LEZIONE 4. Le sottomatrici 2 2 di A sono. Invece ( 1 3 non è sottomatrice di A.

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1 LEZIONE 4 4 Determinanti In questa lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli Definizione 4 Sia A (a i,j ) i m R m,n e siano p, q Z tali che p j n m e q n Una sottomatrice p q di A è una matrice in R p,q ottenuta da A considerando solo le entrate che si trovano all intersezione di p righe e q colonne Esempio 42 Sia A Le sottomatrici 2 2 di A sono 2, 0 2 R 2, 0, Invece ( 2 ) non è sottomatrice di A 2 0 In alternativa una sottomatrice p q di A R m,n può essere pensata come ottenuta da A cancellando m p righe e n q colonne fissate Definizione 4 Sia A (a i,j ) i,j n R n,n Il determinante di A è il numero di R, indicato con det(a) o A, definito come segue i) Se n si pone det(a, ) a, ii) Se n 2 si pone (4) det(a) a, A, + a,2 A,2 + + a,n A,n n a,j A,j, ove A i,j indica il prodotto di ( ) i+j per il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la riga di indice i e la colonna di indice j j Typeset by AMS-TEX

2 2 4 DETERMINANTI La Formula (4) viene detta sviluppo di Laplace secondo la prima riga, mentre il numero A i,j introdotto nella Definizione 4 viene detto complemento algebrico dell entrata a i,j Si noti che per saper calcolare il determinante di una matrice A R n,n bisogna calcolare n determinanti di matrici d ordine n : poiché ciascuno di essi si ottiene calcolando n determinanti di matrici quadrate d ordine n 2, il determinante di A si ottiene calcolando n(n ) determinanti di matrici quadrate d ordine n 2 Iterando questo ragionamento concludiamo che per calcolare il determinante di una matrice A R n,n è necessario moltiplicare n! n (n ) (n 2) 2 determinanti di matrici quadrate d ordine (cioè entrate di A) e sommarli dopo averli moltiplicati per un opportuna potenza di Da quanto osservato si deduce, perciò, che il calcolo di un determinante diviene sempre più oneroso quando l ordine della matrice quadrata cresce: per calcolare il deteminante di una matrice quadrata d ordine n 2,, 4, 5, bisogna fare rispettivamente 2! 2,! 6, 4! 24, 5! 20, prodotti e sommarli (algebricamente) Diamo alcuni esempi di determinanti di matrici quadrate d ordine n 2 piccolo Esempio 44 Si consideri una matrice quadrata generale d ordine 2, diciamo a, a,2 a 2, a 2,2 Risulta A, ( ) + det(a 2,2 ) a 2,2, A,2 ( ) +2 det(a 2, ) a 2, : concludiamo che a, a,2 a 2, a 2,2 a,a, + a,2 A,2 a, a 2,2 a,2 a 2, Per esempio ( ) , , ( 4) 2 ( 2) Per esercizio calcolare i seguenti determinanti e confrontarli con i determinanti calcolati sopra: 4 2, 2 4, 2 4 4/ / 2 2 4,

3 LEZIONE 4 Esempio 45 Si consideri una matrice quadrata generale d ordine, diciamo a, a,2 a, a 2, a 2,2 a 2, a, a,2 a, Risulta A, ( ) + a 2,2 a 2, a,2 a, a 2,2a, a 2, a,2, A,2 ( ) +2 a 2, a 2, a, a, a 2,a, + a 2, a,, A, ( ) + a 2, a 2,2 a, a,2 a 2,a,2 a 2,2 a, : concludiamo che a, a,2 a, a 2, a 2,2 a 2, a, a,2 a, a,a, + a,2 A,2 + a, A, a, (a 2,2 a, a 2, a,2 )+ + a,2 ( a 2, a, + a 2, a, ) + a, (a 2, a,2 a 2,2 a, ) (45) Per esempio si consideri la matrice Si ha a, a 2,2 a, + a,2 a 2, a, + a, a 2, a,2 + a, a 2,2 a, a, a 2, a,2 a,2 a 2, a, A det(a) ( ) ( ) La Formula (45) viene spesso chiamata regola di Sarrus: è importante osservare che essa può essere applicata solo per il calcolo del determinante di matrici quadrate di ordine Il segno per cui bisogna moltiplicare il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la riga di indice i e la colonna di indice j, nel calcolo di A i,j, può essere ricordato con il seguente semplice trucco mnemonico: alla matrice a, a,2 a, a,4 a 2, a 2,2 a 2, a 2,4 A a, a,2 a, a,4 a 4, a 4,2 a 4, a 4,4

