PARTE PRIMA. 100 F 150 [N/cm 2 ] caratteristica ingresso-uscita =

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1 Esame di Stato di Istituto Tecnico Settore Tecnologico Indirizzo Elettronica ed Elettrotecnica Articolazione Automazione (ITAT) Esempio di seconda prova di Sistemi Automatici PARTE PRIMA Una azienda automobilistica deve valutare il coefficiente di aerodinamicità di un prototipo da corsa: a tale scopo sono fissati quattro sensori di sforzo sulla scocca collocati rispettivamente sul musetto, sull alettone stabilizzatore e sui deflettori laterali. La vettura è quindi sottoposta alle sollecitazioni della galleria del vento con flusso di aria frontale. La prova si effettua in un periodo di 20 minuti durante i quali il rotore della ventola genera un flusso d aria a velocità e direzione variabile. Le specifiche dei dispositivi di rilevazione utilizzati sono le seguenti: dinamica dello sforzo rilevabile 100 F 150 [N/cm 2 ] caratteristica ingresso-uscita F V 0 = e Inoltre il sistema rotore-ventola fornisce in uscita un codice digitale a 8 bit che indica la velocità e la direzione del vento prodotta istantaneamente. Per quanto riguarda il sistema programmabile per l acquisizione dei dati, si ritenga comprensivo di aree di memoria dati e programmi dedicate. Il controllo da effettuare prevede acquisizioni ad intervalli di 10 secondi del codice proveniente dal rotore e dei valori presenti sui quattro sensori, valori che vengono memorizzati nell apposita area dati. Il candidato, con riferimento ad un sistema programmabile di propria conoscenza e fatte le eventuali ipotesi aggiuntive: 1. Individui uno schema a blocchi del sistema, specificando le funzioni di ciascun blocco 2. Descriva la logica di controllo adottata per la gestione del processo 3. Progetti un algoritmo di controllo del processo coerente con le scelte progettuali effettuate; 4. Fornisca una porzione di codice significativa dell algoritmo ipotizzato. 1

2 PARTE SECONDA Il candidato risponda a due dei seguenti quesiti e presenti per ognuno le linee operative, le motivazioni delle soluzioni prospettate. QUESITO 1 In relazione al sistema proposto nella prima parte si consideri la necessità di garantire acquisizioni con l approssimazione massima dello 0,1%: Si determini pertanto la necessaria risoluzione dell ADC e si proponga uno schema progettuale che, al termine dei 20 minuti di monitoraggio, visualizzi su un display il numero di volte in cui i sensori siano stati sollecitati con una pressione pari o superiore al 90% del valore massimo possibile. QUESITO 2 Con riferimento al sistema proposto nella prima parte si ipotizzi di misurare la spinta applicata al prototipo mediante sensori inclinometrici monoassiali con uscita in tensione di tipo sinusoidale ad ampiezza unitaria e con periodo proporzionale all angolo di flessione dell asticella misuratrice costituente il trasduttore T = K*[cos ( )] 2 Con /3 K =10-2 [s] Dopo aver esplicitato la relazione tra la tensione in uscita al trasduttore in funzione dell angolo di inclinazione, il candidato esponga una possibile metodologia per l acquisizione del dato rilevato, con riferimento al sistema di condizionamento e/o conversione del segnale proveniente dai sensori inclinomentrici. QUESITO 3 Descrivere la struttura dello schema di figura e calcolare la funzione di trasferimento. Verificare la stabilità del sistema e calcolare la risposta a regime del sistema in caso di ingresso a gradino unitario. Inoltre il candidato discuta un caso applicativo individuabile mediante il modello proposto sulla base delle proprie competenze nei sistemi di controllo. X(s) + _ A B + + Y(s) A ( s )= 5 s B ( s)= 2 s+1 C C ( s)= 1 5 QUESITO 4 Determinare la funzione di trasferimento dello schema di figura considerando il blocco di tipo proporzionale puro. Calcolare quindi il margine di fase M ottenuto per un fattore di retroazione unitario e il valore da assegnare al blocco per ottenere M = 45. X(s) + _ A b Y(s) A (s)= 10 5 (s+1500) (s+2) 2

