ANALISI MATEMATICA 1 - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

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1 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 settembre 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) log cosh (x) sinh(x). (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e periodicità ed il segno di f; (b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f; (c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f; si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i limiti significativi di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f); (d) scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione di due variabili nel punto (,, ). G(x, y) yf(x)+ y Esercizio [ punti] Si consideri l integrale: x ( + x) dx. Discutere la convergenza al variare di IR.. Calcolarlo per. Esercizio 3 [ punti] Si consideri al variare del parametro IR la serie X n a n dove a n ( ) n +n n ( + ) n. (a) Determinare per quali valori di IR la serie converge assolutamente. (b) Determinare per quali valori di IR la serie converge semplicemente. Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

2 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 settembre 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) log cosh (x) sinh(x). (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e periodicità ed il segno di f; (b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f; (c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f; si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i limiti significativi di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f); (d) scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione di due variabili nel punto (,, ). Traccia della soluzione. (a) Dominio: G(x, y) yf(x)+ y cosh (x) sinh(x) +sinh (x) sinh(x) >, che posto t sinh(x) diventa t t + >, verificato 8t IR. Alternativa: cosh è sempre a valori e quindi cosh (x) cosh(x) > sinh(x) sempre. Quindi il dominio è tutto IR, dove f risulta continua e derivabile perché composizione di funzioni continue e derivabili. f non presenta simmetrie o periodicità evidenti. Segno: f(x) > se e solo se cosh (x) sinh(x) sinh (x) sinh(x)+>, quindi, risolvendo via t sinh(x) se e solo se sinh(x) < o sinh(x) >, cioè se e solo se x ], [ [ ]settsinh(), +[ ], [ [ ] log( + p ), +[. (b) I limiti alla frontiera del dominio sono: lim f(x) +. x!± Asintoti obliqui a ±: dalla definizione delle funzioni iperboliche, si ha: e log cosh x (x) sinh(x) log 4 + e x e x e x, quindi, raccogliendo e x (infinito di ordine maggiore) a + e e x (infinito di ordine maggiore) a, dalle proprietà del logaritmo si ottengono, rispettivamente, le relazioni: log cosh (x) sinh(x) log(e x )+log 4 + e 4x + e x e x 4 + e 3x x+log 4 + o(),

3 log cosh (x) sinh(x) log(e x )+log 4 + e4x 4 + e 3x ex + ex x+log 4 + o() (o() significa funzione infinitesima al limite considerato), per cui y x log(4) è asintoto obliquo a + e y x log(4) è asintoto obliquo a. Questo si verifica anche facilmente calcolando, ad esempio a +, e q m f(x) lim x!+ x lim x + log 4 + o() x!+ x lim (f(x) x) lim log x!+ x!+ 4 + o() log(4). (c) Come già osservato, f è derivabile in IR e vale f (x) cosh(x)sinh(x) cosh(x) cosh (x) sinh(x) cosh(x) cosh ( sinh(x) ). (x) sinh(x) Il primo fattore è sempre >, quindi f (x) > se e solo se sinh(x) > /, cioè p! 5 x>settsinh(/) log + >. Quindi f è strettamente decrescente in ], settsinh(/)[ e strettamente crescente in ]settsinh(/), +[, per cui x settsinh(/) è punto di minimo assoluto, dove vale f(settsinh(/)) log + log(3/4) <. 4 La funzione non ha massimi relativi ed è superiormente illimitata. Il grafico è tracciato in Fig.. 5,5 7,5 5,5 7,5 5, Figure : Grafico qualitativo di f (d) La funzione è differenziabile in IR, perché composizione di funzioni C. Quindi l equazione del piano tangente al suo grafico in (,, ) è z G(, ) + G x (, )x + G y (, )y +x log()y log()y.

4 Esercizio [ punti] Si consideri l integrale: (a) Discutere la convergenza al variare di IR. (b) Calcolarlo per. x ( + x) dx Traccia della soluzione. Ricordiamo che x ( + x) dx Z x ( + x) dx + x ( + x) dx. (a) L integrale è generalizzato a + e in +, perché la funzione integranda f(x) è x (+x) definita, continua in ], +[ ma diverge a +. È positiva in (, +), negativa in (, ). Studiamo l integrabilità a +. Siccome vale la relazione di asintoticità ( + x) x +x + x si ha: f(x) x x x + log (x) per x! +. Per confronto asintotico con g(x) quindi f(x) risulta integrabile a + se e solo se x a log b (x) +>, cioè >. Studiamo ora l integrabilità in +. Siccome ( + x)! per x! si ha: f(x) x x log (x) per x! +. Per confronto asintotico con g(x) quindi f(x) risulta integrabile a x a log b (x) + se e solo se <, cioè <. Conclusione: l integrale generalizzato assegnato converge se (, ). (b) Per, calcoliamo dapprima l integrale indefinito, per parti: Z Z log dx ( + x) +x + dx x( + x) log x Z +x + x +x dx log x +x +log x +x +c, dove usiamo x( + x) A x + B (A + B)x + A +x x( + x) che vale per A + B ea, da cui si ha la scomposizione x(+x) x L integrale richiesto è +x. lim b!+ " Z b Z lim f(x) dx + lim f(x) dx b!+ a! + a log b b # " +b + log log +b + lim log a! + + log a +a log a (+a) log a +(+a) log( + a) [ + ] + lim a! + +a lim a log a a! + # a log +a +. 3

5 Esercizio 3 [ punti] Si consideri al variare del parametro IR la serie X ( ) n +n n ( + ) n. n (a) Determinare per quali valori di IR la serie converge assolutamente. (b) Determinare per quali valori di IR la serie converge semplicemente. (a) Poniamo a n +n ( + ) n > 8n IN: siccome l esponente della potenza é pari, lo n studio della convergenza assoluta coincide con lo studio della convergenza di P n a n. Per si ha a n per ogni n, quindi la serie converge. Per 6, si può usare il criterio del rapporto: a n+ ( + n)( + ) n+ n lim lim n!+ a n n!+ (n + ) ( + ) ( + n)( + ) n Alternativamente si poteva usare il criterio della radice, r r n +n lim n!+ n ( + ) n n +n lim n!+ n ( + ) ( + ) Quindi la serie converge assolutamente quando ( + ) <, cioè < <. Se invece ( + ) >, cioè < o >, la serie non converge, perché a n tende a infinito e quindi è violata la condizione necessaria per la convergenza. Per e, si ha a n +n n n serie armonica di esponente, per cui non converge assolutamente. (b) Per studiare la convergenza della serie alternata P n ( )n a n, osserviamo che converge per < <in quanto la convergenza assolta implica la convergenza, e non converge per < o >, perché dal punto (a) segue che in questo caso lim a n 6. Per e n!+, siccome la serie è a termini di segno alterno possiamo usare il Criterio di Leibniz per verificare che converge: lim a +n n lim n!+ n!+ n, e a n +n n + n n è decrescente perché somma di funzioni decrescenti. 4