AA MECCANICA CLASSICA e MECCANICA dei SISTEMI CONTINUI PROVA di ESAME 10 Settembre Canali A-B-C-D

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1 Esecizio n. 1 Un oggetto di piccole dimensioni scivola su un piano oizzontale e la sua velocità iniziale vale v =4. m/sec. La supeficie del piano ha una uvidità cescente e la coispondente foza di attito può essee descitta con un coefficiente di attito dinamico cescente lineamente, µ =.3 x, dove x è la posizione lungo la diezione del moto, espessa in meti. x= coisponde alla posizione iniziale. Scivee l espessione del lavoo che compie la foza di attito e calcolae la distanza D pecosa dall oggetto fino al suo aesto. Calcolae poi il tempo che l oggetto impiega pe femasi. Esecizio n. Una massa m si muove, senza attito, lungo un piano inclinato che foma un angolo! (tan!=.5) ispetto al piano oizzontale. La massa è connessa ad un estemo di una molla ideale di costante elastica k e di lunghezza a iposo nulla; l'alto estemo della molla è connesso al punto B. All'inizio la massa m si tova in A con velocità nulla e la molla è oizzontale. Sia AB = a=5 cm. 1) Se m=8g si calcoli pe quale valoe, k, di k la massa si tova in C X equilibio in A. g ) Fissato k = k, si calcoli il valoe m* della massa m pe cui essa possa giungee in C con velocità nulla patendo da A con velocità nulla. 3) Si sciva in funzione dei paameti! m k, m, a e! e della coodinata x B lungo il piano, misuata da A e a positiva veso l alto, la funzione enegia potenziale del sistema di foze applicate alla massa e la foza isultante che ha la diezione dell asse x. Nel poblema si usi g =1ms ". A Esecizio n. 3 La sbaa in figua ha massa m=5kg e lunghezza D=.m. Il piano della figua è veticale e la sbaa è vincolata in A a otazioni senza attito, mente in B è appoggiata ad un cilindo che uota senza attito intono ad un asse fisso oizzontale passante pe C (i punti A e C sono alla stessa quota, l asta è tangente al cechio in B e D AB =1.6 m). Il cilindo ha massa M=1kg e aggio R=.5m. Il cilindo è inizialmente in otazione con velocità angolae antioaia w"=8ad/sec ed è fenato dall attito con la sbaa appoggiata in B. L attito è descitto da un coefficiente dinamico µ=.4. Calcolae: 1) dopo quanto tempo il cilindo si fema; ) il valoe della eazione vincolae in A duante il moto. Pova Scitta di Meccanica Classica Esecizi 1+ (3 oe) Pova Scitta di Meccanica dei Sistemi CONTINUI Esecizi 3+4 (3 oe) Pova Scitta di Meccanica Classica e di Meccanica dei Sistemi Esecizi 1 e 4 più uno a scelta fa e 3 (4 oe)

2 Esecizio n. 4 Due cilindi di massa M=1.5kg e aggio R possono uotae senza attito attono a due assi fissi che coincidono con i loo assi di simmetia. Gli assi di otazione sono oizzontali, posti ad una distanza L=.7m, paalleli ed alla stessa quota veticale. Sui cilindi è appoggiata un asta omogenea di lunghezza l! L e massa m=m, in modo da essee pependicolae agli assi di otazione (vedi figua). I coefficienti di attito ta i cilindi e l asta valgono µ s =.3, µ d =.5. Calcolae: a) l intevallo pe la posizione del cento di massa dell asta pe cui si ha equilibio statico; Se il cento di massa si tova nello intevallo calcolato in a) e se l asta viene spinta da una foza paallela ad essa di intensità F= 6 N, calcolae: b) l acceleazione del sistema assumendo otolamento senza stisciamento. Si indichi con x CM la distanza del cento di massa dell asta dall asse di simmetia del sistema dei cilindi (vedi figua) e si assuma che x CM =, v CM = a t =. c) Pe quale valoe x max di x CM il moto ta l asta ed entambi i cilindi cessa di essee un moto di otolamento senza stisciamento? Con quale cilindo vi è stisciamento pe x > xmax? d) Si calcoli l acceleazione della sbaa pe x CM = xmax. Pova Scitta di Meccanica Classica Esecizi 1+ (3 oe) Pova Scitta di Meccanica dei Sistemi CONTINUI Esecizi 3+4 (3 oe) Pova Scitta di Meccanica Classica e di Meccanica dei Sistemi Esecizi 1 e 4 più uno a scelta fa e 3 (4 oe)

