Secondo Compitino di Matematica II per Edili (5 cfu). Soluzioni. 7 Giugno 2006

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1 Secondo Compitino di Matematica II per Edili (5 cfu). Soluzioni. 7 Giugno 6 Nome Matricola L esame dura ore. Non è consentito l uso di calcolatrici, libri, appunti o altro. Lo svolgimento degli esercizi va scritto sul presente foglio, che è l unico che dovrà essere consegnato. Ogni passaggio della soluzione dovrà essere giusti cato con brevi spiegazioni. 1. Diagonalizzare, se possibile, la matrice Il polinomio caratteristico è P () = det = (8 ) ( 1 ) ( 7 ) + 18 (1 + ) ( ) = (1 + ) ((8 ) (7 + ) 54) = ( + 1) ( ) : 5 L autovalore 1 = 1 ha molteplicità algebrica e l autospazio associato è lo spazio di soluzioni del sistema omogeneo 8 < equivalente a cioè 4 x y z 5 = 4 : 9x 6y z = = 18x 1y 6z = x y z = ; x y x y 5 = x y 4 Dunque 1 ha molteplicità geometrica, e due autovettori linearmente indipendenti sono (1; ; ) e (; 1; ) : L autovalore = ha molteplicità algebrica 1 e l autospazio associato è lo spazio di soluzioni del sistema omogeneo 8 < 6x 6y z = y = : 18x 1y 9z = 1 5 : equivalente a x z = y = cioè 4 x y z 5 = 4 x x 5 = x 4 1 Dunque 1 ha molteplicità geometrica 1, e un autovettore associato è (1; ; ) : Tutti gli autovettori sono regolari e quindi la matrice è diagonalizzabile: = : : 1

2 . Stabilire se la curva r (t) = ( cos t + sin t; cos t; sin t) è regolare e determinare per quali valori del parametro t [; ] la tangente è parallela al vettore (1; ; ) : Poiché r (t) = ( sin t + cos t; sin t; cos t) ; le due ultime componenti non si possono annullare contemporaneamente, e quindi la curva è regolare. Inoltre i j k r (t) ^ (1; ; ) = det 4 sin t + cos t sin t cos t 5 1 = ( 6 sin t; 4 sin t; sin t) ; e quindi la tangente alla curva è parallela a (1; ; ) per t = ; t = e t = :

3 Nome Matricola. Calcolare l integrale di linea R f ds dove f (x; y) = xy e è il sostegno della curva r (t) = (cos t; sin t), con t [; =] : Poiché r (t) = ( Z sin t; cos t) ;avremo ds = p sin t + 4 cos t dt = p 1 + cos t dt: Dunque f ds = Z cos t sin t p 1 + cos tdt = cos t t= t= = 14 9 :

4 4. Determinare e rappresentare gra camente l insieme di de nizione ed il segno della funzione f (x; y) = x y 1 log (y x) : L insieme di de nizione è E = f(x; y) : y x > e y x 6= 1g : La funzione ha segno positivo in E + = (x; y) : y x > 1, x y 1 > [ (x; y) : < y x < 1, x y 1 < e segno negativo in E = (x; y) : y x > 1, x y 1 < [ (x; y) : < y x < 1, x y 1 > : Gli zeri di f si trovano in E = (x; y) E : x y 1 = : 4

5 Nome Matricola 5. Data la funzione f (x; y) = e x y sin ( p x + y) ; determinare il più grande aperto dove f è di classe C 1, l equazione del piano tangente al gra co di f nel punto =4; ; f =4; (se esiste) e la derivata direzionale di f in =4; rispetto al versore p =; 1= : L insieme di de nizione di f è il semipiano chiuso E = f(x; y) : x + y g : Se x + y > ; le derivate parziali si calcolano y (x; y) = ex sin p x + y + cos (p x + p x + y (x; y) = ex sin p x + y + cos (p x + p : x + y Queste funzioni tendono a 1 per (x; y) che tende ad un punto = f(x; y) : x + y = g : Pertanto le derivate parziali non possono essere continue L aperto cercato è quindi _E = f(x; y) : x + y > g : Poiché f è di classe C 1 in un intorno di =4;, il piano tangente cercato esiste ed è dato da z = f =4; x = e = + e = x =4 e = y: =4; y Per lo stesso motivo, si può calcolare la derivata direzionale con la formula del gradiente: D p ( =; 1=) f =4; p p = e = ; e = =; 1= = e = 1= : 5

6 6. Studiare i punti stazionari della funzione f (x; y) = x xy + y 4 + : Precisare inoltre se sono etremi assoluti. Per il teorema di Fermat, i punti stazionari sono le soluzioni del (x; y) = x (x; y) = xy + 4y = ; cioè A = (; ) ; B = 1=6; p =6 e C = 1=6; Poiché Hf Hf (x; y) = 1=6; p =6 = p =6 : La matrice hessiana è 6x y y x + 1y : 1 p = p = = si deduce che B e C sono punti di minimo relativo. Essendo invece Hf (; ) nulla, per stabilire la natura dell origine come punto stazionario dobbiamo studiare il segno della funzione f (x; y) f (; ) ; cioè di x xy + y 4 + = x xy + y 4 : Si può vedere immediatamente che f (x; ) f (; ) = x cambia segno con x, e dunque A è un punto di sella. In ne, poiché f (x; ) = x + tende a 1 al tendere di x a 1, B e C non sono minimi assoluti. ; 6

7 Nome Matricola 7. Si consideri la trasformazione di coordinate nel piano x = ue v y = ve u : Scrivere la matrice jacobiana della trasformazione, e l elemento d area dxdy in funzione delle variabili u e v: Si vede facilmente che e quindi dxdy = jdet J (u; v)j dudv = e v J (u; v) = e v ve u u j1 + uvj dudv. ue v e u 7

8 8. Calcolare il seguente integrale doppio Z Z D ye x p x + y dxdy dove D è il semicerchio di centro l origine e raggio 1, compreso nel semipiano y : In coordinate polari D è trasformato nel rettangolo D = [; 1] [; ] : Dunque l integrale cercato è uguale a Z ZD sin e cos Z 1 Z dd = sin e cos d d = Z 1 = e 1 + e : e + e d 8