Il modello ondulatorio

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1 LUCE E VISIONE I COLORI PPUNI DI FISIC Il modello ondulatorio I fenomeni di cui ci siamo occupati finora possono essere facilmente spiegati considerando la luce composta da corpuscoli che sottostanno alle leggi della meccanica. Due fenomeni legati alla luce sono invece inspiegabili a partire dal modello corpuscolare e sono: la diffrazione. Quando un fascio di luce passa per una fenditura sottile invece di assottigliarsi si sparpaglia formando zone di luce e zone d ombra. (nel disegno tre figure di diffrazione ottenute con luce monocromatica (nel disegno bianca per esigenze grafiche) quando passa attraverso fenditure sempre più piccole) L interferenza. Quando la luce passa attraverso due fenditure (la prima immagine) o attraverso un reticolo di diffrazione (seconda immagine) produce le classiche immagini di interferenza riportate nel disegno. Per comprendere questi fenomeni è necessario rifarsi al modello ondulatorio della luce. Prima di tutto bisogna capire che cos è un onda. Cominciamo perciò con le onde unidimensionali dalle quali ricaveremo le principali grandezze e caratteristiche di un onda. Prof. M. Luraschi Pagina 14 rev. aprile

2 LUCE E VISIONE I COLORI PPUNI DI FISIC Le onde unidimensionali. Sperimentalmente ci si può servire di un elastico (mezzo si propagazione) sul quale produciamo una perturbazione di breve durata (agitiamo un estremità producendo un breve impulso). v! Nell'immagine a fianco seguiamo l'impulso in successivi ed equidistanti intervalli di tempo. Dall'osservazione dell'evolversi della situazione possiamo fare le seguenti deduzioni: Ogni pezzetto di elastico oscilla al passaggio della perturbazione ma non si sposta da un estremità all'altra. Sperimentando con altri tipi di onde si osserva qualcosa di analogo e pertanto possiamo generalizzare affermando che la propagazione di un'onda non è associata ad un trasporto di materia. Inoltre nel caso specifico lo spostamento di ogni punto dell'elastico è perpendicolare alla direzione di propagazione dell'impulso; si definisce perciò questo tipo di onda trasversale. Sembra che la velocità dell'impulso non dipenda dalla forma e ciò potrebbe essere confermato sperimentalmente; la velocità dell'impulso cambia se si aumenta o si diminuisce la tensione dell'elastico. La forma dell'impulso si mantiene pressoché inalterata ad eccezione di un appiattimento dovuto agli attriti interni ed esterni. molla indisturbata impulso che di propaga da sinidtra verso destra in tre intervalli di tempo consecutivi Se invece di oscillare perpendicolarmente la perturbazione produce oscillazioni parallele alla direzione di propagazione (questo si realizza facilmente con una molla quale mezzo di propagazione) si parla allora di onde longitudinali Sovrapposizione di due (o più) onde Se si realizza la seguente esperienza si generano cioè due impulsi di forma differente su un elastico teso in modo che si propaghino in direzione opposta l'uno rispetto all'altro è facile osservare quello che succede durante e dopo il loro "incontro": Prof. M. Luraschi Pagina 15 rev. aprile

3 LUCE E VISIONE I COLORI PPUNI DI FISIC Contrariamente a quello che potrebbe succedere tra due oggetti solidi (due palline due particelle) i due impulsi non si respingono ma si trapassano l'un l'altro così che alla fine dell'incontro quello di sinistra si ritrova indisturbato a destra e viceversa come se nulla fosse accaduto: Per capire quello che capita durante l'incontro basta "fermare" l'immagine degli impulsi che si propagano lungo l'elastico e osservare la forma di quest'ultimo a differenti istanti; dal disegno a lato si può osservare che ogni punto dell'elastico risulta dalla somma degli spostamenti dovuti ai singoli impulsi. Questo fatto che può essere generalizzato a tutti i tipi di onde prende il nome di principio di sovrapposizione. Onde periodiche Consideriamo un elastico fisso ad una estremità (nel disegno quella di destra). Se all'altra estremità si provvede a generare con regolarità una successione di impulsi tutti uguali si ottiene quella che viene chiamata un'onda periodica. L'intervallo di tempo che intercorre fra la generazione di un impulso e il successivo si chiama periodo dell'onda e viene indicato con la lettera. Si definisce invece con il termine di frequenza e lo si indica con la lettera f il numero di impulsi generati nella unità del tempo. ra queste due grandezze esiste evidentemente una stretta relazione cioè che una è l'inverso dell'altro: f 1 =. Prof. M. Luraschi Pagina 16 rev. aprile