3 SOLUZIONE PARTE PRIMA 1. SCHEMA A BLOCCHI Sensore Musetto Condiz A0 Sensore Alettone Sensore Def-sx Sensore Def-dx Condiz Condiz Condiz A1 PortA A2 A3 ADC μc PIC Timer 0 Rotore PortD Stabiliamo di utilizzare, come sistema programmabile, un microcontrollore PIC della Microchip. In figura sono indicate le sole risorse del microcontrollore direttamente impiegate in questa applicazione, tralasciando quelle non utilizzate e quelle ovvie (memoria dati, memoria programma, registri ). Le acquisizioni, avvenendo ogni 10 secondi, saranno 6 al minuto. Considerando che la prova dura 20 minuti avremo 120 (6*20) set di dati. Ogni set consta di 5 dati (relativi ai quattro sensori e al rotore) per un totale di 600 informazioni da memorizzare. Molti modelli PIC hanno una EEPROM interna di 256 byte, insufficiente a contenere 600 informazioni. Il testo della PARTE PRIMA non specifica se i dati raccolti vengono utilizzati nella medesima sessione di lavoro (come ad esempio suggerito nel QUESITO 1 della PARTE SECONDA) o se invece devono venire trattenuti e rimanere disponibili per una fase di rielaborazione successiva. Adottiamo la prima ipotesi, in questo modo ci si può limitare a registrare le informazioni nella normale area dati (nella seconda ipotesi basterà aggiungere un banco di memoria EEPROM esterna). L'acquisizione dei segnali provenienti dai sensori di sforzo può venire strutturata, in alternativa, con un solo blocco di condizionamento e un solo pin di input, prevedendo in tal caso un multiplexer analogico che consenta di commutare il segnale via via oggetto di acquisizione. Tale soluzione potrebbe risultare economicamente e circuitalmente vantaggiosa perché, data l'esiguità e la non linearità dei segnali forniti dai trasduttori, il circuito di condizionamento richiede una certa cura. Vedremo però che il problema della non linearità dei segnali verrà risolto a livello software 3

4 Valutiamo il range dei valori di tensione forniti dai trasduttori di sforzo: F=100 V 0 = e 1 =3,68 mv 100 F=150 V 0 = e 1,5 =2,23 mv 100 Dunque, il processo di condizionamento dovrà sottrarre un offset di 2,23 mv e introdurre un'amplificazione che porti il valore (3,68 2,23 =) 1,45mV a 5V. L'amplificazione richiesta vale quindi: 5 A = = ,45 10 L'esiguità dei segnali di ingresso orienterebbero, nella scelta del primo stadio, verso un amplificatore per strumentazione. La linearizzazione del segnale può venire affrontata per via hardware (ad esempio con un amplificatore logaritmico) o per via software (risalendo al valore della forza tramite la formula inversa da applicarsi al dato digitale fornito dall'adc). Dal momento che il problema in esame presenta esigenze assolutamente non stringenti dal punto di vista dei tempi in gioco e della complessità del programma, la soluzione software potrebbe essere la migliore perché si traduce in una semplificazione circuitale senza penalizzare il programma complessivo. Resta da esaminare l'acquisizione dei dati forniti dal sistema rotore-ventole: questo presenta un codice digitale a 8 bit già indicante la velocità e la direzione del vento, sarà dunque sufficiente acquisire tale dato, ad esempio tramite il port D del PIC, con la cadenza richiesta. 2. LOGICA DI CONTROLLO PER LA GESTIONE DEL PROCESSO Per la gestione dell'acquisizione dei segnali molto è già stato detto al punto 1. Il Timer_0 del PIC andrà programmato in modo da potere innescare, ogni 10 secondi, la lettura e la memorizzazione di un set di valori. Possiamo ad esempio impostare i registri che lo governano affinché esso chieda un interrupt ogni millisecondo. Ad ogni trascorrere di 10 secondi va quindi acquisito il valore presente sul Port D e vanno convertiti, tramite l'adc, i segnali presenti sui pin A0, A1, A2, A3. Come precisato al punto 1, i set di 5 dati via via acquisiti andranno memorizzati nelle corrispondenti componenti di altrettanti vettori oppure, a seconda della scelta operata, scritti nella EEPROM. 4