4 4 42 PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE si può associare la matrice di segni Per determinare il segno ( ) i+j basta, allora, guardare l entrata di posizione (i, j) della matrice dei segni! Osservazione 46 In base alla definizione se A (a i,j ) i,j n R n,n è triangolare inferiore, il calcolo del suo determinante si riduce al prodotto delle entrate sulla diagonale Infatti se a, a a 2, a 2, ,2 0 0 a a, a,2 a, 0,2 a, 0 a, a a n, a n,2 a n, a n,2 a n, a n,n n,n a, 0 a, a 2,2 a, a 2,2 a, a n,n a n, a n,n Per esempio ( 5) /5 7 π /5 Ciò vale anche per le matrici diagonali: in particolare det(i n ) 42 Proprietà del determinante I determinanti non si calcolano quasi mai, soprattutto applicando il metodo di Laplace: infatti in questo caso si devono fare n! somme di prodotti di n entrate della matrice, un numero che cresce velocemente con il crescere di n Si noti che tale complessità decresce con l aumentare del numero di entrate nulle della matrice Si preferisce, perciò, utilizzare un altro metodo che si basa sul buon comportamento dei determinanti rispetto alle operazioni elementari di riga (si veda la proposizione seguente di cui omettiamo la dimostrazione) e che descriveremo in questo paragrafo

5 LEZIONE 4 5 Proposizione 42 Sia A R n,n Valgono le seguenti proprietà (DR) Se A è ottenuta da A sommando ad una riga un multiplo di un altra allora det(a ) det(a) (DR2) Se A è ottenuta da A moltiplicando una riga per una costante α R allora det(a ) α det(a) (DR) Se A è ottenuta da A scambiando due righe diverse allora det(a ) det(a) La Proprietà (DR) ci permette di sviluppare il determinante della matrice A (a i,j ) i,j n R n,n, invece che secondo la prima riga, secondo una riga qualsiasi Quindi si può parlare dello sviluppo di Laplace secondo la riga di indice i dato dalla formula n det(a) a i, A i, + a i,2 A i,2 + + a i,n A i,n a i,j A i,j Esempio 422 Quanto visto nell Osservazione 46 può essere esteso anche a matrici triangolari superiori Infatti, ad ogni passo, basta sviluppare il determinante secondo l ultima riga, cioè ancora a, a,2 a, a,n 0 a 2,2 a 2, a 2,n 0 0 a, a,n a, a 2,2 a, a n,n a n,n Per esempio Continuando con le proprietà notevoli dei determinanti si ha la seguente j Proposizione 42 Sia A R n,n Allora det( t A) det(a) Poiché ogni operazione elementare di riga su t A equivale ad un analoga operazione elementare di colonna su A, dalle Proposizioni 42 e 42 segue subito la seguente Proposizione 424 Sia A R n,n Valgono le seguenti proprietà (DC) Se A è ottenuta da A sommando ad una colonna un multiplo di un altra allora det(a ) det(a) (DC2) Se A è ottenuta da A moltiplicando una colonna per una costante α R allora det(a ) α det(a) (DC) Se A è ottenuta da A scambiando due colonne diverse allora det(a ) det(a)