3 Soluzioni Esecizio n. 1 1) Il lavoo compiuto dalla foza di attito lungo il pecoso è dato da D L = F " dx D D $ = # $ mgµ(x)dx = #.3mg $ xdx = #.3mg D. Tale lavoo eguaglia la vaiazione dell enegia cinetica ".3mg D = " 1 mv ; da tale elazione icaviamo v D =.3g = 7.37m ) L acceleazione cui è soggetto il copo non è costante in quanto F " F(x). Possiamo scivee a(x) = d x dt = ".3mgx m = ".3gx. La legge del moto quindi deve soddisfae d x l equazione diffeenziale +.3gx = che ha come soluzione geneale dt x(t) = X cos("t + #), dove " =.3g =.543 ad /s. In base alle condizioni iniziali X =D e!= Il tempo necesaio pe fa femae il copo è pai ad t stop = T 4 = 1 " 4 # =.9s Esecizio n. 1) Sia x un asse giacente sul piano inclinato dietto da A a C. La legge di Newton F el (k ) + mg + R =, scitta pe il copo m inizialmente in equilibio in A, poiettata su x ci fonisce F el (k ) cos" # mg sen" = = a k cos" # mg sen", da cui mg tan" otteniamo k = = mg =.8 N/m a a ) Dalla consevazione della enegia meccanica 1 k a = 1 k a 4 + m* g a si icava il valoe di m * m * = 3 a k 4 g = 3 8 m = 3 g 3) L enegia potenziale del sistema, quindi la quota e la lunghezza della molla, va espessa in funzione di x. Si ha: U(x) = m * x g sen" + 1 k l (x) = m * x g sen" + 1 k (x + a # ax cos$). L espessione della foza agente su m e dietta lungo il piano si calcola deivando la funzione enegia potenziale ispetto ad x: F x = " # #x U(x) = "m* g sen$ - k (x " a cos%). Tale foza oigina un moto amonico il cui cento di oscillazione si tova nel punto in cui si annulla la foza "m * g sen# - k (x " a cos$) = % x cento = a cos$ " m* g sen# e la cui pulsazione è k data da " = k m *. Pova Scitta di Meccanica Classica Esecizi 1+ (3 oe) Pova Scitta di Meccanica dei Sistemi CONTINUI Esecizi 3+4 (3 oe) Pova Scitta di Meccanica Classica e di Meccanica dei Sistemi Esecizi 1 e 4 più uno a scelta fa e 3 (4 oe)

4 Esecizio n. 3 1) La sbaa è fema nel piano veticale in quanto inizialmente in quiete ed in quanto F Tot = " F i = e M Tot = " M i =. In paticolae calcolando la isultante dei momenti L ispetto al punto A si ottiene " m g + L AB " R N = done con R N abbiamo indicato la foza che il cilindo applica sulla sbaa in B (otogonale alla sbaa). Poiettando l equazione vettoiale sui momenti su un asse pependicolae alla figua (uscente) otteniamo L mgcos" # L ABR N = dove " è l angolo fa la sbaa e l oizzontale R = AB tg" da cui tg" =.5 =.313 e cos" =.954. La foza di attito fa sbaa e 1.6 cilindo è quindi dietta come tangente al cilindo (dietta veso A) ed ha modulo F att = µr N =11.7N. Il momento di tale foza, costante, è tale da opposi al moto del cilindo M att = R " F att = # d P dt. Poiettando tale equazione sull asse pependicolae al foglio ed integando l equazione scalae così ottenuta abbiamo RF att t stop = I" dove I = MR I" =1.5kg m. Si icava quindi t stop = µ R N R =.5s. ) Duante il moto del cilindo il vincolo A deve fonie una foza tale da gaantie che la foza totale applicata alla sbaa sia nulla. Il vincolo in A quindi deve fonie una foza F A = "( R N + F att + mg ). Scegliendo un sistema di assi catesian,levogio,i con x oizzontale ed y veticale ivolto veso l alto, abbiamo F A x = "R N sin# " F att cos# = "19.9N e F A x = "R N cos# + F att sin# + mg = 4.6N. La foza fonita dal vincolo in A ha quindi Esecizio n. 4 modulo F A = A ( F x ) A + F y ( ) = 31.6N Pova Scitta di Meccanica Classica Esecizi 1+ (3 oe) Pova Scitta di Meccanica dei Sistemi CONTINUI Esecizi 3+4 (3 oe) Pova Scitta di Meccanica Classica e di Meccanica dei Sistemi Esecizi 1 e 4 più uno a scelta fa e 3 (4 oe)

5 Pova Scitta di Meccanica Classica Esecizi 1+ (3 oe) Pova Scitta di Meccanica dei Sistemi CONTINUI Esecizi 3+4 (3 oe) Pova Scitta di Meccanica Classica e di Meccanica dei Sistemi Esecizi 1 e 4 più uno a scelta fa e 3 (4 oe)

6 Pova Scitta di Meccanica Classica Esecizi 1+ (3 oe) Pova Scitta di Meccanica dei Sistemi CONTINUI Esecizi 3+4 (3 oe) Pova Scitta di Meccanica Classica e di Meccanica dei Sistemi Esecizi 1 e 4 più uno a scelta fa e 3 (4 oe)

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