5 3. ALGORITMO DI CONTROLLO Rappresentiamo l'algoritmo in linguaggio di progetto pseudo-c. main inizializzazioni; while(tempo < 20 minuti) resta in attesa degli interrupt di Timer0; eventuale elaborazione-visualizzazione dei dati acquisiti durante la prova; interrupt di Timer0 aggiorna le variabili temporali; ogni 10'': acquisisci e memorizza il dato presente sul PortD (rotore-ventola); per ognuno dei 4 sensori di sforzo: leggi il dato D della conversione; calcola lo sforzo F*; memorizza il dato nella corrispondente componente del vettore; *Per ottenere lo sforzo F dal dato digitale D fornito dall'adc possiamo partire dalla formula diretta espressa dal testo e risalire alla formula inversa: da cui F V 0 = e ovvero e F 100 = V 0 1 F= 100 ln 100 V 0 [1] Ma la tensione V 0 è stata condizionata, prima di giungere al pin di ingresso del PIC, sottraendole un offset (2,23mV) e amplificandola (A=3448). Indicato poi con q il quanto di tensione relativo all'adc, possiamo scrivere: D= (V 0 offset ) A q 5

6 da cui V 0 = D q A +offset Sostituendo V 0 nella [1] otteniamo infine: 1 F= 100 ln 100( D q A ) +offset Se consideriamo un ADC a 10 bit, numericamente otteniamo: F= 100 ln con D che assumerà i valori da 0 a ( D 1, , ) 4. PROGRAMMA #define TEMPO_PROVA 1200 // 1200'' = 20' di durata della prova #define T0_INI 100 // se fck=20mhz, Timer0 eseguirebbe 5000 conteggi ogni msec; // se poniamo prescaler=32, Timer0 esegue 5000/32=156 conteggi ogni msec // (appunto quelli che servono per andare da T0_INI a 256). unsigned long int Milli=0, sec=0, D; unsigned short int ventola[120], k; float musetto[120], alettone[120], defsx[120], defdx[120]; void IniGen(void); #int_timer0 void timer0_isr(void); // void main(void) IniGen(); while(sec<tempo_prova); // per 20' resta in attesa degli interrupt di Timer0 // eventuale elaborazione-visualizzazione dati (come da Q1 della PARTE SECONDA) // void IniGen(void) // inizializzazioni generali setup_adc_ports(san0 san1 san2 san3); // imposta gli ingressi analogici setup_adc(adc_clock_internal); set_adc_channel(0); setup_timer_0(rtcc_internal RTCC_DIV_32); // Timer0 prescaler = 32 enable_interrupts(int_timer0); // abilita gli interrupt di Timer0 enable_interrupts(global); 6

7 // #int_timer0 void timer0_isr(void) TMR0=T0_INI; Milli++; if(milli>=1000) Milli=0; sec++; if ((sec % 10) == 0) ventola[k] = PORTD; // routine di interrutp di Timer0 // ogni 10 sec // leggi e memorizza il dato relativo alla ventola D = read_adc(); // leggi ADC canale 0 (musetto) musetto[k] = 100 * log(1/(100*(d*1.416e e-3))); set_adc_channel(1); delay_us(20); // per consentire il mutamento del canale D = read_adc(); // leggi ADC canale 1 (alettone) alettone[k] = 100 * log(1/(100*(d*1.416e e-3))); set_adc_channel(2); delay_us(20); D = read_adc(); // leggi ADC canale 2 (Deflettore Sx) defsx[k] = 100 * log(1/(100*(d*1.416e e-3))); set_adc_channel(3); delay_us(20); D = read_adc(); // leggi ADC canale 3 (Deflettore Dx) defdx[k] = 100 * log(1/(100*(d*1.416e e-3))); set_adc_channel(0); k++; 7