6 6 42 PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE In particolare è possibile sviluppare il determinante di A (a i,j ) i,j n R n,n, invece che secondo una riga, secondo una colonna qualsiasi Quindi si può parlare sviluppo di Laplace secondo la colonna di indice j dato dalla formula det(a) a,j A,j + a 2,j A 2,j + + a n,j A n,j n a i,j A i,j L idea generale per calcolare il determinante di una matrice quadrata A R n,n è la seguente Si trasforma prima A in A, matrice ridotta per righe, con operazioni elementari E A questo punto si trasforma A in A, matrice triangolare superiore, con scambi di colonna: se si devono operare h di tali scambi si ha det(a) det(a ) ( ) h det(a ), in forza delle Proposizioni 42 e 424 Si noti che, per la generica matrice A k n,n, tale metodo permette di ridurre il numero di operazioni da n n! a circa 2n / Illustriamo questa tecnica con un esempio Esempio 425 Si consideri la matrice quadrata d ordine dell Esempio 7 (si veda anche l Esempio 45) Si ha R R +R C 2 C ( ) 2 i 2 0 R R R C C ( )2 ( ) 2 2 Anche la Proprietà (DR) ha un importante conseguenza Si consideri A (a i,j ) i,j n R n,n, ed indichiamo con R i la sua riga di indice i, cioè la matrice R i ( a i, a i,2 a i,n ) Supponiamo, per semplicità, che esistano α,, α n k tali che o R n α R + + α n R n Allora con operazioni elementari di riga E della forma A R n R n α R α n R n A si ottiene una nuova matrice A avente la riga di indice n nulla: sviluppando il determinante secondo l ultima riga si ottiene allora det(a) det(a ) 0 Un discorso analogo vale sostituendo nel ragionamento sopra la parola riga con la parola colonna ed utilizzando la Proprietà (DC) Esempio 426 Si consideri la matrice A /5 2 4 π

7 LEZIONE 4 7 Poiché le colonne C j di A sono legate dalla relazione C 2 7C + 0C segue da quanto visto sopra che det(a) 0 Per esercizio si verifichi la nullità di det(a) calcolandolo con uno qualsiasi dei metodi sopra descritti Un altra applicazione interessante della Proposizione 42 è il calcolo, illustrato nel prossimo esempio, dei cosiddetti determinanti di matrici di Vandermonde o, più semplicemente, determinanti di Vandermonde Esempio 427 Siano dati i numeri x, x 2,, x n R: definiamo matrice di Vandermonde relativa a x, x 2,, x n la matrice x x 2 x n 2 x n x 2 x 2 2 x n 2 2 x n 2 x x 2 x n 2 x n V (x, x 2,, x n ) x n x 2 n x n 2 n x n n x n x 2 n x n 2 n x n n Per determinare la formula generale che esprime il determinante della matrice V (x, x 2,, x n ), detto determinante di Vandermonde relativo a x, x 2,, x n in funzione dei numeri x, x 2,, x n si può procedere i con operazioni elementari Per esempio sia n 4 Allora: x x 2 0 V (x, x 2, x, x 4 ) C 4 C 4 x C x 2 x 2 2 x 2 x x 2 2 x x 2 x x x 2 x 4 x 2 4 x 4 x x 2 4 x x 2 0 x 2 x 2 2 (x 2 x )x 2 2 C C x C x x 2 (x x )x 2 2 x 4 x 2 4 (x 4 x )x 2 4 x 0 0 x 2 (x 2 x )x 2 (x 2 x )x 2 2 C 2 C 2 x C x (x x )x 2 (x x )x 2 x 4 (x 4 x )x 2 (x 4 x )x x 2 x (x 2 x )x 2 (x 2 x )x 2 2 x x (x x )x 2 (x x )x 2 x 4 x (x 4 x )x 2 (x 4 x )x 2 4 x 2 x (x 2 x )x 2 (x 2 x )x 2 2 x x (x x )x (x x )x 2 x 4 x (x 4 x )x 4 (x 4 x )x 2 4 x 2 x 2 2 (x 2 x )(x x )(x 4 x ) x x 2 x 4 x 2 4