4 LUCE E VISIONE I COLORI PPUNI DI FISIC Se l'unità di misura del periodo essendo un intervallo di tempo è il secondo ( s ) quella della frequenza è il suo inverso: [ f ] = 1 = s Hz dove Hz sta per hertz. Finora abbiamo parlato unicamente di grandezze associate al tempo ma un'onda (o un impulso d'onda) si manifesta anche dal punto di vista spaziale; la distanza che intercorre fra un impulso e il successivo è chiamata lunghezza d'onda e si indica con la lettera greca λ (lambda) ed la sua unità di misura è il metro. Siccome λ rappresenta oltre che la distanza fra un impulso e il successivo pure lo spazio percorso dall'impulso a velocità costante v in un periodo possiamo scrivere: λ = v. Unendo le relazioni precedenti si ottiene infine: f = v λ. La relazione qui trovata non dipende né dal tipo di onda considerata (elastica elettromagnetica sonora ecc. ) né dal mezzo di propagazione ma vale per tutte le onde. Da quanto abbiamo visto finora un'onda è una grandezza che dipende da spazio e da tempo e pertanto una descrizione matematica della stessa dovrà indicare come lo spostamento dell'elastico (della molla o di qualsiasi altro mezzo di propagazione) rispetto alla sua posizione di equilibrio dipenda dallo spazio e dal tempo; tale spostamento si chiama ampiezza e viene indicato con mentre la posizione (spazio) e il tempo vengono indicati con x rispettivamente t e perciò avremo che: ( x t) = Dato che l'ampiezza e funzione sia di spazio che di tempo per una sua rappresentazione grafica sarebbe necessario un grafico tridimensionale (un asse per le x uno per le t e il terzo per l'ampiezza ); un grafico tridimensionale è difficile da realizzare e altrettanto da leggere pertanto si preferisce fissare un punto nello spazio e visualizzare l'evoluzione nel tempo dell'ampiezza in quel punto ( ( x t) ) oppure determinare la forma dell'elastico e quindi l'ampiezza in ogni punto ad un certo istante ( ( xt )). ( x t) Nelle figure precedenti è rappresentata l'evoluzione temporale dell'ampiezza di un punto x in funzione del tempo di un'onda periodica rispettivamente la forma dell'onda ad un certo istante t. Si noti che dalla rappresentazione ( x t) e ricavabile il periodo mentre da ( xt ) ( xt ) λ t[s] x[m] è ricavabile la lunghezza d'onda λ. Prof. M. Luraschi Pagina 17 rev. aprile

5 LUCE E VISIONE I COLORI PPUNI DI FISIC Onde sinusoidali Le definizioni date precedentemente di periodo di frequenza e di lunghezza d'onda valgono a rigore solo per un'onda periodica sinusoidale vale a dire per un'onda la cui forma è quella delle funzioni seno o coseno. Matematicamente essa può essere descritta dalla seguente funzione: π λ ( x t) = sen ( x v t) + ϕ π Definendo come numero d'onda k il rapporto λ ( x t) = sen( k ( x v t) + ϕ ) = sen( k x k v t È facilmente dimostrabile che il prodotto velocità angolare; infatti: λ π k v = π = λ la relazione può essere riscritta come segue: k v deve essere uguale a così che la funzione d'onda sinusoidale diventa semplicemente: ( x t) = sen( k x ω t π = π f = ω dove ω è detta ppare quindi chiaro che per descrivere un'onda sinusoidale occorrono 4 grandezze: l'ampiezza il numero d'onda k la velocità angolare ω e la fase iniziale ϕ che possono essere ricavate eventualmente da altre dalle relazioni viste in precedenza. ( x t t t t ) 1 t = t = t = 1 t = 6 La figura mostra un'onda sinusoidale che si propaga da sinistra verso destra; la rappresentazione è in funzione dello spazio in quattro momenti diversi. Si tenga presente infine che se l'onda si propaga in senso opposto rispetto al verso positivo dell'asse x il segno "-" davanti alla velocità o alla velocità angolare diventa un "+"; la funzione d'onda diventa: ( x t) = sen( k x + ω t. Prof. M. Luraschi Pagina 18 rev. aprile

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