8 PARTE SECONDA QUESITO 1 RISOLUZIONE DELL'ADC Nella PARTE PRIMA si è scelto un ADC a 10 bit. Questo risulta coerente con la necessità di garantire un'approssimazione massima dello 0,1%, così come richiesto dal testo. VISUALIZZAZIONE SU DISPLAY Scegliamo un display a 4 righe e 20 caratteri/riga, così possiamo dedicare una riga per ognuna della 4 informazioni che devono venire visualizzate al termine della prova. Il display richiede: 8 linee dati che colleghiamo agli 8 pin del PortC; alcune linee di controllo, in genere 3, che colleghiamo ai pin B1, B2, B3 del PortB. Le routine per le operazioni di controllo e di scrittura vanno calibrate sul particolare modello di display. Senza entrare in dettagli qui non richiesti, chiamiamo scrivilcd(); la generica funzione che consente di scrivere dati sul display. Il testo chiede di monitorare gli sforamenti del 90% del massimo valore possibile della pressione. La soglia (F soglia ) oltre la quale deve avvenire il conteggio vale: F soglia = 90% F Max = 0,9 150= 135 Nel programma riportato nella PARTE PRIMA, le istruzioni relative all'acquisizione e al trattamento dei dati forniti dai sensori forniscono già il valore della corrispondente pressione F. Quindi si tratta semplicemente di confrontare tali dati con la soglia sopra calcolata e di conteggiare l'evento nel caso venga raggiunta. Riportiamo le istruzioni del programma della PARTE PRIMA relative al sensore sull'alettone, scrivendo in neretto l'istruzione che va aggiunta (considerazioni analoghe valgono per gli altri sensori): set_adc_channel(1); delay_us(20); D = read_adc(); alettone[k] = 100 * log(1/(100*(d*1.416e e-3))); if(alettone[k] >= 135) sforamentialettone++; A questo punto non resta che intervenire sul main() affinché visualizzi i dati richiesti al termine della prova: void main(void) IniGen(); while(sec<tempo_prova); scrivilcd( Musetto:, sforamentimusetto); scrivilcd( Alettone:, sforamentialettone); scrivilcd( Deflettore Sx:, sforamentidefsx); scrivilcd( Deflettore Dx:, sforamentidefdx); while(1); 8

9 QUESITO 2 La dipendenza del periodo T dall'angolo di inclinazione dell'asticella è espressa dalla relazione: T = [cos ( )] 2 /100 T(ms) con che varia da 0 a 60 ( /3). Si verifica facilmente che il periodo T assume valori che vanno da 10 ms (quando l'asticella è in condizioni di riposo) a 2,5 ms (quando l'asticella è alla massima inclinazione di 60 ). Calcolando qualche altro valore intermedio si può disegnare il grafico riportato in figura. ACQUISIZIONE DEL DATO Si tratta di rilevare la durata del periodo T del segnale fornito dal sensore. Con il microcontrollore PIC che abbiamo deciso di adottare si presentano due possibilità: sfruttiamo l'ingresso di zero-cross detection (ZCD), presente in alcuni modelli di PIC, e i relativi interrupt; utilizziamo un comparatore (ad esempio con tensione di soglia di 0,2 V) per trasformare la tensione fornita dal sensore in un'onda quadra con medesimo periodo T e portiamo questo segnale all'ingresso B0 del PortB, così da potere sfruttare i corrispondenti interrupt. Sviluppiamo ora questa seconda ipotesi, ma il procedimento sarebbe quasi identico adottando la prima. Una volta abilitati gli interrupt di B0 con l'istruzione (da inserire nella funzione IniGen): enable_interrupts(int_ext); possiamo scrivere la corrispondente routine di interrupt, che verrà automaticamente lanciata a ogni periodo T. Il compito della routine consiste innanzitutto nel valutare il tempo T. Può risultare comodo misurare il tempo T 100 di 100 periodi, così che la formula inversa sia esprimibile come: cos(θ)= 100 T θ = T 100 Θ (gradi) Le istruzioni necessarie alla valutazione di T 100 (da inserire nella routine di interrupt) sono: N++; if(n = = 100) N=0; T100 = (1000*sec + Milli) T100Ini; T100 = T100 / 1000; T100Ini = 1000*sec + Milli; // calcola T100 espresso in millisecondi // T100 espresso in secondi // predisponi T100Ini per la lettura successiva dove Milli e sec sono le variabili temporali usate nel programma della PARTE PRIMA. A questo punto non resta che estrarre la radice di T 100 e calcolarne l'arcocoseno per risalire all'angolo. 9

