie: alla prima categria appartengn gli utenti che effettuan mediamente chiamate all ra cn una durata media di 3 secndi; alla secnda appartengn gli utenti che effettuan 1 chiamata in media per ra e della durata media di 5 minuti. lla prima categria appartiene il 6% degli utenti presenti nella zna, alla secnda appartiene invece il restante 4%. Si ricrdi che nel GSM gni frequenza è in grad di prtare 8 cnversazini.. Determinare il numer di frequenze che il gestre della rete deve frnire per la zna cnsiderata se si vule che la prbabilità di blcc sia inferire al 5%. Per determinare il numer di cnversazini, e quindi di frequenze, che il gestre deve essere in grad di frnire per mantenere la prbabilità di blcc, ssia la prbabilità di perdita, inferire al 5%, ccrre cme prima csa calclare il traffic ffert. Dal dat sulla densità di pplazine δ 8 utenti/km, è pssibile risalire alla dimensine M della pplazine. In particlare, indicata cn S la superficie della regine, risulta M δ S ( 1) 51 Indicati cn i, 1 e i, i traffici fferti rispettivamente dai singli utenti appartenenti alle due categrie, i traffici fferti dalle due categrie cmplessivamente sarebber, 1. 6 M i,1,. 4 M i, nche se a lezine è stat pres in cnsiderazine il sl cas di utenti che si cmprtan in maniera unifrme, è pssibile dimstrare che la cnvergenza al limite per M della distribuzine binmiale alla distribuzine di Pissn risulta ugualmente verificata a patt di cnsiderare cme traffic ffert la smma dei traffici fferti dalle single categrie in questine., 1 +,.6 M i, M i, 3 i, Erl 16.7 merl 36 i, Erl 33.3 merl M merl Erl ( ) 1 i, 1 i, Si cnsulta a quest punt la tabella di Erlang B (inversa), in crrispndenza della clnna relativa ad una prbabilità di perdita dell 5%. Scrrend i valri di traffic ffert, si può ntare cme il prim valre di traffic ffert superire a quell del prblema sia

11 Erl e crrispnda ad un numer di risrse C 65. Nel cas specific le risrse cincidn cn chiamate di telefnia mbile e, piché gni frequenza GSM cnsente di servire 8 chiamate, il numer minim di frequenze che il gestre ha bisgn di ffrire è 9; 8 frequenze sarebber infatti insufficienti, vist che ad 8 frequenze crrispnde la pssibilità di servire sl 64 chiamate in cntempranea. B. Si assuma che la regine cnsiderata cntenga al su intern l Stadi Olimpic. In ccasine delle partite di calci di grandi manifestazini sprtive, si verificherà un aument del numer di utenti all intern della regine cn cnseguente aument del traffic ffert. In seguit a tale aument, si è stimat che il traffic ffert si prti al valre di 93 Erl. parità di prbabilità di blcc (5%), determinare il numer di frequenze che il gestre deve mettere a dispsizine, ltre a quelle messe a dispsizine in cndizini standard di traffic, in ccasine di partite grandi eventi sprtivi. Prcedend analgamente al cas precedente, si trva che il più piccl valre di risrse, ssia di chiamate crrispndente ad una prbabilità di blcc del 5% ed ad un valre di traffic ffert superire a 93 Erl (per la precisine Erl) è C 98. Il crrispndente numer di frequenze è 13. Piché in cndizini nrmali, il gestre deve mettere a dispsizine già 9 frequenze, in ccasine di partire grandi manifestazini sprtive, il gestre dvrà prvvedere a 4 frequenze in più.