8 8 42 PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE L ultimo determinante è ancora di Vandermonde, precisamente è V (x 2, x, x 4 ) ma, di dimensione più piccola, cioè n Ripetendo il ragionamento otteniamo alla fine che V (x, x 2, x, x 4 ) (x 2 x )(x x )(x 4 x )(x x 2 )(x 4 x 2 )(x 4 x ) In generale lo stesso procedimento permette di dimostrare la seguente formula (427) det(v (x, x 2,, x n )) Per esempio i,j,,n i>j (x i x j ) det(v (, 2, 2,, 0)) (2 )( 2)( )( )( 2 2)( 2 )( 2)(2 )(2)() 96 Si noti che la Formula (424) permette di affermare che det(v (x, x 2,, x n )) 0 se e solo se gli x, x 2,, x n non sono tutti distinti Un implicazione è chiara a partire dalla definizione di det(v (x, x 2,, x n )), l altra lo è meno e bisogna necessariamente fare uso della Formula (424) per dimostrarla 4 Ancora sull inversa di matrici Illustreremo in questo paragrafo il legame fra la nozione di determinante, di invertibilità e di inversa di una matrice quadrata A R n,n Iniziamo con un altro importante risultato, di cui omettiamo la dimostrazione, il Teorema di Binet Proposizione 4 Siano A, B R n,n Allora det(ab) det(a) det(b) In generale, non è vero che det(a + B) det(a) + det(b) Per esempio siano E, 0, E 0 0 2, Chiaramente det(e, ) det(e 2,2 ) 0 e det(e, + E 2,2 ) det(i 2 ) : in particolare det(e, ) + det(e 2,2 ) det(e, + E 2,2 ) Definizione 42 Sia A (a i,j ) i,j n R n,n Definiamo aggiunta di A la matrice à la cui entrata di posizione (i, j) è il complemento algebrico A j,i dell entrata a j,i

9 LEZIONE 4 9 Si consideri il prodotto B Aà La sua entrata b i,j di indice (i, j) è il prodotto della riga i di A per la colonna di indice j di Ã, cioè A j, A j,2 b i,i ( a i, a i,2 a i,n ) A j,n a i, A j, + a i,2 A j,2 + + a j,n A i,n Se i j la Formula (42) implica che b i,i det(a) Consideriamo poi l entrata b i,j con i j: per fissare le idee scegliamo i 2 e j (gli altri casi sono analoghi) Si ha b 2, a 2, A, + a 2,2 A,2 + a 2,2 a 2, a 2, a 2, a 2, ( ) + a,2 a, + a 2,2 ( ) 2+ a, a, + a 2, a 2,2 a 2, a 2, a 2,2 a 2, R R R 2 a 2, a 2,2 a 2, a, a,2 a, a, a,2 a, 0 Concludiamo che { det(a) se i j (4) b i,j 0 se i j Procedendo in maniera simile, utilizzando la Formula (4), otteniamo anche che B ÃA I n, ovvero abbiamo dimostrato la seguente Proposizione 44 Sia A R n,n Allora (44) Aà ÃA det(a)i n Esempio 45 Consideriamo la matrice dell Esempio 7 (si veda l Esempio 45) A Allora A,, A,2, A,, A 2, 5, A 2,2, A 2,, A,, A,2, A,, quindi à 5 Si verifichi direttamente che Aà ÃA 2I L importanza della precedente proposizione risiede nel suo

10 0 4 ANCORA SULL INVERSA DI MATRICI Corollario 46 Sia A R n,n Allora A è invertibile se e solo se det(a) 0 In tal caso det(a ) / det(a) e (46) A det(a)ã Dimostrazione Supponiamo che A sia invertibile Dalla Proposizione 4 segue che det(aa ) det(a) det(a ), dunque det(a ) 0 e si ha det(a ) / det(a) Viceversa sia det(a) 0 Allora la Formula (44) ci permette di affermare che A det(a)ã det(a) AÃ det(a) (det(a)i n) I n : abbiamo perciò dimostrato che A è invertibile e che vale la Formula (46) Esempio 47 Consideriamo nuovamente la matrice dell Esempio 7 (si veda l Esempio 45) Come visto nell Esempio 44 la sua aggiunta è Ã 5, quindi /2 5/2 /2 A /2 /2 /2, /2 /2 /2 che coincide con quanto ottenuto nell Esempio 7 risolvendo l equazione matriciale AX I 44 Il metodo di Cramer Consideriamo un sistema di Cramer, ovvero u equazione AX B con A R n,n invertibile Sappiamo che tale equazione ha come unica soluzione la matrice X A B Supponiamo ora che B R n,, ovvero che l equazione AX B sia, di fatto, un sistema Sia X t ( x x 2 x n ): il fatto che tale matrice sia soluzione significa che vale l identità di matrici numeriche x C + x 2 C x n C n B ove, come già fatto in precedenza, indichiamo con C j la colonna j esima di A, cioè C j t ( a,j a 2,j a n,j ) Sia A j la matrice ottenuta da A sostituendo a C j la matrice B Si noti che sottraendo alla colonna j esima di A j le matrici x j C h per h,, n ed h j, otteniamo una matrice Âj che ha tutte le colonne uguali a quelle di A tranne la j esima che coincide con x j C j Tenendo conto della Proposizione 426 (precisamente di (DC) e (DC2)) segue che det(a j ) x j det(a)