10 QUESITO 3 Lo schema proposto si riferisce a un sistema retroazionato con una catena di andata composta da due blocchi in parallelo e una linea di ritorno puramente algebrica. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Ricaviamo intanto la funzione di trasferimento G(s) della linea di andata: ovvero G(s)= A (s)+b (s) = 5 s + 2 s+1 = 5 (s+1)+2 s s(s+1) (1+1,4 s) G(s)= 5 s(s+1) Per ottenere la funzione d'anello L(s) sarà sufficiente moltiplicare per C(s) = 1/5, quindi L(s)= G (s)c (s)= (1+1,4 s) s(s+1) Calcoliamo poi la funzione di trasferimento complessiva W(s), così come richiesto dal testo: (1+1,4 s) W (s)= Y (s) X (s) = G(s) 1+L(s) = 1 L(s) C (s) 1+L(s) = 5 s(s+1) (1+1,4 s) = 5 (1+1,4 s) 1+ s 2 +2,4s+1 s(s+1) Ricavando le radici del denominatore possiamo infine scrivere: W (s)= Y (s) X (s) = 5 (1+1,4 s) (1+ 1,86 s)(1+0,54 s) Dalla disposizione dei poli possiamo anticipare, fin da ora, che il sistema è stabile. RISPOSTA AL GRADINO Per un ingresso a gradino unitario vale: X(s) = 1/s, quindi: Y (s)= X (s)w (s)= 5 (1+1,4s) s(1+1,86s)(1+0,54 s) Possiamo già da ora calcolare la risposta a regime del sistema ricorrendo al teorema del valore finale: lim t y (t ) = lim s 0 s Y (s) = lim s 0 (1+1,4 s) 5 (1+1,86 s)(1+0,54s) = 5 Possiamo quindi affermare che la risposta a regime vale 5. 10

11 Volendo ricavare l'espressione analitica della risposta temporale, non resta che antitrasformare la Y(s). Dalle tavole delle trasformate di Laplace possiamo estrarre: avendo posto: y(t)= L 1 Y (s)= 5 ( 1 τ 1 T τ 1 τ 2 e T =1,4 τ 1 =1,86 τ 2 =0,54 t τ 1 τ T 2 τ 2 τ 1 e t 2) τ Notiamo che la risposta, modulata dai due esponenziali, parte da zero e si porta a 5 (trovando così conferma del valore di regime calcolato in precedenza). La costante di tempo più alta vale 1,86 secondi, ne deduciamo che il fenomeno transitorio potrà considerarsi esaurito nel giro di alcuni secondi. Con il software di simulazione si ottiene il seguente grafico: 11

12 STABILITÀ DEL SISTEMA Riscriviamo la funzione d'anello ottenuta precedentemente: L(s)= N (s) (1+1,4 s) = D(s) s(s+1) Si verifica facilmente che le radici del polinomio caratteristico N(s) + D(s) hanno parte reale negativa, quindi il sistema è asintoticamente stabile (informazione, questa, che era già contenuta nel denominatore della W(s)). Posto s=jω, analizziamo la stabilità del sistema costruendo i diagrammi di Bode della risposta armonica in catena aperta: L( j ω)= (1+1,4 jω) j ω(1+ j ω) Essa presenta uno zero e due poli, di cui uno nell'origine. Lo zero nell'origine introduce una pendenza iniziale di -20dB/decade e uno sfasamento di -90. Essendo poi l'altro polo e lo zero molto prossimi tra loro (ω z = 1/1,4= 0,714 rad/s; ω p = 1 rad/s) gli effetti sulle curve di Bode tendono a elidersi reciprocamente e introducono solo leggeri scostamenti. Il sistema risulta stabile con un ampio margine di fase pari a circa

13 QUESITO 4 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO W (s)= A (s) 1+ A (s)β(s) = 10 5 (s+1500)(s+2) = 10 5 β 1+ (s+1500)(s+2) 10 5 (s+1500)(s+2)+10 5 β MARGINE DI FASE Per determinare il margine di fase tracciamo i diagrammi di Bode della funzione d'anello L(jω) che, per β unitario, coincide con A(jω): L0 = 33,33 30,46 db; ωp1 = 2 rad/s; ωp2 = 1500 rad/s. L( j ω)= A ( j ω)β( j ω)= 10 5 ( j ω+1500)( j ω+2) Dai diagrammi rileviamo che il margine di fase vale: M = 90. MASSIMO VALORE DI β Dai diagrammi di Bode sopra riportati notiamo che, in corrispondenza di una fase di -135 (cui corrisponde un M = 45 ), si ha un guadagno di 30dB. Possiamo quindi aumentare il guadagno d'anello di 30 db, ovvero di 31,6. Questo è anche il massimo valore assegnabile a β: βmax = 31,6. 13