12 ESERCIZIO n 5 centrali telefniche, ciascuna in grad di servire 3 chiamate cntempranee, vengn usate per sddisfare le richieste di traffic rispettivamente del Pliclinic di Tr Vergata e della facltà di Ingegneria di Tr Vergata. Sia il Pliclinic che la facltà di Ingegneria generan singlarmente 3 Erl di traffic ffert.. Determinare la prbabilità cn cui i due pli universitari trverann la linea ccupata. Cnsiderata la simmetria dei dati, sia il Pliclinic che la facltà di Ingegneria farann esperienza della stessa prbabilità di perdita. E pssibile, pertant, fare riferiment ad un sl dei due pli universitari. Utilizzand le tabelle dirette, si trva che sia il Pliclinic che la facltà di ingegneria trverann la linea ccupata cn una prbabilità del 13.4%. B. Determinare la prbabilità di perdita nel cas in cui si decida di fare gestire il traffic sia di Pliclinic che di Ingegneria da una sla centrale cn capacità dppia, in grad ciè di servire cntempraneamente fin a 6 chiamate. In quest cas, sempre utilizzand la tabella diretta, si trva che la prbabilità di perdita crrispndente ad 6 e C 6 è 9.6%. La secnda sluzine è da preferire quindi alla prima. Osservazini In generale, a parità di prbabilità di perdita, più grandi sn i sistemi in termini di risrse, più efficienti tali sistemi sn. Si definisce efficienza di un sistema il rapprt tra il traffic smaltit ed il numer di risrse utilizzate, ssia la quantità η ( 1 E( C) ), C Si cnsideri un sistema cn C 4 risrse. Per garantire una prbabilità di perdita del 3%, il traffic ffert nn deve essere superire a Erl. Ne cnsegue un efficienza η ( 1.3) 78.6% Si cnsideri adess un sistema cn C 41 risrse. Per garantire una prbabilità di perdita del 3%, il traffic ffert nn deve essere superire a Erl. Ne cnsegue un efficienza ( 1.3) η 78.9% 41 Il miglirament nell efficienza si ha anche aumentand di una sla unità le risrse!!! titl di ulterire cnferma, si riprta il grafic sttstante, che mstra l andament dell efficienza η al variare del traffic ffert, per diversi valri del numer di risrse C. Fissat il valre del traffic ffert, si può sservare cme il sistema sia caratterizzat da efficienze sempre maggiri al crescere del numer di risrse di cui dispne.

13 1.8 h.6.4. C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C 1 C 11 C HErlL

14 ESERCIZIO n 6 Un call center dispne di 49 impiegati che rispndn alle chiamate in arriv.. Se il call center pera cn un efficienza del 79%, qual è il traffic ffert che il sistema è in grad di sstenere. Si richiama che l efficienza di un sistema generic di servizi è pari a η ( 1 P ) C perdita dve la prbabilità di perdita P perdita B (, C) C C! C i i i! si calcla applicand la frmula B di Erlang ed è funzine sia del traffic ffert sia delle risrse C. Pertant η ( 1 B( C) ), C Il prblema frnisce il sl valre delle risrse C e dell efficienza η. è l unica incgnita, ma per determinarla, ccrrerebbe rislvere un equazine nn lineare. Per vviare alla presente difficltà, si prpne un metd di risluzine grafica, che prevede l us della tabella, che si riprta per cmdità.

15 Il metd di risluzine grafica prcede per tentativi, finché nn viene individuat un intervall di valri di traffic ffert all intern del quale sicuramente ricade la sluzine. Quest vale infatti in virtù del fatt che, cme mstrat anche dai grafici sull efficienza riprtati nel precedente esercizi, l efficienza cresce al crescere del traffic ffert per fissat valre delle risrse C. determinat tale intervall, si prcede ulterirmente per tentativi, finché nn si determina un valre di efficienza mlt vicin a quell frnit cme dat del prblema. Più in dettagli, scelt un valre di, si legge in rdinata il valre di P crrispndente e si calcla il crrispndente valre di efficienza. perdita La tabella mstra anche l rdine dei primi tentativi fatti. Per 3 Erl, si avrebbe un valre di efficienza (cn C 49 ) pari a η 61.% ; per 35 Erl, si avrebbe un valre di efficienza (cn C 49 ) pari a η 71.1% ; per 4 Erl, si avrebbe un valre di efficienza (cn C 49 ) pari a η 79.8%. Vist che il valre di efficienza che caratterizza il sistema di servizi del prblema è η 79%, sicuramente il valre di sluzine del prblema ricade tra 35 Erl e 4 Erl. La tabella sttstante riepilga tutti i tentativi effettuati. C Plss (%) Efficiency (%) 3 49,4 61, 35 49,5 71, ,3 79, , 74, ,3 76, ,8 78,159 39,5 49, 79,

16 Il valre Erl cnsente di ttenere un efficienza η 79% ed è pertant la sluzine cercata.

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