11 LEZIONE 4 Proposizione 44 Siano A R n,n invertibile, B R n, Sia poi det(a) e j il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo alla colonna j esima la colonna B Allora il sistema AX B ha come unica (, 2,, n ) Esempio 442 Riprendiamo l Esempio 8 Come visto nell Esempio 45 si ha δ det(a) 2 Inoltre , , Quindi l unica soluzione del Sistema (8) è ( 6, 2, 0) (,, 0) 2 45 Matrici ortogonali Una classe particolarmente importante di matrici è quella delle matrici ortogonali Vedremo in seguito che tali matrici sono legate alla nozione di rotazione e di riflessione Definizione 45 P R n,n si dice ortogonale se t P P I n Osservazione 452 Si noti che la matrice identità I n è ortogonale in base alla definizione data: anche ogni matrice ottenuta da I n cambiando segno ad una o più delle sue entrate è ortogonale Quindi esistono matrici ortogonali di ogni ordine Un importante esempio di matrici ortogonali sono quelle 2 2 di cui è possibile dare una descrizione completa Proposizione 45 Una matrice P R 2,2 è ortogonale se e solo è di una delle seguenti forme cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ, sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ per qualche ϕ R Dimostrazione Sia p, p P,2 R 2,2 p 2, p 2,2 ortogonale La condizione P t P I 2 si traduce allora nel sistema p 2, + p 2,2 p, p 2, + p,2 p 2,2 0 p 2 2, + p 2 2,2

12 2 45 MATRICI ORTOGONALI La prima e la terza equazione implicano l esistenza di ϑ, ϕ R tali che p, cos ϑ, p,2 sin ϑ, p 2, sin ϕ, p 2,2 cos ϕ La seconda equazione è allora equivalente a 0 cos ϑ sin ϕ + sin ϑ cos ϕ sin(ϕ + ϑ) In particolare, a meno di multipli di 2π, si deve avere o ϑ ϕ ovvero ϑ π ϕ Nel primo caso cos ϕ sin ϕ P, sin ϕ cos ϕ nel secondo Ciò conclude la dimostrazione cos ϕ sin ϕ P sin ϕ cos ϕ Sia P R n,n ortogonale Poiché t P P I n, segue che P è invertibile e P t P : in particolare si ha anche P t P I n In maniera analoga si dimostra che se P t P I n allora anche t P P I n, cioè P è ortogonale se e solo se P t P I n ciò dimostra la seguente Proposizione 454 Sia P R n,n ortogonale Allora P è invertibile, P t P e P t P I n Si ha det(i n ) det( t P P ) det( t P ) det(p ) det(p ) 2, dunque det(p ) ±: quanto sopra osservato sulla matrice identità ci permette di affermare che esistono matrici di entrambe i tipi Si noti però che non è detto che che se det(p ) ± allora P sia ortogonale: verificare per esempio che a 0 ± è ortogonale se e solo se a 0 Le matrici ortogonali si dividono, quindi, in due classi non vuote, quelle con determinante e quelle con determinante Ha senso dare un nome a questi due tipi di matrici Definizione 455 Sia P R n,n ortogonale P si dice speciale se det(p ) non speciale det(p ) Esempio 456 Le matrici di R 2,2 cos ϕ sin ϕ, sin ϕ cos ϕ ( cos ϕ ) sin ϕ sin ϕ cos ϕ sono, rispettivamente, speciale e non speciale per ogni ϕ R Le matrici di R, P , P , sono ortogonali La prima è non speciale, la seconda speciale